单纯形法基本原理
单纯形法的基本原理
单纯形法的基本原理单纯形法是一种用于线性规划问题求解的数学方法，它的基本原理是通过不断地在可行解空间中移动，寻找到最优解的过程。
在实际应用中，单纯形法被广泛地应用于生产调度、资源分配、运输优化等领域，它的高效性和可靠性使得它成为了解决复杂实际问题的重要工具。
单纯形法的基本原理可以简单地概括为以下几个步骤：1. 初始可行解的构造。
在单纯形法中，首先需要构造一个初始的可行解。
这个可行解需要满足线性规划问题的约束条件，并且需要在可行解空间内。
构造初始可行解的方法有多种，常见的方法包括人工构造、单纯形表法等。
2. 迭代移动。
一旦得到了初始可行解，单纯形法就开始了迭代移动的过程。
在每一步迭代中，单纯形法会根据当前的可行解，寻找一个移动方向，并且沿着这个方向进行移动。
移动的目的是寻找到更优的解，直到找到最优解为止。
3. 优化目标的改善。
在每一步迭代中，单纯形法都会尝试改善优化目标的值。
优化目标通常是线性规划问题的目标函数值，单纯形法的目标是找到一个可行解，使得优化目标的值最小或最大。
4. 终止条件的判断。
单纯形法在迭代移动的过程中，需要不断地判断是否满足终止条件。
终止条件通常包括目标函数值不再改善、可行解空间已经被完全搜索等情况。
通过以上几个基本步骤，单纯形法可以在有限的迭代次数内找到线性规划问题的最优解。
它的高效性和可靠性使得它成为了解决实际问题的重要工具。
在实际应用中，单纯形法还可以通过一些改进的方法来提高求解效率，例如对初始可行解的选择、对移动方向的选择、对终止条件的判断等方面进行优化。
这些改进方法可以使得单纯形法更加适用于复杂的实际问题。
总的来说，单纯形法是一种强大的数学方法，它具有较高的求解效率和可靠性，可以被广泛地应用于各种领域的实际问题求解中。
通过深入理解单纯形法的基本原理，我们可以更好地应用它来解决复杂的实际问题，为各种决策问题提供科学的决策支持。
单纯形法原理
单纯形法原理单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。
单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。
它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。
顶点所对应的可行解称为基本可行解。
单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。
因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。
如果问题无最优解也可用此法判别。
单纯形法是从某一基可行解出发，连续地寻找相邻的基可行解，直到达到最优的迭代过程，其实质是解线性方程组。
概述：根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）某1，某2，…某n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。
使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。
这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。
求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。
最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。
单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。
②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。
④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。
⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。
用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。
运筹学第5章 单纯形法
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
单纯形法原理 单纯形表
单纯形法原理单纯形表单纯形法原理与单纯形表的详实解析在数学领域中，特别是在线性规划问题的研究中，单纯形法是一种十分重要的求解方法。
它是由美国数学家乔治·丹齐格在1947年提出的一种迭代算法，用于解决具有多个变量和约束条件的优化问题。
本文将围绕单纯形法的原理和单纯形表这两个核心概念进行详细的解析。
一、单纯形法原理单纯形法的基本思想是通过一系列可行解逐步逼近目标函数的最大值或最小值。
这些可行解形成一个点集，称为单纯形。
每次迭代过程中，算法都会选择一个新的顶点作为下一个单纯形的顶点，这个新的顶点应该使目标函数有所改进。
重复这一过程，直到达到最优解或者满足停止准则为止。
单纯形法的步骤如下：1. 构造初始单纯形：首先，需要找到一个包含至少两个可行解的多边形，这就是初始单纯形。
2. 判断是否达到最优解：如果当前顶点的目标函数值已经是全局最优解，那么算法结束。
3. 选择换入变量：如果当前顶点不是最优解，那么需要选择一个非基变量来替换基变量。
这个被选中的非基变量应该是能够使目标函数最大化的变量。
4. 计算换出变量：确定了换入变量后，需要计算相应的换出变量。
这可以通过解一个线性方程组来实现。
5. 更新单纯形：用新选出的变量替换旧的变量，得到新的单纯形。
6. 回到第二步，继续判断是否达到最优解。
二、单纯形表单纯形表是单纯形法的重要工具，它记录了单纯形法每一步的详细信息。
每个列代表一个基变量，而每个行则代表一个约束条件。
表中还包括目标函数的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
在单纯形表中，每一行代表一个约束条件，包括它的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
每一列则代表一个基变量，包括它的系数和该变量对应的值。
在每一步迭代过程中，单纯形表都会被更新以反映当前的解状态。
通过观察单纯形表的变化，我们可以清楚地看到迭代过程是如何进行的，以及如何通过调整基变量来改进目标函数的值。
