苏教版数学高二数学苏教版选修4-44.1.2极坐标系
高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
2017-2018学年高中数学苏教版选修4-4：4.1 4.1.2 极坐标系
4．1.2极坐标系[对应学生用书P5]1．极坐标系的概念(1)极坐标系：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．(3)在极坐标系中，如果极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意角，那么M(ρ，θ)的极坐标也可以表示为(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)．2．极坐标与直角坐标互化[对应学生用书P5][例1] 写出图中各点的极坐标，其中θ∈[0,2π)．[思路点拨] 分析每一点对应的ρ与θ，写出极坐标．[精解详析] 由点A 在极坐标系中的位置知，它的极径为4，极角为0，所以它的极坐标为A (4,0)，同理，得B ⎝⎛⎭⎫2， π4，C ⎝⎛⎭⎫3，π2，D ⎝⎛⎭⎫1，5π6，E (4，π)，F ⎝⎛⎭⎫6，4π3，G ⎝⎛⎭⎫5，5π3，而极点O 的坐标为(0，θ)，θ∈[0,2π)．1．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． 2．点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ≥0，θ∈[0,2π)，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．1．试画出满足下列条件的点，并说明它们有何特殊的位置关系： A ⎝⎛⎭⎫5，3π4；B ⎝⎛⎭⎫－5，3π4；C ⎝⎛⎭⎫5，－3π4；D ⎝⎛⎭⎫－5，－3π4. 解：所求各点如图所示．由图可以看出，点B 与点A ，点C 与点D 都关于极点对称；点C 与点A ，点B 与点D 都关于极轴对称；点D 与点A ，点B 与点C 都关于直线θ＝π2(ρ∈R )对称．2．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标．解：设C 点的极坐标为(ρ，θ)(0≤θ<2π，ρ>0)，如图． 则ρ＝23，θ＝π4＋π2＝3π4，或θ＝5π4＋π2＝7π4.∴C 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，7π4或⎝⎛⎭⎫23，3π4.[例2] 在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎭⎫3，π6，求 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标．(规定ρ>0，θ∈[0,2π))[思路点拨] 结合极坐标系及对称知识，确定对称点的极坐标． [精解详析] (1)设点A 关于极轴的对称点为A 1(ρ1，θ1)，则ρ1＝OA 1＝OA ＝3，θ1＝2π－π6＝11π6.∴点A 关于极轴的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，11π6. (2)设点A 关于极点的对称点为A 2(ρ2，θ2)，则ρ2＝OA 2＝OA ＝3， θ2＝π＋π6＝7π6.∴点A 关于极点的对称点的极坐标为(3，7π6)．(3)设点A 关于直线θ＝π2的对称点为A 3(ρ3，θ3)，则ρ3＝OA 3＝OA ＝3， θ3＝π－π6＝5π6.∴点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，5π61．解决极坐标下的对称问题要注意以下三点：(1)利用数形结合思想；(2)在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化；(3)极径ρ≥0，极角θ是以x 轴正方向为始边，按照逆时针方向旋转得到的．2．记住以下结论：点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，或(ρ，2π－θ)；关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)；关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．3．在极坐标系中，求点A (2，－π3)关于极轴所在的直线的对称的点的极坐标．解：结合极坐标系知A 关于极轴所在的直线对称点为⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3或⎝⎛⎭⎫－2，(2k ＋1)π＋π3(k ∈Z )．4．求点A ⎝⎛⎭⎫5，3π4关于下列直线对称的点的一个坐标： (1)θ＝π2；(2)θ＝π6.解：(1)点A 关于θ＝π2的对称点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫5，π4. (2)点A 关于θ＝π6对称的点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫5，－5π12.[例3] (1)把下列各点的极坐标化为直角坐标：A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，－2π3，C ⎝⎛⎭⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎫4，－π2； (2)把下列各点的直角坐标化为极坐标：A ()3，－3，B ⎝⎛⎭⎫0，53，C (－2,23)，其中极径ρ≥0，极角θ∈[0,2π)．[思路点拨] 直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可． [精解详析] (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得各点的直角坐标分别为：A ⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎫－32，0，D (0，－4)． (2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x得各点的极坐标分别为：A ⎝⎛⎭⎫23，11π6，B ⎝⎛⎭⎫53，π2，C ⎝⎛⎭⎫4，2π3.将极坐标化为直角坐标，只需利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定θ的值，此时要注意点在坐标系中的位置及θ的范围．5．把下列极坐标化为直角坐标： (1)A ⎝⎛⎭⎫3，2π3；(2)B ⎝⎛⎭⎫4，－3π4； (3)C ⎝⎛⎭⎫－6，17π3；(4)D ⎝⎛⎭⎫5，π2. 解：(1)x ＝3cos 2π3＝－32，y ＝3sin 2π3＝332，故点A 的直角坐标为A ⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)x ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－22，y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－22，故点B 的直角坐标为B (－22，－22)．(3)x ＝－6cos 17π3＝－3，y ＝－6sin 17π3＝33，故点C 的直角坐标为C (－3,33)．(4)x ＝5cos π2＝0，y ＝5sin π2＝5，故点D 的直角坐标为D (0,5)．6．