单纯形法的步骤
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种经典的线性规划求解方法，它是由乔治·达竞士等人在1947年提出的。
该方法的基本思想是，通过在单纯形空间内不断移动顶点的位置来寻找最优解。
单纯形法是目前广泛应用的线性规划求解方法之一，它求解线性规划问题可大大地简化计算过程。
单纯形法的求解过程包括以下几个步骤：1. 将线性规划问题转化为标准形式线性规划问题的标准形式为：$ \max_{x} \ \ c^T x $$s.t. \ Ax=b$$x\geq 0$其中，$x$是要求解的向量；$b$是一个常数向量；$A$是一个$m\times n$的矩阵；$c$是一个常数向量。
2. 初始化单纯形表因为单纯形法是通过移动顶点来寻找最优解的方法，因此需要初始化单纯形表。
单纯形表是将原始的约束条件表示为不等式形式时形成的。
例如，对于一个带有3个变量的线性规划问题，其单纯形表的形式如下：CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS----|-----|-----|-----|-----|----0 | a11| a12| a13| 0 | b10 | a21| a22| a23| 0 | b20 | a31| a32| a33| 0 | b31 | z1 | z2 | z3 | 0 | 0其中，CB代表成本系数，X1、X2、X3、X4分别代表变量。
a11、a12、a13等代表矩阵A中的元素，b1、b2、b3代表矩阵b中的元素。
3. 选择进入变量和离开变量在单纯形表中，规定最后一列为等式右边的常数（RHS），即b。
在单纯形法的求解过程中，首先需要选择一个“进入变量”，即在单纯形表的第一行中，寻找一个系数为正的变量，使得将其加入目标函数后，目标函数值可以上升。
这里以X1为例，X1为进入变量。
接着，需要选择一个“离开变量”，即在单纯形表中，寻找一个使得添加X1变量后，约束条件不改变且取得约束条件中系数最小的一个变量离开。
运筹学课件1-4单纯形法计算步骤
b 21 4
9 4
3 x1 1 -1 3 4 -1 12
9 x2 3 1 9 0 1 0
0 x3 1 0 0 1 0 0
0 x4 0 1 0 -3 1 -9
θ 7 4
9/4 -
所以把x3换出为非基变量，x1为换入变量即新的基变量。
第20页
cj
CB 0 0
0 9 3
XB x3 x4 cj-zj x3 x2 cj-zj x1
cj-zj
x3 x1 x5 cj-zj
6
0 1 0
5
5/2 1/2 1
0
1 0 0
0
-1/2 1/2 -1
0
0 0 1
75 5
0
2
0
-3
0
5
x2
5
0
1
0
-1
1
第10页
cj CB 0 0 0 0 6 0 XB x3 x4 x5 b 90 75 80 105/2 75/2 5
6 x1 1 2 2
5 x2 3 1 2
9/4
-
3 9
9/4 25/4
1 0 0
25
第24页
cj CB 0 0 XB x3 x4 cj-zj b 21 4
3 x1 1 -1 3
9 x2 3 1 9
0 x3 1 0 0
0 x4 0 1 0 θ 7 4
0
9
x3
x2 cj-zj x1 x2 cj-zj
9
4
4
-1 12
0
1 0 0 1 0
1
0 0 1/4 1/4 -3
i 1
第1页
单纯形表求解线性规划问题
第四节 单纯形法的计算步骤
上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0
单纯形法步骤
单纯形法步骤：1. 给定初始点 )0(x 初始单纯形边长 a ，α ， 收缩系数 β ， 延伸系数 γ 以及精度要求 ε。
2. 作出初始单纯形图3. 找出坏点 )(h x 、好点 )(e x 计算中心点 )1(+n x 及 反射点 )2(+n x 和各点上的目标函数值4. 比较反射点和除了坏点上的函数值，5.⑴. 如果反射点上的函数值比好点差，但比坏点外的其他顶点函数值好，认为反射成功，将反射点代替坏点构成新的单纯形，转7 ⑵. 如果反射点上的函数比好点还要好，说明反射点很好，可以沿此方向作延伸尝试，如果延伸点上的函数值比好点还好，则将延伸点取代坏点，形成新单纯形，转7。
反之，延伸点上函数值不如好点，说明延伸失败，但反射还是成功的，所以仍可用反射点代替坏点，然后转75. 如果反射点连坏点都不如，说明反射失败，那么作收缩，找出收缩点的函数值，并转6.；如果反射点仅比坏点好，则将反射点取代坏点，然后收缩，转下一步6。
6. 如果收缩点上函数比坏点还差，说明收缩也失败，作缩小运算，形成缩小后的单纯形转7；反之（即收缩点上的函数值比坏点好），说明收缩成功，用收缩点代替坏点，形成新的单纯形转。
转下一步7。
7. 检查是否满足精度要求 ()(1)max(()i n f x f x ε+-≤如满足，停止迭代，否则转3，继续迭代。
%三个考察点，最优，次差，最差best = vx(: , 1) ; fbest = vf(1) ;soso = vx(: , n) ; fsoso = vf(n) ;worst = vx(: , n+1) ; fworst = vf(n+1) ;center = sum(vx(: , 1:n) , 2) ./ n ;r = 2 * center - worst ;%反射点fr = feval(fun , r) ;if fr < fbest %比最好的结果还好，说明方向正确，考察扩展点，以期望更多的下降e = 2 * r - center ; %扩展点fe = feval(fun , e) ;if fe < fr %在扩展点和反射点中选择较优者去替换最差点vx(: , n+1) = e ; f(: , n+1) = fe ;elsevx(: , n+1) = r ; vf(: , n+1) = fr ;endelseif fr < fsoso %比次差结果好，能够改进vx(: , n+1) = r ; vf(: , n+1) = fr ;else %比次差结果坏，当压缩点无法得到更优值的时候，考虑收缩shrink = 0 ;if fr < fworst %由于r点更优所以向r点的方向找压缩点c = ( r + center ) ./ 2 ; fc = feval(fun , c) ;if fc < fr %确定从r压缩向c可以改进vx(: , n+1) = c ; vf(: , n+1) = fc ;else %否则的话，准备进行收缩shrink = true ;endelsec = (worst + center) ./ 2 ; fc = feval(fun , c) ;if fc < fr %确定从r压缩向c可以改进vx(: , n+1) = c ; vf(: , n+1) = fc ;else %否则的话，准备进行收缩shrink = 1 ;endend%fr < fworstif shrink %压缩点并非更优，考虑所有点向best收缩for i = 2:n+1vx(: , i) = ( vx(i) + best ) ./ 2 ; vf(: , i) = feval(fun , vx(: , i)) ;endend %shrinkend%fr < fsosoend %fr < fbest[vf index] = sort(vf) ;vx = vx(:,index) ;。
运筹学单纯形法的计算步骤
b2
0… 0
a2,m+1
…
a2n
2
…
…
…
…
cm xm
bm
0… 1
am,m+1
…
amn
m
-z -z 值 0 … 0
m+1
…
n
XB 列——基变量， CB 列——基变量的价值系数(目标函数系数) cj 行——价值系数，b 列——方程组右侧常数 列——确定换入变量时的比率计算值
下面一行——检验数， 中间主要部分——约束方程系数
(4).根据max(j > 0) =k，拟定xk为换入变量，按 规则计算 =min{bi/aik\aik>0}
可拟定第l行旳基变量为换出变量。转入下一步。
(5).以 alk 为主元素进行迭代(即用高斯消去法或称为旋转变 换)，把 xk 所对应的列向量变换为(0，0，…，1，…，0)T，将
XB 列中的第 l 个基变量换为 xk，得到新的单纯形表，返回(2)。
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 2 0 x4 8 3 x2 3
1
0
1
0 -1/2 -
0 0 -4 1 (2 ) 4
0 1 0 0 1/4 12
-z
-13
0
0 -2
0 1/4
X(2)=(2，3，0，8，0)T， z2 =13
cj
2 30 0 0
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
2 x1 4 0 x5 4 3 x2 2
量，给出第一阶段的数学模型为：
min = x6+x7
x1-2x2+x3+x4
单纯形法求解线性规划的步骤
单纯形法求解线性规划的步骤1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为03>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式:1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素 SimpleMatrix(introw=0,int col=0);2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数 SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法)程序中主要的函数以及说明~SimpleMatrix();销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑这个函数用来判断是否已经存在最优解bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零这个函数用来判断线性规划是否是无解的bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)用来判断线性规划是否存在最优解,因为如果最后一列如果有负数的化,就无解了,算法终止int InColumn(); //确定输入变量用来判断主元所在的列int DepartRow(int col); //确定分离变量(寻找主元)用来确定主元所在的行void MainItem_To_1(int row,int col); //将主元所在的行做处理,使主元变为1void SubMatrixLine(int row1,int row2,intcol);//将矩阵的其他行做处理,矩阵的两行相减这个函数是在主元行已经做处理以后调用,目的是是矩阵的其他行主元列的元素变成0.其中row2为主元所在的行,col为主元所在的列,row1为要处理的行void PrintAnswer(); //输出矩阵的最优解int GetRows(); //返回矩阵的行数int GetCols(); //返回矩阵的列数double GetItem(int row,int col); //返回矩阵第row行,第col列的元素源代码//SimpleMatrix.h#ifndef SIMPLEMATRIX_H_#define SIMPLEMATRIX_H_class SimpleMatrix{public:SimpleMatrix(int row=0,int col=0);SimpleMatrix(int row,int col,double **M);~SimpleMatrix();bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)int InColumn(); //确定输入变量int DepartRow(int col); //确定分离变量(寻找主元)void MainItem_To_1(int row,int col); //将主元所在的行做处理,使主元变为1void SubMatrixLine(int row1,int row2,int col);//将矩阵的其他行做处理,矩阵的两行相减 void PrintAnswer(); //输出矩阵的最优解int GetRows(); //返回矩阵的行数int GetCols(); //返回矩阵的列数double GetItem(int row,int