数列的概念与简单表示法
高中数学-数列
数列的概念及简单表示法一、数列的概念1.数列定义：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2.数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值3.数列有三种表示法：是列表法、图象法和通项公式法二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1＞a n其中n∈N＋递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n按其他标准分类有界数列存在正数M，使|a n|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列三、数列的两种常用的表示方法1.通项公式：如果数列{a n}的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式2.递推公式：如果已知数列{a n}的第1 项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式四、通项公式的求法：1.观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.如数列2 , -1,10 , -17 , 26 , -37 ，，先将数列变为 2 , -5 , 10 , -17 , 26 , -37 ，，显然3 7 9 11 13 3 5 7 9 11 13S ⎪ ⎪ ⎨ - S 分母为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故n +1n 2 +1 a n = (-1)2n +1 .又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7⨯999, 999，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103-1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)2. 公式法：（1） 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 n9(n = 1) (n ≥ 2) （2） 对于等差数列和等比数列，把已知条件代入其通项公式、前 n 项和公式列出方程（组）求解3.累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法 ⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和4. 累乘法：形如a = f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时，用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)=⎩5. 构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法 （1）对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加q 得， a+ q = p (a +q ) ，这样就构造出一个等比数列⎧a +q ⎫ ，其公比 p -1 n +1 p -1 n p -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭为 p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -1（2）对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列，设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧ y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等 n +1 n n n -1 ⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式（3）以 a = ma n 给出的数列（p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个 n +1pa n + q等差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式6. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n1n n 等 差 数 列 及 其 前 n 项 和一、等差数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 2. 数学语言表达式： a n +1 - a n = d ( n ∈N ＋，d 为常数)，或a n - a n -1 = d ( n ≥2，d 为常数)3. 等差中项：如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项，且有 A =x + y 2二、等差数列的通项公式与前n 项和公式1. 若等差数列{a n }的首项是a ，公差是d ，则其通项公式为a = a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N *)n11通项公式的推广： a = a + (n - m )d ( m ， n ∈N) ⇒ d =a n - a mnm＋n - m2. 等差数列的前n 项和公式S= na + n (n -1) d = n (a 1 + a n ) = d n 2 + (a - 1 d )n n 12 22 1 2 (其中n ∈N ＋， a 1 为首项，d 为公差， a n 为第n 项)数列{a }是等差数列⇔ S = An 2+ Bn(A , B 为常数)三、等差数列的性质1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列2. 数列{ a n }为等差数列⇔ a n = pn + q （p,q 是常数）3. 数列{λa n + b }（ λ, b 为常数）仍为等差数列4. 若m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + )，则a m + a n = a p + a q5. 