写出下列直角坐标系中的点的一个极坐标：(1)P (3，3)；(2)Q (0，－5)；(3)R (26，－22)；(4)O (0,0)． 解：(1)ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝33，且点P 在第一象限，故点P 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6.(2)ρ＝5，θ＝3π2，故点Q 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫5，3π2. (3)ρ＝(26)2＋(－22)2＝42，tan θ＝－33，且点R 在第四象限，故点R 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫42，11π6. (4)ρ＝0，θ可为任意值，故点O 的极坐标为O (0，θ)．1．写出下图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 的一个极坐标．解：A ⎝⎛⎭⎫6，53π，B ⎝⎛⎭⎫8，π6，C ⎝⎛⎭⎫5，π2，D ⎝⎛⎭⎫5，7π6，E ⎝⎛⎭⎫8，4π3，F (8,0)，G ⎝⎛⎭⎫4，11π6. 2．已知点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫122，5π4，B ⎝⎛⎭⎫42，3π4，C (5,0)，D ⎝⎛⎭⎫52，π2. 求证：直线AB ⊥CD .证明：各点的直角坐标为A (－12，－12)，B (－4,4)，C (5,0)，D ⎝⎛⎭⎫0，52. 由于k AB ＝4＋12－4＋12＝2，k CD ＝52－00－5＝－12，k AB ·k CD ＝－1，故AB ⊥CD .3．求在极坐标系中点M ⎝⎛⎭⎫14，－π6关于θ＝π4的对称点N 的一个极坐标． 解：如图设N (ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)． 则ρ＝OM ，θ－π4＝π4＋π6，即ρ＝14，θ＝2π3.∴N 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫14，2π3.4．已知A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，5π6，⎝⎛⎭⎫2，π3，求线段AB 的中点的一个极坐标． 解：A ，B 两点的直角坐标分别为(－3，3)，(1，3)． 线段AB 的中点的直角坐标为(－1，3)．[对应学生用书P7]则ρ＝2，tan θ＝－3，0≤θ<π.所以线段AB 的中点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3. 5．在极坐标系中，根据下列条件，求△ABC 的面积． (1)A ⎝⎛⎭⎫6，π6，B ⎝⎛⎭⎫4，π3，C ⎝⎛⎭⎫2，11π6； (2)A ⎝⎛⎭⎫6，13π12，B ⎝⎛⎭⎫4，π3，C ⎝⎛⎭⎫2，11π6. 解：(1)S △ABC ＝S △OAB ＋S △OAC －S △OBC ＝12×6×4sin π6＋12×6×2sin π3－12×4×2sin π2＝2＋3 3.(2)S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OCA ＝12×6×4sin 3π4＋12×4×2sin π2＋12×6×2sin 3π4＝4＋9 2.6．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎫3，π2，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，求线段AB 的长度及直线AB 的倾斜角． 解：根据极坐标的定义可得AO ＝BO ＝3，∠AOB ＝π3，即△AOB 为等边三角形，所以AB ＝AO ＝BO ＝3，∠ACO ＝π6(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)，则直线AB 的倾斜角为5π6.7．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的直角坐标． 解：设M (r,0)，则M 的直角坐标为(r,0)． 因为A ⎝⎛⎭⎫42，π4，则A 的直角坐标为(4,4)， 所以(4－r )2＋16＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．8．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点的坐标是A ⎝⎛⎭⎫4，π4，B ⎝⎛⎭⎫4，5π4，求顶点C 的坐标．解：如图，由A ，B 两点坐标得A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．因为AB ＝8，△ABC 为正三角形，所以OC ＝43，∠AOC ＝π2，C对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝2π－π4＝7π4，所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，3π4或⎝⎛⎭⎫43，7π4.。
苏教版高二数学选修4-4 极坐标系 学案
4.1.2 极坐标系1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立．如图，在平面内取一个定点O ，叫作极点，从点O 引一条射线Ox ，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．(2)点的极坐标的规定．①如图，对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以O x 为始边、OM 为终边的角，ρ叫作点M 的极径，θ叫作点M 的极角，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．当点M 在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)，如下图：2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件．如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的单位长度．(2)互化公式．如上图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除原点外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的．①点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是=cos =sin x y ρθρθ⎧⎪⎨⎪⎩ ②点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是222=tan =(0)x y yx x ρθ⎧+⎪⎨≠⎪⎩预习交流1．建立极坐标系的意义是什么？ 提示：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置．有些复杂的曲线，比如说环绕一点做旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程．总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法．2．极坐标系下的点与它的极坐标对应情况是怎样的？