数列的概念及简单表示法

数列的概念及简单表示法
一、选择题
1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a n等于( )
A.（－1）n＋1
2
B.cos
nπ
2
C.cos n＋1
2
π D.cos
n＋2
2
π
解析令n＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D正确. 答案 D
2.数列2
3
，－
4
5
，
6
7
，－
8
9
，…的第10项是( )
A.－16
17
B.－
18
19
C.－20
21
D.－
22
23
解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n}的通项公式a n＝
(－1)n＋1·
2n
2n＋1
，故a10＝－
20
21
.
答案 C
3.(2016·保定调研)在数列{a n}中，已知a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，则其通项公式a
n
＝( )
A.2n－1
B.2n－1＋1
C.2n－1
D.2(n－1)
解析法一由a n＋1＝2a n＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知a n ＝2n－1.
法二由题意知a n＋1＋1＝2(a n＋1)，∴数列{a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＋1＝2n，∴a n＝2n－1.
答案 A
4.数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A.2n －1 B.n 2 C.
（n ＋1）2
n 2
D.
n 2
（n －1）2
解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，
当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2
（n －1）2.
答案 D
5.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A.7
B.6
C.5
D.4
解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－
a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D 二、填空题
6.若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，a 8＝34
21，则a 5＝________.
解析 借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝
2113，a 6＝138，a 5＝85
. 答案
8
5
7.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，
2n ＋1，n ≥2.
答案 ⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.
8.(2017·北京海淀期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又
a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________.
解析 因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，即a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3
＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1，所以a3－a1＝1.
答案 1
三、解答题
9.数列{a n}的通项公式是a n＝n2－7n＋6.
(1)这个数列的第4项是多少？
(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
(3)该数列从第几项开始各项都是正数？
解(1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.
(2)令a n＝150，即n2－7n＋6＝150，解得n＝16或n＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.
(3)令a n＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍).
∴从第7项起各项都是正数.
10.已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和S n＝n＋2
3
a
n
.
(1)求a2，a3；
(2)求{a n}的通项公式.
解(1)由S2＝4
3
a
2
得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3.
由S3＝5
3
a
3
得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝3
2
(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知a1＝1.
当n≥2时，有a n＝S n－S n－1＝n＋2
3
a
n
－
n＋1
3
a
n－1
，
整理得a n＝n＋1
n－1
a
n－1
.
于是
a 1＝1， a 2＝31
a 1，
a 3＝42a 2， ……
a n －1＝
n n －2
a n －2，
a n ＝
n ＋1
n －1a n －1
. 将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n ＝
n （n ＋1）
2
.
显然，当n ＝1时也满足上式. 综上可知，{a n }的通项公式a n ＝
n （n ＋1）
2
.
11.设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163
B.133
C.4
D.0
解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛
⎭⎪⎫n －522
＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最
大为0. 答案 D
12.(2017·石家庄质检)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则
a 2 016的值为________.
解析 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－
a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而 2 016＝6×336，∴a 2 016＝a 6＝－1. 答案 －1
13.(2017·太原模拟)已知数列{a n}满足a1＝1，a n－a n＋1＝na n a n＋1(n∈N*)，则a n ＝________.
解析由a n－a n＋1＝na n a n＋1得
1
a
n＋1
－
1
a
n
＝n，则由累加法得
1
a
n
－
1
a
1
＝1＋2＋…＋(n
－1)＝n2－n
2
，又因为a1＝1，所以
1
a
n
＝
n2－n
2
＋1＝
n2－n＋2
2
，所以a n＝
2
n2－n＋2
.
答案
2
n2－n＋2
14.(2016·开封模拟)已知数列{a n}中，a n＝1＋
1
a＋2（n－1）
(n∈N*，a∈R且
a≠0).
(1)若a＝－7，求数列{a n}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，求a的取值范围.
解(1)∵a n＝1＋
1
a＋2（n－1）
(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又a＝－7，∴a n＝1＋
1
2n－9
(n∈N*).
结合函数f(x)＝1＋
1
2x－9
的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞
a
n
>1(n∈N*).
∴数列{a n}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)a n＝1＋
1
a＋2（n－1）
＝1＋
1
2
n－
2－a
2
，
已知对任意的n∈N*，都有a n≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋
1
2
x－
2－a
2
的单调性，
可知5<2－a
2
<6，即－10<a<－8.
即a的取值范围是(－10，－8).。