实际问题之最大利润问题
22.3实际问题与二次函数 第2课时 最大利润问题(精品原创)
，
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如商品销？
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
温故而知新
某商场春节前购进一批海南西瓜，每天能售出500千克， 每千克盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的 降价措施．调查表明：当销售价每降价0.1元时，其销售量每 天将多售出100千克．商场要想平均每天盈利达到120元，每 千克西瓜应降价多少元？
3.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出 200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少买10件（每 件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整 数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？ 最大月利润是多少元？
例 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10 件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品
解：设降低x元后，单件利润为（13.5-x-2.5），销售件 数是（500+100x）, y=（13.5-x-2.5）（500+100x） 即y=－100x2+600x+5500 （0≤x≤11 ）
配方得y=－100（x－3）2+6400
当x=3时，y的最大值是6400元. ∴销售单价为10.5元时，最大利润为6400元.
3.某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出 200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少买10件（每 件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整 数），每个月的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？ 最大月利润是多少元？
人教版实际问题与二次函数(3)
wx10 x40 x25x0400 x22 5225
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利 润为225元。
2. 某旅行社组团去外地旅游,30人起组团,每人单价 800元.旅行社对超过30人的团给予优惠,即旅行团每增 加一人,每人的单价就降低10元.你能帮助分析一下,当旅 行团的人数是多少时,旅行社可以获得最大营业额？
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元） 的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品 的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是 多少元？
（1）设此一次函数解析式为yk xb。
15k b 25 则 20k b 20
解得：k=－1，b＝40。
解：设旅行团人数为x人,营业额为y元,则Βιβλιοθήκη y x800 10x 30
10x2 1100x
10x 552 30250.
3. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个 房间的定价为每天180元时，房间会全部住满。 当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有 一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对 每个房间每天支出20元的各种费用.房价定为多 少时，宾馆利润最大？
解决关于函数实际问题的一般步骤
（1）先分析问题中的数量关系、变量和常量， 列出函数关系式. （2）研究自变量的取值范围. （3）研究所得的函数.
（配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值）
（4）检验 x的取值是否在自变量的取值范 围内、结果的合理性等，并求相关的值. （5）解决提出的实际问题
1. 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售 价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下:
实际问题与二次函数(二)-商品利润最大问题(课件)-2022-2023学年九年级数学上册(人教版)
没调整价格之前的
(60+x)(300-10x)
(300-10x)
件，实际卖出_________件，销售额为_______________元，买进商品需付
6000
利润是_____元.
40(300-10x)
(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
为260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方
式进行促销.经市场调查发现:当每吨售价每降低10元时，月销售量就会增加
7.5吨.综合考虑各种因素,每出售一吨建筑材料共需支付厂家和其他费用100
元.设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元).
(4)小静说:“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗?请说明理由.
(2)降价2.5元，即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现
在的销售情况Biblioteka 你知道应如何定价能使利润最大了吗？
当定价为65元时，能使利润最大，
最大利润是6250元.
例1.某电商在购物平台上销售一款小电器，其进价为45元/件，每销售一件
需缴纳平台推广费5元，该款小电器每天的销售量y(件)与每件的销售价格
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）
(2,-7)
2
1.二次函数y=2x2-8x+1图象的顶点坐标是________，当x=____时，y的最小
-7
值为____.
