三角函数的倒数关系推理过程
三角函数公式大全及详细推导过程
三角函数公式大全及推导过程一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y=αtan 余切：y x =αcot 正割：xr=αsec 余割：y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+ 倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα 商数关系：αααcos sin tan =，αααsin cos cot =，αααsin tan sec =，αααtan sec csc = 以上公式，均可由定义直接证明。
六角形记忆法：构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。
（1）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。
（2）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（3）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。
（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。
由此，可得商数关系式。
三、诱导公式公式一： （同终边的角）设α为任意角，终边相同的角的同一类三角函数的值相等：ααπsin )2k sin(=+ ααπcos )cos(2k =+ ααπtan )tan(2k =+公式二： （x 轴对称角）任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：αα-sin )-sin(= ααcos )cos(-= αα-tan )tan(-=公式三： （中心对称角）设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：ααπ-sin )sin(=+ ααπ-cos )cos(=+ ααπtan )tan(=+公式四： （y 轴对称角）利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：ααπsin )-sin(= ααπ-cos )-cos(= ααπ-tan )-tan(=公式五： （同x 轴对称角）利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：ααπsin )-2k sin(= ααπcos )-cos(2k = ααπ-tan )-tan(2k =公式六： （垂直关系角或y=x 对称或y=-x 对称角）2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系：ααπcos )2sin(=+ ααπ-sin )2cos(=+ ααπ-cot )2tan(=+ααπcos )-2sin(= ααπsin )-2cos(= ααπcot )-2tan(=ααπcos -)23sin(=+ ααπsin )23cos(=+ ααπ-cot )23tan(=+ ααπcos -)-23sin(= ααπ-sin )-23cos(= ααπcot )-23tan(=※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为： 对于Z)k (2k ∈±•απ的个三角函数值，①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos ；cos →sin ；tan →cot ；cot →tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
三角函数公式及推导ppt课件
点B的坐标为
xB r cos yB r sin
AB2 yA yB 2 xA xB 2 r sin r sin 2 r cos r cos 2
r2 sin2 r2 sin2 2r2 sin sin r2 cos2 r2 cos2 2r2 cos cos
证明：因为由和角公式：cos( +)=coscossinsin， 令== 所以，可得： cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2
表示二：
cos2=
1-tan2 1+tan2
證明：cos2=2cos21 = (2/sec2)1 =2/(1+tan2 ) 1 =(1-tan2 )/(1+tan2 )
利用公式二和公式三可以得到π-α 与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα
3
1-----诱导公式（之二）：
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2πα与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
证明： 在ABC中,ABC 90
a2 b2 c2
a2 c2
b2 c2
1
sin2 B sin A 1
sin2 cos2 1
商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
三角函数倒数
三角函数倒数
三角函数倒数是指对三角函数的反函数，也就是说，它们是互为反函数的一组函数。
倒数其实是一种逆变换，它能够将一个三角函数表示为另一个三角函数，这样我们就可以用后者来反推前者。
三角函数倒数有三个，分别是正弦倒数，余弦倒数和正切倒数。
它们的反函数如下所示：
•正弦倒数：arcsin(x) = sin-1(x)；•余弦倒数：arccos(x) = cos-1(x)；•正切倒数：arctan(x) = tan-1(x)。
三角函数倒数的用途很广泛，在日常生活中，它们可以用来计算角度、长度、平面图形以及几何图形的面积等，甚至可以用来解决物理学中的问题。
例如，假设我们要计算一个角度的大小，我们可以使用正弦、余弦和正切倒数来计算。
首先，我们需要计算三个相应的三角函数的值，然后将它们代入到相应的倒数函数中，即可得到想要求得的角度。
同样，在几何学中，三角函数倒数也有着重要的作用。
例如，当我们要计算一个不规则图形的面积时，可以使用三角函数倒数来帮助我们计算。
这种方法叫做“多边形面积公式”，是一种用来计算任意多边形面积的方法。
具体来说，我们可以通过计算所有边上的正弦、余弦和正切值，然后将它们代入到正弦倒数、余弦倒数和正切倒数的公式中，就可以计算出多边形的面积了。
总而言之，三角函数倒数在日常生活中和几何学中都有着重要的作用，它们能够帮助我们计算出角度、长度、平面图形和几何图形的面积等。
三角函数关系推导
同角三角函数的基本关系倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin （a+θ）*sin（a-θ）锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)ta n3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina=3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos²a-3/4)=4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)n倍角公式sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）......sin（a+（n-1）π/n）。
三角函数公式大全及推导过程
