2021年高三上学期10月月考试题 数学(理) 含答案

2021年高三上学期10月月考试题 数学（理） 含答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．(0,1)2. 复数z ＝a ＋i 1－i为纯虚数，则实数a 的值为 ．13. 不等式|x ＋1|·(2x ―1)≥0的解集为 ． {x |x ＝―1或x ≥12}4. 函数f (x )＝13x －1＋a （x ≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．5. 充要6. m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．(9,－4)7. 向量a ＝(1,2)、b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k ＝_________． 8. 由题意知，a 与b 不共线，故k ∶1＝1∶(－3)，∴k ＝－139. 关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ． 10. [－4,4]11. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．412. 解：x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4) (x＋2y ＋8)≥0．又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4．13. 已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－∞,3]14. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12·→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC＝ ． 315. 若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________．[12,＋∞)16. 解：f '(x )＝2mx ＋1x －2≥0对x ＞0恒成立，2mx 2＋1－2x ≥0∴2m ≥2x －1x 2＝－1x 2＋2x，令t ＝1x ＞0∴2m ≥－t 2＋2t ，∵()－t 2＋2t max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12． 17. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5 (x ＞1)，若x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ． (－∞,4)18. 将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的最小值为_______．19. 解法一：点代入y ＝sin(2x －2φ)∴sin(2π3－2φ)＝32∴－2φ＋2π3＝2k π＋π3或－2φ＋2π3＝2k π＋2π3∴φ＝－k π＋π6或φ＝－k π∴φ的最小值为π6．20. 解法二：结合函数y ＝sin2x 的图形．21. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f(x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ． 22. ⎣⎡ln33,⎭⎫1e二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. （本小题满分14分） 24. 已知直线和．25. 问：m 为何值时，有：（1）；（2）．解：（1）∵，∴，得或；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去． 当时，即 ∴当时，． ………7分 （2）由得或； ∴当或时，． ………14分 26. （本小题满分14分）27. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． 28. （1）求f (x )的解析式；29. （2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分 ∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分30. （本小题满分15分）31. 已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， 32. （1）k a －b 与a －k b 垂直；33. （2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分34. （本小题满分15分）35. 如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km ．36. （1）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km ．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．37. （2）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ．若∠DCE ＝θ(0≤θ≤ π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y 的最小值．解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD . 过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为 1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分 （2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π 3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分38. （本小题满分16分）39. 已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ．40. （1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论； 41. （2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； 42. （3）设g (x )＝2a ln x ＋x 2－5x －1＋ax，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a 2或x ＜1－1－a2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增，∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2 综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得成立，即在[1,e]上存在一点，使得，即函数在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，因为，所以； ………12分 ②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得； ………14分 ③当，即时，可得最小值为， 因为，所以，，故 此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F '(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F '(x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分43. （本小题满分16分）44. 已知常数a ＞0，函数f (x )＝13ax 3－4(1－a )x ，g (x )＝ln(ax ＋1)－2x x ＋2．45. （1）讨论f (x )在(0,＋∞)上的单调性；46. （2）若f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上存在两个极值点x 1、x 2，且g (x 1)＋g (x 2)＞0，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意可知：f '(x )＝ax 2－4(1－a )当a ≥1时，f '(x )＞0，此时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增． 当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a＜0舍去） 当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增． 综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增； 当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0,2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增． ………6分（2）由（1）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点， 因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1. 又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a， 由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )a x ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 【定义域在这里很重要】 ………8分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点． 而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2………10分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x ＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x－2，设t ＝－x ∈(0,1)， (t )＝2ln t －2t －2单调递增 ∴ (t )＜ (1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x －2，∴h '(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1．………16分附加题(考试时间：30分钟 总分：40分)xx.1021.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分) 已知矩阵（1）求；（2）满足AX ＝二阶矩阵X解：(1) ………5分(2) ………10分22．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l 被曲线C 所截得的弦长．解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心为(1，1)，半径为2，(3分)直线的直角坐标方程为3x －y －3＝0，(5分)所以圆心到直线的距离为d ＝||3－1－32＝12，(8分)所以弦长＝22－14＝7.(10分)23.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ， （1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．解： （1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －, 则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),设平面A 1BC 1的法向量为, 则,即,令,则,,所以.同理可得,平面BB 1C 1的法向量为, 所以.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角,所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为. ………5分（2）设D 是直线BC 1上一点,且. 所以.解得,,. 所以.由,即.解得.因为,所以在线段BC 1上存在点D , 使得AD ⊥A 1B .此时,. ………10分1C 1A 1B 1C ABC24.（本小题满分10分)（1）证明：①；②（其中）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设局，每局比赛甲获胜的概率均为，首先赢满局者获胜（）. ①若，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）. 解：（1）①()()()()()()()()()111!1!!!()!1!(1)!1!()!1!1!11!r r n nr n n r n r n n C C r n r r n r r n r n C r n r +++++-⎡⎤⎣⎦+=+=-+--+-+==++-+……2分②由① ……3分（2）①若，甲获胜的概率()10156)1()1(2322242233+-=-+-+=p p p p p pC p p pC p P ……5分②证明：设乙每一局获胜的概率为，则． 记在甲最终获胜的概率为，则()nn nn n nn n nn n n n n n n n n n n qC q Cq Cpqp pC q p pC q p pC p P 2221122211...1...++++=++++=++++++所以，()()()()()[]()()[()][][]()()()0122)()()(...)1()1()11(......1...1...11...1...1 (112111212111212211122211212211122211212211211221)3221211212231321211222131222211112221312222111122213122222111<-=-=-=+--=+--+-+++-++-+-=+++++++++-++++=++++--++++=++++-++++=-++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++q C q p C qC q p C qC q p C qC C q p C q C C q C C C q C C q C C q p qC q C q C q q C q C q C qC q C q C p q C q C q C q qC q C q C p q C q C q C p q C q C q C p P P n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n所以即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）． ………10分 26545 67B1 枱Ay21102 526E 剮40664 9ED8 默33073 8131 脱 35752 8BA8 讨25121 6221 戡24143 5E4F 幏34944 8880 袀34497 86C1 蛁。