等差数列{a n }中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列6. 等差数列{a n }中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列p +nq 2k 2k n n 7. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d8. 若{a n }、{b n }是等差数列，则{ka n } 、{ka n + pb n }{a }( p , q ∈ N *)…也成等差数列 9.单调性：{a n }的公差为d ，则： （1） d > 0 ⇔ {a n }为递增数列 （2） d < 0 ⇔ {a n }为递减数列 （3） d = 0 ⇔ {a n }为常数列( k 、 p 是非零常数)、10. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k - S … 是等差数列 11. 等差数列{a n }的单调性：当d ＞0 时， {a n }是递增数列；当d ＜0 时， {a n }是递减数列；当d ＝0 时， {a n }是常数列12. 若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k 、a k + m 、a k +2m …(k ，m ∈N ＋)是公差为md的等差数列13. 若数列{a}是等差数列，前n 项和为S ，则⎧S n ⎫也是等差数列，其首项和{a}的首 nn⎨ n ⎬ n项相同，公差是{a n⎩ ⎭}公差的 1214. 若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为 x - d , x , x + d ；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为 x - 3d , x - d , x + d , x + 3d 四、等差数列前n 项的性质1. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ，则S k 、S 2k - S k 、S 3k- S … 是等差数列2. 若数列{a } {b } 都是等差数列，其前 n 项和分别为S T ，则a n= 2n -1n,nn ,nbTn 2n -13. 若数列{a }的前n 项和S = An 2+ Bn +C (A , B 为常数,C ≠ 0) ，则数列{a n }从第二项起是等差数列sn⎨ 2n偶奇 中 偶 奇 偶偶4. 若数列{a n }是等差数列的充要条件是前n 项和公式S n = f (n ) ，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即 S = An 2 + Bn (A , B 为常数,A 2 +B 2 ≠ 0)5. 等差数列{a n }中，若a < 0,d > 0 （ a ≤ 0 的n 的最大值为k ）则S 有最小值S ，前n 项绝对值的和T n 1 = ⎧⎪-s n nn ≤ k；若a > 0,d< 0，（ n a n ≥ k0 的n 的最大 ⎪⎩s n - 2s k n ≥ k + 1值为k ）则S 有最大值S ，前n 项绝对值的和T = ⎧⎪s nn ≤ kn k n⎨ ⎪⎩2s k - s n n ≥ k + 16. 等差数列{a n }中，若项数为奇数2n - 1，则中间项为a ， S =(2n-1)a ，S - S = n - 1 d s n + a ， 奇 = 奇 偶 2 1S n - 1 若n 为偶数，则S = nd2若n 为奇数，则S - S =a (中间项)7. 等差数列{a n }中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S 、S ，则sn + 1 s a n奇=；若项数n 为偶数， 奇= 2S n - 1S a n + 12五、等差数列的前 n 项和的最值等差数列{a n }中1. 若a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值2. 若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值六、等差数列的四种判断方法1. 定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列2. 等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列3. 通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列4. 前 n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列1- S 偶 偶 奇mb n 等 比 数 列 及 其 前 n 项 和一、等比数列的概念1. 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q ( q ≠0)表示 2.数学语言表达式： a n= q ( n≥2， q 为非零常数)，或 an +1 = q ( n ∈N ， q 为非零常数)＋a n -1 a n3. 等比中项：如果三个数x ，G ，y 组成等比数列，那么G 叫做 x 与 y 的等比中项，其中G = ±二、等比数列的通项公式及前n 项和公式1. 若等比数列{a }的首项为a ，公比是q ，则其通项公式为a = a q n -1n通项公式的推广： a n 1= a q n - mn 1a (1- q n )a - a q 2. 等比数列的前n 项和公式：当q ＝1 时， S n = na 1 ;当q ≠1 时， S n =11- q= 1 n1- q三、等比数列的性质 1. q = 1 ⇒{a n }为常数列2. q < 0 ⇒{a n } 为摆动数列3. 若正项数列{a n }为等比数列，则数列{log a a n }为等差数列4. 若{a }是等比数列，则{λa }（λ 为不等于零的常数），{a 2}⎧ 1 ⎫ {a r }(r ∈ Z ) 是等n n n⎨ a ⎬ n ⎩ n ⎭比数列，公比依次是q ，q 2 1 q r ，若数列{a } ，{b }都是等比数列且项数相同，则⎧ a n ⎫是等比数列， ， n nq ⎨ ⎬ ⎩n ⎭ 5. 若数列{a }为等差数列，则数列{ba n}为等比数列6. 