2.某旅行社要接团去外地旅游，经计算所获利润y(元)与旅行团人数x(人)
《实际问题与二次函数》(商品最大利润问题)
06
研究方法与展望
研究方法的优缺点分析
数学规划方法
数学规划是一种经典的优化方法，能够解决商品最大利润问题。优点是模型简单、易于理 解，缺点是求解速度较慢，且对某些复杂问题可能需要更多的计算资源。
人工智能方法
人工智能方法如神经网络、遗传算法等，能够自适应地求解问题。优点是求解速度较快， 缺点是模型复杂，不易于理解和调试。
构建二次函数模型
根据成本、售价和销量，利用二次函数构建 利润模型。
求最大利润
通过求导数，确定最大利润点，并求出最大 利润。
优化问题的提出与解决
• 优化问题：在商品利润问题中，如何调整售价、成本和销 量等因素，以最大化利润。
优化问题的提出与解决
解决步骤
1. 确定优化目标：明确要优化的目标，如最大化利润、最小化成本等。
混合方法
混合方法是将数学规划方法和人工智能方法结合起来，取长补短，综合利用各种方法的优 点。优点是求解速度快、精度高，缺点是需要更多的计算资源和时间。
研究方法在其他领域的应用前景
生产计划
在生产计划中，如何优化资源配置、提高生产效率是一个核心问题。商品最大利润问题可以转化为生产计划问题，因此研究方法在其他领域的应用前景广阔。
2. 分析影响因素：分析对利润产生影响的因素，如售价、成本、销量等 。
优化问题的提出与解决
3. 构建优化模型
根据影响因素和目标，构建优化模型。
4. 求解最优解
利用数学方法求解最优解，如求导数、使用优化算法等。
5. 实施优化方案
根据最优解调整售价、成本和销量等因素，以实现最大利润。
04
商品利润问题的实例分析
顶点
二次函数图像的最高点或最低点，其 坐标为(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。
求最大利润问题
求最大利润问题
学习目标
1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题 的过程，体会二次函数是一类最优化问题 的数学模型，并感受数学的应用价值。 2.能够分析和表示实际问题中变量之间的 二次函数，并运用二次函数是知识求出实 际问题的最大（小）值，发展解决问题的 能力。
情境导入
将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)改写为顶点式， 并写出它的对称轴和顶点坐标。
顶点式、对称轴和顶点坐标公式：
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
直线x b
顶点(
b
4ac b2
,
)
2a
2a 4a
利润= 售价－进价 总利润= 每件利润×销售额
做一做
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是6.5元. 根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一段 时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降 低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价 是多少时，可以获利最多？
运用新知
还记得章一开始涉及的“种多少棵橙子树” 的问题吗？
我们还曾经利用列表的方法得到一个数据，现 在请你验证一下你的猜测(增种多少棵橙子树时,总产 量最大?)是否正确.
与同伴进行交流你是怎么做的.
议一议： 何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据 经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
若设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为 : 500 20013.5 x 件;
函数的实际应用-- 利润最值问题(专题训练)(解析版)-中考数学重难点题型专题汇总
函数的实际应用-中考数学重难点题型专题汇总利润最值问题（专题训练）1.某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y 是销售价格x （单位：元）的一次函数．(1)求y 关于x 的一次函数解析式；(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．【答案】(1)()y 309601032x x =-+≤≤(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元【分析】（1）设()0y kx b k =+≠，把20x =，360y =和30x =，60y =代入求出k 、b 的值，从而得出答案；（2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案．(1)解：设()0y kx b k =+≠，把20x =，360y =和30x =，60y =代入可得203603060k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，解得30960k b =-⎧⎨=⎩，则()y 309601032x x =-+≤≤；(2)解：每月获得利润()()3096010P x x =-+-()()303210x x =-+-()23042320x x =-+-()230213630x =--+．∵300-<，∴当21x =时，P 有最大值，最大值为3630．答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．2.某服装店以每件30元的价格购进一批T 恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T 恤的销售单价提高x 元．（1）服装店希望一个月内销售该种T 恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T 恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T 恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（2）设利润为M 元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的x 的值，从而得到答案．【详解】（1）由题意列方程得：（x ＋40-30）（300-10x ）＝3360解得：x 1＝2，x 2＝18∵要尽可能减少库存，∴x 2＝18不合题意，故舍去∴T 恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为M 元，由题意可得：M ＝（x ＋40-30）（300-10x ）＝-10x 2＋200x ＋3000＝()210104000x --+∴当x ＝10时，M 最大值＝4000元∴销售单价：40＋10＝50元∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．3.某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y ＝24－x ，第一年除60万元外其他成本为8元/件．(1)求该产品第一年的利润w （万元）与售价x 之间的函数关系式；(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？【答案】(1)232252w x x =-+-(2)①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为61万元．【分析】（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案；（2）①把4w =代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案．(1)解：由题意得：()860w x y =--()()82460x x =---232252,x x =-+-(2)①由（1）得：当4w =时，则2322524,x x -+-=即2322560,x x -+=解得：1216,x x ==即第一年的售价为每件16元，② 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，16,2413x x ì£ï\í-£ïî解得：1116,x ＃ 其他成本下降2元/件，∴()()2624430148,w x x x x =---=-+- 对称轴为()3015,21x =-=´-10,a =-<∴当15x =时，利润最高，为77万元，而1116,x ＃当11x =时，513461w =´-=（万元）当16x =时，108476w =´-=（万元）6177,w \＃所以第二年的最低利润为61万元．