3数列的相关概念及简单表示-拔高难度-讲义
数列的相关概念及简
单表示
知识讲解
一、数列的概念
概念：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限
二、数列的通项
定义：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项．数列的一般形式可以写成：123n a a a a ，
，，，，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项．
三、数列的通项公式
定义：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则
称这个公式为这个数列的通项公式．
四、数列的递推公式
定义：如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可
以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，1112(2)n n a a a n -==-，≥．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式
也是给出数列的一种方法，即递推法．
五、数列的前n 项和
定义：123n n S a a a a =+++
+．
数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1)
(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．
六、根据数列的通项公式判定数列的单调性方法
1.确认单调性：已知)(n f a n =，若)(x f 的单调性可以确定，则}{n a 的单调性可以确定。
（含参慎用）
2.比较法
①作差比较法：
*1,0{}n n n n N a a a +>∈-=⇒<递增
数列为常数列递减
．
②作商比较法（对于各项符号相同的数列）
数列递减
常递增
数列为}{1,
0,1
*n n
n n a a a a N n ⇒<=>>∈+．
典型例题
一．选择题（共10小题）
1．（2018•新昌县校级模拟）已知数列{a n}，{b n}的通项公式为：，，在数列{a n}中存在连续的k（k＞1，k∈N*）项和是数列{b n}中的某一项，则k的取值集合为（）
A．{k|k=2α，α∈N*}B．{k|k=3α，α∈N*}
C．{k|k=2α，α∈N*}D．{k|k=3α，α∈N*} 2．（2018•安徽模拟）删去正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）
A．2062 B．2063
C．2064 D．2065
3．（2017•玉林一模）已知数列{a n}中a n=（n∈N*），将数列{a n}中的整数项按原来的顺序组成数列{b n}，则b2018的值为（）
A．5035 B．5039
C．5043 D．5047
4．（2016秋•永州期末）已知函数
，
，＞
＞，，
数列{a n}满足，且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围是（）
A．（1，3）B．（2，3）
C．，D．，
5．（2016秋•吉安期末）已知函数f（x）=
，
，＞
，若数列{a n}满
足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）
C．（2，4）D．（1，4）
6．（2017秋•浦东新区期中）使数列，，，前项积大于
的自然数n的最小值为（）
A．8 B．9
C．10 D．11
7．（2017春•宿州期中）已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n=，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，b n≥T恒成立，则T的最大值为（）A．1 B．2
C．4 D．3
8．（2017秋•福州期中）（理）在数列{a n}中，对任意n∈N*，都有=k（k 为常数），则称{a n}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：
①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；
④通项公式为a n=a•b n+c（a≠0，b≠0，1）的数列一定是等差比数列．其中正确的个数为（）
A．1 B．2
C．3 D．4
9．（2017秋•宜昌期中）已知函数f（x）=
，
，＞
（a＞0，且a≠1），
若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）
A．（1，3）B．（0，1）
C．，D．（2，3）
10．（2016•温州二模）数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）
A．f（x）=B．f（x）=2x﹣1
C．f（x）=D．f（x）=log2（x+1）
二．填空题（共4小题）
11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}．可以推测：b2012
是数列{a n}中的第项．
12．（2018•中山市一模）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，，，则a2017=．
13．（2018•上海模拟）已知函数f（x）=，
，＞
，记a n=f（n）（n
∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．14．（2016秋•抚顺期末）定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为．
三．解答题（共1小题）
15．（2016•丰台区一模）已知数列{a n}是无穷数列，a1=a，a2=b（a，b是正整数），，
．
（Ⅰ）若a1=2，a2=1，写出a4，a5的值；
（Ⅱ）已知数列{a n}中，求证：数列{a n}中有无穷项为1；（Ⅲ）已知数列{a n}中任何一项都不等于1，记b n=max{a2n﹣1，a2n}（n=1，2，3，…；max{m，n}为m，n较大者）．求证：数列{b n}是单调递减数列．。
数列的概念及简单表示法
(2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+λ =p(an+λ ) 由 待定系数法求出λ ，再化为等比数列； （3）逐差累加或累乘法.
4.创新内容：体现新情境，体现与其它知识的交汇. 失误与防范 1.数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数 集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对 应的一列函数值，就是数列.因此，在研究函数问题时既要 注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性. 2.根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓 住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻 项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进 18 行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.
