中江中学校月考答案

中江中学校2011级
高一下期第一次月考试题
(数学答案)
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题： CCBBC DABCD C A
12题 解析：AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BC →＋CE →＝BC →＋23CA →，CF →＝CA →＋AF →＝CA →＋23
AB →， ∴AD →＋BE →＋CF →＝53AB →＋53CA →＋43BC →＝53(AB →＋CA →)＋43BC →＝53CB →＋43BC →＝－13
BC →. 故选A
二、填空题： 13. 724 14. 2 15． 22 16. 23 三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17．(本小题满分12分)
已知向量a ＝1e －2e ，b ＝41e ＋32e ，其中1e =(1,0)，2e ＝(0,1)．
(1)试计算a ·b 及|a ＋b 的值；（6分） (2)求向量a 与b 夹角的余弦值。

（6分）
解：由已知a ＝(1，－1)，b ＝(4,3)．
(1)a ·b ＝1×4＋(－1)×3＝1，
∵a ＋b ＝(1，－1)＋(4,3)＝(5,2)， ∴|a ＋b |＝25＋4＝29.
(2)设a ，b 夹角为θ，其中θ∈[]π,0 ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝12×5＝210
， 18. (本小题满分12分)
在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，内角A,C 满足等式sinC = 2sin A 。

(1)求角A 的余弦值；（6分） (2)求tan(A+π4
)的值．（6分） 解：(1)在△ABC 中，根据正弦定理，AB sin C ＝BC sin A
. 于是AB ＝sin C sin A BC ＝2BC ＝2 5. 在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝ 255
. (2) 由(1)得cos A ＝ 255 ∵A ()π,o ∈ ∴ sin A ＝1－cos 2A ＝55
. 从而 tan A ＝21， ∴tan(A+π4)=32
11121=-+ 19.(本小题满分12分)
已知向量e 1、e 2不共线，
(1) 若AB =e 1－e 2，BC =2e 1－８e 2，CD =3e 1＋３e 2，
求证：A 、B 、D 三点共线. （6分）
(2) 若向量λe 1－e 2与e 1－λe 2共线，求实数λ的值.（6分）
解：(1) BD =BC +CD =2e 1-8e 2+3(e 1+e 2)＝５e 1-5e 2＝５AB ∴BD 与AB 共线
又直线BD 与AB 有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线
(2)∵λe 1-e 2与e 1-λe 2共线
∴存在实数k ，使λe 1－e 2＝ｋ（e 1－λe 2） ，化简得（λ－ｋ）e 1+(k λ－１)e 2＝0 ∵e 1、e 2不共线 ，
∴由平面向量的基本定理可知：λ－ｋ＝０且ｋλ－１＝０
解得λ＝±１，故λ＝±１．
20．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 25A =，3A B A C ⋅= ． （1）求ABC ∆的面积；（6分） (2)若6b c +=，求a 的值（6分）．
解：（1）因为25cos 25
A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3A
B A
C ⋅= ，得cos 3,bc A =5bc ∴=， 1sin 22
ABC S bc A ∆∴== （2)由于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，
由余弦定理得2222c o s 20a b c b A =+-=，
25a ∴= 21.（本小题满分12分）
（文） 设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．
(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；（6分）
(2)求|b ＋c |的最大值； （6分）
解：(1)因为a 与b －2c 垂直，
b －2
c ＝(sin β－2cos β，4cos β＋8sin β)，
所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，
因此tan(α＋β)＝2.
(2)由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得
|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2
＝17－15sin2β≤4 2.
又当β＝πk －π4
(Z k ∈) 时，等号成立，所以|b ＋c |的最大值为4 2. （理）已知函数f (x )=3Asin ωx .cos ωx + A cos 2ωx +2
3 (A>0,ω>0，x ∈R )的最小正周期为π，且当x =6
π时，函数取最大值3. (1)求f (x )的解析式； (6分)
（2）在ABC ∆中,当f (A)=52
时，有两向量m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求m n + 的最小值．（6分）
解:（1）f (x )=23Asin2ωx+223)6π2sin(2322cos 1.A x A x A +++=++ωω ∵f (x )的周期为π， ∴|
2|π2ω=π⇒|ω|=1， ∴ω=±1.ω>0 ∴ ω=1 , 当x =
6π时，函数取最大值3 , ∴A=1 ∴f (x )=sin(2x+6π)+2. (2) m n + 2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2
C B B C =-=， ∴2m n + 22222π1πcos cos cos cos ()1sin(2)326B C B B B =+=+-=--． 由（1）得f (A)=sin(2A +
6π)+2=52, sin(2A+6π)=21. ∵A ()π,o ∈ ∴A=3π , ∴2π3B C +=， ∴2π(0,)3B ∈．从而ππ7π2666
B -<-<． ∴当πsin(2)6
B -＝1，即π3B =时，2m n + 取得最小值12, 故m n + min 22=．
22.（本小题满分14分）
（文）答案见理科21题 （理）设向量a ＝(35cos x ,35sin x )， b ＝(3cos x ，3sin x -)， ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx (1) 求 a 与b 垂直时x 的集合.（5分）
(2)已知函数f (x )=a ·b －λ2.|a ＋b | (其中0>λ)的最小值是23-，求λ的值。

（9分）
解: (1)a ·b =35cos x 3cos x － 35sin x 3
sin x = cos2x =0 ∴x= 4π
∴x 的集合为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧4π。

（2）a ·b =cos2x
∵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ∴ |a ＋b | ==+x 2cos 222|cosx | =2cosx
∴ f (x )=a ·b －λ2.|a ＋b | = cos2x - 4λcosx =2cos 2x - 4λcosx -1 =2221)(cos 2λλ---x ∵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ∴1c o s 0≤≤x ①当10≤<λ时 ,
当且仅当cosx=λ时, f (x )取得最小值-1-22λ=23-
， 解得λ=2
1 ②当1>λ时， 当且仅当cosx=1时, f (x )取得最小值1- 4λ=2
3-， 解得λ=8
5，与1>λ相矛盾，不成立。

综上所述： λ=2
1。