col); //返回矩阵第row行,第col列的元素private:int rowLen; //标准矩阵的行数int colLen; //标准矩阵的列数double **data; //一个二维数组,指向标准矩阵的数据成员void init(int rows,int cols); //动态分配一个rows行,cols列的二维数组};#end if//SimpleMatrix.cpp#include <iostream>#include <cmath>#include "SimpleMatrix.h"using namespace std;void SimpleMatrix::init(int rows,int cols){if(rows>0&&cols>0){rowLen=rows;colLen=cols;data = new double *[rows];for (int i=0;i<rows;i++){data[i]=new double[cols];}}elsecout<<"矩阵的行.列数不合法"<<endl;}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col){init(row,col);for(int i=0;i<rowLen;i++){cout<<"请输入矩阵中第"<<i+1<<"行的系数"<<endl; for(int j=0;j<colLen;j++)cin>>data[i][j];}}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col,double **M) {rowLen=row;colLen=col;init(row,col);for (int i=0;i<row;i++)for(int j=0;j<col;j++){data[i][j]=*((double*)M+col*i+j); ;}}SimpleMatrix::~SimpleMatrix(){if(colLen*rowLen != 0 ){for(int i=rowLen-1;i>=0;i--){if (data[i]!=NULL)if (data!=NULL)delete[] data;}}bool SimpleMatrix::Is_objectLine_All_Positive(){for(int i=0;i<colLen-1;i++)if(data[rowLen-1][i]<0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_MainCol_All_Negative(int col) {for(int i=0;i<rowLen;i++)if(data[i][col]>0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_column_all_Positive(int col) {for(int i=0;i<rowLen-1;i++){if(data[i][col-1]<0)return false;}return true;}int SimpleMatrix::InColumn(){int count=0;for(int i=0;i<colLen-1;i++){int temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp>=0){count++;}elsebreak;}double maxItem=fabs(GetItem(rowLen-1,count)); int index_col;for(i=0;i<colLen-1;i++){double temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp<0){maxItem=fabs(temp);index_col=i;}}}return index_col;}int SimpleMatrix::DepartRow(int col){int index_row;int count=0;for(int i=0;i<rowLen;i++){if(data[i][col]<0)count++;elsebreak;}double minItem=data[count][colLen-1]/data[count][col]; index_row=count;double temp;for(i=0;i<rowLen-1;i++){temp=data[i][col];if(temp>0){temp=data[i][colLen-1]/temp;if(temp<minItem){minItem=temp;index_row=i;}}}return index_row;}void SimpleMatrix::MainItem_To_1(int row,int col){double temp=GetItem(row,col);//double temp=data[row-1][col-1];for (int i=0;i<colLen;i++){data[row][i]/=temp;}}void SimpleMatrix::SubMatrixLine(int row1,int row2,int col) {double temp=GetItem(row1,col);//double temp=data[row1-1][col-1];double*tempLine=new double[colLen];for(int i=0;i<colLen;i++){tempLine[i]=data[row2][i];}for(i=0;i<colLen;i++){data[row1][i]=data[row1][i]-temp*tempLine[i];}delete[]tempLine;}int SimpleMatrix::GetRows(){return rowLen;}int SimpleMatrix::GetCols(){return colLen;}double SimpleMatrix::GetItem(int row,int col){return data[row][col];}void SimpleMatrix::PrintAnswer(){//先确定单位矩阵中1的位置for (int i=0;i<GetRows();i++)for (int j=0;j<GetRows();j++){if(1==data[i][j]){int index_col=j;cout<<"x"<<index_col+1<<"="<<data[i][colLen-1]<<" ";}}cout<<endl;cout<<"取得最优解,并且最优值为"<<data[rowLen-1][colLen-1];}//单纯形法.cpp#include <iostream>#include "SimpleMatrix.h"using namespace std;int main(){double M[4][7]={{5,3,1,1,0,0,9},{-5,6,15,0,1,0,15},{2,-1,1,0,0,-1,5},{-10,-15,-12,0,0,0,}}; SimpleMatrix Matrix(4,7,(double **)M);if(Matrix.Is_column_all_Positive(5)) //判断是否存在最优解{bool p=Matrix.Is_objectLine_All_Positive(); //判断主元列是否全部为正,确定是否已经取得最优解 while(!p){int col=Matrix.InColumn(); //确定主元所在的行if(Matrix.Is_MainCol_All_Negative(col)) //确定线性规划的解是否为无解的{cout<<"线性规划问题是无界的,没有最优解"<<endl;exit(EXIT_FAILURE);}else{int mainRow=Matrix.DepartRow(col); //确定主元所在的行Matrix.MainItem_To_1(mainRow,col); //将主元所在的行做变换,使主元变成1int i=0;while(i<Matrix.GetRows()){if(i!=mainRow){Matrix.SubMatrixLine(i,mainRow,col); //处理矩阵中其他的行,使主元列的元素为0i++;}else{i++;}}}for(int i=0;i<Matrix.GetRows();i++) //输出变换以后的矩阵,判断是否正确处理{for (int j=0;j<Matrix.GetCols();j++){cout<<Matrix.GetItem(i,j)<<" ";}cout<<endl;}p=Matrix.Is_objectLine_All_Positive();}Matrix.PrintAnswer();}elsecout<<"线性规划无解"<<endl;return0;}。
单纯形法的计算步骤
运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0
解目标规划的单纯形法
(5) 当k=K时，计算结束. 表中的解即为满意解.否则置 k=k+1，返回到(2).
【例4--4】 用单纯形法求解目标规划问题
min
z
P1
d
1
P2
(
d
_ 2
d
2
)
P3
d
3
2 x1 x2 xs 11
cj-zj
P2
P3
3/2 3/2 1/2 1
3
-3
1 1
-1/2 1/2 -1 1/2 -1/2
1/2 -1/2 -5 5 1 1 11 5 -5
4 10/3 10 -1 6/3
1
依此类推，直至得到最终表为止。见表4-3.
表4-3
cj CB XB b
P1 P2 P3 P4 x1 x2 xs d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ θ
P2 d2-1 6 1/3 1/3
1
P3 d2+ 1 -6 -1/3 -1/3
1
表4-4
P4 d3- d3+ -1 1
1
θ
表4-3所示的解x1*=2，x2*=4为例1的满意解. 此解相当于图4-1的G点。由表4-4得到解x1*=10/3， x2*=10/3，此解相当于图4-1的D点，G、D两点的凸线 性组合都是例1的满意解.
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤:
(1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子 个数分别列成K行，置k=1.
此表(解中2相 的当解) 于即检图为满4-查1意的解G.点该。 行中是否存在负数，且对应的前k-1行的系 数是零。若有负数取其中最小者对应的变量为换入 ③ 因k(=1)＜K(=3)，置k=k+1=2，返回到(2)。
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x1
0 1 0 0
x2
1 0 0 0
x3
0 0 1 0
x4
3/160
x5
-1/120 1/60 1/2 -1/6
bi
3/4 7/2
i
数学既不严峻，也不遥远，她和 几乎所有的人类活动有关，还让每个 对她感兴趣的人受益。 ― R.C.Buck 数学是理解世界及其发展的一 把主要钥匙。 ― 里约热内卢宣言
数学实验
合金工厂的生产规划
上海交通大学数学科学学院
实际问题1
某合金工厂生产甲、乙两种合金，生产每吨 甲种合金需用A元素20 kg、 B元素40kg 和C元素 90 kg，而生产每吨乙种合金需用A元素100 kg、 B元素80 kg和C元素60 kg. 由于A、B、C三种元素都是原料市场上紧缺
20x1 100x2 200 40x 80x 200 1 2 90x1 60x2 360 x1 0, x2 0
线性规划 问题
求最优解
图解法（回到问题1）
二元一次方程 a1x1+a2x2 =b 代表x1 x2平面 上的一条直线, 而二元一次不等式a1x1+a2x2 b 则代表了以此直线为界的半平面 a1 x1+a2 x2 b
x2 p
Q
30x1+40x2= u
从图看出最 优解应为R点 R
O
S
x1
问题的解答
最优解在R点,由R是直线40x1+ 80x2= 200与 直线90x1+ 60x2= 360的交点,可得最优解为x1=3.5, x2=0.75,此时有最大值为u=135. 说明安排月生产 甲、乙种合金分别为3.5 t、0.75t，才能获得最大 利润135万元.