1 2 即 an 2n, an 2n an 1 0. an
2n 4n2 4 an , 2
an n 2 1 n.
22
（2）证明 ∵an>0， an
n 2 1 n,
aann1
( n 1) 2 1 (n 1) n2 1 n
的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为
2-1，偶数项为2+1，
n 2 ( 1 ) 所以 an (1) . n n
1 也可以为 an n 3 n
（n为正奇数） . （n为正偶数）
9
(4)偶数项为负,奇数项为正，故通项公式必含因子（-1）n+1,
规律分为
、
、
和
.
2
递增数列an+1 ＞ an；；递减数列an+1＜ an；常数列an+1= a n. 递增数列与递减数列通称为 单调数列 . 有界
数列的概念与简单表示法PPT优秀课件3
数列的概念与简单表示法
从下往上钢管的数目
7---6---5---4---3---2---1----
10 9， 8， 7， 6， 5， 4，
小树枝丫
13 8 5
3
2
1
4 25 26 27 … 263 2 1 2 1+2+22+…+263 =18446744073709551615 国王要给多少麦粒？
22
23
陛下国库 陛下赏小 你想得到 里的麦子 人几粒麦就 什么样的 不够小人 搞定。 赏赐？ 搬啊！
OK
?
一、定义：
• 按一定顺序排列的一列数叫数列 数列中的每一个数叫做这个数列的项 各项依次叫做这个数列的第1项（首 项），第2项，· · · · · · ，第n项， · · · · · · 数列的一般形式可以写成： a1，a2，…，an，…其中an是数列的第 n项。上面的数列简记作{an }。
四、数列的通项y=f（x）
函数值
an ？ n
自变量
• 如果数列{ an }中的第n项an与n之间的关 系可以用一个公式来表示，则称此公式 为数列的通项公式。 是不是所有的数列都有通项公式？ 并不是所有的数列都有通项公式
数列的通项公式是否唯一？
有些数列的通项公式不唯一
an
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
三、数列和函数的关系 问题：数列中的项与序号的关系有没有规 律？如何总结这些规律？ 数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序
号也都对应着一个数。如数列
项 4 5 6 7 8 9 10
an n
序号
1
2
3
4
5
6
7
数列的概念与简单表示法PPT课件
2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2， 3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的 函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．
由数列的前几项求数列的通项公式
[典题导入]
(2014·西安五校联考)下列公式可作为数列{an}：1，2，1，2，
1，2，…的通项公式的是
[跟踪训练] 1．写出下面数列的一个通项公式．
(1)3，5，7，9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)3，33，333，3 333，…； (4)－1，23，－13，34，－15，36，….
解析 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21，22，23，24，…， 所以 an＝2n2－n 1. (3)将数列各项改写为93，939，9399，9 9399，…，分母都是 3，而分 子分别是 10－1，102－1，103－1，104－1，…. 所以 an＝13(10n－1)．
A [a8＝S8－S7＝64－49＝15.]
()
3．已知数列{an}的通项公式为 an＝n＋n 1，则这个数列是
A．递增数列
B．递减数列
()
C．常数列
D．摆动数列
A [an＋1－an＝nn＋ ＋12－n＋n 1＝（（n＋n＋1）1）2－（n（n＋n＋2）2）
＝（n＋1）1（n＋2）>0.]
4．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是 an＝ 22· n－3n5－（1（n为n为奇偶数数）），，则 a4·a3＝________． 解析 a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案 54
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋qn，且 a2＝32，a4＝23，则
第一讲+数列的概念与简单表示法课件-2025届高三数学一轮复习
a6＝( )
A.3×44
B.3×44＋1
C.44
D.44＋1
解析：由an＋1＝3Sn，得到an＝3Sn－1(n≥2)，
两式相减，得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， 则an＋1＝4an(n≥2)，因为a1＝1，a2＝3S1＝3a1＝3，所以此数 列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an＝ a2qn-2＝3×4n-2(n≥2).则a6＝3×44.故选A.
1
＝
(2n
＋
1)
7 8
n＋1
，
an＋1 an
＝
(2n＋1)78n＋1 (2n－1)78n
＝
14n＋7 16n－8
.
当
aan＋n1>1 时，n<125；当aan＋n1<1 时，n>125.∵an>0，∴数列{an}的最大项 是 a8.