【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次函数的性质解题是关键．4.某水果店将标价为10元/斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该水果每次降价的百分率；（2）从第二次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：时间（天）x 销量（斤）120﹣x 储藏和损耗费用（元）3x 2﹣64x+400已知该水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ＜10）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）10%；（2）y ＝﹣3x 2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元【解析】【分析】（1）根据题意，可以列出相应的方程，从而可以求得相应的百分率；（2）根据题意和表格中的数据，可以求得y 与x （1≤x ＜10）之间的函数解析式，然后利用二次函数的性质可以求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少．【详解】解：（1）设该水果每次降价的百分率为x ，10（1﹣x ）2＝8.1，解得，x 1＝0.1，x 2＝1.9（舍去），答：该水果每次降价的百分率是10%；（2）由题意可得，y ＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x ）﹣（3x 2﹣64x+400）＝﹣3x 2+60x+80＝﹣3（x ﹣10）2+380，∵1≤x ＜10，∴当x ＝9时，y 取得最大值，此时y ＝377，由上可得，y 与x （1≤x ＜10）之间的函数解析式是y ＝﹣3x 2+60x+80，第9天时销售利润最大，最大利润是377元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．5.国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示：水果单价甲乙进价（元/千克）x 4x +售价（元/千克）2025已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．（1）求x 的值；（2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？【答案】（1）16；（2）购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元【分析】（1）根据用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同列出分式方程，解之即可；（2）设购进甲种水果m 千克，则乙种水果100-m 千克，利润为y ，列出y 关于m 的表达式，根据甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，求出m 的范围，再利用一次函数的性质求出最大值．【详解】解：（1）由题意可知：120015004x x =+，解得：x=16，经检验：x=16是原方程的解；（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果100-m千克，利润为y，由题意可知：y=（20-16）m+（25-16-4）（100-m）=-m+500，∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的3倍，∴m≥3（100-m），解得：m≥75，即75≤m＜100，在y=-m+500中，-1＜0，则y随m的增大而减小，∴当m=75时，y最大，且为-75+500=425元，∴购进甲种水果75千克，则乙种水果25千克，获得最大利润425元．【点睛】本题考查了分式方程和一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数表达式．6.某公司生产的一种营养品信息如下表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A 的数量不低于B 的数量，则A 为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【答案】（1）甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当A 为400包时，总利润最大．最大总利润为2800元【分析】（1）设乙食材每千克进价为a 元，根据用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克列分式方程即可求解；（2）①设每日购进甲食材x 千克，乙食材y 千克．根据每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完，利用进货总金额为180000元，含铁量一定列出二元一次方程组即可求解；②设A 为m 包，根据题意，可以得到每日所获总利润与m 的函数关系式，再根据A 的数量不低于B 的数量，可以得到m 的取值范围，从而可以求得总利润的最大值．【详解】解：（1）设乙食材每千克进价为a 元，则甲食材每千克进价为2a 元，由题意得802012a a-=，解得20a =．经检验，20a =是所列方程的根，且符合题意．∴240a =（元）．答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元．（2）①设每日购进甲食材x 千克，乙食材y 千克．由题意得()402018000501042x y x y x y +=⎧⎨+=+⎩，解得400100x y =⎧⎨=⎩答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克．②设A 为m 包，则B 为()500200040.25m m -=-包．记总利润为W 元，则()45122000418000200034000W m m m =+---=-+．A 的数量不低于B 的数量，∴20004m m ≥-，400m ≥．30k =-<，∴W 随m 的增大而减小。
二次函数与实际问题-最大利润问题
2 实际问题的挑战与机
遇
实际问题的解决需要面对 各种挑战，但也提供了发 展和创新的机遇。
3 未来的发展趋势
随着技术的进步和需求的 变化，二次函数在解决实 际问题中的应用将继续发 展和演变。
可以引入其他约束、考虑风险和不确定性，提高决策的全面性和鲁棒性。
VI. 二次函数实践与练习
1 实际问题的解决方法和演示
通过实际案例和示例演示，帮助学习者理解 和应用二次函数解决实际问题。
2 练习题
提供一些练习题，加深对二次函数和实际问 题的理解。
VII. 二次函数与实际问题-总结与展望
1 二次函数的重要性
二次函数与实际问题-最 大利润问题
I. 二次函数概述
1 什么是二次函数？
二次函数是一个在方程中有二次项的函数，一般形式为y=ax^2+bx+c。
2 二次函数的一般式和标准式
一般式为y=ax^2+bx+c，标准式为y=a(x-h)^2+k。
3 二次函数图像
二次函数的图像可以是抛物线，开口向上或向下，取决于a的正负。
通过分析实际情况建立利润函数，将利润与决策因素相联系。
2
寻找最大值
通过求导或观察图像，找到利润函数的最大值，例，演示如何使用二次函数解决最大利润问题。
IV. 二次函数在其他问题中的应用
二次函数解决投影高度 问题
通过建立二次函数模型，可 以计算出物体的最大或最小 高度。
II. 最大利润问题简介
1 什么是最大利润问题？
最大利润问题是在实际情况中，通过优化决策来实现最大化利益的问题。
2 实际应用场景
人教九年级数学上册- 最大利润问题(附习题)
即降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元. （2）降价情况下，定价57.5元时，有最大利润6125元.
