第三章空间向量与立体几何导学案

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2018版高中数学第三章空间向量与立体几何疑难规律方法学案人教B版2-1

第三章空间向量与立体几何1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．第1层用已知向量表示未知向量例1 如图所示,M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用向量错误!,错误!,错误!表示错误!和错误!。

解错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝12错误!＋错误!(错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!(错误!－错误!错误!)＝错误!错误!＋错误!×错误!(错误!＋错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!；错误!＝错误!＋错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!）＝错误!错误!＋错误!（错误!－错误!错误!）＝错误!错误!＋错误!×错误!（错误!＋错误!)＝错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!。

点评用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．第2层化简向量例2如图，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD.设M、G分别是BC、CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1）错误!＋错误!＋错误!;（2)错误!＋错误!(错误!＋错误!）；（3）错误!－错误!（错误!＋错误!)．解(1）错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

(2）错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!＋错误!错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.（3) 错误!－错误!（错误!＋错误!）＝错误!－错误!＝错误!。

错误!、错误!、错误!如图所示．点评要求空间若干向量之和,可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0。

江苏省苏州市第五中学高中数学教案苏教版选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》3.1空间向量及其运算

第3章空间向量与立体几何3．1 空间向量及其运算一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解空间向量的概念及空间向量的几何表示法、字母表示法和坐标表示法；(2)了解共线或平行向量概念、向量与平面平行(共面)意义，掌握它们的表示方法；(3)会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；(4)了解空间向量基本定理及其意义；会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底，表示其他的向量；(5)会用向量解决立体几何中证明直线和平面垂直、直线和直线垂直、求两点距离或线段长度等问题的基本方法步骤．(6)掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；(7)理解空间向量夹角和模的概念及表示方法，理解两个向量的数量积的概念、性质知识、方法要求学习建议空间向量的概念了解空间向量的定义、表示方法及相等关系都与平面向量相同．可在复习平面向量的定义、表示方法及其相等关系后类比进行理解﹒空间向量共线、共面的充分必要条件理解共面向量与共线向量的定义对象不同，但定义形式相同．空间向量的加法、减法及数乘运算理解掌握空间向量的加法、减法和数乘运算．利用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律﹒空间向量的坐标表示理解空间向量的坐标运算，加法、减法和数量积同平面向量类似，具有类似的运算法则，学习中可类比推广．空间向量的数量积理解掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握空间向量的坐标表示；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；理解向量长度公式及空间两点间距离公式．空间向量的共线与垂直理解能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．AB C OM N G 和计算方法及运算律．(8)理解向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题．2．预习提纲(1)回顾平面向量的相关知识：①平面向量的基本要素是什么? ②平面向量是如何表示的?③特殊的平面向量有那些? ④什么是平行向量(共线向量)?⑤什么是相等向量? ⑥什么是相反向量?⑦平面向量共线定理是什么? ⑧平面向量基本定理你知道吗?(2)请你填一填：①对平面内任意的四点A ，B ，C ，D ，则AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r ； ②设1(2,3),(1,5),,33A B AC AB AD AB -==u u u r u u u r u u u r u u u r 且，则C 、D 的坐标分别是____________； ③已知(1,2),(3,)OA OB m =-=u u u r u u u r ，若OA OB ⊥u u u r u u u r ，则m = ；④若三点(1,1),(2,4),(,9)P A B x --共线，则x = ____________；⑤已知正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则a b c ++r r r 的模等于____________；⑥已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r ，且,,A B C 三点共线，则k = ；⑦等腰Rt ABC ∆中，2,AB AC AB BC ==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 则= ；⑧已知(2,3),(1,2),(2,1)a b c ==--=r r r ，则()a b c ⋅r r r 的值= ____________；⑨1,9a b a b ==⋅=-r r r r ，则a r 与b r 的夹角是____________；⑩已知,a b r r 是两个非零向量，且,a b a b a a b ==-+r r r r r r r 则与的夹角= ____________．(3)研读教材P71—P833．典型例题例1 如图，已知四面体OABC ，,M N 分别是棱,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 表示向量OG u u u r ．解：23OG OM MG OM MN =+=+u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 121211()[()]232322111111()233633OA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC =+-=++-=++-=++u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴313161++=点评：若变题为已知OG xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，求,,x y z ﹒则由空间向量基本定理存在一个唯一的有序实数组),,(z y x 知111,,633x y z ===．例 2 设空间任意一点O 和不共线的三点,,A B C ，若点P 满足向量关系z y x ++=(其中1x y z ++=)．试问：,,,P A B C 四点是否共面?解：由z y x ++=可以得到z y +=(见教材P75)由,,A B C 三点不共线，可知与不共线，所以，，共面且具有公共起点A ．从而,,,P A B C 四点共面．点评：若,,M A B 三点不共线，则空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对,x y 使得：y x +=，或对空间任意一点O 有：y x ++=．例3 已知空间四边形ABCD ，E 为AD 的中点，F 为BC 中点，求证：1()2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ．证明：(法一)如图， 0EF FC CD DE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，0EF FB BA AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r ，两式相加得： 2()()()EF FC FB CD BA DE EA ++++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 20EF BA CD =++=u u u r u u u r u u u r r 所以，11()()22EF BA CD AB DC =-+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，得证． (法二)如图，在平面上任取一点O ，作OE uuu r 、OF u u u r ， ∵1()2OE OA OD =+u u u r u u u r u u u r ，1()2OF OB OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴11()()22EF OE OF OB OC OA OD =-=+-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111()()()222OB OA OC OD AB DC =-+-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．点评：若表示向量1a u r ，2a u u r ，…，n a u u r 的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则210n a a a +++=u r u u r u u r r L ．这一结论的使用往往能够给解题带来很大的方便．例4 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值．分析：OA 与BC 的夹角即为OA u u u r 与BC uuu r 的夹角，可根据夹角公式求解．解：∵BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r84cos13586cos12024=⨯⨯-⨯⨯=-o o∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，OA 与BC的夹角的余弦值为35-．