位移法解题步骤例题2(精)
三根杆的位移法例题
三根杆的位移法例题
摘要：
1.介绍三根杆的位移法例题
2.详解三根杆的位移法例题的解法
3.总结三根杆的位移法例题的解法及注意事项
正文：
一、介绍三根杆的位移法例题
三根杆的位移法例题是力学中的一种经典问题，主要涉及到杆的弯曲和应力分布等方面的知识。
这个问题通常描述为：有三根杆固定在一点，并承受一定的力，求杆的位移或应力分布。
这个问题在实际工程中有着广泛的应用，如建筑结构、桥梁设计等。
二、详解三根杆的位移法例题的解法
解三根杆的位移法例题，一般可以分为以下几个步骤：
1.建立模型：首先，根据题目描述，建立三根杆的模型，明确杆的材料、截面形状、边界条件等。
2.列方程：根据力学原理，如力矩平衡、静力平衡等原理，列出方程组。
3.解方程：通过数学方法，如代入法、消元法等，解出方程组中的未知量。
4.计算结果：根据解出的方程，计算出杆的位移或应力分布。
三、总结三根杆的位移法例题的解法及注意事项
解三根杆的位移法例题，需要掌握力学基础知识，熟悉杆的弯曲和应力分
布规律，同时具备一定的数学运算能力。
在解题过程中，要注意以下几点：
1.准确理解题意，明确杆的边界条件和受力情况。
2.在列方程时，要注意单位的统一，保证计算的准确性。
3.在解方程时，要根据方程的特性选择合适的解法，避免盲目尝试。
4.在计算结果时，要注意单位的转换和有效数字的保留。
通过以上步骤和注意事项，可以较好地解决三根杆的位移法例题。
结构力学龙驭球第八章
第八章 位移法总结
A EI
B EI
C
2EI D
一根直杆的刚度不同时, 位移基 本未知量的确定
如图，将BD杆分为BC和CD两根 杆件，则本题有三个未知量 B，
C ，⊿C。
第八章 位移法 总结
(a) E F G
F
C
B l/2
D l
H
A
l
l/2 l/2
(b) C
F B
D
A
(c) C
F D
3 F /28
(3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单位
位移Δj =1下的弯矩图 及M荷j 载作用下的弯矩图MP
第八章 位移法总结
由平衡条件求出系数kij和自由项Fi P；
(4) 解方程求Δj；
注意：一切计算
(5) 按叠加原理计算杆端弯矩。 都是在基本结构上进
M M 1 1 M 2 2 M n n M p 行!
第八章 位移法总结
MKF112q2a2
qa2
24
MFK11q2a281q2a245q82a
(c) m K
C
q
(d)
F
K
n
q/ 2
(e)
F
K
q/ 2 F
MCK112q2a281q2a2q42a8 M KC
qa2 24
再将图c荷载分解为为正对称与反对称的 叠加，取半结够如图d（正对称 ）、图 e(反对称）所示。由叠加得： （上拉） （上拉） （左拉） （右拉）
三、几个值得注意的问题
1. 位移法的适用条件
(1) 位移法既可以求解超静定结构，也可以求解静定结 构；
(2) 既可以考虑弯曲变形，也可以考虑轴向和剪切变 形；
位移法典型方程、计算举例
2.78
M M P M 1 C M 2 CH
2.09
0.70
例题2
计算举例
B C
求作弯矩图，EI=常数，各杆长L=6m A
19 kN
D
E
变形图 19 kN
解：1. 位移法变量：θB，ΔAH
2.附加约束作MP图，
并求R1P，R2P R1P=0 ，R2P= –19 kN
R2P
2
你能验算 吗？
例题1
计算举例
16 8
MP
4）位移法方程
r11 C r12 CH R1 P 0 r21 C r22 CH R 2 P 0
3i 4i
C
40 23 i
CH
64 23 i
M1
3i/L
M2
6i/L
5）作M图
2.附加约束（刚臂和支杆）作MP图，并求R1P、R2P
qL2/8
R1P= qL2/16
R2P= – qL
qL2/8
qL2/16
C
R1P
M P图
R2P
例题3
计算举例
2i 3i 4i 4i r21 6i/L r22
3 .作 M 1、 M 2图，求 r11， r21， r12， r22
6i/L
3i r11
n n
图 ，i 1, 2 , , n 。 由
叠 加 原 理 ， 当 n 个 变 量 都 产 生 各 自 实 际 的 位 移（ 角 度 或 侧 移 ） 时 ，在 第 i 个 变 量 处 产 生 的 力 为 ：
r
j 1
ij
Z
j
， 为 消 去 该 处 的 约 束 力 ， 令 ：R iP
结构力学位移法
P A
