高等数学基础课课件第2讲_函数极限
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函数极限教学课件
利用函数极限解决实际问题
总结词
利用函数极限解决实际问题是一种实用的方法，通过将实际问题转化为数学模型，利用 函数极限进行分析和求解。
详细描述
在解决实际问题时，我们可以将问题转化为数学模型，然后利用函数极限进行分析和求 解。这种方法可以帮助我们更好地理解问题的本质，并且可以提供更加精确和可靠的解 决方案。例如，在经济学、物理学和社会科学等领域中，可以利用函数极限解决一些实
极限存在准则
04
无穷小与无穷大
学生常见问题解答
问题
如何判断一个函数在某点的极限是否存在？
问题
如何求函数的极限？
解答
可以通过定义法、四则运算法或存在准则来判断 。如果函数在某点的左右极限相等，则该点处的 极限存在；如果函数在某点的左右极限不相等， 则该点处的极限不存在。
解答
可以通过直接代入法、四则运算法、无穷小代换 法、洛必达法则等方法来求函数的极限。具体方 法应根据不同情况进行选择。
lim (x→x₀) f(x) = L 表示当 x 趋近于 x₀ 时，f(x) 趋近于 L。
函数极限的性质
唯一性
一个函数的极限值是唯 一的。
有界性
有界函数的极限值必定 在函数的定义域内。
局部有界性
在某点的邻域内有界， 则该点的极限存在。
局部保号性
在某点的邻域内函数值 的符号保持不变，则该
点的极限存在。
下一步学习建议
01
02
03
04
学习下一章：连续函数 与间断点
掌握连续函数的定义、 性质和判断方法
学习间断点的分类和判 断方法
理解函数在间断点处的 极限和连续性的关系
THANKS
感谢观看
利用函数极限求函数的值
函数的极限(高等数学课件
极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有 歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函 数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化 和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近 线三种。
函数的极限(高等数学课 件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世 界的大门。
高等数学 函数的极限课件
函数极限的定义可以用数学符号表示为：lim f(x) = A，表示当x趋近 于某个值时，f(x)趋近于A。
函数极限的性质
01
唯一性
函数的极限是唯一的，即如果 lim f(x) = A和lim f(x) = B，则
A = B。
02
有界性
函数的极限是有界的，即存在 一个正数M，使得当x在某点附 近时，f(x)的绝对值小于M。
高等数学 函数的极限课件
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的运算性质 • 无穷小与无穷大 • 函数的连续性 • 极限的应用
01
函数极限的基本概念
函数极限的定义
01
02
函数极限的定义是高等数学中的基本概念，它描述了函数在某一点的 变化趋势。具体来说，如果当自变量趋近于某一值时，函数值无限接 近于一个确定的数，则称该数为函数的极限。
求复合函数极限的方法
通过将复合函数分解为基本初等函数或已知极限的函数，利用极限的四则运算性质和已知极限，求得 复合函数的极限。
反函数的极限
反函数极限的定义
设函数y=f(x)在点x0有定义且f'(x0)=1，其反函数为x=g[f(x)]，如果lim(y→y0) x=lim(y→y0) g[f(x)]，则称反函 数在点y0处存在极限。
03
局部保号性
如果lim f(x) = A且A > 0，则 在某点附近存在一个正数δ， 使得当x满足一定条件时，f(x)
> 0。
函数极限的存在性定理
函数极限的存在性定理是高等数学中一个重要的定理，它给出了函数极限存在的 充分条件。根据这个定理，如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函数在该 点有极限。
连续性的几何意义
高等数学 函数的极限课件
无穷小的运算性质
加法性质
两个无穷小的和仍然是无穷小 。
乘法性质
两个无穷小的乘积仍然是无穷 小。
幂运算性质
无穷小的幂仍然是无穷小，但 需要注意其阶数变化。
复合函数的无穷小
复合函数的无穷小可以通过链 式法则进行计算。
THANKS
感谢观看
函数极限的运算性质
和差运算性质
如果$lim_{xto x_0} f(x)=A$且 $lim_{xto x_0} g(x)=B$，则 $lim_{xto x_0} [f(x)+g(x)]=A+B$。
乘积运算性质
如果$lim_{xto x_0} f(x)=A$且 $lim_{xto x_0} g(x)=B$，则 $lim_{xto x_0} [f(x)cdot g(x)]=Acdot B$。
利用函数极限求某些函数的值
求定积分
通过计算被积函数的上下限在积分区 间的极限，可以求得定积分的值。
求数列的通项公式
通过求解数列的递推公式的极限，可 以求得数列的通项公式。
利用函数极限研究函数的性质
函数的连续性
通过计算函数在某点的极限，可以判断函数在该点是否连续。
函数的可导性
通过计算函数的导数在某点的极限，可以判断函数在该点是否可导。
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) + g(x)] = A + B 。
若lim(x→x0) f(x) = A 和 lim(x→x0) g(x) = B，则 lim(x→x0) [f(x) × g(x)] = A × B 。
函数极限的直观定义
如果当$x$趋近于$x_0$时，函数$f(x)$的取值逐渐 接近某个确定的数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在 $xto x_0$时的极限。
函数的极限(二)PPT课件
复习引入
1 ．当自变量 x 取正值并且无限增大时，如果函数 f(x) 无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时， 函数f(x)的极限是a，记作 。 2．当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时， 函数f(x)的极限是a，记作 。 3．如果 且 ，就说当x趋向于无穷 大时，函数f(x)的极限是a，记作： 。 4．常数函数f（x）=c(c∈R)有 。
2.研讨当x无限趋近于1（但不等于1）时，函数 的变化趋势 （1）图象 y=x+1 (x∈R,x≠1)
y
2 1 -1 0 1 x
(2)结论：自变量x从x轴上点x=1的左右两边无限趋近 于1，函数 的值无限趋近于2.