末一行
■
从末一行非基变正系数)，最小者2，该行对应的x3 成 非基，交叉位的系数100 称主元;
■
作初等变换主元变成1,这列其他系数变成0
这样得到的单纯形表(矩阵)为
x2 x4 x5 1/5 24 78 22
■
x1
x2
1 0 0 0
1/100 -4/5 -3/5 -2/3
单纯形法的步骤 1.化标准型 (1)把问题变为求在约束下的极小,(2)引进新变量, 将约束中的不等式化为等式(除了变量xi非负)
v u，增加 x3 , x4 , x5
约束条件
求 min v min (30x1 40x2 0x3 0x4 0x5 )
200 20x1 100x2 x3 40x 80x x4 200 1 2 x5 360 90x1 60x2 i 1, 2, 3, 4, 5 xi 0,
初等变换：先选末行xi系数最大的列 算θ(最小正) 定主元
20 100 1 0 0 200 40 80 0 1 0 200 90 60 0 0 1 360 30 40 0 0 0 0
1 / 5 24 78 22
1 0 0 0
x3
0 1 0 0
x4
0 0 1 0
x5
bi i 2 10 40 5/3 240 120/39 -80
现在x2, x4, x5成为基,这次末一行正系数最大者 再看i=bi/(x1的正系数）其最小者5/3，所在行
是22，x1成新基;
■
对应 x4成非基,24 成为主元
■
再做初等变换主元变成1，这列其他系数变0
货品,工厂每月所能得到的这些元素的供应量分别 为200kg、200kg和360kg. 工厂生产每吨甲种合金
利润为30万元，生产每吨乙种合金利润为40万元.
试问：应如何安排生产，才能获得最大利润？
数学模型
设每月生产甲种合金 x1t，乙种合金 x2 t , 利润为 u万元, 那么 u= 30 x1+40 x2 求何时有 max u= max (30 x1+40 x2) x1, x2 满足约束条件
a1x1+a2x2 =b
这问题中约束条件意味着五个半平面的交
集. 它是一个包含边界的凸多边形 OPQRS
x2 线性规划的 容许集
p
Q R
O
S
x1
将 u 视作参数，则30x1+40x2= u 代表一条直线，随着u 的增减，直线向右上或左下方平移. 若直线经过容许集的某 顶点时u再增将使直线离开容许集，则此临界状态直线所对应 的u就是所求的最大值，此顶点的坐标就是问题的最优解
1 / 100 4/5 3/ 5 2/5
0 1 0 0
0 2 0 40 1 240 0 80
0 1 0 0
1 1 / 60 1 / 120 0 1 / 30 1 / 24 0 2 13 / 4 0 1 / 3 11 / 12
0 5/ 3 0 5/ 3 1 110 0 350 / 3
2. 单纯形表 利用矩阵的初等变换来实现单纯形法 ■ 选系数线性无关三个变量(x3,x4,x5 )为基; 用约束条件将目标函数写成仅含非基变量，列表 x1 x2 x3 x4 x5 bi i
x3 x4 x5 20 40 90 30 100 80 60 40 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 200 200 360 0 2 2.5 6
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
3 / 160 1 / 120 3 / 40 1 / 80 1 / 60 7 / 2 13 / 8 1 / 2 55 3 / 8 1 / 6 135
直至末行非基变量系数均负，对应表为
x2 x1 x3
图解法的局限
画图并不方便，可以不画图而求出容许集所有 的顶点，再将目标函数在这些顶点上的值加以比 较来求出最优解.但在约束条件多或多变量时，也 是难以做到的
单纯形法
基本思路是：线性规划(通常是求最小值的 的形式)若有最优解，其必定在容许集(在相应的 几何空间中是一个凸多面体)的顶点达到，故 从某一个顶点出发，沿着凸多面体的棱向另一 顶点迭代，使得目标函 数的值下降,经过有限次 迭代,将达到最优解点.