【精品】单纯形法求解全过程详解
运筹学课件 单纯形法的计算步骤
例8 试用两阶段法求解线性规划问题
min z =-3x1+x2+x3
x1 2 x2 x3 11
s.t.
4 x1 2 x1
x2
2x3 3 x3 1
x1 , x2 , x3 0
0 0 -1 0 0
x2
3 5 11/5
Z0=0
Z1=15
x1
如果将x1换入基底，得 另一解，由可行域凸性 易知，有两个最优解必 有无穷多组最优解 当非基底变量的检验数 中有取零值，或检验数 中零的个数大于基变量 个数时，有无穷多解。
四、无（有）界解
max z=x1+x2 -2x1+x2 4 x1- x2 2 -3x1+x23 x1 ,x2 0
反之，若加了人工变量的问题解后最优解中仍含人工变量为 基变量，便说明原问题无可行解。例3的单纯形表格为：
Cj
3
-1
-1
0
0
-M
CB XB b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0 x4 1
1
-2
1
1
0
0
-M x6 13 -4
1
2
0
-1
1
-M x7 1 -2
0
[1] 0
0
0
j
3-6M M-1 3M-1 0
-M
x1 2 x2 x3 x4
11
4 2
x1 x1
x2
2
x3 x3
15单纯形法
17
定理1 对解 全 定理1:对解X(1) ,若检验数λj ( j=m+1,…,n)全 为最优解. 部≤ 0,则X(1)为最优解. 定理2:对X(1),若有某个非基变量 m+k→λm+k>0 若有某个非基变量X 定理2 且相应的P 且相应的 m+k =(a1m+k ,… ,amm+k )T ≤ 0,则原问题 无有限最优解. 无有限最优解.
2
-2 X2
(2),判定解是否最优 , Z=0+40X1+50X2 当X1从0↗或X2从0↗ ↗ ↗ Z从0↗ 从 ↗ ∴ X(1) 不是最优解
3
(3),由一个基可行解→另一个基可行解. ,由一个基可行解→另一个基可行解. ∵ 50> 40 X3 X4 选X2从0↗,X1 =0 ↗ X2 ≤ 30/2 X2 ≤ 60/2 X2 ≤ 24/2
=30-2X2 ≥0 =60-2X2 ≥0
X5 =24-2X2 ≥0
X2=min(30/2 , 60/2 , 24/2 ) =12 X2进基变量, X5出基变量. 进基变量, 出基变量.
4
B2=(P3 P4 P2)
Z=0+40X1+50X2 X3 +2X2 =30-X1 X4+2X2 =60-3X1 2X2=24-X5 ④ ① ② ③
λj>0
(2),决定换出变量: ,决定换出变量: bi -aim+kXm+k ≥0 ( i=1 ,2 ,…, m) Xm+k ≤ bi aim+k (aim+k>0 )
单纯形解法
线性规划问题解法：（1）图解法： 优点---只管易掌握，有助于理解结构。
缺点---只能解决低维的问题，对高维无能为力。
（2）单纯形法：单纯形法把寻优的目标集中在所有基本可行解（即可行域顶点）中。
单纯形法的一般步骤如下：1、寻找一个初始的基本可行解。
2、检查现行的基本可行解是否最优，如果为最优，则停止迭代，已找到最优解，否则转一步。
3、移至目标函数值有所改善的另一个基本可行解，然后转会到步骤（2）。
步骤1： 约束方程 表示为： 用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得： 若令所有非基变量 ，则基变量 由此可得初始的基本可行解：其过程为：存在问题：1、要判断m 个系数列向量是否恰好构成一个基并不是一件容易的事。
基由系数矩阵Ａ中m 个线性无关的系数列向量构成。
但是要判断m 个系数列向量是否线性无关并非易事。
2、即使系数矩阵Ａ中找到了一个基B ，也不能保证该基恰好是可行基。
因为不能保证基变量ＸB =Ｂ-1b ≥0。
3、为了求得基本可行解，必须求基Ｂ的逆阵Ｂ-1。
但是求逆阵Ｂ-1也是一件麻烦的事。
结论：在线性规划标准化过程中设法得到一个m 阶单位矩阵I 作为初始可行基Ｂ为了设法得到一个m 阶单位矩阵I 作为初始可行基Ｂ，可在规划标准化过程中作如下处理：1、若在化标准形式前，m 个约束方程都是“≤”的形式，那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变量x n+i (i=12…m)。
2、若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式，那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为人工变量．3、若在化标准形式前，约束方程中有等式方程，那么可以直接在等式左端添加人工变量。
【步骤一完成：寻找一个初始的基本可行解】 AX=bB B N N X AX=(BN)=BX +NX =bX ⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1B N X =B b-B NX N X =0-1B X =B b1B b X=0-⎛⎫ ⎪⎝⎭-1-1-1B N B N N B AX=b BX +NX =b X =B b-B NX X =0,X =B b→→→步骤2： 假如已求得一个基本可行解将这一基本可行解代入目标函数，可求得相应的目标函数值其中 分别表示基变量和非基变量所对应的价值系数子向量。
程序求解 单纯形法
程序求解单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的常用方法。
它通过一系列的迭代步骤，从一个初始的基本可行解开始，逐步改进解，直到找到最优解或证明问题无最优解。
以下是使用单纯形法求解线性规划问题的一般步骤：
1. 构建初始基本可行解：选择一个初始的基本可行解，通常可以通过引入松弛变量或人工变量来构建。
2. 计算目标函数值：计算当前基本可行解下的目标函数值。
3. 检查最优性：如果当前基本可行解满足最优性条件（目标函数值最小或最大），则停止迭代，当前解即为最优解。