点评：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=o u u u r u u u r 易错写成,45OA AC <>=o u u u r u u u r ．例5 已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积．分析：可用公式1||||sin 2S AB AC A =⋅⋅u u u r u u u r 来求面积解：∵(1,2,2)AB =-u u u r ，(2,0,3)AC =--u u u r ，∴||3AB ==u u u r，||AC ==u u u r(1,2,2)(2,0,3)264AB AC ⋅=-⋅--=-+=u u u r u u u r ，∴cos cos ,||||AB AC A AB AC AB AC ⋅=<>===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rsin sin ,A AB AC =<>=u u u r u u u r ，∴1||||sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅=u u u r u u u r 例6 已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,2)C ，求满足//DB AC ，//DC AB 的点D 的坐标．分析：已知条件//DB AC ，//DC AB ，也即//DB AC u u u r u u u r ，//DC AB u u u r u u u r ，可用向量共线的充要条件处理．解：设点(,,)D x y z ，∴(,1,)DB x y z =---u u u r ，(1,0,2)AC =-u u u r ，∵//DB AC u u u r u u u r ，∴DB AC λ=u u u r u u u r ，∴(,1,)(,0,2)x y z λλ---=-，∴102x y z λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，∴12x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴(,1,2)D λλ-，∴(,1,22)DC λλ=--+u u u r ，(1,1,0)AB =-u u u r ，又∵//DC AB u u u r u u u r ，∴设DC u AB =u u u r u u u r ，∴(,1,22)(,,0)u u λλ--+=-，∴1220u u λλ-=-⎧⎪-=⎨⎪+=⎩∴1u λ==-，所以，D 点坐标为(1,1,2)-．点评：本题采用的方法是用向量坐标运算处理空间向量共线问题的常用方法．4．自我检测(1)已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为____________．(2)设(2,6,3)a =-r ，则与a r 平行的单位向量的坐标为．(3)已知(1,1,),(2,,)a t t t b t t =--=r r ，则||a b -r r 的最小值是．(4)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=c ．则M B 1= ．(用a ，b ，c 表示)﹒(5)已知四边形ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1),(3,7,5)A B C --，则点D 的坐标为．(6)设向量(1,3,2),(4,6,2),(3,12,)a b c t =-=-=-r r r ，若c ma nb =+r r r ，则t = ，m n += ．(7)已知(cos ,1,sin ),(sin ,1,cos )a b θθθθ==r r ，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角是．三、课后巩固练习A 组1．已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量： (1)AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ； (2)1()2AB BD BC ++u u u r u u u r u u u r ； (3)1()2AG AB AC -+u u u r u u u r u u u r ． 2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，设→---AB =a r ，→---AD =b r ，→---1AA =c r ，E 、F 分别是AD 1、BD 中点，试用a r 、b r 、c r 表示下列向量：(1)→---B D 1；(2)→---AF ；(3)→---C D 1；(4)→---EF ． 3．正方体OASB CQRP -中，→--OA = i r ，→--OB =j r ，→--OC =k r ，→--OP =a r ，→--OQ =b r ，→--OS =c r ，设→z =λa r ＋μb r ＋γc r ，则→z = i r ＋ j r ＋ k r ． 4．设a r 、b r 、c r 不共面，2,,453m a b n b c p a b c =-=+=--u r r r r r r u r r r r ，判断m u r 、n r 、p u r 是否共面． 5﹒已知空间四边形ABCD ，AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，AD c =u u u r r ，点M 在AB 上，且2AM MB =，N 为CD 中点，试用,,a b c r r r 表示MN u u u u r ．B 组6．已知,,A B C 三点不共线，O 为空间任意一点，若111333OM OA OB OC =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ，试证：点M 与,,A B C 共面．7．证明四点()()()()1,0,1,4,4,6,2,2,3,10,14,17A B C D 在同一平面上． 8．已知()()3,1,5,1,2,3a b ==-r r ，若9,4a c b c ⋅=⋅=-r r r r ，且→c 垂直于Oz 轴，求→c ．9．已知a r 、b r 、c r 是两两垂直的单位向量，求：(1)()a b c ⋅+r r r ； (2)()()23a b b c -⋅+r r r r ； (3)()()4332a b c a b c -+⋅+-r r r r r r ．10．已知直角坐标系内的a r 、b r 、c r 的坐标，判断这些向量是否共面?如果不共面，求出以它们为三邻边所作的平行六面体的表面积：(1)()()()3,4,5,1,2,2,9,14,16a b c ===r r r ； (2)()()()3,0,1,4,3,0,1,2,2a b c =-=-=--r r r ．11．已知()()322,0,4,2,1,2,2,4,a b c a c b θ-=-=-⋅==r r r r r r 为,b c r r 夹角，求cos θ．12．已知()()1,0,2,2,1,0a b =--=--r rB CD M G A(1)求a r 与b r 夹角余弦值的大小； (2)若c =r c r 分别与,a b r r 垂直，求c r ．13. 平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为600，求1AC 的长．14．已知()()()1,2,3,2,1,5,3,2,5A B C --，求：(1)△ABC 的面积； (2)△ABC 的AB 边上的高． 15．空间两个不同的单位向量()(),,0,,,0OA p q OB r s ==u u u r u u u r ，都与()1,1,1OC =u u u r 成4π角． (1)分别求出p q +和pq 的值；(2)若AOB ∠为锐角，求AOB ∠．四、学习心得五、拓展视野N 维向量空间的起源宇宙，一个人类永远的话题，也是人类永远探索的目标．“没人确切的知道宇宙是怎么开始的．有人推论是一场无序的灾难性爆炸使无尽的世界群不断旋转向黑暗--这些世界随后有了不可思议的生命形态和天差地别的炯异．也有人相信宇宙是被某个强大实体以整体形式创造出来的．”宇宙，是一个空间概念．它包括行星，星系等实体．宇宙同时也是一个时间概念．现代有人解释宇宙为“无限的空间与时间”，正好印证了中国的一本古书<淮南子>对宇宙的定义，其中说“四方上下谓之宇，古往来今谓之宙”． “四方上下”概括了所有空间， "古往来今"则概括了部分的时间．为什么说是部分的时间呢? “古往来今”的含义是从永远的过去到现在的今天．这样的定义没有把从现在到无限的未来包括进来．如果我们把时间用一个变量 t 表示．那么“古往来今”则表示的是 t 在负无穷大到零的区间，即(-∞， 0]，如果我们设定坐标零点为现在，负方向代表过去，正方向代表将来．对于无限的空间的定义(即，时间 t从永远的过去到永远的将来)，就成为了(-∞，＋∞)．那么空间呢?同样我们可以用坐标系的方式来定义空间．问题的关键就在于，我们怎么看待我们生存的空间．我们不是生活在一个2维的平面上(而古代的中国人认为地是方的，就如同我小时候想得一样．)，而是生活在一个类似于球体的物体上．这样，很多人会说，我们生活在一个3维空间里面．这样一个3维空间由三个坐标轴 X ， Y ， Z 组成．在这样一个3维空间中，任何一个位置p 都可以用三个数(x ， y ， z )表示，x 为位置p 在X 轴上的取值(也是投影)，同理，y 和z 也是．同时，这三条坐标轴是正交的．何谓正交，就是三条坐标轴互相垂直．在这个3维空间中，我们有两点111,,)P y z 1（x (可能是伦敦)和2222,,)P x y z （(可能是巴黎)，从1P到2P 之间(伦敦到巴黎)的最小距离(直线距离)为D=||1P -2P ||=sqrt((1x -2x )2＋(1y -2y )2＋(1z -2z )2)．在一般情况，因为各种限制，我们可能用不了最小距离，但是最小距离给我们找到一个下限．宇宙不仅包括空间，而且包括时间，所以，我们的这个宇宙就变成了3＋1=4维的了．那么宇宙就可以描述为(),,,x y z t ，有了四条正交的坐标轴,,,X Y Z T ．比如说事件A 为(),,,x y z t 表示，事件A 发生在(),,x y z 地点，发生在t 时间．在这样一个4维空间中，两个事件之间的最小距离也可以表示出来．但是这个“距离”就不是空间上的相对位置的改变，而是表示两个事件之间的“关系”．跳出我们仅仅对宇宙作为时间＋空间的定义．如果我们将宇宙描述为包容万象的，我们就会看到仅仅用时间＋空间不能来完整来表示．比如说，如何表述一个人?如何表述我们情感?仅仅用四条坐标轴很难去表述这些东西．显然，我们需要更多的坐标轴．如果要表示我是高兴还是悲伤，我们可以加一条坐标轴e ，e=0表示我即不高兴也不悲伤，当e 取负值，越远离坐标原点，说明我越不happy ，相反，当e 取正值，越远离坐标原点，说明我越happy ．如果我们要描叙其他的属性，我们有加入了新的坐标轴．如果，要描述的属性不计其数，要加入的坐标轴也不计其数了．显然，这是有可能的，因为我们对事物的认识是没有止境的，所以，当我们要描叙一个事物时，其属性可能无限多．这也反过来说明了宇宙的包容一切．所以，宇宙是一个无限维的空间，定为n 维空间(n=∞)，其存在n 条正交的坐标轴．无数的基本元素组成了宇宙(注意，这里的元素与化学中提到的元素不同，这里的元素是指单元)．每个元素是一个向量v ， v = {v1， v2， v3，．．．， vn}， n =∞，(其实就相当于3维和2维空间中的一个点)．无数个向量组成的空间叫做向量空间．向量空间的维度就是坐标轴的个数．宇宙就是一个n 维向量空间。