总结来说，单纯形法是一种有效的解决线性规划问题的方法，其核心在于构造并不断更新单纯形表，通过迭代寻找最优解。
simplex 单纯形法
simplex 单纯形法单纯形法（Simplex Algorithm）是一种用于线性规划问题求解的有效算法。
它由美国运筹学家Dantzig于1947年提出，被广泛应用于工业生产优化、资源分配、物流管理等领域。
本文将介绍单纯形法的基本原理、步骤与应用，并探讨其优缺点。
一、基本原理单纯形法是通过不断地在可行解空间中移动来逼近最优解的方法。
该方法从一个初始可行解出发，通过一系列迭代操作，每次改变一个基本变量以达到更优的目标函数值。
最终，算法将找到一个全局最优解或者判断问题无界或无可行解。
二、基本步骤1. 线性规划标准形式化：将线性规划问题转化为标准形式，即目标函数最小化，约束条件为线性等式。
2. 初始可行解：找到一个满足约束条件的初始可行解，并将其称为基本可行解。
3. 进行迭代操作：通过改变基本变量来改善目标函数值，直到达到最优解或者判断问题无界或无可行解。
4. 基本变量的选择：在每一次迭代中，选择一个非基本变量作为入基变量，并选取一个基本变量作为出基变量。
5. 确定迭代终止条件：判断是否终止迭代，若目标函数值无法继续改善或者判断问题无界或无可行解，则终止迭代。
6. 输出最优解：若找到了最优解，输出最优解及最优目标函数值。
若判断问题无界或无可行解，则给出相应的判断结果。
三、应用领域单纯形法广泛应用于工业生产优化、资源分配、物流管理等领域。
以下是一些典型应用案例：1. 生产计划优化：通过使用单纯形法，可以优化生产计划以最大化产出，同时考虑资源约束和成本限制。
这对于提高生产效率和降低成本非常重要。
2. 物流网络优化：单纯形法可以帮助优化物流网络的设计和运作，以最小化物流成本、最大化物流效率，并满足客户需求。
3. 能源系统调度：单纯形法可以应用于能源系统的调度问题，包括电力系统、天然气输送网络等，以最大化供应效率，并解决资源分配和运营问题。
4. 金融投资组合优化：通过单纯形法，可以优化金融投资组合以最大化收益或最小化风险，并满足投资者的需求。
运筹学单纯形法
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
运筹学-第一章-单纯形法基本原理
X (0) (x10 , x20 ,, xm0 ,0,0,...,0)T (b1,b2,......,bm ,0,0,...,0)T
单纯形法基本原理
2、基变换 定义：两个基可行解称为相邻的，如果它们之间变换 且仅变换一个基变量。 初始基可行解的前m个为基变量，
X (0) (x10, x20,...xm0, o,...o)T
0 0
1 0
0
1
当线性规划的约束条件均为≤，其松弛变量的系数矩阵为单位 矩阵；当线性规划的约束条件均为≥或=，为便于找到初始基 可行解，构造人工变量，人为产生一个单位矩阵。
单纯形法基本原理
式中p1,…,pm 为基变量,同其所对应的 x1,x2,…..,xm为基变量；其它变量 xm+1,xm+2，……,xn为非基变量。令所有的非基变量 等于零。
0 1
...
0
a2,m1
..... a2, j
. a2,n
b2
. . . . . . . . . .
0 0
.
1 am,m1
.
am, j
.
am,n
bm
因为p1,…,pm,是一个基，其他向量pj可以这个基
的线性组合表示：
m
p j ai法基本原理
问题 ①如果限制条件中既有“≤”类型的约束， 又有“≥”或“=”类型的约束，怎么办？
构造单位阵
②初始可行基一定要选单位阵？
b列正好就是基变量的取值，因此称b列
为解答列
单纯形法基本原理
（2）写出初始基可行解——
令非基变量取0，基变量对应b(i)，一起构 成初始基可行解
单纯形法原理
单纯形法原理
单纯形法是线性规划中常用的一种方法，用于求解极值问题。
它的基本思想是通过不断迭代的方式，逐渐接近最优解。
单纯形法的基本步骤如下：
1. 将线性规划问题转化为标准型。
标准型的约束条件为≤，目标函数为最大化，且所有变量的取值范围为非负数。
2. 利用人为变量引入的方法，将标准型问题转化为初始单纯形表。
3. 选择合适的初始基变量，并计算出对应的基变量解。
4. 计算单纯形表中的评价函数。
如果所有评价函数中的系数都为非负数，则当前基变量解为最优解，过程结束。
否则，继续进行下一步。
5. 选择进入变量和离开变量。
进入变量是指取值为负的评价函数系数对应的变量，离开变量是指进入变量在当前基变量解中最先达到0的变量。
6. 迭代计算，通过变换基变量，逐渐接近最优解。
具体的计算方式为将进入变量对应列调整为单位向量，同时更新初始单纯形表中其它列的数值。
7. 重复步骤4至步骤6，直至得到最优解为止。
值得注意的是，单纯形法的执行依赖于初始基变量的选择，不同的初始基变量可能会得到不同的最优解。
因此，在实际应用中，需要通过灵活选择初始基变量来提高求解效果。
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否
含 有xa
是 无可行解
(a对ik
0 任一
j 0)
否
是 无界解
有某个 否 非基变量的
j 0
唯一 最优解
是
无穷多
最优解
循
环
停止
计 算 i
( bi alk
alk
0)
用 非 基 变 量xk 替 换 基 变 量xl
列出下一个 新单纯形表
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 17
解的判别： 1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线 规划具有唯一最优解。 2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零, 则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。 3）无界解判别：某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性 规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并 且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。
max Z 3 x1 4 x2
2x1 x2 40
x1
3x2
30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
3x2