提示：(1)给定点(ρ，θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M ；(2)给定平面上一点M ，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个．一、极坐标系中点的表示已知点M 的极坐标为π5,3⎛⎫⎪⎝⎭，其坐标也可表示为______________或______________． 答案：π5,2π3k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z π5,(21)π3k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z解析：一般地，如果点M 的极坐标是(ρ，θ)，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)，k ∈Z 都可以作为点M 的极坐标．以下四个点A ⎝⎛⎭⎫3，π6，B ⎝⎛⎭⎫3，－π6，C ⎝⎛⎭⎫3，13π6，D ⎝⎛⎭⎫3，17π6，表示同一个点的是__________．答案：点A ，C在极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )表示同一个点．特别注意，极点O 的坐标为(0，θ)(其中θ可以取任意值)．这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同，极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示．二、对称性问题在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎫3，π6，则(1)点A 关于极轴所在直线的对称点是________； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ＞0，θ∈[0,2π))答案：(1)⎝⎛⎭⎫3，11π6 (2)⎝⎛⎭⎫3，7π6 (3)⎝⎛⎭⎫3，5π6 解析：如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化．另外，我们要注意：极角是以x 轴正向为始边，按照逆时针方向得到的．在极坐标系中，与点A ⎝⎛⎭⎫2，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是__________(ρ＞0，θ∈[0,2π))．答案：⎝⎛⎭⎫2，π3 解析：与A ⎝⎛⎭⎫2，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3，k ∈Z ，而ρ＞0，θ∈[0,2π)，∴所求坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3.极坐标系中的点(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )．关于直线θ＝π2对称的点的极坐标为(ρ，2k π＋π－θ)(k ∈Z )，关于极点对称的点的极坐标为(ρ，θ＋π＋2k π)(k ∈Z )．三、极坐标和直角坐标互化(1)已知点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，－2π3，C ⎝⎛⎭⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎫4，－π2，求它们的直角坐标；(2)已知点的直角坐标分别为A (3，－3)，B ⎝⎛⎭⎫0，53，C (－2,23)，求它们的极坐标，其中极角θ∈[0,2π)．思路分析：直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可．解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得A ⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎫－32，0，D (0，－4)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x 得A ⎝⎛⎭⎫23，11π6，B ⎝⎛⎭⎫53，π2，C ⎝⎛⎭⎫4，2π3. (1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫8，2π3化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此点M 的直角坐标是(－4,43)． (2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限，故θ＝11π6.因此点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，11π6.将极坐标化为直角坐标，只需利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定θ的值，此时要注意点在坐标系中的位置及θ的范围．1．在极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎫－8，π6关于极点对称的点的一个坐标是__________． 答案：⎝⎛⎭⎫8，π6 解析：点(ρ，θ)关于极点对称的点为(ρ，π＋θ)， 故⎝⎛⎭⎫－8，π6关于极点对称的点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫－8，76π，即⎝⎛⎭⎫8，π6. 2．点M 的直角坐标为(－3，－1)，则其极坐标为__________．(ρ＞0,0≤θ＜2π)答案：⎝⎛⎭⎫2，76π 解析：ρ＝(－3)2＋(－1)2＝2，tan θ＝－1－3＝33，∵点在第三象限，∴θ＝76π.故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，76π. 3．点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，－π4，化为直角坐标为__________． 答案：(22，－22)解析：x ＝ρcos θ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝4×22＝22， y ＝ρsin θ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝4×⎝⎛⎭⎫－22＝－22， ∴M (22，－22)．4．写出与直角坐标系中的点(－2,23)表示同一个点的所有点的极坐标__________．答案：⎝⎛⎭⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z ) 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝y x ＝23－2＝－3，又∵点(－2,23)在第二象限，∴θ＝2π3.∴点(－2,23)用极坐标表示为⎝⎛⎭⎫4，2k π＋2π3(k ∈Z )． 5．将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(3，3)；(2)(－1，－1)．解：(1)ρ＝(3)2＋32＝23，tan θ＝33＝ 3.又因为点(3，3)在第一象限，所以θ＝π3.所以点(3，3)的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π3. (2)ρ＝(－1)2＋(－1)2＝2，tan θ＝1.又因为点(－1，－1)在第三象限，所以θ＝5π4.所以点(－1，－1)的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4.。
