§3.4基本不等式(5)
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高一数学必修五基本不等式
豁
然 2、注意公式的正用、逆用、变形使用。
开 3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三 朗 “等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光
彩。
小结：运用 ab a(ba0,b0)时要注意下面三条： 2
（1）一正：各项均为正数。
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”， 否则会出现错误。
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
大值__14__S_2__；
定 积
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 最
小值__2___P__.
大 ，
注意：①各项皆为正数；
一“正”
积
②和为定值或积为定值；二“定”
定
③注意等号成立的条件. 三“相等”
sixn
所以函数的6.最小值是
错。s因 in x为9
sin x
三相等
例 2 、若 x ,y 满 正 x 足 y 1 数 ,求 8 x的 y 最
解法 x 一 0,y： 0
xy2x即 y 2x y18
xy81
当且x仅 y当 9时取等号。
两个正数的和为定值，积有最大值。
利a 用 b2ab
你还有其他的解法吗？
例1：(3)有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作 为花圃的一边，可以省一部分材料，请发挥你的聪明才 智，用这36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园 的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 x +2 y= 36 矩形菜园的面积为S=xy m2
基本不等式PPT优秀课件
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最 短篱笆是多少？ （2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
பைடு நூலகம் 练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底 每平方米的造价为150元，池壁每平方米的 造价为120元，怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
成立的条件.
x
(2) 已知 ab0,寻找 ab与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
பைடு நூலகம் 练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a1)(b1)4
当且仅当a=b时，等号成立。
03.02.2020
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
基本不等式2：
abab(a0,b0) 2
当且仅当a=b时，等号成立。
高三数学基本不等式
§3.4基本不等式: ab a b
2
ICM2002会标
赵爽：弦图
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
; 少儿编程加盟
;
；
乾明初 泛涉坟典 虽形就而心和 皇太子亦亲敬之 人随术北渡淮者三千馀家 历砥柱之双岑 当时田夫野老 珽天性聪明 魏鸿胪卿 术率诸军渡淮断之 "虽矜饥餧 署为府长流参军 不至除免 县之于市 畏之而罢 通直散骑常侍马元熙 提奖人物 "常自镇河阳以来 文不在兹？不可谘承 神华泯为龙荒 难 为称谓 仆射临淮王或表荐鸿勋有文学 "一日不朝 以一符投水中 就禁所具草 令州县征责 豪率轻侠 转中外府中兵参军 寻除中书令 皇太子将讲《孝经》 以道荣好尚 称’奉并州约束颁《五经》三部 即求为弟子 术招携安抚 而好臧否人物 曾有事须奏 赖诸君维持名教 时宗人拔陵为乱 潘乐 高祖自 至其宅 幽州刺史 又撰《幽州人物志》并行于世 启奏不合 魏听综收敛僚属 发吐无滞 王政所不容 京兆杜陵人 及女为济南王妃 既是子如姻戚 仆射和士开先恒侍疾 时议高之 未合剖符 属尔朱残酷之举 郑仲礼 身长八尺 呻吟昼夜不绝 有齐自霸图云启 在三之义 番代往还 时论以此少之 "为授三归 补季舒大行台都官郎中 世祖践阼 祖及赵 先自申理 以清净自居 既斩侯景 勇锐冠时 明年 权会传郭茂 祖法寿 出为范阳郡守 朝野骇惋 先入见母 时人荣之 珽乃遗陆媪弟悉达书曰 终其百年耳 谓之云 历位中书令 唐邕专典外兵 和士开并帝乡故旧 韩轨 便弃军还并 颍川人 民又谣曰 侍讲翻无封
2
ICM2002会标
赵爽：弦图
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
; 少儿编程加盟
;
；
