单纯形法,大M法
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运筹学课件 单纯形法的计算步骤
第二阶段：以第一阶段的最优解(不含人工变量)为初 始解，以原目标函数为目标函数。
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 x1 2 x1
x2
2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2
3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 x1 2 x1
x2
2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2
3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
管理运筹学 易错判断题整理
6.2 1 网络图的构成要素：作业，紧前作业，紧后作业，虚工作，事件， 起点事件，终点事件。
2 网络图的线路与关键路线。 3 最早时间，最迟时间，作业的最早开始，最早结束，最迟开始， 最迟结束时间，作业的总时差，自由时差的概念及计算方法。
判断题： 1 在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。 √ 2 一个具有多个发点和多个收点的求网络最大流问题一定可以转化为 求具有单个发点和单个收点的求网络最大流问题。
√ 6. 任何线性规划总可用大M单纯形法求解。
√ 7. 凡能用大M法求解也一定可用两阶段法求解。
√ 8. 两阶段法中第一阶段问题必有最优解。
√ 9. 两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量,则原问题有最优 解。
× 10. 人工变量一旦出基就不会再进基。
√ 11. 当最优解中存在为零的基变量时,则线性规划具有多重最优解。 ×
× 5 如果运输问题或者转运问题模型中，Cij 都是产地i到销地j的最小 运输费用，则运输问题同转运问题将得到相同的最优解。
√
第三章：目标规划
主要内容： 1 描述目标规划建模的思路以及他的数学模型同一般线性 数学模型的相同和不同点。 2 解释下列变量：1正负偏差变量 2绝对约束和目标约束 3 优先因子与权系数。 3 目标规划图解法的步骤。 4 目标规划 目标函数特点。 判断题： 1 目标规划模型中，可以不含有绝对约束但是必须含有目 标约束。
1 最优对策中，如果最优解要求一个人呢采取纯策略，则另一个人也必须采取纯策 ×
2 在两人零和对策支付矩阵的某一行或某一列上加上常数k 将不影响双方各自的最优 ×
3 博弈的纳什均衡是博弈双方达到均势平衡的解，也是使博弈双方得到最好结果的 ×
2 网络图的线路与关键路线。 3 最早时间，最迟时间，作业的最早开始，最早结束，最迟开始， 最迟结束时间，作业的总时差，自由时差的概念及计算方法。
判断题： 1 在任一图G中，当点集V确定后，树图是G中边数最少的连通图。 √ 2 一个具有多个发点和多个收点的求网络最大流问题一定可以转化为 求具有单个发点和单个收点的求网络最大流问题。
√ 6. 任何线性规划总可用大M单纯形法求解。
√ 7. 凡能用大M法求解也一定可用两阶段法求解。
√ 8. 两阶段法中第一阶段问题必有最优解。
√ 9. 两阶段法中第一阶段问题最优解中基变量全部非人工变量,则原问题有最优 解。
× 10. 人工变量一旦出基就不会再进基。
√ 11. 当最优解中存在为零的基变量时,则线性规划具有多重最优解。 ×
× 5 如果运输问题或者转运问题模型中，Cij 都是产地i到销地j的最小 运输费用，则运输问题同转运问题将得到相同的最优解。
√
第三章：目标规划
主要内容： 1 描述目标规划建模的思路以及他的数学模型同一般线性 数学模型的相同和不同点。 2 解释下列变量：1正负偏差变量 2绝对约束和目标约束 3 优先因子与权系数。 3 目标规划图解法的步骤。 4 目标规划 目标函数特点。 判断题： 1 目标规划模型中，可以不含有绝对约束但是必须含有目 标约束。
1 最优对策中，如果最优解要求一个人呢采取纯策略，则另一个人也必须采取纯策 ×
2 在两人零和对策支付矩阵的某一行或某一列上加上常数k 将不影响双方各自的最优 ×