x4
30
x1
,
x2
,
x3
换
x3
x4
出
1
0
40 行
0
1
10
0
1
－10/3
18
0
1/3 30
0
3/5 －1/5
－4/3 －1/5
－2/5
－1 －1
单纯形法的计算步骤
Page 10
例1.9 用单纯形法求解
max Z x1 2 x2 x3
2x1 3x2 2x3 15
s
.t
1 3 x1 x2 x1、x 2、x 3
例1.10 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x2 x3
4x1 3x2 x3 4
x1 x2 2x1
2
2x3 x2
10 x3
1
x1、x2、x3 0
解：首先将数学模型化为标准形式
max Z 3 x1 2 x2 x3
验数，即：k max{ j | j 0} ，其对应的xk作为换入变 量。
② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基
变量作为换出变量。
L
mi
n
bi aik
aik
0
单纯形法的计算步骤
Page 8
③ 用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出 一个新的单纯形表。
,
x4
0
单纯形法的计算步骤
Page 6
2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。
cj
3
4
0
cB
基
b
x1
x2
x3
0
x3
40
2
1
1
0
x4
30
1
3
0
j
3
4
0
0 θi
x4 0
1 0
检验数 1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 01) 3
单纯形法的计算步骤
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 18
单纯性法小结:
建
立
个数
模
型 两 三个
xj≥0
个 以上
取值
xj无 约束
xj ≤ 0
求 图 单纯 解 解 形法
法、
单 纯 形 法
不
令xj = xj′ - 令 xj’ =
处
xj″
- xj
理
xj′ ≥0
xj″ ≥0
右端项
bi ≥0
bi < 0
等式或 不等式
≤=≥
5）重复3）、4）步直到计算结束为止。
单纯形法的计算步骤
将3化为1
cj
cB
基变量
0
x3
0
x4
j
乘
0
x3
以
1/3 后
4
x2
j
得
3
x1
到
4
x2
j
换入列
3
4
b
x1
x2
40
2
1
30
1
3
3
4
30 5/3 0
10 1/3 1
5/3 0
18 1
0
40
1
0
0
Page 9
bi /ai2，ai2>0
0
0
θi
i
b1 1 0 a1,m1 a1n 1
bm 0 1 am,m1 amn m
0 0 j c j ciaij
其中：i
bi akj
akj
0
单纯形法的计算步骤
Page 5
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
4x1 3x2 x3 x4 4
x1
x2
2x3
x5
10
2
x1
2x2
x3
1
x j 0, j 1,2, ,5
系数矩阵中不存在 单位矩阵，无法建 立初始单纯形表。
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 15
故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
0 17/3 1/3 1 1 28/9 -1/9 2/3
0 -98/9 -1/9 -7/3
单纯形法的计算步骤
Page 12
学习要点： 1. 线性规划解的概念以及3个基本定理 2. 熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 13
人工变量法： 前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易
5x3 0
20
解：将数学模型化为标准形式：
max Z x1 2 x2 x3
2x1 3x2 2x3 x4 15
s.t
1
3 x
j
x1
x2 0, j
5x3 1,2,
x5 ,5
20
不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
单纯形法基本原理
Page 1
凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点 也都是集合C中的点，称C为凸集。
凸集
顶点
凸集
不是凸集
单纯形法基本原理
Page 2
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。
定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。
定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 16
cj
3
2
-1
0
0
-M
-M
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
θi
-M
x6
4
-4
3
1
-1
0
1
0
4
0
x5
10
1
-1
2
0
1
0
0
5
-M
x7
1
2
-2
1
0
0
0
j
3-2M 2+M
-1+2M↑
-M
0
x6
3
-6
5
0
-1
0
1
-M
x5
8
-3
3
0
0
1
0
1
1→
3/5 →
8/3
极大或极小
maxZ
minZ
新加变量 系数
xs
xa
不
约束条 加 加 减
不
处
件两端 松 入 去
处
理
同乘以 弛 人 xs
理
-1
变工加
量变入
xs
量 xa
xa
令 z′=- Z minZ =－ max z′
0 -M
A
求: j cj zj
循环
所有 是
j 0
否
找 出( j )max即 k
基变 量中是否
max Z 3 x1 2 x2 x3－Mx6 Mx7
4x1 3x2 x3 x4 x6 4
x1
x2
2x3
x5
10
2 x1 2 x2 x3 x7 1
x j 0, j 1,2, ,7
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
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3）进行最优性检验