若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + ) ，则 a⋅ a = a ⋅ a ，当 p = q 时， a ⋅ a = a 2 即a p 是a m 和a n 的等比中项mnpqm n p7. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k 、a k + m 、a k +2m …仍是等比数列，公比为xy1 1 1 1 2n ⎩ n ⎩ q m （即若项数成等差数列，则对应的项也等比数列）8. 任意两数a , b 都存在等差中项为a + b，但不一定都存在等比中项，当且仅当a , b 同号时 2才存在等比中项为9. 任意常数列都是等差数列，但不一定都是等比数列，当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列10. 等比数列{a n }的单调性：（1） 当q ＞1， a ＞0 或 0＜ q ＜1， a ＜0 时，数列{a n }是递增数列 （2） 当q ＞1， a ＜0 或 0＜ q ＜1， a ＞0 时，数列{a n }是递减数列 （3） 当q ＝1 时，数列{a n }是常数列11. 当q ≠－1，或q ＝－1 且 n 为奇数时，S n 、S 2n - S n 、S 3n - S 仍成等比数列，其公比为q n12. 等比差数列{a n }: a n +1 = qa n + d , a 1 = b (q ≠ 0) 的通项公式为⎧b + (n -1)d q = 1⎪ a n = ⎨bq n+ (d - b )q n -1 - d ；⎪q -1 q ≠ 1 ⎧nb + n (n -1)d(q = 1)其前 n 项和公式为 s n ⎪ ⎨(b - d ) 1- q + d n(q ≠ 1)⎪1- q q -1 1- q（四）判断给定的数列{a n }是等比数列的方法（1）定义法： an +1 = q （不为 0 的常数）⇔数列{a a n}为等比数列（2）中项法： a ⋅ a= a2⇔数列{a }为等比数列mn +2n +1n（3）前n 项和法：数列{a n }的前n 项和S n = A - Aq n （A 是常数， A ≠ 0, q ≠ 0, q ≠ 1 ）⇔数列{a n }为等比数列= nS 1 1 ⎨ - S 数 列 求 和一、公式法1. 等差数列的前n 项和公式： S n2. 等比数列的前n 项和公式 （1） 当q ＝1 时， S n = na 1= na 1+n (n -1) d = n (a 1 + a n)2 2a (1- q n )a - a q（2） 当q ≠1 时， S n = 11- q = 1 n1- q3. 已知数列{a n }的前 n 项和S n ，则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 (n = 1) (n ≥ 2) 4. 差比数列求和：通项为a n b n 型，其中{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，称为差比数列.求和方法为（设 d ， q 分别是{a n }，{b n }的公差、公比）：令S n = a 1b 1 + a 2b 2 + + a n b n …①，两边同乘以q 得qS n = a 1b 1q + a 2b 2q + + a n b n q ， ∴qS n = a 1b 2 + a 2b 3 + + a n b n +1 …②，①-②得 (1- q )S n = a 1b 1 + (a 2 - a 1)b 2 + + (a n - a n -1)b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d b 2 + d b 3 + + d b n -1 + d b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d (b 2 + b 3 + + b n -1 + b n ) - a n b n +1= a 1b 1 + d ⨯b (1- qn) 1- q-a nb n +1，∴当q ≠ 1时， Sn = a 1b 1 - a n b n +1 + d ⨯ 1- q b (1- q n) (1- q )2二、观察法：仔细观察数列的项和项数之间的关系，可分离出随项数变化的部分和不变的部分，从而找到规律.1.数列 2 , -1,10 , - 17 , 26 , - 37 ， ，先将数列变为 2 , - 5 , 10 , - 17 , 26 , - 37， ，分母379 111335 79 11 13n +1n 2 +1 为2n +1，分子为n 2 +1，奇数项正偶数项负，乘以(-1)n +1即可.故a = (-1)2n +1 .2.又如数列 7，77，777， ，可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7 ⨯999,9 9 9，而 9，99，999，依次又可写成10 -1,102-1,103 -1， ，因此，这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)n9n⎪ ⎪ 3. 周期数列举例：通过计算前有限项发现周期，继而求出某些项或 S n三、累加法：形如a n +1 = a n + f (n )，当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)（1） 若 f (n ) 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和（2） 若 f (n ) 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和（3） 若 f (n ) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和（4） 若 f (n ) 是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和四、累乘法：形如a= f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫，当 f (1) f (2)f (n ) 可求时用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘，可得： a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)五、构造法：当已知非常数数列的首项（或前几项）及递推公式时用此法1. 