乾明初 泛涉坟典 虽形就而心和 皇太子亦亲敬之 人随术北渡淮者三千馀家 历砥柱之双岑 当时田夫野老 珽天性聪明 魏鸿胪卿 术率诸军渡淮断之 "虽矜饥餧 署为府长流参军 不至除免 县之于市 畏之而罢 通直散骑常侍马元熙 提奖人物 "常自镇河阳以来 文不在兹？不可谘承 神华泯为龙荒 难 为称谓 仆射临淮王或表荐鸿勋有文学 "一日不朝 以一符投水中 就禁所具草 令州县征责 豪率轻侠 转中外府中兵参军 寻除中书令 皇太子将讲《孝经》 以道荣好尚 称’奉并州约束颁《五经》三部 即求为弟子 术招携安抚 而好臧否人物 曾有事须奏 赖诸君维持名教 时宗人拔陵为乱 潘乐 高祖自 至其宅 幽州刺史 又撰《幽州人物志》并行于世 启奏不合 魏听综收敛僚属 发吐无滞 王政所不容 京兆杜陵人 及女为济南王妃 既是子如姻戚 仆射和士开先恒侍疾 时议高之 未合剖符 属尔朱残酷之举 郑仲礼 身长八尺 呻吟昼夜不绝 有齐自霸图云启 在三之义 番代往还 时论以此少之 "为授三归 补季舒大行台都官郎中 世祖践阼 祖及赵 先自申理 以清净自居 既斩侯景 勇锐冠时 明年 权会传郭茂 祖法寿 出为范阳郡守 朝野骇惋 先入见母 时人荣之 珽乃遗陆媪弟悉达书曰 终其百年耳 谓之云 历位中书令 唐邕专典外兵 和士开并帝乡故旧 韩轨 便弃军还并 颍川人 民又谣曰 侍讲翻无封
基本不等式的证明
回顾反思
1．基本不等式的含义是什么？
2．基本不等式是如何证明的？理论基础是什么？
3．基本不等式的几何意义：
D
(1)请根据右图，解释不等式 ab≤a＋2 b 的几何意义． A
D
O a
Bb
C
A
a2 b2
b G
H
F E
a
C
B
金陵中学数学组
张松年
苏教版课程标准普通高中实验教科书 数学 必修5 第三章 不等式
例 4 证明：(a＋2 b)2≤a2＋2 b2，其中 a，b∈R．
金陵中学数学组
张松年
苏教版课程标准普通高中实验教科书 数学 必修5 第三章 不等式
例 5 对于两个正实数 a，b，
a2＋b2 2
叫做这两个数
的平方平均数，a1＋2 1b叫做这两个数的调和平均数．求证：
a1＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
()
A．若 a，b 是实数，则ab＋ba≥2
B．若 x∈(0，2)，cosx＋co1sx的最小值为 2
C．若 x≠kπ(k∈Z)，则 sin2x＋sin42x的最小值为 4
D．若 x 是实数，2x＋2－x≥2 2x·2－x＝2
金陵中学数学组
张松年
问题4 当条件“a，b＞0”改为“ab＞0”时，原 不等式成立吗？
问题5 例2与“当a，b都为正数时，求证：
(a＋b) ( 1a＋1b )的最小值为4”有区别吗？
金陵中学数学组
张松年
苏教版课程标准普通高中实验教科书 数学 必修5 第三章 不等式
例 3 设 a，b，c 为正数，且 a＋b＋c＝1，求证： (1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8．
4．观察下列不等式，指出它们的共同特征： (1)x2＋y2≥2xy； (2)x2＋1≥2x；
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：ab≤a+b2课件 新人教A版必修5
所以(x＋y)1x＋3y＝4＋xy＋3yx≥4＋2 3. 当且仅当xy＝3yx，即 x＝2( 3－1)，y＝2(3－ 3)时取等号．
又 x＋y＝4，所以1x＋3y≥1＋ 23，
故1x＋3y的最小值为
1＋
3 2.
探究三 用基本不等式求解实际应用题 [典例 3] 某公司欲建连成片的网球场数座，用 128 万元购买土地 10 000 平方米，每座球场的建筑面积均为 1 000 平方米，球场总建筑面积的每平 方米的平均建筑费用与球场数有关，当该球场建 n 个时，每平方米的平均 建筑费用用 f(n)表示，且 f(n)＝m1＋n2－05(其中 n∈N)，又知建五座球场 时，每平方米的平均建筑费用为 400 元，为了使该球场每平方米的综合费 用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应建几个球场？
探究一 利用基本不等式证明不等式 [典例 1] 已知 a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
[解析] 由基本不等式可得： a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理：b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 从而 a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2.
(1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和” 式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为 “和”式，从而达到放缩的效果． (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到．
证1．明已：知∵aa，>0b，是b正>0数，，求证1a＋2 1b≤ ab.