高中数学 4.1.2 极坐标系学案 苏教版选修4-4
4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图413所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x图413通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________写出图414中A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 各点的极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)．图414【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝⎛⎭⎪⎫9，3π2.[再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】 以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】 极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________．【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫8，3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋－32＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，求A 、B 两点之间的距离． 【思路探究】 将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解． 【自主解答】 对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∵AB ＝32＋122＋－332－322＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得32ρ－12ρ＝4， 解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋32＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6， 所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝－2＋－232＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋－2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________． 【解析】 由ρ＝x 2＋y 2＝－2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内，∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)．【答案】 (22，3π4) 2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2，故直角坐标为(0，－2)． 【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________． 【解析】 由余弦定理得AB＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2θ1－θ2＝32＋－2－－π4－π12＝9＋9＋93＝18＋9 3 ＝36＋322. 【答案】36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。
苏教版高中数学选修4-4 4.1.2极坐标系_学案设计1(无答案)
极坐标系【学习目标】掌握极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题。
【学习过程】一、基础梳理1．极坐标系的概念2．直角坐标与极坐标的互化3．几个特殊位置的直线的极坐标方程（1）直线过极点：（2）直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：（3）直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴： 4．几个特殊位置的圆的极坐标方程（1）当圆心位于极点，半径为r ：（2）当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：（3）当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ： 二、基础练习1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为________。
2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________。
3．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ＝3，则点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6到直线l 的距离为________。
4．在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________。
5．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________。
三、典例训练例1．设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，直线l 过点A 且与极轴所成的角为π3，求直线l 的极坐标方程。
例2．在极坐标系中，若过点(1，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A ．B 两点，则|AB |＝________。
例3．在圆心的极坐标为A (4，0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹。
四、巩固练习1．点P 的直角坐标为(1，－3)。
则点P 的极坐标可以是________。
2．在极坐标系中，P ，Q 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为________。
3．从极点O 作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12，求点P 的轨迹方程。
苏教版高二数学选修4-4 4.1.1 直角坐标系课件(35张)
[精解详析] 证明：取 BC 的中点 O 为坐标 原点，OA 所在直线为 y 轴，建立如图所示的平 面直角坐标系，设 A，B 的坐标分别为(0，b)， (－a,0)，则 C 点的坐标为(a,0)，从而 AB2＝a2＋b2.
3．点关于直线的对称：求已知点 A(m，n)关于已知直线： l：y＝kx＋b 的对称点 A′(x0，y0)的坐标的一般方法是依据 l 是 线段 AA′的垂直平分线，列出关于 x0、y0 的方程组，由“垂直” 得一方程，由“平分”得一方程，即ky0·x＋y200－－n＝mn k＝·x－0＋21，m＋b.
取最小值
2 2 a.