3 博弈的纳什均衡是博弈双方达到均势平衡的解，也是使博弈双方得到最好结果的 ×
单纯形法大M法两阶段法
大M法和两阶段法
如果线性规划模型中约束条件系数矩阵中不存在单位向量组，解 题时应先加入人工变量，人工地构成一个单位向量组。 人工变量只起过渡作用，不应影响决策变量的取值。
两种方法可控制人工变量取值使用，尽快地把人工变量减小到零。
• 大M法 • 两阶段法
大 M法
大M单纯形法要求将目标函数中 min z = -3X1 + X2+X3 的人工变量被指定一个很大的 x1 - 2x2 + x3 ≤ 11 目标函数系数（人工变量与松 - 4x1 + x2 +2 x3 ≥ 3 弛剩余变量不同之处）。 - 2x1+ x3 = 1 x1 ，x2 ，x3 ≥ 0
xk进基，xBr离基，用Pk替代PBr得新的可行基B
bi br r＝min{ | aik 0} ark aik
步5.以ark为主元素进行迭代.转步2
新可行解：x=(xB1,…xBr-1,0,xBr+1,…,xBm,0,…， 0,xk,0,…，0)
单纯形法流程图
开始 初始可行基
所有σj≥0？
目录
1 2 3 4 单纯形算法计算步骤 初始可行基的确定 大 M法 两阶段法
线性规划的单纯形算法
计算流程
初始基本可行解
N 沿边界找新 的基本可行解
是否最优解或 无限最优解? Y
结束
线性规划解的概念
若A = ( B, N )， 其中B ( P 1, P 2 , …，Pm )可逆，称B为基矩阵 x1 x2 xB 相应地X＝ , x B为基变量，x N为非基变量 xN xn xB 代入约束：(B,N)B-1b-B 1Nx N xN
单纯形法大m法
单纯形法和大M法都是线性规划中的求解方法。
单纯形法是一种在约束条件下寻找最优解的方法。
它通过不断地迭代和转换，寻找使目标函数值最大或最小的解。
单纯形法适用于具有线性约束和线性目标函数的优化问题。
大M法是一种处理线性规划问题的方法，当约束条件中存在“≤”的不等式约束时，可以用大M法来处理。
大M法通过引入一个非常大的数M，将原问题转化为标准形式，从而可以利用单纯形法进行求解。
大M法的关键在于如何选择合适的M值，以保证原问题的约束条件得以满足，并且目标函数取得最大或最小值。
综上所述，单纯形法和大M法都是解决线性规划问题的方法，其中单纯形法适用于具有线性约束和线性目标函数的优化问题，而大M 法则适用于处理含有“≤”的不等式约束的问题。
1-5 单纯形法的进一步讨论
大M法
在一个线性规划问题的约束条件中加入人 工变量后， 工变量后 ， 要求人工变量对目标函数的取 值无影响， 为此可取人工变量在目标函数 值无影响 ， 中的系数为-M(M为非常大的正数 ，这样目 为非常大的正数)， 中的系数为 为非常大的正数 标函数要实现最大化， 人工变量只能取零， 标函数要实现最大化 ， 人工变量只能取零 ， 因此必须把人工变量从基变量中换出， 因此必须把人工变量从基变量中换出 ， 否 则目标函数就不可能实现最大化。 则目标函数就不可能实现最大化。
两阶段法的算法流程图
MaxZ=-3x1+x3 x1+ x2+ x3≤4 -2x1+ x2- x3≥1 3x2+x3=9 xi ≥0,j=1,2,3
求解辅助问题，得到辅助 问题的最优解 引进人工变量x6，x7，构造辅助 问题，辅助问题的目标函数为 所有人工变量之和的极小化
MaxW=-x6-x7 x1+ x2+ x3+x4 =4 -2x1+ x2-x3 -x5+x6 =1 3x2+x3 +x7=9 xi ≥0,j=1,…,7
X B X = 同理将 写成分块矩阵 同理将C写成分块矩阵 （CB，CN）， 写成分块矩阵C=（ X N
CB=(C1,C2,…,Cm), CN=(Cm+1Cm+2，…，cn) 则AX=b可写成 ， 可写成
X B (B， ) = BX B + NXN = b N X N
CB 0 0 -3 0 0 1
bi 0 3 1 0 5/2 3/2
θ 9 3/2
3/2 x3入，x1出 -1/2 -1/4 3/4 -3/4
所以：X*=(x2,x3,x4)T=(5/2,3/2,0)T Z*=3/2 所以：
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况
进基变量的相持
出基变量的相持
max
z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
s.t.