空间向量与立体几何教案

第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算（一）教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：Ⅰ.复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．Ⅱ.新课讲授［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：AB OA OB +==a +b ， OA OB AB -=（指向被减向量），=OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；⑴BC AB + ；⑵'AA AD AB ++'21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P 27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．Ⅲ.巩固练习课本P 92 练习 Ⅳ. 教学反思平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法． Ⅴ.课后作业⒈课本P 106 1、2、⒉预习课本P 92～P 96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？ ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？ ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？ ⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？ ⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？板书设计：§9.5 空间向量及其运算（一）一、平面向量复习二、空间向量三、例1⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示⒉加减与数乘运算 ⒉加减与数乘向量小结 ⒊运算律 ⒊运算律教学后记：空间向量及其运算（2）一、课题：空间向量及其运算（2）二、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用．四、教学过程：（一）复习：空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

数学：第三章《空间向量与立体几何》教案(人教版选修2-1)

高二数学选修2－1 第三章第1节空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。

2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。

3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。

三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。

5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

高中数学第3章空间向量与立体几何 3.1 空间中向量的概念和运算学案湘教版选修2-1-湘教版高

3．1 空间中向量的概念和运算1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示方法和字母表示方法．2.掌握空间向量的线性运算，数量积．3．能运用运算法则及运算律解决一些简单几何问题．1．空间向量 (1)空间向量的定义在空间，把具有大小和方向的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的长度或模． (2)空间向量及其模的表示方法空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模．如图，a 的起点是A ，终点是B ，则a 也可记作AB →，其模记作|AB →|或|a |.2．空间向量的加减法如图，从任意一点O 出发作OA →＝a ，OB →＝b .并且从A 出发作AC →＝b ，则a ＋b ＝OC →，a －b ＝BA →．3．空间向量加法的运算律 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ．(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 4．空间向量与实数相乘(1)定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量． (2)向量a 与λa 的关系λ的范围方向关系模的关系λ>0 方向相同λa 的模是a 的模的|λ|倍λ＝0λa ＝0，其方向是任意的λ<0方向相反(3)空间向量与实数的乘法运算律①λ(a ＋b )＝λa ＋λb (对向量加法的分配律)． ②(λ1＋λ2)a ＝λ1a ＋λ2a (对实数加法的分配律)．5．空间向量的数量积(1)定义：从空间任意一点O 出发作OA →＝a ，OB →＝b ，则θ＝∠AOB 就是a ，b 所成的角，a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |·cos__θ.(2)空间向量数量积的运算律向量与实数相乘和向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a·b )交换律 a·b ＝b·a 分配律a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c1．下列命题错误的是( )A ．空间向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．零向量没有长度，所以它不是空间向量C ．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c解析：选B.A 中的两个向量互为相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以B 错误；C 是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移动到同一起点，所以D 正确．2．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则a·(b ＋c )的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－2解析：选B.a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ＝0.3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，向量AA 1→与CC 1→是______向量，向量AC →与C 1A 1→是________向量．答案：相等相反空间向量的加减运算如图所示，已知长方体ABCD A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1)AA ′→－CB →；(2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→.【解】 (1)AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AA ′→＋A ′D ′→＝AD ′→. (2)AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→ ＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→. 向量AD ′→，AC ′→如图所示．试把本例(2)中长方体中的体对角线所对应向量AC ′→用向量AA ′→，AB →，AD→表示．解：在平行四边形ACC ′A ′中，由平行四边形法则可得AC ′→＝AC →＋AA ′→，在平行四边形ABCD 中，由平行四边形法则可得AC →＝AB →＋AD →，故AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．1.化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD → ＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＋CA →＝0. 法二：(利用向量的减法运算法则求解) (AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝(AB →－AC →)＋BD →－CD →＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0. 答案：02．如图，在四棱锥V ABCD 中，化简VA →－VC →＋AB →＋BC →.解：VA →－VC →＋AB →＋BC →＝CA →＋AC →＝0.空间向量的线性运算如图所示，已知空间四边形ABCD 中，向量AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，若M 为BC 中点，G 为△BCD 的重心，试用a 、b 、c 表示下列向量：(1)DM →；(2)GM →；(3)AG →.【解】 (1)连接AM ，在△ADM 中，DM →＝DA →＋AM →，由线段中点的向量表示知 AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，由相反向量的概念知DA →＝－AD →＝－c ，所以DM →＝DA →＋AM → ＝12(a ＋b )－c ＝12(a ＋b －2c )． (2)在△BCD 中，GM →＝13DM →＝13·12(a ＋b －2c ) ＝16a ＋16b －13c .(3)在△ADG 中，由三角形重心的性质，得 AG →＝AD →＋DG →＝c ＋23DM →＝c ＋13(a ＋b －2c )＝13(a ＋b ＋c )．(1)有限多个空间向量a 1，a 2，a 3，…，a n 相加，可以从某点O 出发，逐一引向量OA 1→＝a 1，A 1A 2→＝a 2，…，A n －1A n ＝a n .如图，于是以所得折线OA 1A 2…A n 的起点O 为起点，终点A n 为终点的向量OA n →就是a 1，a 2，…，a n 的和，即OA n→＝OA 1→＋A 1A 2→＋…＋A n －1A n ――→＝a 1＋a 2＋…＋a n .此即为空间向量的多边形法则．(2)用折线作向量的和时，若折线的终点与起点重合，则和向量为零向量．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O .Q 是CD 的中点，求下列各式中x 、y 的值：(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 解：如图， (1)因为OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，所以x ＝y ＝－12.(2)因为PA →＋PC →＝2PO →，所以PA →＝2PO →－PC →. 又因为PC →＋PD →＝2PQ →，所以PC →＝2PQ →－PD →.从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. 所以x ＝2，y ＝－2.向量的数量积及应用已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积． (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.【解】如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→) ＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c ) ＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.若本例的条件不变，计算EF →·FC 1→.解：EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（AA 1→－AB →）＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（c －a ）＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.(1)空间向量运算的两种方法①利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．②利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． ③代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．已知|a |＝3，|b |＝4，〈a ，b 〉＝120°，则(3a －2b )·(a ＋2b )＝________．解析：(3a －2b )·(a ＋2b )＝3|a |2＋4a ·b －4|b |2＝3|a |2＋4|a ||b |cos 120°－4|b |2＝3×9＋4×3×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4×16＝27－24－64＝－61. 答案：－611．在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，观察分析各向量在图形中的表示，运用运算法则，化简到最简为止．2．证明两向量共线的方法为：首先判断两向量中是否有零向量．若有，则两向量共线；若两向量a ，b 中，b ≠0，且有a ＝λb (λ∈R )，则a ，b 共线．3．两向量的数量积，其结果是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．4．当a ≠0时，由a ·b ＝0不能推出b 一定是零向量，这是因为任一个与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b ＝0，这由向量的几何意义就可以理解．1.如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝( )A.AB 1→B.DC →C.AD →D.BA →解析：选B.因为D 1C 1→＝A 1B 1→，所以AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝AA 1→＋A 1B 1→－BB 1→＝AB 1→＋B 1B →＝AB →. 又AB →＝DC →，所以AA 1→＋D 1C 1→－BB 1→＝DC →.2.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________．解析：因为AP →·AC →＝AP →·(AB →＋BC →)＝AP →·AB →＋AP →·BC →＝AP →·AB →＋AP →·(BD →＋DC →)＝AP →·BD →＋2AP →·AB →，因为AP ⊥BD ，所以AP →·BD →＝0.因为AP →·AB →＝|AP →||AB →|cos ∠BAP ＝|AP →|2，所以AP →·AC →＝2|AP →|2＝2×9＝18. 答案：183.如图所示，已知平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式．(1)AA 1→＋A 1B 1→； (2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→； (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→； (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →. 解：(1)AA 1→＋A 1B 1→＝AB 1→.(2)AA 1→＋A 1M →－MB 1→＝AA 1→＋A 1M →＋MD 1→＝AD 1→. (3)AA 1→＋A 1B 1→＋A 1D 1→＝AA 1→＋A 1C 1→＝AC 1→. (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →＝0.[A 基础达标]1．若向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c·a ＝0且b·c ＝0”是“l ⊥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当a ∥b 时，由c·a ＝0且c·b ＝0得不出l ⊥α；反之，l ⊥α一定有c·a ＝0且c·b ＝0.故选B.2．如图，在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13C ．－13D ．－23解析：选A.因为CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.3.如图，已知空间四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 解析：选A.AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列选项中化简后为零向量的是( ) A.AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→ B.AB →－AC →＋BB 1→ C.AB →＋AD →＋AA 1→D.AC →＋CB 1→ 解析：选A.在A 选项中，AB →＋A 1D 1→＋C 1A 1→＝(AB →＋AD →)＋CA →＝AC →＋CA →＝0. 5．如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c解析：选A.注意到AM →＝12AC →＝12A 1C 1→＝12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝12(a ＋b )，B 1M →＝B 1A 1→＋A 1A →＋AM →＝－a＋c ＋12(a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .6．如图，已知正三棱柱ABCA 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则直线AB 1和BM 的位置关系是________．解析：因为AB 1→＝AA 1→＋AB →，BM →＝BC →＋12CC 1→＝BC →＋12AA 1→，设三棱柱的各棱长均为a ，则AB 1→·BM →＝(AA 1→＋AB →)·(BC →＋12AA 1→)＝AA 1→·BC →＋12AA 1→2＋AB →·BC →＋12AB →·AA 1→＝0＋12a 2＋a 2cos 120°＋0＝0.所以AB 1→⊥BM →. 答案：垂直7．如图，已知四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，AB ＝4，AA 1＝3，∠BAA 1＝60°，E 为棱C 1D 1的中点，则AB →·AE →＝________．解析：AE →＝AA 1→＋AD →＋12AB →，AB →·AE →＝AB →·AA 1→＋AB →·AD →＋12AB →2＝4×3×cos 60°＋0＋12×42＝14.答案：148．命题：①向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB→＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部．上述命题中的真命题是________．解析：①中a 所在的直线其实不确定，故①是假命题；②中当a ＝0，而b ≠0时，则找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；③中M 是△ABC 的重心，故M 在平面ABC 上且在△ABC 内，故③是真命题．答案：③9．已知正四面体O ABC 的棱长为1.求：(1)OA →·OB →；(2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)；(3)|OA →＋OB →＋OC →|.解：(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB＝1×1×cos 60°＝12. (2)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.(3)|OA →＋OB →＋OC →|＝（OA →＋OB →＋OC →）2 ＝12＋12＋12＋2（1×1×cos 60°）×3＝ 6.10．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →；(2)AB →＋GD →＋EC →.并在图中标出化简结果的向量．解：(1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(2)因为E 、F 、G 分别为BC 、CD 、DB 的中点，所以BE →＝EC →，EF →＝GD →.所以AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．[B 能力提升]11.正四面体A BCD 的棱长为a ，点E 、F 、G 分别为棱AB 、AD 、DC 的中点，则四个数量积：①2BA →·AC →；②2AD → ·BD →；③2FG →·AC →；④2EF →·CB→中结果为a 2的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选B.①2BA →·AC →＝2·a ·a cos 120°＝－a 2.②2AD →·BD →＝2·a ·a ·cos 60°＝a 2.③2FG →·AC →＝2·a 2·a ·cos 0°＝a 2. ④2EF →·CB →＝2·a 2·a ·cos 120°＝－a 22. 12．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________．解析：因为A ，B ，C 三点共线，所以存在唯一实数k 使AB →＝kAC →，即OB →－OA →＝k (OC →－OA →)，所以(k －1)OA →＋OB →－kOC →＝0.又λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，令λ＝k －1，m ＝1，n ＝－k ，则λ＋m ＋n ＝0.答案：013．已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式．(1)AB →＋BC →；(2)AB →＋AD →＋AA ′→；(3)AB →＋AD →＋12CC ′→； (4)13(AB →＋AD →＋DD ′→)．解：如图所示，(1)AB →＋BC →＝AC →.(2)AB →＋AD →＋AA ′→＝AC →＋CC ′→＝AC ′→.(3)设M 是线段CC ′的中点，则 AB →＋AD →＋12CC ′→＝AC →＋CM →＝AM →.(4)设G 是线段AC ′的三等分点，则 13(AB →＋AD →＋DD ′→)＝13(AC →＋CC ′→)＝13AC ′→＝AG →.14.(选做题)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点，求证：A 1O ⊥平面GBD .证明：设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则a·b ＝0，b·c ＝0，a·c ＝0. 而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )， BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )－12c .所以A 1O →·BD →＝(c ＋12a ＋12b )·(b －a ) ＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝12(|b |2－|a |2)＝0.所以A 1O →⊥BD →，所以A 1O ⊥BD .同理可证：A 1O →⊥OG →，所以A 1O ⊥OG .又因为OG ∩BD ＝O ，且A 1O ⊄平面BDG ，所以A1O⊥平面GBD.。