(2)由题图可知，当 P 在 AB 上运动时，P 到坐标平面 xOz，yOz
的距离相等，所以可设 P(t，t，a－t)，t∈[0，a]．
又 Q 在 CD 上运动，所以可设 Q(0，a，z0)，z0∈[0，a]．
所以 PQ＝ t－02＋t－a2＋a－t－z02
＝ 2t2－2at＋a2＋a－t－z02
解：(1)B(0,0，a)，A(a，a,0)，当 P 为 AB 的中点时，Pa2，a2，a2. 又 Q 在 CD 上运动，设 Q(0，a，t)，其中 t∈[0，a]，则
PQ＝
a2－02＋a2－a2＋a2－t2
＝
t－a22＋a22，
故当
t＝a2时，PQ
令 M 的坐标为(x,0)， 则 AM2＋BM·MC ＝x2＋b2＋(a＋x)(a－x) ＝x2＋b2＋a2－x2＝a2＋b2， ∴AB2＝AM2＋BM·MC.
利用解析法可解决平面几何中的证明问题、轨迹方程的求 法问题等，其关键是建立恰当坐标系，运用距离公式或建立方 程得以解决问题．
苏教版高二数学选修4-4 4.1.2 极坐标系 学案
4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4-1-3所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).图4-1-3通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx (x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________0,0≤θ＜2π)．图4-1-4【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π2. [再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】 以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－π3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】 极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________． 【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝ ⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝－26＝－33， 又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3， y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)．(2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3. 因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎭⎪⎫3，－π3，B ⎝ ⎭⎪⎫1，2π3，求A 、B 两点之间的距离．【思路探究】 将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解． 【自主解答】 对于A (3，－π3)， x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)． ∵AB ＝(32＋12)2＋(－332－32)2＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得 32ρ－12ρ＝4，解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋(－2)2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________． 【解析】 由ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋22＝22， tan θ＝2－2＝－1， ∵P 点在第二象限内， ∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)． 【答案】 (22，3π4)2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2， 故直角坐标为(0，－2)． 【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】 由余弦定理得 AB ＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2·cos (θ1－θ2) ＝32＋(－3)2－2×3×(－3)cos (π4－π12)＝9＋9＋93＝18＋9 3 ＝36＋322. 【答案】 36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修4-4 4.1.2 极坐标系》7
《极坐标系》教学设计江苏省海州高级中学高静一、教材分析本节课是选修4-4的内容，由于生活中的许多问题都是用方位角和距离来确定点的位置，再用直角坐标表示不太方便，这时就需要建立以角度和距离为依据的坐标系，从而建立极坐标系。
教材通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，让学生体会数学在生活中的应用。
二、学情分析笔者所带的班级是高二年级理科班，学生具备了较好的分析问题的能力，对新知识的学习也有很浓厚的兴趣，能积极思考发言。
学生已经学习了三角函数、平面上两点间距离公式，以及解斜三角形的等本节课所需的预备知识，同时能熟练利用平面直角坐标系来刻画点的位置。
三、教学目标（1）认识极坐标系；（2）使学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置：（3）体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；（4）能进行极坐标和直角坐标的互化。
四、重点、难点重点：能用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化难点：极坐标系的建立，认识点与极坐标之间的对应关系五、教学过程（一）情境引入电脑播放精彩的足球经典进球视频，引导学生关注给射门的运动员传球的运动员，没有这个巧妙的传球，就没有这个轻松的进球。
问题1：在运动员传球之前，他是如何确定队友的位置？（学生讨论，教师提炼关键词：距离，角度）【设计意图】这个问题的目的是让学生体会在生活中，我们经常会以当前所在位置，利用角度和距离来描述另一个点的位置。
【反思】可能是因为学生没有领会问题的含义，学生首先回答“用眼睛看”，教师进一步将问题细化为：“他是如何确定传球的线路的？”（二） 知识初建构问题2：你能建立一个合理的坐标系，描述上述的问题吗？（学生回答，教师总结）【设计意图】通过学生自己的思考和尝试，体会用距离和角度来刻画点的位置需要的参照物是什么？这里学生要自己找到极点，极轴，规定单位长度和角度的正方向。
