3数列的相关概念及简单表示-拔高难度-讲义

数列的相关概念及简
单表示
知识讲解
一、数列的概念
概念：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限
二、数列的通项
定义：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项．数列的一般形式可以写成：123n a a a a ，
，，，，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项．
三、数列的通项公式
定义：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则
称这个公式为这个数列的通项公式．
四、数列的递推公式
定义：如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可
以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，1112(2)n n a a a n -==-，≥．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式
也是给出数列的一种方法，即递推法．
五、数列的前n 项和
定义：123n n S a a a a =+++
+．
数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1)
(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．
六、根据数列的通项公式判定数列的单调性方法
1.确认单调性：已知)(n f a n =，若)(x f 的单调性可以确定，则}{n a 的单调性可以确定。

（含参慎用）
2.比较法
①作差比较法：
*1,0{}n n n n N a a a +>∈-=⇒<递增
数列为常数列递减
．
②作商比较法（对于各项符号相同的数列）
数列递减
常递增
数列为}{1,
0,1
*n n
n n a a a a N n ⇒<=>>∈+．
典型例题
一．选择题（共10小题）
1．（2018•新昌县校级模拟）已知数列{a n}，{b n}的通项公式为：，，在数列{a n}中存在连续的k（k＞1，k∈N*）项和是数列{b n}中的某一项，则k的取值集合为（）
A．{k|k=2α，α∈N*}B．{k|k=3α，α∈N*}
C．{k|k=2α，α∈N*}D．{k|k=3α，α∈N*} 2．（2018•安徽模拟）删去正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）
A．2062 B．2063
C．2064 D．2065
3．（2017•玉林一模）已知数列{a n}中a n=（n∈N*），将数列{a n}中的整数项按原来的顺序组成数列{b n}，则b2018的值为（）
A．5035 B．5039
C．5043 D．5047
4．（2016秋•永州期末）已知函数
，
，＞
＞，，
数列{a n}满足，且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围是（）
A．（1，3）B．（2，3）
C．，D．，
5．（2016秋•吉安期末）已知函数f（x）=
，
，＞
，若数列{a n}满
足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）
C．（2，4）D．（1，4）
6．（2017秋•浦东新区期中）使数列，，，前项积大于
的自然数n的最小值为（）
A．8 B．9
C．10 D．11
7．（2017春•宿州期中）已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n=，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，b n≥T恒成立，则T的最大值为（）A．1 B．2
C．4 D．3
8．（2017秋•福州期中）（理）在数列{a n}中，对任意n∈N*，都有=k（k 为常数），则称{a n}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：
①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；
④通项公式为a n=a•b n+c（a≠0，b≠0，1）的数列一定是等差比数列．其中正确的个数为（）
A．1 B．2
C．3 D．4
9．（2017秋•宜昌期中）已知函数f（x）=
，
，＞
（a＞0，且a≠1），
若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）
A．（1，3）B．（0，1）
C．，D．（2，3）
10．（2016•温州二模）数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）
A．f（x）=B．f（x）=2x﹣1
C．f（x）=D．f（x）=log2（x+1）
二．填空题（共4小题）
11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}．可以推测：b2012
是数列{a n}中的第项．
12．（2018•中山市一模）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，，，则a2017=．
13．（2018•上海模拟）已知函数f（x）=，
，＞
，记a n=f（n）（n
∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．14．（2016秋•抚顺期末）定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为．
三．解答题（共1小题）
15．（2016•丰台区一模）已知数列{a n}是无穷数列，a1=a，a2=b（a，b是正整数），，
．
（Ⅰ）若a1=2，a2=1，写出a4，a5的值；
（Ⅱ）已知数列{a n}中，求证：数列{a n}中有无穷项为1；（Ⅲ）已知数列{a n}中任何一项都不等于1，记b n=max{a2n﹣1，a2n}（n=1，2，3，…；max{m，n}为m，n较大者）．求证：数列{b n}是单调递减数列．。