对于一阶递推公式： a n +1 = pa n + q ， ( p 为常数，p ≠ 1) 给出的数列，两边各加qp -1得， a +q = p (a +q) ，这样就构造出一个等比数列⎧a + q ⎫ ，其公比为 n +1p -1 np -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭p ，首项是a +q ，∴ a + q= (a + q ) p n -1 ，即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -12. 对于二阶递推公式： a n +1 = pa n + qa n -1 （p , q 为常数） 给出的数列， =⎩设 a + xa =y (a + xa ) (*)，显然⎧y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等n +1n n n -1⎨xy = q比数列，继而可以求出通项公式3. 以 a= ma n 给出的数列（ p , q , m 均为非零整数），当m = q 时，可以构造一个等n +1pa n + q差数列；当m ≠ q 时，可以构造一个一阶递推公式 4. 形如a n +1 = pa n + q （其中 p , q 均为常数且 p ≠ 0 ）型的递推式：（1） 若 p = 1时，数列{ a n }为等差数列 （2） 若q = 0 时，数列{ a n }为等比数列（3） 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时，数列{ a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设a n +1 + λ = p (a n + λ) ,展开移项整理得a n +1 = pa n + ( p -1)λ ,与题设a = pa + q 比较系数（待定系数法）得λ =q, ( p ≠ 0) ⇒ a + q = p (a + q)n +1np -1 n +1p -1n p -1⇒ a + q= p (a + q ) ,即⎧a + q ⎫构成以a + q为首项，以 p 为公比的等比 np -1 n -1 p -1 ⎨ n p -1⎬ 1 p -1⎩ ⎭数列.再利用等比数列的通项公式求出⎧a + q ⎫的通项整理可得a . ⎨ n p -1⎬ n法二：由a= pa ⎩ ⎭ + q 得a = pa + q (n ≥ 2) 两式相减并整理得a n +1 - a n= p , 即 n +1 n n n -1 a - an n -1{a n +1 - a n }构成以a 2 - a 1 为首项，以 p 为公比的等比数列.求出{a n +1 - a n }的通项再转化为累加法便可求出a n .5. 形如a n +1 = pa n + f (n ) ( p ≠ 1) 型的递推式： （1） 当 f (n ) 为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设a n + An + B = p [a n -1 + A (n -1) + B ] ，通过待定系数法确定 A 、B 的值，转化成以a 1 + A + B 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + An + B } ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + An + B } 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公差为d 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ， a n = pa n -1 + f (n -1)两式相减得： a n +1 - a n = p (a n - a n -1 ) + d ，令b n = a n +1 - a n 得： b n = pb n -1 + d 转化为“4”求出 b n ，再用累加法便可求出a n .（2） 当 f (n ) 为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设a n + λ f (n ) = p [a n -1 + λ f (n -1)]，通过待定系数法确定λ 的值，转化成以 a 1 + λ f (1) 为首项，以 p 为公比的等比数列{a n + λ f (n )} ，再利用等比数列的通项公式求出{a n + λ f (n )} 的通项整理可得a n .法二：当 f (n ) 的公比为q 时，由递推式得： a n +1 = pa n + f (n ) ——①，a n = pa n -1 + f (n -1) ，两边同时乘以q 得a n q = pqa n -1 + qf (n -1) ——②，由①②两式相减得a - a q = p (a - qa ) ，即 a n +1 - qa n= p ，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a . n +1 n n n -1 a - qa nn n -1法三：递推公式为an +1 = pa n + q n （其中p ，q 均为常数）或a = pa n + rq n （其中p ，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以q n +1 ，得：a n +1 = p • a n + 1 ，引入辅助数列{b }（其中b = a n ），得： b = p b + 1 再应用类型 q n +1 q q n qn n q nn +1 q n q“4”的方法解决。
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即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1，因此
可得它的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
(3)an
＝
0
1
n为奇数 n为偶数
或
an
＝
1＋－1n 2
或
an ＝
1＋cos nπ 2
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an 思维启迪
题型分类·深度剖析
变式训练 2 根据下列 条件，确定数列{an} 的通项公式：
(1)a1＝1，an＋1＝3an ＋2； (2)a1＝1，an＝n－n 1
·an－1 (n≥2)； (3) 已 知 数 列 {an} 满 足 an＋1＝an＋3n＋ 2，且 a1＝2，求 an.