综上可知： 该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
基础巩固
随堂演练
1.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有,写出这些
综合应用
3.某种文化衫以每件盈利20元的价格出售，每天可售出40 件. 若每件降价1元，则每天可多售10件，如果每天要盈利 最多，每件应降价多少元？
解：设每件应降价x元，每天的利润为y元， 由题意得：y=(20-x)(40+10x)
=-10x2+160x+800 =-10(x-8)2+1440 (0＜x＜20). 当x=8时，y取最大值1440. 即当每件降价8元时，每天的盈利最多。
点的坐标(用公式)：
(1)y=-4x2+3x;
(2)y=3x2+x+6.
解：b 2a
3
2 4
3 8
,
4ac b2 4a
32
4 4
9, 16
最高点为
3 8
,
9 16
.
解：b 1 1 , 2a 2 3 6
4ac b2 4 3 6 12 71
,
4a
43
12
最低点为
1 6
,
71 12
课堂小结
利用二次函数解决利润问题的一般步骤： (1)审清题意，理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及数量之间的关系； (3)列出函数关系式； (4)求解数学问题； (5)求解实际问题.
分析:(1)根据题意,设平均每天销售A种礼盒 为x盒,B种礼盒为y盒,列二元一次方程组解 答;(2)根据题意,设A种礼盒降价m元/盒,则A 种礼盒的销售量为(10+m3 )盒,再根据总利润 =每件商品的利润×销售量”列出解析式即 可.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定价:60+5=65（元）
y 10 x 100 x 6000
2
(0≤X≤30)
b x 5时，y最大值 10 52 100 5 6000 6250 2a
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元 可以看出，这个函数的 图像是一条抛物线的一 部分，这条抛物线的顶 点是函数图像的最高点， 也就是说当x取顶点坐 标的横坐标时，这个函 数有最大值。由公式可 以求出顶点的横坐标.
1 1 2 （4）∵z = - 10x +34x-3200= - 10(x-170)2-310. ∴当x=170时，z取最大值，最大值为-310. 也就是说：当销售单价定为170元时，年获利最大，并 且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资. 第二年的销售单价定为x元时，则年获利为： 1 z = (30- x)(x-40)-310 1 10 = - 10 x2+34x-1510.