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B版选修21

高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B 版选修211．掌握空间向量的夹角与长度的概念．2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的夹角阅读教材P 85～P 86“两个向量的数量积”上面内容，完成下列问题． 1．夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．图31202．夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量________，记作________．【答案】 π 垂直 a ⊥b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)〈a ，b 〉与(a ，b )都表示直角坐标系下的点．( ) (2)在△ABC 中，〈AB →，BC →〉＝∠B .( )(3)在正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →与A ′C ′→的夹角为45°.( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 空间向量的数量积及其性质阅读教材P86“两个向量的数量积”～P87“例2”，以上部分内容，完成下列问题．1．已知空间中两个非零向量a，b，则________叫做a，b的数量积，记作________．规定：零向量与任何向量的数量积为________，即0·a＝________.【答案】|a||b|cos〈a，b〉a·b0 02．空间向量数量积满足下列运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝________.【答案】a·b＋b·c3．空间向量数量积的性质若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a| cos θ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·a＝|a|2或|a|＝________；(4)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|≤|a|·|b|.【答案】a·a下列式子中正确的是( )A．|a|a＝a2B．(a·b)2＝a2b2C．a(a·b)＝b·a2D．|a·b|≤|a||b|【解析】根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．故选D.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]空间向量数量积的运算(1)如图3121，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，PA ＝AC ，则在向量AB →，BC →，CA →，PA →，PB →，PC →中，夹角为90°的共有( )图3121A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对(2)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →＝________.图3122(3)如图3122所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求下列数量积： ①AB →·BA 1→＝________； ②AB →·BC 1→＝________.【自主解答】 (1)AB →与BC →，PA →与AB →，PA →与BC →，PA →与CA →，PB →与BC →夹角为90°. (2)AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →·12AD →＝12AB →·AD →＋14BC →·AD →＝12a 2cos 60°＝14a 2. (3)①AB →·BA 1→＝1×2cos 135° ＝－1；②AB →·BC 1→＝AB →·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋AB →·CC 1→ ＝0.【答案】 (1)B (2)14a 2(3)①－1 ②01．求两向量数量积的解题思路 (1)解模：解出两向量的模．(2)求夹角：根据向量的方向求出两向量的夹角． (3)求结果：使用公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉得结果． 2．数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能．[再练一题]1．已知空间向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角为150°，求下列各式的值． (1)a ·b ；(2)(a ＋2b )·(2a －3b )．【解】 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×8×cos 150°＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－16 3. (2)(a ＋2b )·(2a －3b )＝2a 2＋a ·b －6b 2＝2|a |2＋|a ||b |cos 150°－6|b |2＝2×42－163－6×82＝－352－16 3.求两个空间向量的夹角如图3123，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求BC →1与AC →夹角的大小．图3123【精彩点拨】 (1)怎样用向量AB →，AD →，AA →1表示向量BC →1与AC →？ (2)求两向量的夹角公式是怎样的？【自主解答】不妨设正方体的棱长为1， BC →1·AC →＝(BC →＋CC →1)·(AB →＋BC →)＝(AD →＋AA →1)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA →1·AB →＋AA →1·AD →＝0＋AD →2＋0＋0＝AD →2＝1，又∵|BC →1|＝2，|AC →|＝2，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC →1·AC →|BC →1||AC →|＝12×2＝12.∵0°≤〈BC →1，AC →〉≤180°， ∴〈BC →1，AC →〉＝60°. ∴BC →1与AC →夹角的大小为60 °.1．由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系．当〈a ，b 〉∈ ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，它们相等；而当〈a ，b 〉∈ ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，它们互补．2．利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的步骤 (1)取向量；(2)求向量夹角余弦cos 〈a ，b 〉； (3)定结果cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.[再练一题]2.如图3124，已知直三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．图3124(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值．【解】 (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D . (2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. ∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. [探究共研型]利用数量积求距离探究1 已知A (1,2,1)，B (2,0,2)，求|AB →|的值．【提示】 AB →＝(1，－2,1)，∴|AB →|＝12＋－22＋12＝ 6.探究2 求两点间距离或线段的长度的方法．【提示】利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．平行四边形ABCD 中，AB ＝2AC ＝2且∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求点B ，D 间的距离．图3125【精彩点拨】 (1)由已知可以得出AC 与CD ，AC 与AB 垂直吗？ (2)根据AB 与CD 成60°角可建立什么方程？能直接求出|BD →|吗？【自主解答】由已知得AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，折叠后AB 与CD 所成角为60°，于是，AC →·CD →＝0，BA →·AC →＝0，且〈BA →，CD →〉＝60°或120°.|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD →＝22＋12＋22＋2×2×2cos〈BA →，CD →〉，故|BD →|2＝13或5，解得|BD →|＝13或5，即B ，D 间的距离为13或 5.1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．2．用数量积求两点间距离的步骤 (1)用向量表示此距离； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a ·a ＝|a |2，求|a |； (4)|a |即为所求距离．[再练一题]3.如图3126所示，在空间四边形OABC 中，OA ，OB ，OC 两两成60°角，且OA ＝OB ＝OC ＝2，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，试求E ，F 间的距离．图3126【解】 EF →＝EA →＋AF →＝12OA →＋12(AB →＋AC →)＝12OA →＋12[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝－12OA →＋12OB →＋12OC →，所以EF 2→＝14OA →2＋14OB →2＋14OC →2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OB →＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OC →＋2×12×12OB →·OC →＝2.∴|EF →|＝2，即E ，F 间的距离为 2.[构建·体系]1．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3【解析】由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0， |e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0， ∴2k －12＝0，∴k ＝6. 【答案】 B2．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A.12 B ．22C ．－12D ．0【解析】 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝12|OA →||OC →|－12|OA →||OB →|＝0，∴OA →⊥BC →.∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 【答案】 D3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________.【导学号：15460065】【解析】原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →)＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0. 【答案】 04.如图3127，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝________，|BC →－EF →|＝________，EF →与AC →所成的角为________．图3127【解析】 |AB →＋BC →|＝|AC →|＝2； EF →＝12BD →，BD →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，故|BC →－EF →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →－12BD →2＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14×4＝3.故|BC →－EF →|＝ 3.又因为EF →＝12BD →＝12(AD →－AB →)，故AC →·EF →＝12AC →·(AD →－AB →)＝12(AC →·AD →－AC →·AB →)＝0，因为〈EF →，AC →〉∈[0°，180°]，所以〈EF →，AC →〉＝90°. 【答案】 23 90°5.如图3128，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .图3128(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．【解】 (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→ ＝13(c －a )＋a ＋13(b －a ) ＝13a ＋13b ＋13c . (2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5， ∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解析】由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD → B ．DA →与PB → C.PD →与AB →D ．PA →与CD →【解析】用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD →＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C.【答案】 A4.如图3129，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )图3129A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．【答案】 C5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中正确命题的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个【解析】由题意知①②都正确，③不正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°. 【答案】 B 二、填空题6．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝_________________.【导学号：15460066】【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】617．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋λb ·λa －2b <0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋λb ·λa －2b <0，a ＋λb ·λa －2b ≠－|a ＋λb ||λa －2b |得λ2＋2λ－2<0. ∴－1－3<λ<－1＋ 3. 【答案】 (－1－3，－1＋3)8.如图3130，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3130【解析】不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝BB 1→－BA →·⎝⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.【答案】 90° 三、解答题9．如图3131，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面BDG .图3131【证明】设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )，BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )＋12c .∴A 1O →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面BDG .10．已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→.【解】如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AA 1→－AB →＋AD →＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a ＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→)＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→)＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AA 1→－AB →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a ＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C.【答案】 C2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【解析】由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1. cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB →，CD →〉＝60°.【答案】 B3．已知正三棱柱ABC DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CN CF＝________.【导学号：15460067】【解析】设CN CF＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →， MN →＝12BC →＋mAD →，又AE →·MN →＝0，得12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4m ＝0，解得m ＝116. 【答案】1164.如图3132，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图3132【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝AB →＋AD →＋AA 1→2＝ AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→.∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→|＝1＋4＋9＋21×3×cos 60°＋2×3×cos 60° ＝23.。

选修2-1第三章空间向量与立体几何教案4

课题：空间的角的计算（1）教学目标：能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题教学重点：异线角与线面角的计算教学难点：异线角与线面角的计算教学过程一、创设情景1、异面直线所称的角、线面角的定义及求解方法2、向量的夹角公式二、建构数学1、法向量在求面面角中的应用：原理：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补。

2、法向量在求线面角中的应用：原理：设平面β的斜线l 与平面β所的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余。

三、数学运用1、例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。

解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角AHG ∠1715cos =∠AHG 解2：（向量法）设b F D a DD ==111,4，则||||b a =且⊥222212117)4(||||a b a BE DF =+== 21115)4)(4(a b a b a BE DF =-+=⋅ 1715||||,cos 111111=>=<DF BE BE 解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以1,,DD 为正交基底，建立如图所示空间坐标系xyz D -)4,1,0(1-=BE ,)4,1,0(1=DF ，⋅1BE 1DF ＝15 1715,cos 111111=>=<DF BE 2、例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的大小解：设正方体棱长为1，以1,,DD DC DA 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D -xyz1DB 为D 1AC 平面的法向量，)1,1,1(1=DB)1,43,21(1-=F E8787,cos 11>=<F E DB 所以直线E 1F 与平面D 1AC 所成角的正弦值为8787 3、补充例题在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，AC =2，BC =13，SB （1）求证：SC ⊥BC ；（2）求SC 与AB 所成角的余弦值解：如图，取A 为原点，AB 、AS 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系，则有AC =2，BC =13，SB =29，得B （0,17,0）、S （0,0,23）、C （21713,174,0）， ∴SC =（21713,174,-23），CB =（－21713,1713,0）（1）∵SC ·CB=0，∴SC ⊥BC （2）设SC 与AB 所成的角为α，∵AB =（0,17,0），SC ·AB =4，|SC ||AB|=417， ∴cos α=1717，即为所求 4、课堂练习课本96页练习1－3αβPABl四、回顾总结求异线角与线面角的方法五、布置作业课题：空间的角的计算（2）教学目标：能用向量方法解决二面角的计算问题教学重点：二面角的计算教学难点：二面角的计算教学过程一、创设情景1、二面角的定义及求解方法2、平面的法向量的定义二、建构数学利用向量求二面角的大小。