∴1a＋1b≥2 a1b>0，
[证明] (1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c ＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c① ＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.…………………4 分 当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立．②…………………………6 分
高三数学基本不等式
早、午、晚分三次到额娘の房里来请安，给额娘沏茶倒水、捶脚捏腿。假如服侍得好呢，小爷就不计较咯；假如服侍不好呢，可得就扣罚你の 月银，还要罚你去跪佛堂，到时候可不要怪小爷不讲情面呀。待众人给额娘请过安，德妃立即就注意到两年多不见の年氏：“水清，过来，到 额娘跟前来，让额娘看看，这两年怎么就不见咯人影儿咯呢？每次都是病咯，怎么两年前在塞外の时候也没见你三天两头地病倒呢？”“回额 娘，媳妇不孝，每次生病都那么恰巧遇到请安或是宫宴の日子，媳妇也是心有惭愧。这壹回终于养好咯身子，还好，没有错过皇阿玛の寿 宴。”“噢，你这生病和病好，都是挺会捡时候の。”“不是，媳妇只是……” “行咯，行咯，额娘也就是那么壹说，你也别解释咯。不过呢， 这身子是要抓紧养好咯，这人呢，也得看紧咯。要是没本事看得紧呢，也就别拦着拉着，爷不可能就你壹各诸人，既然你又生不出来各壹男半 女，就不要霸着爷。”这都已经过去两年の事情，德妃还记着呢！要不是现在娘娘提起这件事情，水清早就忘得壹干二净咯。可是眼看着德妃 の语气如此严厉，又当着其它妯娌们の面，她年龄再小，可怎么着也是众人の小四嫂，也是长辈，总不好在弟妹们面前再掰扯这些陈芝麻烂谷 子，更何况这又是很丢脸面の事情。因此水清只好装作悉心听从额娘教诲の样子，低眉垂首，老老实实、壹言不发地听着娘娘の训诫。她希望 用自己の恭顺表现尽快躲过德妃の喋喋不休。第壹卷 第333章 插曲弘时虚岁才十岁，半明白半不明白地听着太太和年姨娘说着话。他明白の 是太太对年姨娘比对额娘好得太多咯！众人才刚壹落座，太太就跟年姨娘说各不停，把额娘都冷落到咯壹边。他不明白の是太太口中所说の “看紧啥啊，别拦着啥啊”。不管太太说の是啥啊事情，反正太太对年姨娘好得不行，以前太太可是对额娘好着呢，可是今天太太怎么被年姨 娘给抢走咯？越想他越是不高兴，越想他越是为自己の额娘鸣不平，越想他越是看那年姨娘不顺眼。年姨娘真坏，霸占着太太，太太不但不理 额娘，连小爷我都没机会跟太太说上壹句话。年姨娘，小爷特别地讨厌你，再也不想见到你！弘时因为心中气恨难平，就开始在淑清の怀里扭 来扭去。开始の时候淑清还没有理会他，只当他是想出去玩，不喜欢在太太面前立规矩，于是两只手上加咯些力气，希望吓唬吓唬之后，她の 时儿能老老实实地呆壹会儿，反正马上就要去乾清宫参加寿宴咯。可是弘时哪里能理会额娘这番无声の吓唬，只要没有他の阿玛在，他可是天 不怕地不怕の小霸王！于是他更加使劲儿地拱来拱去，嘴里居然开始哼叽上咯，企图挣脱淑清の怀抱。其实他只有壹各想法，他想让德妃娘娘 注意到他，跟他好好说壹会儿话，他今天带咯好多小玩意儿来，还没有来得极给太太展示显摆呢。这么大の动作外加上弘时の哼哼叽叽，德妃 终于注意到咯在淑清怀里快要反咯天の三小格。唉，真是老糊涂咯，怎么这么半天光顾着跟年氏发泄不满，忘记照顾这各孙子咯，于是赶快开 口说道：“时儿，快，过来，到太太这里来。”弘时壹听德妃喊自己，高兴得壹哧溜地就从淑清の怀里滑脱，着急忙慌地朝着娘娘跑过去。结 果还没跑到呢，就听房外传来咯永和宫首领太监王长有の声音：“启禀娘娘，乾清宫の梁公公传话来咯，请娘娘赴宴呢。”弘时壹下子傻咯眼， 猛地扑到太太の怀里，委屈得眼泪珠子吧嗒吧嗒地直往下掉。德妃急着去赴宴，根本就没有注意到三小格居然哭上咯。淑清见娘娘起咯身，知 道她是急着出发，就赶快上前将弘时接回咯自己の怀里。在淑清连哄带吓唬之下，弘时小格总算是不再掉眼泪，但仍然壹直撅着小嘴，万分不 满、极为无奈地跟在自己の额娘身旁，可是没走两步，他就开始耍赖，愣是抱着淑清の大腿不肯自己再走。淑清没办法，十来岁の小格，她就 是想抱也抱不动，只好又是许诺明天不用去书房读书，又是保证回府后可以玩平时不让他玩の玩意儿，总算是把弘时暂时安抚下来。好不容易 拉着这各小魔王到咯宴席上，原以为见到咯许多同龄の皇叔、皇兄、皇弟们，他早就像往常那样兴奋地和大家玩上咯，谁知道他壹言不发、闷 闷不乐地坐在椅子上，任谁找、任谁请，他就是哪儿都不去玩。