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1. (2)∵an＝n－n 1an－1 (n≥2)， ∴an－1＝nn－ －21an－2，…，a2＝12a1. 以上(n－1)个式子相乘得 an＝a1·12·23·…·n－n 1＝an1＝1n.
题型二
由数列旳递推关系求通项公式
【例 2】 (1)已知 a1＝1，an＋1＝2an ＋1，求 an； (2)已知 a1＝2，an＋1＝an＋n，求
an.
思维启迪
解析
探究提升
已知数列的递推关系，求数列的 通项时，通常用累加、累乘、构 造法求解．
当出现 an＝an－1＋m 时，构造等差 数列；当出现 an＝xan－1＋y 时， 构造等比数列；当出现 an＝an－1 ＋f(n)时，用累加法求解；当出现 aan－n 1＝f(n)时，用累乘法求解．
2.1数列的概念与简单表示法
第1课时 数列的概念与简单表示法
知识点一 数列及其有关概念 梳理 (1)按照 一定顺序 排列的 一列数 称为数列，数列中的每一个数叫 做这个数列的 项 .数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数 称为这个数列的 第1项 (通常也叫做 首项 )，排在第二位的数称为这个数 列的第2项 ……排在第n位的数称为这个数列的第n项 . (2) 数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，… ，简记为{an} .
数列中的项的性质 (1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性：数列中的数可以重复. (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列 次序有关.
知识点二 通项公式
梳理 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表 示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
跟踪训练 3 已知数列{an}的通项公式为 an＝nn1＋2(n∈N*)，那么1120是 这个数列的第__1_0___项. 解析 ∵nn1＋2＝1120，∴n(n＋2)＝10×12，∴n＝10.
(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018； (2)0，12，23，…，n－n 1，…；
(3)1，12，14，…，2n1－1，…；
解 (1)(6)是有穷数列； (1)(2)是递增数列； (3)是递减数列； (4)(5)是摆动数列；
(4)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…；(6)是常数列.
题型探究
类型一 数列的分类 例1 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是 A.1，12，13，14，… B.－1，－2，－3，－4，…
√C.－1，－12，－14，－18，…
2.1数列的概念与简单表示法
第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法一、 知识点 （一）数列的定义1、按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项）排在第二位的数称为这个数列的第2项，…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
2、数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列，例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4,3，是不同的数列。
3、在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此 ，同一个数在数列中可以重复出现4、数列的一般形式可以写成12,,...,,...n a a a 此数列可简记为{}n a 例如;把数列1111,,,...,,...23n 简记作1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5、数列的项通常用字母加右下角标表示，其中右下角标表示项的位置序号、我们还应注意到这里{}n a 与n a 是不同的：{}n a 表示数列12,,...,n a a a ；而n a 只表示这个数列的第n 项，这里{}n a 是数列的简记符号，并不表示一个集合。
（二）数列的分类根据数列的项数可以对数列进行分类 1、 项数有限的数列叫有穷数列 2、 项数无限的数列叫无穷数列补充说明：按照项与项之间的大小关系、数列的增减性，可以分为以下几类1、 递增数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项（即1n n a a +>），这样的数列叫做递增数列。
2、 递减数列：一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项（即1n n a a +<）， 这样的数列叫做递减数列。
3、 摆动数列：一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。
4、 常数列：一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列。
数列的概念与简单表示法
即（n×n＋11101）n－1≤1110（n≥n＋（1n）＋211）10n1110n＋1，解得 9≤n≤10. 又 n∈N*，则 n＝9 或 n＝10.故数列{an}有最大项，为第 9 项和第 10 项，且 a9＝a10＝10×11109.