MAB0
B MBA0
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。 P A
QAB0
B QBA0
静超静定结构计算——位移法
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作 用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端 剪力。用MAB、MBA、QAB、QBA表示。
EI EI EI f 三、两端固定梁的转角位移方程 M AB 4 A 2 B 6 M AB
A D
B
C
1、写出杆端力的表达式( Z1 B , Z2 c ) ：
M AB 2 M BA M BC EI 30 6 Z1 l 8 EI 30 6 4 Z1 l 8 EI EI 4 Z1 2 Z2 l l
M CB 2 M CD M DC EI EI Z1 4 Z2 l l EI 10 6 2 3 Z2 l 8 0
2 EI 4 EI Z Z 2 22.பைடு நூலகம் 0 1 3 3 2 EI Z 7 EI Z 45 0 1 2 6 3
28.56 Z 1 EI Z 46.73 2 EI
解方程，求得
静超静定结构计算——位移法 2、根据平衡条件列位移法方程 ：
MCB C MCD 30kN B QBA
C QCD
M CB M CD 0 QBA QCD 30 0
即：
3i ( 3 iZ ) ( 4 iZ Z2 ) 0 1 1 2 ( 3i Z 30) ( 3i Z 3i Z ) 0 1 2 16 2 2 4
4、确定线位移的方法
（1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也 是不动点。
位移法—位移法的典型方程和计算实例(建筑力学)
i
18.94kN m
i
2
i
3.158
M CD 6i
18.95kN m
i
3 21.05
M BD i
20 35.79kN m
4
i
作M图，如图示
位移法
位移法计算步骤归纳如下
（1）确定基本未知量。在原结构上加入附加约束，得到
衡条件求出杆端剪力。
M
B
FQAB
M
A
0
2.5 4 2 20
kN 0
4
0
FQBA
2.5 4 2 20
kN 10kN
4
位移法
同理，取杆件BC，由平衡条件得
FQCB FQBC 10kN
取杆件BD，由平衡条件得
FQDB FQBD 7.5kN
1.5i1 0.9375i 2 15 0
1
3.16
i
2
21.05
i
位移法
（6）作M图
利用叠加公式 M M1Z1 M 2 Z 2 M 计算杆端弯矩
3.158 3 21.05
M AC 2i
i
25.26kN m
i
2
i
3.158 3 21.05
k211 k22 2 F2 0
位移法
（3）求系数和自由项
k11＝4i +6 i＝10 i
k12= -1.5 i ＝k21
k12= -1.5 i
k22 0.75i 0.1875 i 0.9375 i
位移法
F1 0
位移法例题
r21=- 24i/l 2
0
6i/l 6i/l
r12= -24i/l 2
r12
Z2=1
-12i/l 2 -12i/l 2 12i/l 2
-12i/l 2 -12i/l 2 r22=48i/l 2 12i/l 2
r22
6i/l
M 2图
FP
说明：水平杆的M图没画，并不是其M=0，而 是EI无穷大的杆能平衡任何弯矩。
R1P FP
R1P=-FP
0 0 0 0 0
FP
R2P FP MP图
R2P=-FP
0
作用在结点上的外力相当于 支座，故杆件无弯矩。 解得
3FP l 2 Z1 = 24i FP l 2 Z2 = 12i
FPl /4 FPl /4 FPl / 2
FPl / 2
M图
(4) 利用叠加法作出弯矩图
例4:用位移法计算图示结构 ,并作弯矩图.EI= 常数. 4:
l
A l
D
（同济大学，2004年考研题）
Z1 = 1
B 4i A 4i 2i l
C 2i l D
Z2 = 1
6i/l
2i/l
B
C
4i/l
M1 图
A
6i/l
D
l
M2 图
l
Z1 = −ql / ( 84i )
2
Z 2 = ql / ( 3i )
3
M 图（× ql ）
2
例2： 位移法求解图示结构。
P
P /2
l A EA = B
Z1
l
l
P
l
注意： M 1图和 M P图的正确作图
例3：用位移法作图示结构的 M 图。EI=常数.