答案：8
考向 2 数列的周期性
[例3]已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公 通项公式 把数列的通项用公式表示
式 法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an， an－1)等表示数列的方法
3.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn， 则 an＝SS1n， －nSn＝－11，，n≥2.
4.数列的分类
分类标准
类型
项数
有穷数列 无穷数列
项与项间的 大小关系
递增数列 递减数列
常数列
高三第一轮复习数列的概念和简单表示法课件-PPT精品文档
S1 , ( n 1 ) 5 . 已知 S ,则 a . 数列 { a } 中 ,若 a n n n n S S , ( n 2 ) n n-1 an-1 , an-1, a a n n 最大 ,则 a 最小 ,则 a 若 a n a . a n n+1 n n+1.
(2 ) a n1 an a n 1
a n1 ( n 1 ) a n , n 1 an a n 1 n 1, an2
n,
a3 3, a2 a2 2, a1 a1 1 . 累乘可得 , a n n ( n 1 ) ( n 2 ) 3 2 1 n ！. 故 a n n ！.
S 2 1 3 2 n 1 n n n 1 1 9 . n 99 .
题型分类 深度剖析
题型一 由数列的前几项写数列的通项公式 【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式： （1）-1，7，-13，19，…
（2）0.8，0.88，0.888，…
基础自测 1.下列对数列的理解有四种： ①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集 {1，2，3，…，n}）上的函数； ②数列的项数是有限的； ③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立 的点； ④数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是 （ C ） A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④ 解析 由数列与函数的关系知①③对，由数 列的分类知②不对，数列的通项公式不是惟一 的，④不对.
11 51329 61 （3） , , , , , , 24 81632 64 3 7 9 , , , （4） ,1 2 10 17 （5）0，1，0，1，…
数列的概念与简单表示 课件
a<2， 即12－1>2a－2.
解得 a<74，故选 C. [答案] C
[误区] 本题易受函数单调性的影响形成思维定式，只考虑两段与分界点，得
a<2， 122－1≥2a－2，
即 a≤183，错选 B. [防范措施] 因为数列可以看作是定义域为正整数集或其子集的一类特殊的 函数，所以数列具备一般函数应具备的性质．用函数的观点研究数列时不要 忽视数列的特殊性，特别注意数列中的项数应为正整数的条件．
[解析] (1)是常数列且是有穷数列； (2)是无穷摆动数列； (3)是无穷递增数列因为n－n 1＝1－n1； (4)是无穷递减数列； (5)是无穷摆动数列． [答案] (1) (2)(3)(4)(5) (3) (4) (1) (2)(5)
探究二 根据数列的前几项写出通项公式 [典例 2] 根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式． (1)－3,0,3,6,9，…； (2)3,5,9,17,33，…； (3)2,0,2,0,2,0，…； (4)12，14，－58，1136，－2392，6614，….
探究三 数列通项公式的应用 [典例 3] 已知数列 2， 5，2 2， 11，…. (1)写出数列的一个通项公式，并求出它的第 20 项； (2)问 4 2是否是该数列的项？10 呢？
[解析] (1)原数列可写为 2， 5， 8， 11，…，不难发现，“ ” 下 面 的 数 值 后 一 项 比 前 一 项 大 3 ， 故 通 项 公 式 可 写 为 an ＝
2＋n－1×3＝ 3n－1， 即 an＝ 3n－1. 所以 a20＝ 3×20－1＝ 59. (2)令 4 2＝ 3n－1，即 32＝3n－1，解得 n＝11， ∴4 2是数列的第 11 项． 再令 10＝ 3n－1，即 3n－1＝100，解得 n＝1031∉N*， ∴10 不是该数列的项．
数列的概念与简单表示法 课件
由数列的前几项求通项公式
[典例]
(1)数列
3 5
，
1 2
，
5 11
，
3 7
，…的一个通项公式是
________．
(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．
①2×1 4，3×1 5，4×1 6，5×1 7，…；
②－3,7，－15,31，…；
③2,6,2,6，….
[解析] (1)数列可写为：35，48，151，164，…，分子满足：3 ＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，
已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}的 项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整 数k，则该数为数列{an}的第k项，若关于n的方程无解或有解且 为非正整数解则该数不是数列{an}中的项．
[点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如 果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是 不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4 是不同的数列．
(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不 同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－ 1,1，－1,1，…；2,2,2，….
