单纯形法求最优解问题及一些知识点整理
线性规划问题的单纯形法求解步骤
线性规划问题的单纯形法求解步骤线性规划是一种优化问题，它的解决方法有很多种，在这里我们来介绍其中一种常用的方法——单纯形法。
我们将介绍单纯形法的求解步骤，以帮助读者更好地理解和掌握这种求解方法。
1. 建立数学模型任何一个线性规划问题的解决都需要先进行建模。
我们将问题转换成数学模型，然后使用数学方法进行求解。
线性规划问题的一般形式为：max cxs.t.Ax ≤ bx ≥ 0其中，c、x、b、A都是向量或矩阵，x≥0表示各变量都是非负数。
其中c表示目标函数，A和b表示约束条件。
2. 计算初始基可行解我们需要从初始点开始，逐步优化目标函数。
但是，在开始优化前我们需要先找到一个基可行解。
基可行解的定义是：如果所有非基变量的取值都是0，并且所有基变量的取值都是非负的，则该解被称为基可行解。
当基可行解找到后，我们就可以开始进行优化。
3. 确定进入变量在单纯形法中，每次迭代中我们都需要找到进入变量。
进入变量是指，通过操作非基变量可以使得目标函数增加的变量。
我们需要找到一个使得目标函数增加最多的非基变量，将其称为进入变量。
4. 确定离开变量在确定进入变量后，我们需要确定一个离开变量。
离开变量是指，通过操作基变量可以使得目标函数增加的变量。
我们需要找到一个离开变量，使得当进入变量增加到某个值时，该离开变量的值为0。
这样，我们就找到了一个最小的正根比率，使得通过基本变量出基到进入变量变为零而得到的新解是可行的。
5. 交换变量接下来，我们需要将已选定的进入变量和离开变量进行交换。
此时，我们将进入变量转变为基变量，离开变量转变为非基变量。
通过这种交换，我们还需要调整我们的基向量。
由于这个交换，我们将得到一个新的基可行解，并且它可以比之前的解更好。
6. 重复迭代我们需要重复上述步骤，直到我们找到最优解。
重复迭代意味着我们将不断查找新的进入变量和离开变量，并进行变量交换。
这种找到最优解的过程可能非常复杂，但是单纯形法的效率很高，通常可以在很短的时间内找到最优解。
单纯形法多重最优解
单纯形法多重最优解
嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊单纯形法多重最优解这个有趣的话题。
你们知道吗？单纯形法就像是一个神奇的魔法，能帮我们在复杂的数学世界里找到最优的答案。
可有时候呀，它会给我们带来一个惊喜——多重最优解！
想象一下，你在一个大迷宫里找出口，结果发现居然有好几个出口都能让你最快走出去，这是不是很神奇？这就像单纯形法里的多重最优解。
那为什么会有多重最优解呢？这是因为在问题的条件和限制下，有多种组合方式都能达到最优的效果。
比如说，做一个生产计划，可能用不同的设备组合，都能以最低的成本生产出同样多的产品。
多重最优解可不是随便就出现的哦。
这需要问题本身有一些特殊的结构和条件。
就好像是拼图，只有特定的拼图块才能拼出多个完美的图案。
当我们遇到多重最优解的时候，可别慌！这其实是个好事儿。
它给了我们更多的选择，让我们可以根据实际情况来挑一个最合适的方案。
呢，单纯形法的多重最优解就像是一个藏着宝贝的百宝箱，只要我们善于发现和利用，就能找到最适合我们的那个宝贝！怎么样，小伙伴们，是不是觉得单纯形法更有趣啦？好啦，今天就聊到这儿，咱们下次再见哟！。
第二章单纯形法总结
得到解（0，0，0，5，4）T，y1+y2=9 选择x2为替换变量，替换y2：
- 2 3 2 2，行1-行2，行22 行3 行 2 得到解（0，2，0，1，0）T，y1+y2=1 2
0 1 0
1 1
1 0 -1
-1 1 2 0
1 2 2 -1
①