三角函数公式大全及推导过程一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：xy =αtan 二、同角三角函数的基本关系式 商数关系：αααcos sin tan =，平方关系：1cos sin 22=+αα，221cos 1tan αα=+ 三、诱导公式公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinα cos （2kπ＋α）= cosα tan （2kπ＋α）= tanα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π＋α）= -sinα cos （π＋α）= -cosα tan （π＋α）= tanα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin （-α）= -sinα cos （-α）= cosα tan （-α）= -tanα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π-α）= sinα cos （π-α）= -cosα tan （π-α）= -tanα公式五： 利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= -sinα cos （2π-α）= cosα tan （2π-α）= -tanα公式六：2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα 三、两角和差公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=-βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 四、二倍角公式αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(*ααα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=-2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=-其它公式 五、辅助角公式：)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a （其中ab =ϕtan ） 其中：角ϕ的终边所在的象限与点),(b a 所在的象限相同，(以上k ∈Z)六、其它公式：1、正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222⋅-+=B ac c a b cos 2222⋅-+=C ab b a c cos 2222⋅-+=3、三角形的面积公式高底⨯⨯=∆21ABC S B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边一夹角）万能公式推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))然后用α/2代替α即可。
三角函数的倒数与反函数
三角函数的倒数与反函数三角函数是数学中重要的一类函数，它们在几何学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
在三角函数的研究中，我们常常会遇到它们的倒数以及反函数，它们在解决实际问题和简化计算过程中起着重要的作用。
一、三角函数的倒数对于三角函数而言，它们的倒数是指相应函数值的倒数。
常见的三角函数有正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)。
它们的倒数分别为正弦函数的倒数csc(x)、余弦函数的倒数sec(x)和正切函数的倒数cot(x)。
1.1 正弦函数的倒数正弦函数sin(x)的倒数是倒正弦函数csc(x)，即csc(x) = 1/sin(x)。
正弦函数的定义域是实数集R，值域是[-1, 1]，当sin(x) = 0时，倒正弦函数csc(x)的值无定义。
1.2 余弦函数的倒数余弦函数cos(x)的倒数是倒余弦函数sec(x)，即sec(x) = 1/cos(x)。
余弦函数的定义域是实数集R，值域是[-1, 1]，当cos(x) = 0时，倒余弦函数sec(x)的值无定义。
1.3 正切函数的倒数正切函数tan(x)的倒数是倒正切函数cot(x)，即cot(x) = 1/tan(x)。
正切函数的定义域是实数集R，值域是(-∞, +∞)，当tan(x) = 0时，倒正切函数cot(x)的值无定义。
二、三角函数的反函数三角函数的反函数是指将三角函数作为自变量的函数，通过取反将其定义域与值域进行转换的过程。
常见的三角函数的反函数有反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x)和反正切函数arctan(x)。
2.1 反正弦函数反正弦函数arcsin(x)的定义域是[-1, 1]，值域是[-π/2, π/2]。
它的函数图像是关于y轴对称的。
2.2 反余弦函数反余弦函数arccos(x)的定义域是[-1, 1]，值域是[0, π]。
它的函数图像是关于x轴对称的。
2.3 反正切函数反正切函数arctan(x)的定义域是实数集R，值域是(-π/2, π/2)。
同角三角函数的基本关系 倒数关系
同角三角函数的基本关系倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ）锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦1. Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a= 2Cos^2(a)-1 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α) sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)三倍角公式推导sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a) sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-co s^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/ 2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4co sa(cos²a-3/4) =4cosa[cos²a-(√3/2)^2] =4cosa(cos²a-cos²30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cos a-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosas in(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(6 0°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) n倍角公式sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）。
三角函数公式的推导及公式大全
三角函数公式的推导及公式大全三角函数是数学中常用的一类函数，它们描述了角度与三角形边长之间的关系。
三角函数公式的推导基于角度的单位圆定义和三角形的几何性质。
本文将详细介绍三角函数的推导和给出常用的三角函数公式。
1.角度的定义和单位圆首先，让我们来定义角度。
角度是用来度量平面上两条射线之间的夹角的量度，也可以理解为弧度的一种度量方式。
常用的度量单位有度和弧度。
在许多三角函数的推导中，我们使用弧度作为角度的单位。
① sinθ = y② cosθ = x③ tanθ = sinθ / cosθ = y / x④ cotθ = cosθ / sinθ = x / y⑤ secθ = 1 / cosθ = 1 / x⑥ cscθ = 1 / sinθ = 1 / y2.基本三角函数公式基本的三角函数公式可以通过单位圆上的定义推导得出。
这些公式为我们计算各种三角函数提供了便利。
以下是基本的三角函数公式：①互余三角函数关系：sinθ = 1 / cscθcosθ = 1 / secθtanθ = 1 / cotθ②诱导公式：sin(-θ) = -sinθcos(-θ) = cosθtan(-θ) = -tanθ③倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θtan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)④半角公式：sin(θ/2) = sqrt((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = sqrt((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = sinθ / (1 + cosθ)⑤和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些基本的三角函数公式是推导其他三角函数公式的基础。