2017-2018版高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.3空间的角的计算学案版2-1

3.2。

3 空间的角的计算［学习目标] 1。

理解直线与平面所成角的概念.2.能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题。

3。

掌握用空间向量解决立体几何问题的基本步骤．知识点一两条异面直线所成的角（1）定义：设a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做a 与b 所成的角．（2）范围:两条异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤π2.(3)向量求法：设直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，其夹角为φ，则a ，b 所成角的余弦值为cos θ＝｜cos φ|＝错误!.知识点二直线与平面所成的角(1）定义:直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．(2)范围：直线和平面所成角θ的取值范围是0≤θ≤错误!.(3）向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为φ，则有sin θ＝｜cos φ｜＝错误!或cos θ＝sin φ。

知识点三二面角(1)二面角的取值范围：［0，π］．（2）二面角的向量求法：①若AB，CD分别是二面角α—l-β的两个面内与棱l 垂直的异面直线(垂足分别为A，C),如图,则二面角的大小就是向量错误!与错误!的夹角．②设n1、n2是二面角α-l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与向量n2的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．题型一两条异面直线所成角的向量求法例1如图,在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．解以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1为x，y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A（0,0，0)，B（2，0，0），C(0，2,0），D(1,1，0)，A1(0,0,4)，C1(0，2,4)，所以错误!＝(2,0，－4），错误!＝（1，－1，－4）．因为cos〈错误!，错误!>＝错误!＝错误!＝错误!,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为错误!。