小结：可以利用不等式组aann－≥1≤ana＋n1，，找到数列的最大项；利用不等 式组aann－≤1≥ana＋n1，，找到数列的最小项.
有，请说明理由.
解 法一 an＋1－an＝(n＋2)1110n＋1－(n＋1)1110n＝（9－1n1）1110n， 当 n＜9 时，an＋1－an＞0，即 an＋1＞an； 当 n＝9 时，an＋1－an＝0，即 an＋1＝an； 当 n＞9 时，an＋1－an＜0，即 an＋1＜an.
则 a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…， 故数列{an}有最大项，为第 9 项和第 10 项，且 a9＝a10＝10×11109. 法二 根据题意，令aann－ ≥1≤ana＋n1，
【例 2－2】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋2(n≥2)，写出 该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式.
【例 2－3】 已知数列{an}满足 a1＝1，an＝an－1＋n（n1－1）(n≥2)， 写出该数列前 5 项，并归纳出它的一个通项公式.
【例 2－4】 设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋ an＋1an＝0(n∈N*)，则它的通项公式 an＝________.
2.在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是 递增 数列；若an＋1<an， 则{an}为 递减 数列；若an＋1＝an，则{an}为 常数列 .
【例2－1】 根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：
第一讲+数列的概念与简单表示法课件-2025届高三数学一轮复习
a6＝( )
A.3×44
B.3×44＋1
C.44
D.44＋1
解析：由an＋1＝3Sn，得到an＝3Sn－1(n≥2)，
两式相减，得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an， 则an＋1＝4an(n≥2)，因为a1＝1，a2＝3S1＝3a1＝3，所以此数 列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an＝ a2qn-2＝3×4n-2(n≥2).则a6＝3×44.故选A.
1
＝
(2n
＋
1)
7 8
n＋1
，
an＋1 an
＝
(2n＋1)78n＋1 (2n－1)78n
＝
14n＋7 16n－8
.
当
aan＋n1>1 时，n<125；当aan＋n1<1 时，n>125.∵an>0，∴数列{an}的最大项 是 a8.
答案：8
考向 2 数列的周期性
[例3]已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n，an)画在平面直角坐标系中
公 通项公式 把数列的通项用公式表示
式 法
递推公式
使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an， an－1)等表示数列的方法
3.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn， 则 an＝SS1n， －nSn＝－11，，n≥2.
4.数列的分类
分类标准
类型
项数
有穷数列 无穷数列
项与项间的 大小关系
递增数列 递减数列
常数列
高三第一轮复习数列的概念和简单表示法课件-PPT精品文档
S1 , ( n 1 ) 5 . 已知 S ,则 a . 数列 { a } 中 ,若 a n n n n S S , ( n 2 ) n n-1 an-1 , an-1, a a n n 最大 ,则 a 最小 ,则 a 若 a n a . a n n+1 n n+1.
(2 ) a n1 an a n 1
a n1 ( n 1 ) a n , n 1 an a n 1 n 1, an2
n,
a3 3, a2 a2 2, a1 a1 1 . 累乘可得 , a n n ( n 1 ) ( n 2 ) 3 2 1 n ！. 故 a n n ！.
S 2 1 3 2 n 1 n n n 1 1 9 . n 99 .
题型分类 深度剖析
题型一 由数列的前几项写数列的通项公式 【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式： （1）-1，7，-13，19，…
（2）0.8，0.88，0.888，…
基础自测 1.下列对数列的理解有四种： ①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集 {1，2，3，…，n}）上的函数； ②数列的项数是有限的； ③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立 的点； ④数列的通项公式是惟一的. 其中说法正确的序号是 （ C ） A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④ 解析 由数列与函数的关系知①③对，由数 列的分类知②不对，数列的通项公式不是惟一 的，④不对.