3．研讨当x无限趋近于0时分段函数 变化趋势？
(1)图象
的
(2) 结论： x从0的左边无限趋近于0时，y值无限趋近于-1 x从0的右边无限趋近于0时，y值无限趋近于1
(二)函数在一点处的极限与左、右极限 1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0 时，函数f(x)的极限是a，记作 或当x→x0时 f(x)→a。 2．当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时， 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x) 在点x0处的左极限，记作 。 3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0 时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x) 在点x0处的右极限，记作 。 4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有 .
注意： （1） 中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即x≠x0， 所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近的函数 值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关（x0可以 不属于f(x)的定义域） （2） 而 极限，
1 ．当自变量 x 取正值并且无限增大时，如果函数 f(x) 无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于正无穷大时， 函数f(x)的极限是a，记作 。 2．当自变量x取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋向于负无穷大时， 函数f(x)的极限是a，记作 。 3．如果 且 ，就说当x趋向于无穷 大时，函数f(x)的极限是a，记作： 。 4．常数函数f（x）=c(c∈R)有 。
2.研讨当x无限趋近于1（但不等于1）时，函数 的变化趋势 （1）图象 y=x+1 (x∈R,x≠1)
y
2 1 -1 0 1 x
(2)结论：自变量x从x轴上点x=1的左右两边无限趋近 于1，函数 的值无限趋近于2.
3．研讨当x无限趋近于0时分段函数 变化趋势？
(1)图象
的
(2) 结论： x从0的左边无限趋近于0时，y值无限趋近于-1 x从0的右边无限趋近于0时，y值无限趋近于1
(二)函数在一点处的极限与左、右极限 1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0 时，函数f(x)的极限是a，记作 或当x→x0时 f(x)→a。 2．当x从点x0左侧（即x﹤x0）无限趋近于x0时， 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说a是函数f(x) 在点x0处的左极限，记作 。 3．如果当x从点x0右侧（即x﹥x0）无限趋近于x0 时，函数f(x)无限趋近于常数a，就说a是函数f(x) 在点x0处的右极限，记作 。 4．常数函数f(x)=c在点x=x0处的极限有 .
注意： （1） 中x无限趋近于x0，但不包含x=x0即x≠x0， 所以函数f(x)的极限是a仅与函数f(x)在点x0附近的函数 值的变化有关，而与函数f(x)在点x0的值无关（x0可以 不属于f(x)的定义域） （2） 而 极限，
高等数学-函数的极限PPT课件
则A是 f (x)当 x 的极限. 记为： lim f ( x) A. x
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
从定义中得到： x X 包含了 x X 和x X .
所以： x 包含了 x 和 x . 于是有
定理：lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
则有：lim(2 1 ) 2, limarctan x 不存在.
x
x
x
.
7
注意: 证明极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找X.
求X的方法： 由 f (x) A 解出x
几何解释:
Aε f (x) Aε
AA
X
A X
或者记为：当 x 时，f ( x) A.
则有：lim (2 1 ) 2, limarctan x π
x
x
x
2
对于 y 2 1 ，lim (2 1 ) 2,lim (2 1 ) 2,那么 lim(2 1 ) ？
x x
x
x
或者从x0的两边同时接近于x0.
.