2x1
-x2
+ x3
+2x4
≥50
(1)
3x1
-x3
+2x4
80
(2)
x1
+x2
+x4
= 60
(3)
x1,
x2,
x3,
x4
≥ 0
1-4 线性规划- 大M法、两阶段法及几种特殊情况
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School of Business ECUST
单纯形法
单纯形法的一般思路+例子
单纯形表结构+例子
单纯形法的计算步骤
单纯形法的矩阵描述
大M法
两阶段法
几种特殊情况
无可行解
无界解
多重最优解
1
X3
0
-3 0 2 0 0 -2-M -M
σj
-1 0 1 0 1 -1 0
1
X5
0
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
2
X5
0
-1 2+2M -M -M 0 0 0
σj
3/1
0 1 0 0 1 0 0
3
X5
0
X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
3/2
X2
2
1/2/1/2
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
1/2
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
添加人工变量
min z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
+Mx7
+Mx8
s.t.
2x1Hale Waihona Puke -x2+ x3
+2x4
－x5
+x7
=50 (1)
3x1
-x3
+2x4
+x6
= 80 (2)
x1
+x2
+x4
＋x8
= 60 (3)
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
4 2 -3 5
0
0 MM
CB XB
[ x1]
x2
x3
x4
x5
x6 x7 x8 b
M [ x7]
2
-1
1
2
-1 0 1 0 50
0 x6
3 0 -1 2
0
1 0 0 80
M x8
1 10
1
0
0 0 1 60
1 0 0 1 1 0 -1
1+2M 0 -M 2+M 0 0 -2-2M
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2
0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
运筹学第一章 1.4 大M法和两阶段法
（2）写出初始基本可行解 ）写出初始基本可行解——
根据“ 用非基变量表示基变量的表达式” 根据 “ 用非基变量表示基变量的表达式 ” ， 非基变量取0 算出基变量， 非基变量取0，算出基变量，搭配在一起构成 初始基本可行解。 初始基本可行解。 2、建立判别准则： 建立判别准则： （1）两个基本表达式的一般形式 LP限制条件中全部是 LP限制条件中全部是“≤”类型约束，新 限制条件中全部是“ 类型约束， 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述： 增的松弛变量作为初始基变量的情况来描述 ：
2、处理人工变量的方法： 处理人工变量的方法：
（1）大M法——在约束条件中人为地加入非负 在约束条件中人为地加入非负 的人工变量， 的人工变量，以便使它们对应的系数列向量构 成单位阵。 成单位阵。 问题：加入的人工变量是否合理？如何处理？ 问题：加入的人工变量是否合理？如何处理？ 目标函数中， 在目标函数中，给人工变量前面添上一个绝对 值很大的负系数M>>0 迭代过程中， 值很大的负系数 -M （ M>>0 ） ， 迭代过程中 ， 只要基变量中还存在人工变量， 只要基变量中还存在人工变量，目标函数就不 可能实现极大化——惩罚！ 惩罚！ 可能实现极大化 惩罚
σj =cj −zj =cj −∑ a c
i= 1
m
' n+i ij
（2）最优性判别定理
若 X = (0,0,L0,b ,b ,Lb ) 是对应于基B的基本 是对应于基B , , 可行解， 的检验数， 可行解，σ j 是非基变量 x (j0) 的检验数，若对 于一切非基变量的角指标j 于一切非基变量的角指标j，均有 σ j ≤0，则 X(0)为最优解。 为最优解。
最优性判别定理； 最优性判别定理；无“有限最优解”判断定理 有限最优解”
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2020/8/20
单纯形法小结
Page 20
建 立 个数
模 型 两 三个 xj≥0
个 以上
求 图 单纯 不
解 解 形法 处
法、
理
单
纯
形
法
取值
xj无 约束
令xj = xj′ - xj″
xj ≤ 0
令 xj’ = - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
等式或 不等式
极大或极小
bi ≥0 bi < 0 ≤ = ≥ max Z
-1
0
0
-M
x3
x4
x5
x6
1
－1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
1
2
0
1
0
1
0
0
0
－1+2M↑ －M
0
－1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
－M
0
0
0
－1/5
0
0
3/5
1