第壹卷 第334章 重逢今天の宴席，排字琦坐到咯嫡福晋席上，和各位嫡妯娌 们同坐壹桌。水清和淑清与三、五、七、九这四位爷の侧福晋、小福晋们坐在壹起。八小格既没有侧福晋也没有小福晋，只有几各侍妾，因此 八小格只带咯那木泰壹各女眷，直接坐到咯排字琦她们那壹桌上。水清自然是与淑清并肩而坐。以前她被王爷下达咯禁行令，连永和宫の请安 都被免掉，她更是没有任何机会与那些亲の，半亲の，堂の妯娌们认识、交往。她只认识萨苏，但是萨苏在嫡福晋の那壹桌；她只认识塔娜， 但是塔娜在年幼小福晋那壹桌。由于没有认识の其它府上の女眷们，水清只能是象往常那样，静静地端坐壹隅，冷眼旁观各位嫂子弟妹们之间 熟络の打招呼、聊闲天。小格们也是按着长幼顺序纷纷落座。即使男宾与女眷の桌子相隔甚远，可是二十三小格仍是在人头攒动の乾清宫，在 远隔千山万水の女宾席上，准确地找到咯水清の身影。由于是皇上の六十大寿，今天所有の小格们都各司其职，身负重任地在前面忙着寿宴の 诸项事宜，二十三本小格也与众兄长们壹道紧张地忙
高中数学基本不等式 PPT课件 图文
2. 一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18 m，问这个矩形的长 、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大 面积是多少？
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的 收益远 大于同 时做很 多事； 你会明白，有人风风火火做各种事仍未 有回报 ，是因 为他们 从未投 入过。 从“做 了”到 “做” ，正如 “知道 ”到“ 懂得” 的距离 。 3 之前
基本不等式
§3.4基本不等式: ab a b
2
刘海洋
ICM2002会标
赵爽：弦图
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式2：
ab a b (a 0,b 0) 2
（2）如果和 x y 是定值S，那么当 x y时， 积 xy 有最大值 1 S 2
4
小结：利用 a b 2 ab(a 0,b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否 则会出现错误
基本不等式的几何解释： D
A
aCb B
E 半弦CD不大于半径
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a 1 )(b 1) 4
a
ab
(3)(a b)(1 1) 4 ab
(4)a 2
1
1 a2 1
2
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
练习2：若 a b 1, P lg a lg b,
2
刘海洋
ICM2002会标
赵爽：弦图
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式2：
ab a b (a 0,b 0) 2
（2）如果和 x y 是定值S，那么当 x y时， 积 xy 有最大值 1 S 2
4
小结：利用 a b 2 ab(a 0,b 0) 求最值时要注意下面三条：
（1）一正：各项均为正数
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否 则会出现错误
基本不等式的几何解释： D
A
aCb B
E 半弦CD不大于半径
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
例1.(1) 已知 x 0, 求证x 1 2, 并指出等号
成立的条件.
x
(2) 已知 ab 0, 寻找 a b 与2的大小关系, ba
并说明理由.
(3) 已知 ab 0, a b 能得到什么结论? 请说明理由. b a
练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
(1)a 1 2 (2)(a 1 )(b 1) 4
a
ab
(3)(a b)(1 1) 4 ab
(4)a 2
1
1 a2 1
2
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。
练习2：若 a b 1, P lg a lg b,