选修4-4第一讲-6极坐标综合训练

3.极坐标方程的应用及求法.
4
y ，如点M的直角坐标为 x
(1)合理建立极坐标系，使所求曲线方 程简单. (2)巧妙利用直角坐标系与极坐标系中 坐标之间的互化公式，把问题转化为熟悉 的知识解决问题.
8.极坐标方程为ρ=2cosθ的圆的半径是 1
.
9.极坐标方程分别是 ρ=cosθ和ρ=sinθ的 两个圆的圆心距是 2 .
2
ρ=cosθ 是 圆 心 为 (
为
1 2
1 2 1 2
,0) ， 半 径 为
的圆;ρ=sinθ是圆心为（
,
2
2 2
1 2
）,半径Байду номын сангаас
.
的圆，故两圆的圆心距为
四、典例精讲 典例精讲
题型二 直角坐标方程与极坐标方程的互化 例：化下列直角坐标方程为极坐标方程： (1)x2+y2-2ax=0; (2)x+y=0; (3)x2-y2=2x.
解：
(1)将ρ2=x2+y2,x=ρcosθ代入，
得ρ2-2ρacosθ=0,即ρ=2acosθ或ρ=0. 而ρ=0恒表示极点，曲线ρ=2acosθ过极点, 故所求极坐标方程为ρ=2acosθ. (2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入, 得ρcosθ+ρsinθ=0,即ρ=0或tanθ=-1.
1 2
，-
1 2
)为圆心,
2 2
为半径的圆.
(2)(方法一)由sin(θ+
)=
4

得ρsinθ+ρcosθ=1，
2 2
，
将ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入得x+y-1=0.
| 0 0 1| 由点到直线的距离公式得 = 2
2 2
.
（方法二）将方程化为ρ= 由于|sin(θ+

4
2 2 sin(
则其直角坐标方程为
ρsin(θ+ )= 4
2 2
.轨迹为
;
(2)已知直线的极坐标方程为 ,则极点到该直线的距离 是
.
解：(1)由ρ=cosθ-sinθ，两边同乘以ρ，
得ρ2=ρcosθ-ρsinθ，
将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
代入得x2+y2-x+y=0.
又极点在曲线ρ=cosθ-sinθ上， 故所求为x2+y2-x+y=0， 其轨迹为以(
变式 已知曲线C1与C2的极坐标方程
分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ(ρ≥0,
点的极坐标为 (2 3 ， ). 6 0≤θ≤ 2
)，则曲丝C1与C2的交
联立方程组 ρ=2
ρcosθ=3
ρ=4cosθ
(ρ≥0,0≤θ<
), 2
3 ,即两曲线的交点为(2 3 ， ). 解得 6 θ=
5. 圆的极坐标方程(a>0)
(1)圆心在极点,半径为a ：
a
(2)圆心在(a,0),半径为a： (3)圆心在(a,
2a cos ∏),半径为a： 2a cos
(4)圆心在（a， ），半径为a: 2 (5)圆心在( 0 , 0 ),半径为r：
2 2
2a sin
(2)垂直于极轴和极点间的距离为a： cos a
(3)平行于极轴和极轴间的距离为a： sin a (4)过点(a,0)且与极轴成α角: sin( ) a sin
(5)过点( 1 ,1 )且与极轴成 角： sin( ) 1 sin( 1 )
(ⅲ)长度单位相同.极坐标和直角坐标 的互化中，需注意等价性，特别是两 边同乘以ρ时，要判断它是否是方程的 解，若不是要去掉该解.
(2)由极坐标方程给出的问题，若不 好处理，就直角坐标化；由直角坐标 方程给出的问题，若用极坐标方法处 理较为简便，就极坐标化.
(3)慎用tanθ= (-1,1),化为极坐标时，由tanθ=-1不能确定θ 的取值，必须结合（-1,1) 所表示的点所在 象限的情况确定其极坐标为(2, ). 3
2cos cos 2
.
点评：（1）注意极坐标与直角坐标的互化需 满足三个条件：①原点与极点重合；② x 轴正 半轴与极轴重合；③长度单位相同.
(2)注意极坐标与直角坐标互化中的等价性， 特别是两边同乘以ρ时，要注意ρ=0是否是方 程的解，若不是，要去掉该解.
练习：(1)曲线的极坐标方程为ρ=cosθ-sinθ,
变式
点A（5， 3
）在条件：
(1)ρ>0,θ∈(-2π,0)下的极坐标
(5,- 5 )
3
;
10 ) (2)ρ<0,θ∈(2π,4π)下的极坐标是 (-5, . 3 (1)当ρ＞0时，点A（5， )的极坐标的一 3
般形式为(5,
由-2π＜θ＜0,得-2π＜ +2kπ＜0(k∈Z),
二．基础知识归纳总结
M
1、极坐标系：
M的极坐标（，）
O