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中山市东升高中高二数学◆选修2-1◆导学案编写：李晓利校审：李八江§3.1.1空间向量及其运算1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．8486 复习1：平面向量基本概念：具有和的量叫向量，叫向量的模（或长度）；叫零向量，记着；叫单位向量.叫相反向量， a的相反向量记着 .叫相等向量. 向量的表示方法有，，和共三种方法.复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：1. 向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2. 实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝ .(2)当λ＞0时，λa 与A. ；当λ＜0时，λa 与A. ；当λ＝0时，λa ＝ .3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？加法交换律：a ＋b ＝b ＋a加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的相关概念问题：什么叫空间向量？空间向量中有零向量，单位向量，相等向量吗？空间向量如何表示？新知：空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中，OB =， AB = ，试试：1. 分别用平行四边形法则和三角形法则求,.a b a b +-.2. 点C 在线段AB 上，且52AC CB =,则AC = AB , BC = AB . 反思：空间向量加法与数乘向量有如下运算律吗？⑴加法交换律：A. + B. = B. + a ； ⑵加法结合律：(A. + b ) + C. =A. + (B. + c )； ⑶数乘分配律：λ(A. + b ) =λA. +λb ． ※ 典型例题例 1 已知平行六面体''''ABCD A B C D -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：AB BC + ⑴；'AB AD AA ++⑵；1'2AB AD CC ++ ⑶1(')2AB AD AA ++ ⑷．变式：在上图中，用',,AB AD AA 表示'',AC BD和'DB.小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．2中山市东升高中高二数学◆选修2-1◆导学案编写：李晓利校审：李八江§3.1.2 空间向量的数乘运算（一）1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．一、课前准备（预习教材P 86~ P 87，找出疑惑之处）复习1：化简：⑴ 5（32a b - ）+4（23b a -）；⑵ ()()63a b c a b c -+--+- .复习2：在平面上，什么叫做两个向量平行？在平面上有两个向量,a b ，若b 是非零向量，则a与b平行的充要条件是二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的共线问题：空间任意两个向量有几种位置关系？如何判定它们的位置关系？新知：空间向量的共线：1. 如果表示空间向量的所在的直线互相或，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.2. 空间向量共线：定理：对空间任意两个向量,a b （0b ≠ ）， //a b的充要条件是存在唯一实数λ，使得推论：如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是试试：已知5,28,AB a b BC a b =+=-+()3CD a b =-，求证: A,B,C 三点共线.反思：充分理解两个向量,a b共线向量的充要条件中的0b ≠，注意零向量与任何向量共线.※ 典型例题例 1 已知直线AB ，点O 是直线AB 外一点，若OP xOA yOB =+，且x +y ＝1，试判断A,B,P 三点是否共线？变式：已知A,B,P 三点共线，点O 是直线AB 外一点，若12OP OA tOB =+，那么t ＝例2 已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点M 是棱AA '的中点，点G 在对角线A 'C 上，且CG:GA '=2:1,设CD =a ，',CB b CC c ==，试用向量,,a b c 表示向量',,,CA CA CM CG .变式1：已知长方体''''ABCD A B C D -，M 是对角线AC '中点，化简下列表达式：⑴ 'AA CB - ;⑵ '''''AB B C C D ++⑶ '111222AD AB A A +-4中山市东升高中高二数学◆选修2-1◆导学案编写：李晓利校审：李八江试试：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式111236OP OA OB OC =++,则点P 与 A,B,C共面吗？反思：若空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C 满足关系式OP xOA yOB zOC =++,且点P 与 A,B,C 共面，则x y z ++= .※ 典型例题例1 下列等式中，使M ,A ,B ,C 四点共面的个数是（）①;OM OA OB OC =--②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++=④0OM OA OB OC +++= . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4变式：已知A,B,C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若向量()17,53OP OA OB OC R λλ=++∈ 则P ,A,B,C 四点共面的条件是λ=例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O 作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F ,G ,H,并且使,OE OF OG OHk OA OB OC OD==== 求证：E,F ,G ,H 四点共面.2008年下学期◆高二月日班级：姓名：第三章空间向量与立体几何6变式：已知空间四边形ABCD 的四个顶点A,B,C,D 不共面，E,F ,G ,H 分别是AB,BC,CD,AD 的中点，求证：E,F ,G ,H 四点共面.小结：空间向量的化简与平面向量的化简一样，加法注意向量的首尾相接，减法注意向量要共起点，并且要注意向量的方向.※ 动手试试练1. 已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？练 2. 已知32,(1)8a m n b x m n =-=++ ，0a ≠，若//a b ，求实数.x三、总结提升※ 学习小结 1. 空间向量的数乘运算法则及它们的运算律； 2. 空间两个向量共线的充要条件及推论. ※ 知识拓展平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A、1D C 、11AC是（） A. 有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量.2. 正方体''''ABCD A B C D -中，点E 是上底面''''A B C D 的中心，若''BB xAD yAB zAA =++, 则x ＝，y ＝，z ＝ .3. 若点P 是线段AB 的中点，点O 在直线AB 外，则OP OA + OB .4. 平行六面体''''ABCD A B C D -, O 为A 1C 与B 1D的交点,则'1()3AB AD AA ++=AO .5. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（）.A ．0 B.1 C. 2D. 3 1. 若324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++， 0a ≠ ，若//a b ，求实数,x y .2.已知两个非零向量21,e e不共线,12,AB e e =+ 121228,33AC e e AD e e =+=-. 求证：,,,A B C D 共面．A B C D F E G H中山市东升高中高二数学◆选修2-1◆导学案编写：李晓利校审：李八江§3.1.3．空间向量的数量积（1）1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.题． 9092复习1：什么是平面向量a 与b的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC 中，求AB BC ∙二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题夹角和空间线段的长度问题？新知：1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量,a b在空间一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠做向量a 与b 的夹角，记作 .试试：⑴ 范围: ,a b ≤<>≤,a b 〈〉 =0时,a b 与 ;,a b 〈〉 =π时,a b 与⑵ ,,a b b a <>=<>成立吗？⑶,a b <>=，则称a 与b 互相垂直，记作 .2) 向量的数量积：已知向量,a b ，则叫做,a b作a b ⋅ ，即a b ⋅=.规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？ ⑵ 0a ∙= （选0还是0 ）⑶ 你能说出a b ⋅的几何意义吗？ 3) 空间向量数量积的性质：（1）设单位向量e ，则||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）a b a b ⊥⇔⋅=．（3）a a ⋅=＝ .4) 空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律反思：⑴ )()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅（吗？举例说明.⑵ 若a b a c ⋅=⋅ ，则b c =吗？举例说明.⑶ 若0a b ⋅= ，则00a b ==或吗？为什么？※ 典型例题例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥. 求证：l α⊥．例2 如图，在空间四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，BD =，3CD =，30ABD ∠= ，60ABC ∠= ，求AB 与CD 的夹角的余弦值2008年下学期◆高二月日班级：姓名：第三章空间向量与立体几何8变式：如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB =2BB 1,则AB 1与C 1B 所成的角为（）A. 60°B. 90°C. 105°D. 75°例3 如图，在平行四边形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，4,3AB AD ==,'5AA =,90BAD ∠=︒,'BAA ∠='DAA ∠=60°,求'AC 的长.※ 动手试试练1. 已知向量,a b满足1a = ，2b = ，3a b +=，则a b -= ____.练 2. 222,,22a b a b ==⋅=-已知, 则a b 与的夹角大小为_____. 三、总结提升 ※ 学习小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2. 向量的数量积的性质和运算律的运用.※ 知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 下列命题中：①若0a b ∙= ，则a ，b 中至少一个为0②若a 0≠ 且a b a c ∙=∙ ，则b c =③()()a b c a b c ∙∙=∙∙④22(32)(32)94a b a b a b +∙-=-正确有个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（）A. 12e e +B. 12e e -C. 1eD. 2e 3.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边为,,a b c ，且3,1a b ==,30C ∠=︒,则BC CA ∙=4. 