由(2)(3)的讨论及现在的销售 情况,你知道应该如何定价能 使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。
解：（1）未租出的设备为 套，所有未出租设备支出的费 用为（2x－540）元； （2） y (40 x 270 ) x (2 x 540) 1 x2 65x 540
解：（1）正确描点、连线．由图象可知，y是x的一次 函数．设 y＝kx＋b ， ∵点（25，2000），（24，2500）在图象上，
2000 25 k b， 2500 24 k b．
解之得：
k 500， b 14500．
∴ y ＝－500x＋14500 （2）P＝（x－13）· y＝（x－13）· （－500 x＋14500） ＝－500 x 2＋21000 x－188500＝－500（x－21）2＋ 32000． ∴P与x的函数关系式为P＝－500 x 2＋21000 x－ 188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润．
（2）求y与x之间的二次函数关系式； b 2 4ac b2 （3）当月租金分别为300元和350元式，租赁公司的月收益分别 y a( x ) 2a 4a 是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由； （4）请把（2）中所求出的二次函数配方成 的形式，并据此说明：当x为何值时，租赁公司出租该型号设备 的月收益最大？最大月收益是多少？
1.在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为 指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查 统计，得到如下数据：
销售价 x（元/千克）
销售量 y（千克） … …
25 2000
24 2500
23 3000
22 3500
… …
（1）在如图的直角坐标系内，作出各组 有序数对（x，y）所对应的点．连接各 点并观察所得的图形，判断y与x之间的 函数关系，并求出y与x之间的函 数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销 售利润P（元）与销售价x (元/千克)之间 的函数关系式，并求出当x取何值时，P 的值最大？
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是 自变量？哪些量随之发生了变化？
某商品现在的售价为每件60元，每星期 可卖出300件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出10件；每降价1元，每 星期可多卖出20件，已知商品的进价为 每件40元，如何定价才能使利润最大？
（3）计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利， 销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？ （4）公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售， 第二年年获利不低于1130万元。请你借助函数的大致图象说明， 第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内？
解：（1）依题意知，当销售单价定为x元时，年销售量 1 减少 10 (x-100)万件. 1 1 ∴y=20- 10 (x-100) = - 10 x+30. 1 即y与x之间的函数关系式是: y = - 10 x+30. 1 1 （2）由题意，得：z = (30- 10 )(x-40)-500-1500 = - 10 x2+34x-3200. 1 2 即z与x之间的函数关系式是: z = - 10 x +34x-3200. 1 (3) ∵当x取160时，z= - 10×1602+34×160-3200 = - 320. 1 2 ∴ - 320 = - x +34x-3200. 10 2-340+28800=0. 整理，得x 由根与系数的关系，得 160+x=340. ∴x=180. 即同样的年获利，销售单价还可以定为180元. 1 当x=160时，y= - ×160+30=14; 10 1 当x=180时，y= -10 ×180+30=12. 即相应的年销售量分别为14万件和12万件.
z(万元) 1380
1130
1 2 当z =1130时，即1130 = - 10x +34x -1510. 整理，得 x2-340x+26400=0. 解得 x1=120, x2=220. 1 2 函数z = - 10 x +34x-1510的图象大致如图所示：由图 象可以看出：当120≤x≤220时，z≥1130. 所以第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于 220元的范围内.
b 直线x 轴是 2a ，顶点坐标是
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 2抛物线 ，它的对称
b 4ac b , 2a 4a
a<0时，抛物线开口向 下 ，有最 高 点，函数有最 大 值， 4ac b 2 是 4a 。
基础扫描
3. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 直线x=3 ，顶点 坐标是 (3 ，5) 。当x= 3 时，y的最 小 值是 5 。
同学们，今天就让我们一 起去体会生活中的数学给 我们带来的乐趣吧！
基础扫描
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对 称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) .
. 当a>0时，抛 4ac b 2 物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有最 小 值，是 4a ；当
O 120 170 220
x(元
例：某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套。经 过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为 270元时，恰好全部租出。在此基础上，当每套设备的 月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没 租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等） 20元。设每套设备的月租金为x（元），租赁公司出租 该型号设备的月收益（收益＝租金收入－支出费用）为 y（元）。 （1）用含x的代数式表示未出租的设备数（套）以及 所有未出租设备（套）的支出费
有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天， 如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数 量的蟹死去。假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。 现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养 在塘内，此时的市场价为每千克30元。据测算，此后每 千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需各 种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定 死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。 （1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的 函数关系式； （2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千 克蟹的销售总额为Q元，写出Q与x的函数关系式； （3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利 润（利润＝销售总额－收购成本－费用）？增大利润是多 少？
2：某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市 场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元 进行批量生产。已知生产每件产品的成本为40元，在销 售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为 20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件， 设销售单价为x元，年销售量为y万件，年获利（年获利 ＝年销售额－生产成本－投资）z万元。 （1）试写出y与x之间的函数关系式；（不必写出的取 值范围） （2）试写出z与x之间的函数关系式；（不必写出的取 值范围）
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商 品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。 涨价x元时则每星期少卖 10x件，实际卖出(300-10x) 件,销额 为 (60+x)(300-10x) 元，买进商品需付40(300-10x) 元因此， y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x) 所得利润为 元 即
牛刀小试
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30 元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提 高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销 售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在半个月内 获得最大利润? 解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(30-20+x)(400-20x) =-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元