给出①的一个基解X=（XB，XN），令C=（CB，CN），则： x0=CBXB+CNXN ② XB=B-1b-B-1NXN ③ X0=CBB-1b-（CBB-1N-CN）XN ④ 若④中取XN=0，则： X0=CBB-1b是基可行解X=（XB，XN）的目标函数值。
将③和④写成矩阵形式 ： x 0 C B B 1b C B B 1 N C N X N X 1 B 1b B N B
引进新记号 x 0 xB0 , X B ( xB1 , xB2 xBm )T , 用R表示N中各列的下标集合， S {B1，B2， ，Bm }表示S中各列的下标集合 令 y 00 C B B1b y10 Y0 （ 1 ） ， B b y mc y0 j C B B1Pj c j y1 j Yi （ ） ， j R B1Pj y mj
单纯形法初始基本可行解的选择：
1、若原线性规划问题中所有约束条件均为≤形式，则松弛变 量可作为初始基本可行解。 2、若原线性规划问题中所有约束条件包括≥或=形式，则需 要人工变量法求得初始基本可行解。 标准型中最能引起目标函数值Z变化的非基变量为首选。
单纯形法入基变量的选择：
运筹学第5章 单纯形法
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法
运筹学5-单纯形法
保持可行性 保持可行性 保持可行性
保持可行性
X1
X2
X3
...
Xk
保持单调增 保持单调增 保持单调增
Z1
Z2
Z3
...
保持单调增
Zk
当Zk 中非基变量的系数的系数全为负值时，这时的基 本可行解Xk 即是线性规划问题的最优解，迭代结束。
(2) 线性规划的典则形式
标准型
Max Z CX AX b
s.t X 0
j 1
j 1
j 1
j 1
与X 0 相比，X 1 的非零分量减少1个，若对应的k-1个 列向量线性无关，则即为基可行解；否则继续上述步
骤，直至剩下的非零变量对应的列向量线性无关。
几点结论
❖ 若线性规划问题有可行解,则可行域是一个凸多边形或 凸多面体(凸集),且仅有有限个顶点(极点);
❖ 线性规划问题的每一个基可行解都对应于可行域上的 一个顶点(极点);
10
令 x1 0 x2 0
则 x3 15
X 0 0 15 24T
x4 24
为基本可行解，B34为可行基
B
0
X 24
3
108
A
0
X 34
0
15 24
0
0
X 23
12
45 0
1 基本解为边界约束方程的交点； 2 基对应于可行解可行域极点； 3 相邻基本解的脚标有一个相同。
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
6
由于所有|B|≠ 0， 所以有6个基阵和 6个基本解。
运筹学单纯形法
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
单纯形法
•单纯形计算过程特别说明
1. 如何从单纯形表判断最优解
1)唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数大于零,则线性规划具有唯一最优解.
2)多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,则线性规划具有多重最优解(或无穷多最优解).
<0且a ik≤０（i=1,…,m）则线性规划具有无界解.
3)无界解判别：某个σ
k
4)无可行解的判别：当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解.
5)退化解的判别：
a)存在某个基变量为零的基本可行解;
[此时可能出现循环迭代而永远找不到最优解.该情况是由比值相同造成的.可以证明：当出现比值相同时,按下标最小的基变量作为换出变量可避免出现循环，具体可参阅有关文献];
b)人工变量在最优表的基中,但人工变量的取值为零.