已知4a = ，2b =，且a 和b 不共线，当 a b λ+ 与a b λ-的夹角是锐角时，λ的取值范围是 .5. 已知向量,a b满足4a = ，2b = ，3a b -= ，则a b +=____课后作业：1. 已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥.2. 已知线段AB 、BD 在平面α内,BD ⊥AB , 线段AC α⊥,如果AB ＝a ,BD ＝b ,AC ＝c ,求C 、D 间的距离.D B C中山市东升高中高二数学◆选修2-1◆导学案编写：李晓利校审：李八江§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；一、课前准备（预习教材P 92-96找出疑惑之处）复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量P ，,a b 是平面上两个向量，总是存在实数对(),x y ，使得向量P 可以用,a b 来表示，表达式为，其中,a b 叫做 . 若a b ⊥ ，则称向量P 正交分解.复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x 轴和y 轴上的向量,i j 作为基底，对平面上任意向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，，则称有序对(),x y 为向量a 的，即a ＝ .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量a ，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？新知： ⑴ 空间向量的正交分解：空间的任意向量a，均可分解为不共面的三个向量11a λ 、22a λ 、33a λ ，使112233a a a a λλλ=++ . 如果123,,a a a两两，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c ，对空间任一向量p ，存在有序实数组{,,}x y z ，使得p xa yb zc =++. 把的一个基底，,,a b c 都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有个.⑶单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a的坐标，记着p =.⑸设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB＝ .⑹向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； ⑵a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；⑶λa ＝123(,,)a a a λλλ()R λ∈；⑷a ·b ＝112233a b a b a b ++.试试： 1. 设23a i j k =-+，则向量a 的坐标为 .2. 若A (1,0,2)，B (3,1,1)-，则AB＝ . 3. 已知a ＝(2,3,5)-，b ＝(3,1,4)--，求a ＋b ，a －b ，8a ，a ·b※ 典型例题例1 已知向量,,a b c 是空间的一个基底，从向量,,a b c 中选哪一个向量，一定可以与向量,p a b =+q a b =-构成空间的另一个基底？变式：已知O,A,B,C 为空间四点，且向量,,OA OB OC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C 是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底2008年下学期◆高二月日班级：姓名：第三章空间向量与立体几何10的方法是：这三个向量一定不共面. 例2 如图，M,N 分别是四面体QABC 的边OA,BC 的中点，P ,Q 是MN 的三等分点，用,,OA OB OC表示OP 和OQ .变式：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，点G是侧面''BB C C 的中心，且OA a =，',OC b OO c == ，试用向量,,a b c 表示下列向量: ⑴''',,;OB BA CA ⑵ OG .※ 动手试试练1. 已知()()()2,3,1,2,0,3,0,0,2a b c =-==，求： ⑴()a b c ∙+ ； ⑵68a b c +- .练2. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA 为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则点1D ，',AC AC 的坐标分别是，， .三、总结提升 ※ 学习小结1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算 ※ 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若{}a,,b c为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（）A.,,a a b a b +-B. ,,b a b a b +-C. ,,c a b a b +-D. 2,,a b a b a b ++-2. 设i 、j 、k 为空间直角坐标系O -xyz 中x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，且AB i j k =-+-，则点B 的坐标是 3. 在三棱锥OABC 中，G 是ABC ∆的重心（三条中线的交点），选取,,OA OB OC 为基底，试用基底表示OG ＝4. 正方体''''ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为坐标原点，以'AB,AD,AA为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，E 为BB 1中点，则E 的坐标是 .5. 已知关于x 的方程()222350x t x t t --+++=有两个实根，c a tb =+ ，且()()1,1,3,1,0,2a b =-=-，当t ＝时，c的模取得最大值. 1. 已知()()3,5,7,2,4,3A B =-=-,求,,AB BA线段AB的中点坐标及线段AB 的长度.2. 已知,,a b c 是空间的一个正交基底，向量,,a b a b c +- 是另一组基底，若p 在,,a b c 的坐标是()1,2,3，求p 在,,a b a b c +-的坐标.中山市东升高中高二数学◆选修2-1◆导学案编写：李晓利校审：李八江222(,,)B x y z ，则线段AB 的长度为：AB .4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则线段AB 的中点坐标为: .※ 典型例题例1. 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中，点11,E F 分别是1111,A B C D 的一个四等分点，求1BE 与1DF 所成的角的余弦值．变式：如上图,在正方体1111A B C D A B C D -中，1111113A BB E D F ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦值．例2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E,F 分别是111,BB D B 的中点，求证：1EF DA ⊥.2008年下学期◆高二月日班级：姓名：第三章空间向量与立体几何12※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B.较好 C. 一般 D. 较差 ※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不不要条件2. 已知()()2,1,3,4,2,a b x =-=-，且a b ⊥ ，则x ＝ .3. 已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+ 与OB 的夹角为120°，则λ的值为（）A. B. C. D. 4. 若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==- ，且,a b的夹角为钝角，则x 的取值范围是（）A. 4x <-B. 40x -<<C. 04x <<D. 4x >5. 已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且(2)//(2)a b a b +-，则（）A. 1,13x y ==B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-1. 如图，正方体''''ABCD A B C D -棱长为a ， ⑴ 求'',A B B C 的夹角；⑵求证：''A B AC ⊥.2. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点M,N 分别为棱11,A A B B 的中点，求CM 和1D N 所成角的余弦值.中山市东升高中高二数学◆选修2-1◆导学案编写：李晓利校审：李八江7. 向量的数量积：a b ⋅=.8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相，长度都为，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i ,j ,k ｝表示.9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O -xyz 和向量a ，且设i 、j 、k 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向的单位向量，则存在有序实数组{,,}x y z ，使得a xi y j zk =++ ，则称有序实数组{,,}x y z 为向量a的坐标，记着p = .10. 设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝ .11. 向量的直角坐标运算：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 ⑴a ＋b ＝； ⑵a －b ＝； ⑶λa ＝； ⑷a ·b ＝※ 动手试试 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（） A ．0 B. 1 C. 2 D. 3 2．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A、1D C 、11AC 是（） A ．有相同起点的向量 B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量3．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2）， c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=（） A. 627 B. 637 C. 647 D. 657 4．若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件5．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．56. 32,2,a i j k b i j k =+-=-+ 则53a b ∙= （）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－114中山市东升高中高二数学◆选修2-1◆导学案编写：李晓利校审：李八江§3.2立体几何中的向量方法（1）1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．一、课前准备（预习教材P 102~ P 104，找出疑惑之处）复习1：可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？复习2：如何判定空间A ,B ,C 三点在一条直线上？复习3：设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，a ·b ＝二、新课导学※ 学习探究探究任务一：向量表示空间的点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知：⑴ 点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP来表示，我们把向量OP称为点P 的位置向量. ⑵ 直线：① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.