1
－2/5
0
0
0
0
0
1
2
0
1
5/3
1
0
2/3
0
-5
-25/3
-M
x7
θi
0
4
0
5
1
1→
3/5 →
8/3 ——
——
31/3 →
——
2、两阶段法 在原来问题引入人工变量后分两个阶段求解线性
x1-2x2+x3+x4
=11
-4x1+x2+2x3 -x5+x6 =3
-2x1 +x3
+x7 =1
xi≥0,i=1,2, …,7
用单纯形法进行第一阶段的计算如下表
2020/8/20
人工变量x6=x7＝ 0，第一阶段目标函数W=0，则 (0，1，1，12，0)T是原线性规划问题的基可行解，转第 二阶段的计算
x6
-M
x5
-1
x3
j
2
x2
-M
x5
-1
x3
j
2
x2
3
x1
-1
x3
2020/8/20 j
3
b
x1
4
-4
10
1
1
2
3－2M
3
－6
8
－3
1
2
5-6M 3/5 －6/5
31/5 3/5 11/5 －2/5
5↑
13
0
31/3
1
19/3
0
0
2 x2 3 －1 －2 2+M 5 3 －2 5M↑ 1 0 0 0 1 0 0 0
验数，即：k max{ j | j 0} ，其对应的xk作为换入变 量。
② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基
变量作为换出变量。 L
2020/8/20
min
bi aik
aik
0
单纯形法的计算步骤
Page 4
③ 用换入变量Xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的 基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地 可以画出一个新的单纯形表。
4）解的判断同单纯形法
2020/8/20
例4.2 用两阶段法求解线性规划问题
minΖ=-3x1+x2+x3
s.t.
x1-2x2+x3 ≤11
-4x1+x2+2x3 ≥3
-2x1 +x3
=1
x1,x2,x3, ≥0
解：先在约束条件中加入人工变量，写出辅助规划问
题。
s.t.
2020/8/20
Min W=x6+x7
1
0
1/3 30
0
0 －4/3
0
3/5 －1/5
1 －1/5 －2/5
0 －1 －1
最优值：
单纯形法的计算步骤
Page 6
例1.11 用单纯形法求解
max Z x1 2 x2 x3
2x1 3x2 2x3 15
s.t
1 3 x1 x2 x1、x2、x3
5x3 0
20
解：将数学模型化为标准形式：
x3
x7
1
x j 0, j 1,2,,7
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
2020/8/20
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 11
cj
CB
XB
0
x6
-M
x5
-M
x7
j
0
不 约束条 加 加 减 不
处 理
件两端 同乘以
松
入
去
处
-1 弛 人 xs 理
变工加
量变入
xs
量 xa
xa
minZ
令 z′=- Z minZ =－ max z′
新加变 量目标
系数 xs xa
0 -M
2020/8/20
A
求: j cj zj
循环
所有 是
j 0
否
找 出( j )max即 k
基变 量中是否 否
4x1 3x2 x3 4
x12x1x2
2x3 2x2
10 x3
1
x1、x2、x3 0
解：首先将数学模型化为标准形式
2020/8/20
max Z 3 x1 2 x2 x3
4x1 3x2 x3 x4 4
x1
x2
2x3
x5
10
2
x1
2x2
x3
1
x j 0, j 1,2,,5
30
x1
,
x2
,
x3
,
x4
0
2020/8/20
单纯形法的计算步骤
Page 2
2）求出线性规划的初始基可行解， 列出初始单纯形表。
cj
3
4
0 0 σj cj ciaij
θi
cB
XB
b
x1
x2
x3
x4
0
x3
40
2
1
1
0
0
x4
30
1
3
0
1
j
3？ 0
0
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21) 3 (0 2 01) 3
σj cj ciaij
2020/8/20
单纯形法的计算步骤
Page 3
3）进行最优性检验
如果表中所有检验数 j 0 ，则表中的基可行解就是问题
的最优解，计算停止。否则继续下一步。
4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解， 列出新的单纯形表
① 确定换入基的变量。选择 j 0 ，对应的变量xj作为换入变 量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检
单纯形法的计算步骤
Page 1
例1.10 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x2
2xx1 13
x x
2 2
40 30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
x1
3x2
x4
要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且 为线性函数
存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约 束可用线性等式或不等式描述