11 51329 61 （3） , , , , , , 24 81632 64 3 7 9 , , , （4） ,1 2 10 17 （5）0，1，0，1，…
第一节数列的概念与简单表示法
角度三 形如 an＋1＝Aan＋B(A≠0 且 A≠1)，求 an 3．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝3an＋2，求 an.
解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴aan＋n＋1＋11＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比 q＝3， 又 a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1.
(3)数列的通项公式： 如果数列{an}的第 n 项与 序号 n 之间的关系可以用一个 式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且 任一项 an 与它 的 前一项 an－1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表 示，那么这个公式叫数列的递推公式．
A．an＝1
B．an＝－12n＋1
C．an＝2－sinn2π
D．an＝－1n2－1＋3
解析：由 an＝2－sinn2π可得 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….
答案：C
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2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－1×1 2，2×1 3，－3×1 4，4×1 5，…； (3)a，b，a，b，a，b，…(其中 a，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….
又由 an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)·(an＋2)， 得 an＋1－an－3＝0 或 an＋1＝－an. 因为 an>0，故 an＋1＝－an 不成立，舍去． 因此 an＋1－an－3＝0. 即 an＋1－an＝3，从而{an}是以公差为 3，首项为 2 的等差数列， 故{an}的通项公式为 an＝3n－1.
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高一数学必修5数列新容：数列与等差数列数列的概念与简单表示法数列的分类：（1）据数列的项数是否有限可分类为有穷数列、无穷数列.（2）据数列的项大小关系可分类为①递增数列：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列;②递减数列：从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列;③常数数列：各项相等的数列;④摆动数列：从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.练习：1、下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号的数（1）()()1,3,6,10,,21,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（2）()()3,5,9,17,33,,,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（3）()1,4,9,16,,36,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.2.下面数列中递增数列是，递减数列是，常数数列是，摆动数列是（1）0,1,2,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（2）82,93,105,119,129,130,132;（3）3,3,3,3,3,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（4）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01;（5）1,1,1,1,1,---⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（6精确到1,0.1,0.01,0.001,⋅⋅⋅的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1,1.141,1.414,;2,1.5,1.42,1.415,⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅.3.据下列数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式（1）1,3,5,7,9⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（2）9,7,5,3,1,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（3）2222 21314151 ;,;; 2345----（4）1111,,,, 12233445----⨯⨯⨯⨯.【典型例题】类型一 根据数列的前几项写出数列的通项公式例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：（1）1111,,,;234--（2）2,0,2,0.（3）9,99,999,9999,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（4）1925,2,,8,,222⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（5）0,3,8,15,24,⋅⋅⋅⋅⋅⋅;（6）11111,,,,,26122030⋅⋅⋅⋅⋅⋅.【变式练习】1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： 1. 11111,,,,3579; 2. 11111,,,,2122232425---⨯⨯⨯⨯⨯;3. 1124; 4. 32 , 154, 356, 638, 9910, …… ; 5. 0, 1, 0, 1, 0, 1,……;2、数列⋅⋅⋅--,15,11,7,3的一个通项公式是())(A 74-=n a n )(B ()()141+-=n a n n)(C ()()141--=n a n n )(D ()()1411--=+n a n n考点1：等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ 期中：首项:1a ，公差:d ，末项:n ad m n a a m n )(-+=．