② 对于直线l 上的任一点P ,存在实数t ，使得AP t AB =，此方程称为直线的向量参数方程. ⑶ 平面：① 空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定.对于平面α上的任一点P ,,a b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(,)x y ,使得OP x a y b =+ .② 空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.⑷ 平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n垂直于平面α,记作n ⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量.试试： .1.如果,a b 都是平面α的法向量，则,a b的关系 .2.向量n是平面α的法向量，向量a 是与平面α平行或在平面内，则n 与a的关系是 .反思：1. 一个平面的法向量是唯一的吗？2. 平面的法向量可以是零向量吗？⑸ 向量表示平行、垂直关系：设直线,l m 的方向向量分别为,a b，平面,αβ 的法向量分别为,u v，则① l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔=② l ∥α⇔a u ⊥ 0a u ⇔⋅=③ α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔=※ 典型例题例1 已知两点()()1,2,3,2,1,3A B --,求直线AB与坐标平面YOZ 的交点.变式：已知三点()()1,2,3,2,1,2,A B ()1,1,2P ,点Q 在OP 上运动（O 为坐标原点）,求当QA QB ∙取得最小值时,点Q 的坐标.2008年下学期◆高二月日班级：姓名：第三章空间向量与立体几何16小结：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.例2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.变式：在空间直角坐标系中,已知()()()3,0,0,0,4,0,0,0,2A B C ,试求平面ABC 的一个法向量.小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直.※ 动手试试练1. 设,a b分别是直线12,l l 的方向向量，判断直线12,l l 的位置关系： ⑴ ()()1,2,2,2,3,2a b =-=-；⑵ ()()0,0,1,0,0,3a b ==.练2. 设,u v分别是平面,αβ的法向量，判断平面,αβ的位置关系： ⑴ ()()1,2,2,2,4,4u v =-=--；⑵ ()()2,3,5,3,1,4u v =-=--.三、总结提升※ 学习小结1. 空间点，直线和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性质.※ 知识拓展：求平面的法向量步骤：⑴设平面的法向量为(,,)n x y z =；⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；⑶根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组；,即得法向量.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 设()()2,1,2,6,3,6a b =--=--分别是直线12,l l 的方向向量，则直线12,l l 的位置关系是 .2. 设()()2,2,5,6,4,4u v =-=-分别是平面,αβ的法向量，则平面,αβ的位置关系是 .3. 已知n α⊥，下列说法错误的是（）A. 若a α⊂，则n a ⊥B.若//a α，则n a ⊥C.若,m α⊥ ，则//n mD.若,m α⊥ ，则n m = 4.下列说法正确的是（）A.平面的法向量是唯一确定的B.一条直线的方向向量是唯一确定的C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量D.若m 是直线l 的方向向量，//l α，则//m α5. 已知()()1,0,1,0,3,1AB AC =-=-，能做平面ABC 的法向量的是（）A. ()1,2,1B.11,,13⎛⎫⎪⎝⎭ C.()1,0,0D. ()2,1,31. 在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：1DB是平面1ACD 的一个法向量.2．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC ==，求平面ABC 的一个法向量.中山市东升高中高二数学◆选修2-1◆导学案编写：李晓利校审：李八江§3.2立体几何中的向量方法（2）1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.一、课前准备（预习教材P 105~ P 107，找出疑惑之处.复习1：已知1a b ∙= ，1,2a b ==，且2m a b =+ ，求m .复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学※学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a = 求出线段长度.试试：在长方体''''A B C DA B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示.※ 典型例题例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？变式1：上题中平行六面体的对角线1BD 的长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从A ，B 到直线l （库底与水坝的交线）的距离,AC BD 分别为,a b ，CD 的长为c ，AB 的长为d .求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，60︒的二面角的棱上有,A B 两点，直线,ACBD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,AB已知4,6,8AB AC BD ===,求CD 的长.2008年下学期◆高二月日班级：姓名：第三章空间向量与立体几何18※ 动手试试练1. 如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠= ，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离.练2. 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角.三、总结提升※ 学习小结 1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a ； 2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为利用公式cos ,a ba b a b⋅=⋅ 求解.※ 知识拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成:（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；“翻译”成相应的几何意义.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 已知()()1,02,1,1,3A B -，则AB = .2. 已知1cos ,2a b =- ，则,a b 的夹角为 .3. 若M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D-的棱''',A B BB 的中点,那么直线,AM CN 所成的角的余弦为（）C.35D.254. 将锐角为60︒边长为a 的菱形ABCD 沿较短的对角线折成60︒的二面角，则,AC BD 间的距离是（）A.32a C.34a 5.正方体'''A B C D AB C D-中棱长为a ，'1AM AC =,N 是'BB 的中点，则MN 为（）1. 如图，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，,M N 分别是''',BB B C 的中点，求：⑴ ',MN CD 所成角的大小； ⑵ ,MN AD 所成角的大小； ⑶ AN 的长度.中山市东升高中高二数学◆选修2-1◆导学案编写：李晓利校审：李八江§3.2立体几何中的向量方法（3）1. 进一步熟练求平面法向量的方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.一、课前准备复习1：已知()()1,2,0,0,1,1,A B ()1,1,2C ，试求平面ABC 的一个法向量.复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法问题：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n,且AP 与n 不共线,能否用AP 与n表示d ?分析:过P 作PO ⊥α于O连结OA ,则d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠∵PO ⊥α,,n α⊥ ∴PO ∥n . ∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉| ∴D. =|PA ||cos ,PA n 〈〉 | =|||||cos ,|||PA n PA n n ⋅⋅〈〉 =||||PA n n ⋅新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n，则D. = ||||PA n n ∙试试：在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，求点'C 到平面''A BCD 的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.※ 典型例题例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.变式：如图,ABCD 是矩形,PD ⊥平面A B C D ,PD DC a ==,AD ,M N 、分别是AD PB 、的中点,求点A 到平面MNC 的距离.小结：求点到平面的距离的步骤： ⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐AP D CBM N2008年下学期◆高二月日班级：姓名：第三章空间向量与立体几何20标；⑷ 代入公式求出距离.探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且 'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长.变式：已知直三棱柱111ABC A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BCA ∠=,E 是AB 的中点,求异面直线CE 与1AB 的距离.小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n ABd n∙= 求解.三、总结提升※ 学习小结1.空间点到直线的距离公式2.两条异面直线间的距离公式※ 知识拓展用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，平面''ABB A 的一个法向量为；2. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是；3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，两个平行平面间的距离是；4. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是；5. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''A CDB 的距离是 .1. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求OM 的长.2. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO 的长都是1，点,D E 分别是边,OA BC 的中点，连结DE . ⑴ 计算DE 的长；⑵ 求点O 到平面ABC 的距离.。