2．数列的分类
分类标准 名称
含义
按项的 个数
按项的变 化趋势
有穷数列 无穷数列 递增数列
递减数列 常数列 摆动数列
项数_有__限__的数列 项数_无__限__的数列
从第_2_项起，每一项都_大__于__它的前 一项的数列
从第_2_项起，每一项都_小__于__它的前 一项的数列
_各__项__相__等__的数列 从第_2_项起，有些项_大__于__它的前一 项，有些项小__于__它的前一项的数列
高中数学竞赛讲义（五）──数列
⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⼀、基础知识定义1 数列，按顺序给出的⼀列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和⽆穷数列两种，数列{a n}的⼀般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。
其中a1叫做数列的⾸项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S n表⽰{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。
若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a-q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B⾄少有⼀个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等⽐数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等⽐数列，q叫做公⽐。
定理3 等⽐数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等⽐数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等⽐中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。
定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 ⽆穷递缩等⽐数列，若等⽐数列{a n}的公⽐q满⾜|q|<1，则称之为⽆穷递增等⽐数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。
《数列的概念与简单表示法》课件
等差数列的通项公式是 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 是第 $n$ 项，$a_1$ 是第一项，$d$ 是公差 。
等比数列的定义与特性
01
02
03
定义
等比数列是一组数，其中 任意两个相邻的数之间的 比是一个常数。
特性
等比数列的任意一项都可 以表示为前一项乘以一个 常数，这个常数被称为公 比。
金融
在金融领域，数列常用于研究投资回报、风险评估和资产定价等 。
贸易
在贸易中，数列用于分析商品销售的周期性和趋势，以及预测市场 需求。
经济学
在经济学中，数列用于研究经济增长、通货膨胀和就业等经济指标 的规律和趋势。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
唯一性
一个数列只能有一个极 限。
稳定性
如果数列${ a_n }$的极 限为$a$，则对于任意 小的正数$epsilon$， 存在正整数$N$，当 $n>N$时，有$|a_n a| < epsilon$。
数列的收敛性定义与性质
收敛性定义
如果数列${ a_n }$的极限 存在，则称数列${ a_n }$ 收敛。
REPORTING
文字叙述法
文字叙述法是用文字描述数列的方法，通常包括起始值、递增值和项数等要素。
例如，数列“1, 4, 7, 10, 13”可以用文字叙述法表示为“从1开始，每次递增3，共 有5项”。
文字叙述法虽然直观易懂，但不够精确和简洁，容易产生歧义。
公式表示法
公式表示法是用数学公式来表 示数列的方法，通常包括通项 公式和求和公式等。
详细描述
数列是一种有序的数集，这些数按照 一定的次序排列，每个数称为数列的 一个项，每个项都有一个与之对应的 正整数，称为项的序号。
《数列的概念与简单表示法》课件
等差数列
基本概念
等差数列是指一个数列中任意两 项之间的差值都相等。
通项公式
等差数列的通项公式可以用来表 示数列中任意一项的公式。
前n项和公式
等差数列的前n项和公式可以用 来计算数列的前n项和。
等比数列
1
基本概念
等比数列是指一个数列中任意两项之间
通项公式
2
的比值都相等。
等比数列的通项公式可以用来表示数列
中任意一项的公式。
3
前n项和公式
等比数列的前n项和公式可以用来计算数 列的前n项和。
数列的应用
等差数列的实际应用
等比数列的实际应用
斐波那契数列的应用
等差数列可以用来表示各种实际 问题，例如等差数列的应用问题。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
等比数列可以用来表示各种实际 问题，例如等比数列的应用问题。
斐波那契数列在自然界中有许多 有趣的应用，例如植物叶子的排 列方式。
《数列的概念与简单表示 法》课件
欢迎来到《数列的概念与简单表示法》课件！通过本课件，我们将一起探索 数列的基本概念、常见表示方法以及它们在实际问题中的应用。让我们开始 吧！
数列的基本概念
定义
数列是按照一定的规律排列 的一组数。
分类
数列可以根据增减规律分类 为等差数列、等比数列等。
通项公式
通项公式可以用来表示数列 中任意一项的公式。
总结
1 基本概念与表示方法
我们学习了数列的基本概念以及等差数列和等比数列的表示方法。
2 在实际问题中的应用
数列在实际问题中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种数学和科学难题。
3 拓展学习和进一步发展
数列是数学中的基础概念，继续学习数列的高级应用和推广可以进一步发展自己的数学 能力。