[此种情况是由于存在多余约束(A不行满秩)造成的,可通过消去多余约束加以解决]
3. 计算过程需要特别注意的问题：
在确定了进基变量和出基变量，即确定主元后，单纯形变换的计算方法：
1）主元所在的行所有元素除以主元值，将主元变换成1；
2）用主元行的合适倍数加至其它各行(此时，改变的是其它各行，而主元行不发生变化!)，以将主元列除主元外的其它元素变换成零。
注：采用以上变换方法（而不是任意初等变换）是为了保证：原来在基中并为发生改变的基变量，在变换计算后其对应的基向量不能发生改变。
也就是说：在任何时候，单纯形表中的所有基向量构成的矩阵均为单位矩阵！。
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单纯形法求最优解问题
题目（老师布置的那道作业题）：2153m ax x x f +=，其中
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=≥=++=+=+5,4,3,2,1,0182312245214
231j x x x x x x x x j ，求2153m ax x x f +=的最大值。
这张表是根据题目画的，Cj （行向量）为5432100053m ax x x x x x f ++++=中各个变量的系数，Ci （列向量）为与X B （列向量）相对应的各项的系数，X B 称为基变量（3列，由题目中的方程个数决定），起初的基变量由构造的变量x3、x4、x5组成，b 为对应三个方程等式右边的常数，z j 为Ci 各列与xj 各列乘积的和，如z1=0*1+0*0+0*3=0。
i θ为判别将哪个基变量换出的依据，根据c j -z j 为正，要先将x2换入XB 中，关键是判断x3、x4、x5哪个跟x2换，这就要根据各列各列除以2x B i X =θ，与所得的最小的i θ对应的XB 换，如上表可知x2跟x4换，换完之后注意原来x4所对应的列向量为[0 1 0]T ,故要将x2所对应的列向量变换为为[0 1 0]T ，注意b 也要跟着变化，于是得下表.
由上表知c 1-z 1=3>0，故仍需将x1换入XB 中，用各列各列除以2x B i X =θ，与所得的最小的i θ对应的XB 换，结合i θ可知，x1跟x5换，于是得下表。
由上表可知c j -z j 均非正，故5432100053m ax x x x x x f ++++=取最大值时，⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00662x ，
对应的最大值36max =f .
系统工程导论知识点整理：
系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分(要素)结合的具有特定功能的有机整体。
系统的特征：整体性、相关性、目的性、环境适应性。
系统的功能是指系统与外部环境相互作用所反映的能力。
结构是功能的内在根据，功能是结构的外在表现。
系统功能的特性：易变性、相关性。
系统工程就是用科学的方法规划和组织人力、物力、财力，通过最优途径的选择，使人们的工作在一定期限内收到最合理、最经济、最有效的效果。
科学的方法：从整体观念出发，通盘筹划，合理安排整体中的每一个局部，以求得整体的最优规划、最优管理和最优控制，使每个局部都服从一个整体目标，力求避免资源的损失和浪费。
系统工程方法论的基本原则：整体性、有序相关、目标优化、动态性、分解综合、创造思维。
系统工程三维结构：时间维、逻辑维和知识维。
系统预测的分类：定性、定量、组合预测。
回归分析法包括：一元线性回归法、多元线性回归和非线性回归法。
非线性回归模型：
（1）多项式曲线回归模型
2cx bx a y ++=，令x x =1，22x x =，原式变为21cx bx a y ++=；
（2）双曲线模型 ①b x a x bx a y +=+=，令x
z 1
=，则b az y += ②bx
a x
y +=
，则b x a x bx a y +=+=
1，b x a y +=ˆˆ （3）幂函数模型
b ax y =，则x b a ax y b ln ln ln ln +==，令y y
ln ˆ=，x x ln ˆ=
线性规划三要素：决策变量、目标函数、约束条件
网络图的基本要素有工作、事项、工时和目标，其中工作需要消耗一定的资源，事项既不消耗资源，也不占用时间。
在网络图的所有线路中，路长最大的线路称为关键线路（也称临界线路、主要矛盾线路）。
网络图的编绘需要经过三个步骤：任务的分解分析、画网络图和事项编号。
系统评价的评价原则： 要保证评价具有一定的客观性；要保证方案的可比性；评价指标要成体系。
常用的系统评价方法：单项评价法、经济评价方法。
大题目我估计有以下几个题目必考： 线性规划模型转化为标准型问题 单纯形表问题
根据网络分析明细表画网络图。