12
函数极限的几何意义
lim f ( x) A 0, 0, 使得当
xБайду номын сангаас x0
0 x x0 时， 恒有 f ( x) A 成立.
0
当 x U ( x0 ) 时，
函数f(x)的图形完全
y
y f (x)
落在以直线y=A为中
定义：如果 0, X 0, 使当 x X 时，恒有 f (x) A ，
函数的极限-PPT课件
lim重要结论1常数c的极限等于limbnbn1010010001000010000001001000100001000001当自变量x取正值并无限增大时即x趋向于正无穷大时函数y的值无限趋近于0即yo可以变得任意同样地当自变量x取负值并且它的绝对值无限增大时即x趋向于负无穷大时函数y的值也无限趋近于0定义1
❖同样地,当自变量x取负值并且它的绝对值无限 增大时<即x趋向于负无穷大时>,函数y的值也无 限趋近于0,
定义<1>:
一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数f<x> 的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷
大时,函数f<x>的极限是a,记着: lim f (x) a x
定义<2>:
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f<x>的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向 于负无穷大时,函数f<x>的极限是a,记着:
lim f (x) a
xx0
lim f ( x ) 也叫做函数f<x>在点x=x0处的极限
x x0
x无限趋近于常数x0,是指x从x0的左、右两边趋近于x0
❖一般地,设C为常数,则
由例2及
lim x2 1 2 x1 x 1
lim C C
x x0
,
你能总结出一般性结论吗？
本节课主要学 习了哪些问题？
定义<2>: lim f (x) a x
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f<x>的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向 于负无穷大时,函数f<x>的极限是a,记着:
定义<3> lim f (x) a x
❖同样地,当自变量x取负值并且它的绝对值无限 增大时<即x趋向于负无穷大时>,函数y的值也无 限趋近于0,
定义<1>:
一般地,当自变量x取正值并无限增大时,函数f<x> 的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于正无穷
大时,函数f<x>的极限是a,记着: lim f (x) a x
定义<2>:
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f<x>的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向 于负无穷大时,函数f<x>的极限是a,记着:
lim f (x) a
xx0
lim f ( x ) 也叫做函数f<x>在点x=x0处的极限
x x0
x无限趋近于常数x0,是指x从x0的左、右两边趋近于x0
❖一般地,设C为常数,则
由例2及
lim x2 1 2 x1 x 1
lim C C
x x0
,
你能总结出一般性结论吗？
本节课主要学 习了哪些问题？
定义<2>: lim f (x) a x
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f<x>的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋向 于负无穷大时,函数f<x>的极限是a,记着:
定义<3> lim f (x) a x
函数极限PPT课件
有|f(x)-A|<e
例例33 证 明 lim (2x -1) 1 x1
证明 因为e 0 de /2 当0|x-1|d 时 有
|f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|e
所 以 lim (2x -1) 1 x1
分析 |f(x)-A||(2x-1)-1|2|x-1|
e >0 要使|f(x)-A|<e 只要|x-1|<e /2
证明 因为e 0 d e 当0|x-x0|d 时 有
|f(x)-A||x-x0|e
所以
lim
x x0
x
x0
分析
|f(x)-A||x-x0|
e >0 要使|f(x)-A|e 只要|x-x0|e
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铃
lim
x x0
f(x)A或fe(>x)0 Ad(>x0 当x0)。0<|x-x0|<d
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铃
lim
x x0
f(x)A或fe(>x)0 Ad(>x0 当x0)。0<|x-x0|<d
有|f(x)-A|<e
例6 当x 0时，lim x2 4. x2
证明 因为 x2 - 4 x - 2 x + 2.
令 x - 2 1,则有3 x + 2 5,
所以 x2 - 4 x - 2 x + 2 5 x - 2。
y=f(x)
A+e
A
A-e
x0-d x0 x0+d
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许多物理、几何量需要用极限来求 2015-1-31
2
一、函数的极限
函数极限问题是研究当自变量
x 趋向于 x0
或趋向于无穷大时，函数 f ( x ) 的变化趋势
(一)自变量的变化（ 两种基本变化趋势） 趋向于一点 x x
x x0 ， x x0 ， x x0
O
x0
x
趋向于无穷
2015-1-31 5
[例2]
1 x sin , x 0 f ( x) x 1 , x0
lim f ( x ) 0
x 0
2015-1-31
6
定义2： （左、右极限）
（ 1 ）若 f ( x )在（x0 , x0 )内有定义. 当 x x 时, f ( x )无限趋于确定值A , 则称A 是f ( x )在x0处的左极限, 记作 lim f(x) A
x x0
x
即存在 即存在 M M 0和 0 和 0 N , 使当 0, 使当 0 xx x0 N 时 ,时, 就有 f( xM ) 就有 f ( x) . M.