公式默写（两条）：_______________________________________________________________例题：根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)；考试题型：1. 等差数列8，5，2，…的第20项为___________.2. 在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________3. 在等差数列中已知13d =-，a 7=8，则a 1=_______________4. 在等差数列{}n a 中31140a a +=，则45678910a a a a a a a -+++-+的值为（ ）A.84B.72C.60D.486．已知等差数列{a n }中，a 3=9，a 9=3，则公差d 的值为（ ）A ．B ． 1C ．D ． ﹣17．在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（ ）A ． 23B ． 24C ． 25D ． 268．两个数1与5的等差中项是（ ）A ． 1B ． 3C ． 2D ．9．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 410.在等差数列{}n a 中,若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（ ）A.45B.75C.180D.30011.数列3，7，13，21，31，…的通项公式是（ ）A. 41n a n =-B. 322n a n n n =-++C. 21n a n n =++D.不存在12.已知为等差数列，，则= 。
13.已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = ____________。
加强练习：1、设数列的通项公式为72-=n a n ，则=+++1521a a a （ ）A 、153B 、210C 、135D 、1202、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-n m （ ）A 、1B 、43C 、21D 、83考点2：等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+默写公式（两条）：_______________________________________________________________考试题型：1.已知等差数列{n a }中， 1a ＝１，d =1，求该数列前10项和10S{}n a 2812a a +=5a2、已知等差数列{n a }的公差为正数，且1273-=⋅a a ，464-=+a a ，求20S 。
3.等差数列{n a }中，10S = 100，求101a a +的值。
4、由下列等差数列的通项公式，求出首项、公差和前n 项和。
（1）63+=n a n ; (2). 72+-=n a n5.等差数列{n a }的前m 项的和为 30 ，2m 项的和为 100 ，求它的前3m 项的和 。
6.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知50302010==a a ，①求通项n a ；②若n S =242，求n7、在等差数列}{n a 中，836a a a +=，则=9S （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）以上都不对8、等差数列{a n }中，已知a 1=31，a 2+a 5=4，a n =33，则n 是（ ） A.48B.49C.50D.519、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若71310a a +=，则19S 的值是（ ）.A 55 .B 95 .C 100 .D 无法确定10.已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ）.A 138 .B 135 .C 95 .D 2311. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ）.A 63 .B 45 .C 36 .D 2712.在等差数列{a n }中，公差为21，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2+a 4+a 6+…+a 100=_________. 135.等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，若231n n A n B n =+，则n na b = 。
14. 已知{a n }为等差数列，前10项的和S 10=100，前100项的和S 100=10，求前110项的和S 110.15、等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10=30，a 20=50.（1）求通项{a n }； （2）若S n =242，求n .16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=21. （1）求证：{nS 1}是等差数列； （2）求a n 的表达式.17、等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，S 6=7,S 15=16，求a 11.加强练习：1、在等差数列{a n }中，若a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9的值为（ ）（A ）30 （B ）27 （C ）24 （D ）212．一个直角三角形的三条边成等差数列，则它的最短边与最长边的比为（ ）（A ）4∶5 （B ）5∶13 （C ）3∶5 （D ）12∶133、若数列{a n }为等差数列，公差为21，且S 100=145，则a 2+a 4……+a 100的值为（ ） （A ）60 （B ）85 （C ）2145 （D ）其它值4．若a 1,a 2, ……,a 2n+1成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）9 （D ）115．无穷数列1，3，6，10……的通项公式为（ ）（A ）a n =n 2-n+1 （B ）a n =n 2+n-1（C ）a n =22n n + （D ）a n =22n n - 6、 在等差数列{a n }中，已知a 2+a 7+a 8+a 9+a 14=70,则a 8= 。
7、 在等差数列{a n }中，S 4=6,S 8=20,则S 16= 。
8、 在等差数列{a n }中，S 3=S 8,S 2=S n ,则n= 。
9、 成等差数列的四个数之和为26，第一个数与第四个数积为22，则这四个数为 。
10、打一口深20米的井，打到第一米深处时需要40分钟，从第一米深处打到第二米深处需要50分钟，以后每深一米都要比前一米多10分钟，则打到最后一米深处要用 小时，打完这口井总共用 小时。
11、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,b n =n S 1，且a 3b 3=21，S 5+S 3=21,求b n 。