4. 寻找改进方向：如果当前基本可行解不满足最优性条件，则需要找到一个改进的方向。
这可以通过计算每个非基变量（即未被选入基本可行解的变量）的检验数来完成。
5. 选择进入变量：根据检验数，选择一个具有正检验数的非基变量作为进入变量。
6. 确定离开变量：为了保持基本可行解的可行性，需要选择一个离开变量。
通常选择一个具有最小比值的基变量作为离开变量。
7. 更新基本可行解：通过替换离开变量和进入变量，构建一个新的基本可行解。
8. 重复步骤 2 至步骤 7，直到找到最优解或证明问题无最优解。
需要注意的是，单纯形法的具体实现可能因问题的规模和结构而有所不同。
在实际应用中，可以使用编程语言或优化软件来实现单纯形法。
希望以上内容对你有所帮助。
如果你有具体的线性规划问题需要求解，我可以根据具体问题提供更详细的帮助。
单纯形法的计算步骤
变量作为换出变量。
L
min
bi
aik
a ik
0
单纯形法旳计算环节
Page 4
③ 用换入变量xk替代基变量中旳换出变量，得到一种新旳基。 相应新旳基能够找出一种新旳基可行解，并相应地能够画出 一种新旳单纯形表。
④ 5）反复3）、4）步直到计算结束为止。
单纯形法旳计算环节
将3化为1
换入列
j
乘
,
x2
,
x3
,
x4
0
Page 1
单纯形法旳计算环节
Page 2
2）求出线性规划旳初始基可行解，列出初始单纯形表。
j
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
单纯形法旳计算环节
Page 3
3）进行最优性检验
假如表中全部检验数 止。不然继续下一步。
，j 则表0中旳基可行解就是问题旳最优解，计算停
单纯形法旳计算环节
例1.8 用单纯形法求下列线性规划旳最优解
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 40
x1
3x2
30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为原则型，加入松驰变量x3、x4则原则型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
x1
3x2
x4
30
x1
以
1/3 后
j
得
到
j
30 5/3 0 10 1/3 1
5/3 0
18 1
0
40
1
0
0
Page 5
bi /ai2，ai2>0
单纯形法的计算步骤
运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0
单纯形法的一般描述和求解步骤课件
单纯形法的一般描述和求解步骤：一般的线性规划问题的求解有以下几个步骤。
(1)确定初始基本可行解。
为了确定初始可行解，首先要找出初始可行基。
设一线性规划问题为⎪⎩⎪⎨⎧=≥==∑∑==nj xj b x P x c Z n j j j nj jj ,,2,1,0max 11（1-14）可分两种情况讨论。
1.若),,2,1(n j P j =中存在一个单位基，则将其作为初始可行基：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==100010001),,,(21m P P P B 2.若),,2,1(n j P j =中不存在一个单位基，则人为的构造一个单位初始基。
关于这个方法将在下面提到。
(2)检验最优解。
得到初始基本可行解后，要检验该解是否最优解。
如果是最优解，则停止运算；否则转入（3）基变换。
下面给出最优性判定定理。
一般情况下，经过迭代后可以得到以非基变量表示基变量的表达式∑+=='-'=nm j j iji i m i x ab x 1),,2,1(,(1-15)将式（1-15）代入式（1-14）的目标函数，整理后得j nm i ni ij i jmi i i x a c cb c Z ∑∑∑+==='-'+'=111)(max令∑='=m i i i b c Z 10,∑=+==mi ji i j n m j a c Z 1),,1(,于是j nm j j j x Z c Z Z ∑+=-+=10)(max再令),,1(,n m j Z c j j j +=-=σ则得到以非基变量表示的目标函数的表达式jnm j jx Z Z ∑+=+=10max σ由以上推导可得出下列最优解的判定定理。
(1)最优解的判定定理：若T m b b b X )0,,0,,,,(21)0( '''=为对应于基B 的一个基本可行解，且对于一切n m j ,,1 +=有0≤j σ，则)0(X 是最优解，称j σ为检验数。
单纯形法的计算步骤及应用
（4-16）
（4-17）
bi' bi
bl ai ,k ( i 1,2, , n; i l ) al ,k
这样经过变换以后就得到了新的增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,k 1 a l ,k 1 0 al ,k a m ,k 0 a l ,k 0 a
单纯形法介绍及相关问题
标准型线性规划问题 max s=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+annxn=bn xj≥0(j=1,2,…,n)
单纯形法介绍及相关问题
例1 已知约束如下
（4-11）
单纯形法介绍及相关问题
2、基本可行解之间的迭代
在讨论中我们假设对方程组（4-10）的系数增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,m1 1 1 al ,m1 1 am ,m1
a1,m1 a1,n al ,m1 al ,n am ,m1 am ,n
' a1 ,m 1 ' 0 a1 ,n
' l ,m 1
0
1 al' ,n
1 a'm ,m 1 0 a'm ,n
' b1 bl' ' bm