2015-1-31 12
性质3:（保号性） 设 lim f ( x ) A 存在
(1) 如果A 0, 则 0, 使当 0 x x0 时, 就有f ( x ) 0. ( 2) 如果 0, 使当0 x x0 时,
第二讲
函数极限
一、函数极限
二、函数极限的性质 三、函数极限的运算法则
四、两个重要极限
五、无穷小量与无穷大量
2015-1-31 1
极限的重要性 （1） 极限是一种思想方法
从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续
（2）极限是一种概念
微积分中许多概念是用极限定义的
（3） 极限是一种计算方法
2015-1-31
或 f ( x ) A ( x x0 )
4
x x0
lim f ( x ) A
[注意]
考虑空心邻域，是什麽意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数 在该点处是否有定义，定义的值是什麽， 但是，在附近必须要有定义。
x 1 ? [例1] l i m 2 x 1 x 1 x 1 1 1 lim 2 lim x 1 x 1 x 1 x 1 2
2015-1-31
x x0
11
二、函数极限的性质 性质1:（唯一性） 函数极限如果存在，则一定是唯一的. 性质2:（有界性）
函数极限如果存在，则函数一定有界.
1 ,,则 当 ,, ff (x )有界 .. 设 lim lim ff((x x))存在 存在 则 当x x x时 (x )有界 y 0时
x
类似的可定义
或
2015-1-31
x
lim f ( x ) A
9
lim f ( x ) A
x
例如
1 f ( x ) arctan x
1.5 1 0.5
x
lim f ( x ) 0 lim f ( x ) 0
-20 -10
x
10 -0.5
lim f ( x ) 0
x x0
性质4
有 f ( x ) 0, 则有 A 0.
x x0
lim f ( x ) 存在的充分必要条件是
x x0
13
2015-1-31
x x0
lim f ( x ) 与 lim f ( x ) 都存在且相等.
三、极限的运算法则 （一）四则运算定理 设 l i m f ( x ) A, l i m g ( x ) B , 则有
2015-1-31
x ， x ， x
3
（二）函数极限的定义 1. 函数在一点的极限 定义1： 设函数 f ( x )在点 x0的某空心邻域
有定义. 如果当“无限趋于” x x0时，其对 应的函数值f ( x“无限趋于”一个确 ) 定 的常数A，则称A是当 x 趋于x0 时 ,函数 f ( x )的极限 , 记作
1.5 1 0.5 -20 -10 10 20 -0.5
-1
-1.5
2. 函数在无穷远的极限 定义3： 设函数 f ( x )在区间( a , )有定义
若x无限变大时，f ( x )无限趋于某一 常数，则称当x 时, f ( x )有极限A， 记作 lim f ( x ) A
x x
(1) l i m[c f ( x )] c A
x
( 2) l i m[ f ( x ) g ( x )] A B
x x
( 3) l i m[ f ( x ) g ( x )] A B f ( x) A ( 4) l i m x g ( x ) B ( g ( x ) 0, B 0 )
x
2015-1-31
-1 -1.5
10
3. 函数极限的精确定义
定义
定义4：设函数 f ( x )在点 x0的某空心邻域 有定义. 如果 A R, 0, 0,
使得所有满足不等式0 x x0 的 动点 x , 都有 f ( x) A 则称当x x0 时, f ( x )有极限A , 或称当x x0 时, f ( x )趋向于A. 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A ( x x0 )
x x0
0
（ 2 ）若 f ( x )在（x0 , x0 )内有定义. 当 x x 时, f ( x )无限趋于确定值A , 则称A
0
f(x) A 是f ( x )在x0处的右极限, 记作 lim
x Hale Waihona Puke x02015-1-31 7
问题：
一点极限与单侧极限有什麽关系？ 1 [例] 设 y arctan ，研究 x 0 的情况 x 1 lim arctan x 0 x 2 1 lim arctan 观察图形 x 0 x 2 1 1 lim arctan lim arctan x 0 x x 0 x 1 lim arctan 不存在！ x 0 x 2015-1-31 8
2
一、函数的极限
函数极限问题是研究当自变量
x 趋向于 x0
或趋向于无穷大时，函数 f ( x ) 的变化趋势
(一)自变量的变化（ 两种基本变化趋势） 趋向于一点 x x
x x0 ， x x0 ， x x0
O
x0
x
趋向于无穷
2015-1-31 5
[例2]
1 x sin , x 0 f ( x) x 1 , x0
lim f ( x ) 0
x 0
2015-1-31
6
定义2： （左、右极限）
（ 1 ）若 f ( x )在（x0 , x0 )内有定义. 当 x x 时, f ( x )无限趋于确定值A , 则称A 是f ( x )在x0处的左极限, 记作 lim f(x) A
x x0
x
即存在 即存在 M M 0和 0 和 0 N , 使当 0, 使当 0 xx x0 N 时 ,时, 就有 f( xM ) 就有 f ( x) . M.