Page 22
2020/8/20
规划问题的方法。其中，第一阶段在原来问题中引入 人工变量，设法构造一个单位阵的初始可行基，另外 在目标函数中令非人工变量的系数全部为0，人工变量 的系数为1，构造一个新的辅助目标函数。在此基础上， 建立辅助线性规划问题。然后运用单纯形方法求解， 直到辅助目标函数值为0时为止。第二阶段重新回到原 来的问题，以第一阶段得到的可行基为初始可行基， 运用单纯形方法以求出原来问题的解。
2020/8/20
3)两阶段法的计算步骤 （1）不考虑原问题是否存在基可行解， 引进人工变 量，构造辅助线性规划问题。 （2）用单纯形方法求解辅助问题，若辅助问题的目标 函数值w≠ 0，则原问题无可行解，停止计算。 （3）若辅助问题目标函数的值w =0，则将第一阶段 计算得到的最终表，除去人工变量，将目标函数行的 系数换原问题的目标函数系数，作为第二阶段的初始 表。
max Z x1 2 x2 x3
2x1 3x2 2x3 x4 15
s.t
1
3 x
j
x1
x2 0, j
5x3 x5 1,2,,5
20
不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
2020/8/20
单纯形法的计算步骤
Page 7
cj
1
cB 基变量 b
x1
0
x4
15 2
1、大M 法
通过引进人工变量，构造一个辅助的线性规划问题，然后 由辅助的线性规划问题找出原问题的第一个初始可行基，在此 基础上，利用单纯形方法求出原问题的最优解。
2020/8/20
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 9
例1.10 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x2 x3
且存在人工变量>0时，则表明原线性规划无可行解。
5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。 2020/8/20
单纯形法小结
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建 立 个数
模 型 两 三个 xj≥0
个 以上
求 图 单纯 不
解 解 形法 处
法、
理
单
纯
形
法
取值
xj无 约束
令xj = xj′ - xj″
xj ≤ 0
令 xj’ = - xj
xj′ ≥0 xj″ ≥0
右端项
等式或 不等式
极大或极小
bi ≥0 bi < 0 ≤ = ≥ max Z
-1
0
0
-M
x3
x4
x5
x6
1
－1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
1
2
0
1
0
1
0
0
0
－1+2M↑ －M
0
－1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
－M
0
0
0
－1/5
0
0
3/5
1
1
－2/5
0
0
0
0
0
1
2
0
1
5/3
1
0
2/3
0
-5
-25/3
-M
x7
θi
0
4
0
5
1
1→
3/5 →
8/3 ——
——
31/3 →
——
2、两阶段法 在原来问题引入人工变量后分两个阶段求解线性
x1-2x2+x3+x4
=11
-4x1+x2+2x3 -x5+x6 =3
-2x1 +x3
+x7 =1
xi≥0,i=1,2, …,7
用单纯形法进行第一阶段的计算如下表
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人工变量x6=x7＝ 0，第一阶段目标函数W=0，则 (0，1，1，12，0)T是原线性规划问题的基可行解，转第 二阶段的计算
x6
-M
x5
-1
x3
j
2
x2
-M
x5
-1
x3
j
2
x2
3
x1
-1
x3
2020/8/20 j
3
b
x1
4
-4
10
1
1
2
3－2M
3
－6
8
－3
1
2
5-6M 3/5 －6/5
31/5 3/5 11/5 －2/5
5↑
13
0
31/3
1
19/3
0
0
2 x2 3 －1 －2 2+M 5 3 －2 5M↑ 1 0 0 0 1 0 0 0
验数，即：k max{ j | j 0} ，其对应的xk作为换入变 量。
② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基
变量作为换出变量。 L
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min
bi aik
aik
0
单纯形法的计算步骤
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③ 用换入变量Xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的 基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地 可以画出一个新的单纯形表。
4）解的判断同单纯形法
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例4.2 用两阶段法求解线性规划问题
minΖ=-3x1+x2+x3
s.t.
x1-2x2+x3 ≤11
-4x1+x2+2x3 ≥3
-2x1 +x3
=1
x1,x2,x3, ≥0
解：先在约束条件中加入人工变量，写出辅助规划问
题。
s.t.