教师总结（M O M ||OM M ρOx OM xOM M θρθM （ρ，θ）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
极坐标系练习
1．点M的极坐标为
2
5,π
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，化成直角坐标形式是__________．
2．点A的极坐标为
π
2,
3
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
，化成直角坐标形式是__________．
3．点P的直角坐标为)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．
4．已知两点的极坐标
π
3,
2
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
π
3,
6
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则|AB|＝________，直线AB的倾斜角为
________．
5．直线l过点
π
7,
3
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
π
7,
6
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则直线l与极轴所在直线的夹角等于________．
6．在极坐标系中，若
π
3,
3
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
7π
4,
6
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则△ABO的面积为__________．
7．点
π
5,
3
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
在条件：
(1)ρ＞0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是__________；
(2)ρ＜0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是__________．
8．已知极点在点(2，－2)处，极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中，点M的极坐
标为
π
4,
6
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，求点M在直角坐标系中的坐标．
9．在极坐标系中，(1)求
7π
5,
36
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
43π
12,
36
B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
两点间的距离；
(2)已知点P的极坐标为(ρ，θ)，其中ρ＝1，θ∈R，求满足上述条件的点P的位置．10．将下列极坐标化成直角坐标．
(1)π
4
⎫
⎪
⎭
；(2)
π
6,
3
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
；(3)(5，π)．
参考答案
1. 答案：5,22⎛- ⎝⎭
解析：255cos
π32
x ==-，25sin π32y ==，
所以点M 的直角坐标为5,22⎛- ⎝⎭
.
2. 答案：(－1)
解析：因为点A 的极坐标又可以写成2π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 所以2π1cos 2cos 2132x ρθ⎛⎫===⨯-=- ⎪⎝⎭
，
2π
sin 2sin 23y ρθ====.
所以点A 的直角坐标为(－1)．
3. 答案：⎛ ⎝
解析：ρ==tan θ==， 又点P 在第一象限，得π6
θ=，
因此点P 的极坐标是π6⎛⎫ ⎪⎝
⎭. 4. 答案：3 5π6 解析：根据极坐标的定义可得
|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3
， 即△AOB 为等边三角形，
所以|AB |＝|AO |＝|BO |＝3，
5π6
ACx ∠=
(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)． 5. 答案：π4 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．
因为|AO |＝|BO |＝7，πππ366AOB ∠=-=， 所以π
π5π6.212
OAB -
∠== 所以π5πππ3124ACO ∠=--=. 6. 答案：3
解析：由题意可知，在△AOB 中，|OA |＝3，|OB |＝4，7ππ5π636
AOB ∠=
-=， 所以△ABO 的面积为 12
|OA |·|OB |·sin ∠AOB 15π34sin 261134322
⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝＝＝ 3. 7. 答案：(1) 55,π3⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)105,π3⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 解析：(1)当ρ＞0时，点A 的极坐标形式为⎝
⎛⎭⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )， ∵θ∈(－2π，0)，令k ＝－1，点A 的极坐标为55,π3⎛⎫-
⎪⎝⎭
，符合题意． (2)当ρ＜0时，π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的极坐标的一般形式是π5,(21)π3k ⎛⎫-++ ⎪⎝
⎭(k ∈Z )． ∵θ∈(2π，4π)，当k ＝1时，点A 的极坐标为105,π3⎛⎫- ⎪⎝
⎭，符合题意． 8. 解：设M (x ，y )
，则π2cos 4cos 6
x ρθ-===
∴2x ＝＋y －(－2)＝ρsin θ＝π4sin 6＝2. ∴y ＝2－2＝0.
∴点M 的直角坐标为
(2＋0)．
9. 解：(1)A ，B 在过极点且与极轴夹角为7π36
的直线上，它们位于极点的两侧，∴|AB |＝5＋12＝17.
(2)由于点P 的极径恒为ρ＝1，且θ∈R ，因此，点P 在以1为半径，极点为圆心的圆上．
10. 解：(1)πcos 14x ==，πsin 14y ==， 所以点π4⎫⎪⎭
，的直角坐标为(1,1)． (2)π6cos 33x ⎛⎫=⋅-
= ⎪⎝⎭
， π
6sin 3y ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭
所以点π6,3⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标为(3，-． (3)x ＝5·cos π＝－5，y ＝5·sin π＝0，
所以点(5，π)的直角坐标为(－5,0)．。