X
2.极坐标与直角坐标的互化关系式:
x cos y sin
2 x 2 y 2 y tan ( x 0) x
3.怎样求曲线的极坐标方程？ 找出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系， 然后列出方程(,)=0 4.直线的极坐标方程 (1)过极点,并且与极轴成α角：
故轨迹是以(1.5,0)为圆心，1.5为半径的圆.
点评求动点的极坐标轨迹方程的步
骤与在直角坐标系中求轨迹方程类似， 且关键是从几何的角度获得动点 P(ρ,θ)的关系式.
变式 已知在△ ABC 中， AB=6，
AC=4，当∠ A 变化时，求∠ A 的平分线与 BC 的中垂线的交 点P的轨迹.
取 A 为极点， AB 所在射线为极轴， 建立极坐标系. 因为AP平分∠BAC，MP为BC的中垂线，
3 5 解得k=-1,所以θ= -2π=3 3
3
+2kπ)(k∈Z).
, ).
3
所以满足条件的点A的极坐标为(5,- 5
（2）当ρ＜0时，点A（5， )的极坐标的一般 3 形式是(-5， +(2k+1)π)(k∈Z). 3
由2π＜θ＜4π,
得2π＜ +(2k+1)π＜4π, 解得k=1, 3 10 所以θ= +3π= , 3 3 10 故满足条件的点A的极坐标为(-5, ). 3
由tanθ=-1,得θ＝
而ρ＝0表示极点,直线θ=
3 4
.
3 4
故所求极坐标方程为θ=
3 4
(ρ∈R)过极点,
(ρ∈R).
(3)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入， 得 ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=2ρcosθ, 即 ρ=0 或
ρ=
2cos 而ρ=0表示极点,ρ= 过极点， cos 2 2cos 故所求极坐标方程为ρ= . cos 2
当规定ρ＞0,0≤θ＜2π以后，平面内的点 （除极点外）与有序数对就可以一一对应 了. 2.极坐标与直角坐标的互化注意事项. (1)极坐标和直角坐标的互化公式是 ρ2=x2+y2 y 或 y=ρsinθ tanθ= (x≠0).这两组公式 x 必须满足下面的“三个条件”才能使用： (ⅰ)原点与极点重合；(ⅱ)x轴正半轴与极 轴重合； x=ρcosθ

, 2 sin
x 化成直角坐标方程为____.
2
4 sin
2
y 4y 0
5.已知点 M(ρ,θ)，则M 点关于极点对称的点 N的极坐标是( A ) A.(ρ,π+θ) B.(ρ,-θ) C.(ρ,π-θ) D.(ρ,2π-θ) 6.已知点 M 的直角坐标为(2,-2)，则其极 坐标是( B ) ) A.(2 2 , ) B.(2 2 ,C.(2 2 ,
题型一 点的极坐标表示
例：点P （系是
1 2 4 , ）与曲线C:ρ=sin 3 2
的关
.
1 4 1 因为点P(- , )与点P′( , )是同一点, 2 3 2 3 1 点A(ρ，θ)（ρ>0），则点A的极 3 =sin 且sin 点评 6 = 2 , 2 坐标的一般形式为 A(ρ,θ+2kπ)或 (-ρ， 所以点P′在曲线C:ρ=sin 上， 2 θ+(2k+1)π)(k∈Z). 故点P(－ 1 , 4 )在曲线C:ρ=sin 上. 2 2 3
2
0 2 0 cos( 0 ) r
三．基础训练
3 1. 在极坐标系中，已知点 A(1, ), B(2, ), 求 | AB | 4 4
5
2.在极坐标系中，过点（1，0），并且和极 轴垂直的直线的极坐标方程是 cos 1
3.在极坐标系中，圆心在点 A(1, 2 ) 半径为1的圆的极坐标方程是 4. 曲线的极坐标方程
4 5 为(-3， )、(5,),则A、B两点的坐标可 3 7 6 化为(3, )、(5, ),因而OA、OB两边长分别 6 3 5 7
在△AOB中，因为A、B两点的坐标分别
为3、5，夹角∠AOB=
=
2 ×3×5×sin 6 15 4
.
点评有关在极坐标系中求线段的
长或平面图形面积等问题的求解， 关键是应用点的极坐标的几何意义， 同时应注意：若ρ<0，则-ρ>0，且 点 M(ρ,θ)与 P(－ ρ,θ)关于极点 对称.
所 以 PB=PC, 设 P(ρ,θ)(ρ>0,- <θ< 且 2 2
θ≠0)，
则PC2=AP2+AC2-2AP· ACcosθ
=ρ2+16-8ρcosθ,
PB2=AP2+AB2-2AP· ABcosθ =ρ2+36-12ρcosθ, 所以ρ2+16-8ρcosθ=ρ2+36-12ρcosθ， 即ρcos=5(ρ>0， <θ< 2 且θ≠0). 2