高中物理位移公式大全总结及例题
高中物理位移公式大全总结及例题位移是描述物体位置变化的物理量，是矢量，既有大小又有方向。
在高中物理中，我们主要学习匀速直线运动和匀变速直线运动中的位移公式。
1.匀速直线运动•位移公式：o s = vto其中：▪s：位移（m）▪v：速度（m/s）▪t：时间（s）这个公式表示，在匀速直线运动中，物体在单位时间内通过的距离（即速度）乘以运动时间，就等于物体的位移。
2.匀变速直线运动•位移公式：o s = v₀t + 1/2at²o其中：▪s：位移（m）▪v₀：初速度（m/s）▪t：时间（s）▪a：加速度（m/s²）这个公式表示，在匀变速直线运动中，物体的位移等于初速度乘以时间加上1/2乘以加速度乘以时间的平方。
•其他常用公式：o末速度公式：v = v₀ + ato平均速度公式：v̄= (v₀ + v) / 2o中间时刻速度公式：vₘ = v₀ + 1/2at3.公式的应用这些公式在解决匀速直线运动和匀变速直线运动的问题中非常重要。
我们可以利用这些公式，结合已知条件，求解未知的物理量，如位移、速度、时间、加速度等。
4.注意：•在使用这些公式时，一定要注意单位的统一，一般采用国际单位制。
•对于不同的运动情况，可能需要选择不同的公式进行计算。
•在解决实际问题时，要仔细分析题意，找出已知量和未知量，然后选择合适的公式进行求解。
5.例题一个物体以2m/s的速度匀速运动了5s，求物体的位移。
解：•已知：v = 2m/s，t = 5s•求：s•根据公式s = vt，代入数据得：s = 2m/s × 5s = 10m•答：物体的位移为10m。
6.总结位移公式是高中物理中非常基础且重要的公式。
掌握这些公式，并能灵活运用，对于解决力学问题具有重要意义。
7.温馨提示：•多做练习：通过大量的练习，可以加深对公式的理解和记忆。
•画示意图：在解题过程中，画示意图可以帮助我们更好地理解题意，找出解题思路。
《船舶结构力学》第5章 位移法
Ql01，M10
1 12
Ql01
θ
Mθ12
1 8
Pl12，M 21
1 8
Pl12
θ
θ
图中,因有强迫转θ角存在, 则有转角弯矩：
θ
θ
i
M ij lij 3EI ij
M jilij 6EI ij
j
M ji lij 3EI ij
M ij lij 6EI ij
则：M ij
4EI ij lij
i
2EI ij lij
由题意可知，除了节点4是刚性固定没有转角外,其余四个节点 0、l、2、3在计算过程中都要把它固定然后强迫转动,因此未知转角 有四个，即θ0、θ1、θ2和θ3。
(2)计算固端弯矩：
查附录表A-4,可得杆0-l、1-2和2-4在外荷重作用下的固端弯矩为：
j
M ji
2EI ij lij
i
4EI ij lij
j
同不难得： Nij
M ij M ji lij
N ji
M ij M ji lij
Pre
Next
Exit
则求杆端总弯矩：
M ij
M ij
M ij
M ij
4EI ij lij
i
2EI ij lij
j
M
ji
M ji
M ji
M
ji
2EI ij lij
M10
M10 M10
1 ql2 4EI
12
l
ql 3 168EI
3 ql2 28
0.107ql2
M12
M12
M12
1 12
ql 2
4EI l
ql3 2EI 168EI l
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位移法解题步骤
例题2
用位移法作例题2图（a ）所示对称刚架的弯矩图（EI 为常数）。
解：⑴取半刚架。
此结构为一对称刚架，且承受对称荷载，故可取半刚架计算，半刚架计算简图如例题2图（b ）所示。
⑵作位移法基本体系图。
半刚架只有一个刚结点C ，只有一个角位移，无线位移。
位移法基本体系如例题2图（c ）所示。
⑶列位移法基本方程。
01111=+P R Z r
⑷求系数和自由项。
令 16===EI i i CE AC ，23
==EI i CK 。
根据载常数和形常数作1M 、P M 图[例题2图(d)、(e)]。
由1M 图及公式可得
1024411=++=r
由P M 图及公式可得
)(1545301m kN R P ⋅-=-=
⑸解算方程。
将系数和自由项代入位移法基本方程中，得
015101=-Z
解方程，得 5.111
11=-=r R Z P ⑹根据叠加法作弯矩图。
计算杆端弯矩。
)(273025.1m kN M AC ⋅-=-⨯=
)(363045.1m kN M CA ⋅=+⨯=
)(424525.1m kN M CK ⋅-=-⨯=
())(5.255.2225.1m kN M KC ⋅-=--⨯=
)(645.1m kN M CE ⋅=⨯=
)(325.1m kN M EC ⋅=⨯=
例题2图。