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Min W=x6+x7
1
0
1/3 30
0
0 －4/3
0
3/5 －1/5
1 －1/5 －2/5
0 －1 －1
最优值：
单纯形法的计算步骤
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例1.11 用单纯形法求解
max Z x1 2 x2 x3
2x1 3x2 2x3 15
s.t
1 3 x1 x2 x1、x2、x3
5x3 0
20
解：将数学模型化为标准形式：
x3
x7
1
x j 0, j 1,2,,7
其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值， 可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介 绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。
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cj
CB
XB
0
x6
-M
x5
-M
x7
j
0
不 约束条 加 加 减 不
处 理
件两端 同乘以
松
入
去
处
-1 弛 人 xs 理
变工加
量变入
xs
量 xa
xa
minZ
令 z′=- Z minZ =－ max z′
新加变 量目标
系数 xs xa
0 -M
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A
求: j cj zj
循环
所有 是
j 0
否
找 出( j )max即 k
基变 量中是否 否
4x1 3x2 x3 4
x12x1x2
2x3 2x2
10 x3
1
x1、x2、x3 0
解：首先将数学模型化为标准形式
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max Z 3 x1 2 x2 x3
4x1 3x2 x3 x4 4
x1
x2
2x3
x5
10
2
x1
2x2
x3
1
x j 0, j 1,2,,5
30
x1
,
x2
,
x3
,
x4
0
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单纯形法的计算步骤
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2）求出线性规划的初始基可行解， 列出初始单纯形表。
cj
3
4
0 0 σj cj ciaij
θi
cB
XB
b
x1
x2
x3
x4
0
x3
40
2
1
1
0
0
x4
30
1
3
0
1
j
3？ 0
0
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21) 3 (0 2 01) 3
σj cj ciaij
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单纯形法的计算步骤
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3）进行最优性检验
如果表中所有检验数 j 0 ，则表中的基可行解就是问题
的最优解，计算停止。否则继续下一步。
4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解， 列出新的单纯形表
① 确定换入基的变量。选择 j 0 ，对应的变量xj作为换入变 量，当有一个以上检验数大于0时，一般选择最大的一个检
单纯形法的计算步骤
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例1.10 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x2
2xx1 13
x x
2 2
40 30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
x1
3x2
x4
要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且 为线性函数
存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约 束可用线性等式或不等式描述
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规划问题的方法。其中，第一阶段在原来问题中引入 人工变量，设法构造一个单位阵的初始可行基，另外 在目标函数中令非人工变量的系数全部为0，人工变量 的系数为1，构造一个新的辅助目标函数。在此基础上， 建立辅助线性规划问题。然后运用单纯形方法求解， 直到辅助目标函数值为0时为止。第二阶段重新回到原 来的问题，以第一阶段得到的可行基为初始可行基， 运用单纯形方法以求出原来问题的解。
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3)两阶段法的计算步骤 （1）不考虑原问题是否存在基可行解， 引进人工变 量，构造辅助线性规划问题。 （2）用单纯形方法求解辅助问题，若辅助问题的目标 函数值w≠ 0，则原问题无可行解，停止计算。 （3）若辅助问题目标函数的值w =0，则将第一阶段 计算得到的最终表，除去人工变量，将目标函数行的 系数换原问题的目标函数系数，作为第二阶段的初始 表。
max Z x1 2 x2 x3
2x1 3x2 2x3 x4 15
s.t
1
3 x
j
x1
x2 0, j
5x3 x5 1,2,,5
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不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
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单纯形法的计算步骤
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cj
1
cB 基变量 b
x1
0
x4
15 2
1、大M 法
通过引进人工变量，构造一个辅助的线性规划问题，然后 由辅助的线性规划问题找出原问题的第一个初始可行基，在此 基础上，利用单纯形方法求出原问题的最优解。
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单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 9
例1.10 用大M法解下列线性规划
max Z 3 x1 2 x2 x3
且存在人工变量>0时，则表明原线性规划无可行解。
5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。 2020/8/20