2015-1-31 12
性质3:（保号性） 设 lim f ( x ) A 存在
(1) 如果A 0, 则 0, 使当 0 x x0 时, 就有f ( x ) 0. ( 2) 如果 0, 使当0 x x0 时,
第二讲
函数极限
一、函数极限
二、函数极限的性质 三、函数极限的运算法则
四、两个重要极限
五、无穷小量与无穷大量
2015-1-31 1
极限的重要性 （1） 极限是一种思想方法
从认识有限到把握无限 从了解离散到理解连续
（2）极限是一种概念
微积分中许多概念是用极限定义的
（3） 极限是一种计算方法
2015-1-31
或 f ( x ) A ( x x0 )
4
x x0
lim f ( x ) A
[注意]
考虑空心邻域，是什麽意思？ 考虑函数在一点的极限时，不考虑函数 在该点处是否有定义，定义的值是什麽， 但是，在附近必须要有定义。
x 1 ? [例1] l i m 2 x 1 x 1 x 1 1 1 lim 2 lim x 1 x 1 x 1 x 1 2
2015-1-31
x x0
11
二、函数极限的性质 性质1:（唯一性） 函数极限如果存在，则一定是唯一的. 性质2:（有界性）
函数极限如果存在，则函数一定有界.
1 ,,则 当 ,, ff (x )有界 .. 设 lim lim ff((x x))存在 存在 则 当x x x时 (x )有界 y 0时
x
类似的可定义
或
2015-1-31
x
lim f ( x ) A
9
lim f ( x ) A
x
例如
1 f ( x ) arctan x
1.5 1 0.5
x
lim f ( x ) 0 lim f ( x ) 0
-20 -10
x
10 -0.5
lim f ( x ) 0
x x0
性质4
有 f ( x ) 0, 则有 A 0.
x x0
lim f ( x ) 存在的充分必要条件是
x x0
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x x0
lim f ( x ) 与 lim f ( x ) 都存在且相等.
三、极限的运算法则 （一）四则运算定理 设 l i m f ( x ) A, l i m g ( x ) B , 则有
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x ， x ， x
3
（二）函数极限的定义 1. 函数在一点的极限 定义1： 设函数 f ( x )在点 x0的某空心邻域
有定义. 如果当“无限趋于” x x0时，其对 应的函数值f ( x“无限趋于”一个确 ) 定 的常数A，则称A是当 x 趋于x0 时 ,函数 f ( x )的极限 , 记作
1.5 1 0.5 -20 -10 10 20 -0.5
-1
-1.5
2. 函数在无穷远的极限 定义3： 设函数 f ( x )在区间( a , )有定义
若x无限变大时，f ( x )无限趋于某一 常数，则称当x 时, f ( x )有极限A， 记作 lim f ( x ) A
x x
(1) l i m[c f ( x )] c A
x
( 2) l i m[ f ( x ) g ( x )] A B
x x
( 3) l i m[ f ( x ) g ( x )] A B f ( x) A ( 4) l i m x g ( x ) B ( g ( x ) 0, B 0 )
x
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-1 -1.5
10
3. 函数极限的精确定义
定义
定义4：设函数 f ( x )在点 x0的某空心邻域 有定义. 如果 A R, 0, 0,
使得所有满足不等式0 x x0 的 动点 x , 都有 f ( x) A 则称当x x0 时, f ( x )有极限A , 或称当x x0 时, f ( x )趋向于A. 记作 lim f ( x ) A 或 f ( x ) A ( x x0 )
x x0
0
（ 2 ）若 f ( x )在（x0 , x0 )内有定义. 当 x x 时, f ( x )无限趋于确定值A , 则称A
0
f(x) A 是f ( x )在x0处的右极限, 记作 lim
x Hale Waihona Puke x02015-1-31 7
问题：
一点极限与单侧极限有什麽关系？ 1 [例] 设 y arctan ，研究 x 0 的情况 x 1 lim arctan x 0 x 2 1 lim arctan 观察图形 x 0 x 2 1 1 lim arctan lim arctan x 0 x x 0 x 1 lim arctan 不存在！ x 0 x 2015-1-31 8