数列的概念与简单表示讲义
数列的概念及简单表示法(高三一轮复习)
所以数列
S 2
n
是首项为S
2 1
＝a
2 1
＝1，公差为1的等差数列，所以S
2 n
＝n，所以Sn＝
n
(n∈N*)．
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命题点2 由数列的递推公式求通项公式
考向1 累加法
例2
设数列
a
n
满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列
1 3
an＋1，所以a2＝3S1＝3×
16 3
＝16.当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1
＝13an＋1－13an，即an＋1＝4an.
所以从第二项起，数列an为首项为16，公比为4的等比数列，所以an＝ 4n(n≥2)．
经检验，an＝4n对n＝1不成立，
所以an＝136，n＝1， 4n，n≥2.
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，所以a2＝
4 2－a1
＝
4 2－4
＝－2，a3＝
4 2－a2
＝
4 2＋2
＝1，a4＝
4 2－a3
＝
4 2－1
＝4，…，所以数列
a
n
是以3为周期的周期数列，又2
022＝
673×3＋3，所以a2 022＝a673×3＋3＝1.
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4．(易错题)若数列
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4.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是 8 列表法 、图象法和 9 解析法 ．
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常用结论► (1)数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有 关，还与这些“数”的排列顺序有关． (2)项与项数的概念：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项 对应的位置序号． (3)若数列{an}的前n项和为Sn，则数列{an}的通项公式为an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2.
等差数列及其前n项和(讲义及答案)
n n mn k k +m k +2m等差数列及其前 n 项和（讲义）知识点睛一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…，简记为{a n }． 2. 数列的表示方法（1） 列表法 （2） 图象法 （3） 公式法①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质（1） 递增数列 （2） 递减数列 （3） 常数列 （4） 摆动数列二、 等差数列 1. 等差数列的概念如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．（1） 等差中项（2） 等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n -1)d ．2. 等差数列的性质（1） 通项公式的推广： a = a + (n - m )d (m ，n ∈ N *) ． （2） 若{a }是等差数列，且k +l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ， 则a k +a l = a m + a n ．（3） 若{a }是等差数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列．（4） 若{a n }是等差数列，则{λa n + c }也是等差数列．1n n n（5） 若{a }，{b }是等差数列，则{p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 nnnn差数列． 三、 等差数列的前 n 项和1. 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和，用 S n 表示，即S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n ．等差数列{a n }的前 n 项和公式（1） 已知a ， a ，n 时， S = n (a 1 + a n ) ．1 n n2（2） 已知a 1 ， n ，d 时， S n 推导过程：倒序相加法 2. 等差数列各项和的性质= na 1 + n (n -1) d ．2（1） S m ， S 2m ， S 3m 分别是{a n } 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等差数列．（2） 两个等差数列{a n }，{b n }的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系 为 a n b n = S2n -1 ． T 2n -1（3） 数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ，B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件．（4） 等差数列{a n }前 n 项和的最值：当d > 0 时，{a n }为递增数列，且当a 1 < 0 时，前 n 项和S n 有最小值；当d < 0 时，{a n }为递减数列，且当a 1 > 0 时，前 n 项和S n 有最 大值．2n +1 n n n -1n +1 n n n -1精讲精练1. 下面六个结论中：①数列若用图象表示，从图象看是一系列孤立的点； ②数列的项数是无限的； ③数列的通项公式是唯一的； ④数列不一定有通项公式；⑤数列 1，2，3，…不一定是递增的；⑥数列看作函数，其定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，…，n } ．其中正确的是（ ）A ．①②④⑥ C ．①③④⑤B ．①④⑤⑥ D ．①②⑥2. 数列-1，7，-13，19，…的通项公式a n = （）A ． 2n -1 C ． (-1)n 6n - 5B ． -6n + 5 D ． (-1)n (6n - 5)3. 数列 1，3，6，10，15，…的递推公式是（）A. a = a + n ，n ∈ N *B. a = a + n ，n ∈ N *，n ≥ 2C. a = a + n -1，n ∈ N * D. a = a + n -1，n ∈ N *4. 在等差数列{a n } 中， a 1 + a 5 = 10 ， a 4 = 7 ，则数列{a n } 的公差是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．435. 已知等差数列{a n } 满足a 1 + a 2 + a 3 +…+ a 101 = 0 ，则有（）A ． a 1 + a 101 > 0 C ． a 3 + a 99 = 0B ． a 2 + a 100 < 0 D ． a 51 = 516.在等差数列{a n } 中，S n 是其前 n 项和，且a 4 = 9 ，a 9 = -6 ，则 S n 取最大值时 n 的值为（ ） A ．6 或 7B ．7 或 8C ．5 或 6D ．8 或 97.已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 2a 6 = a 8 + 6 ，则 S 7 = （ ）A ．49B ．42C ．35D ．2448.已知一个等差数列共有 10 项，其偶数项之和是 15，奇数项之和是 12．5，则它的首项与公差分别是（ ） A ．0．5，0．5B ．0．5，1C ．0．5，2D ．1，0．59.设等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 3 = 12 ， S 6 = 42 ，则 a 10 + a 11 + a 12 =（ ）A ．156B ．102C ．66D ．4810. 设数列{a n } ，{b n } 都是等差数列，若a 1 + b 1 = 7 ， a 3 + b 3 = 21，则a 5 + b 5 = ．5n n +1 11. 已知正项数列{a n }满足：a 1=1，a 2=2， 2a 2 = a 2 2n -1 (n ∈ N * ，n ≥ 2) ，则通项公式a n = ．12. 两个等差数列{a n } 和{b n } 的前 n 项和分别是S n 和T n ，若 S n = 2n + 3 ，则 a 9 = ．T n 3n -1 b 9回顾与思考6+ a【参考答案】1．B 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A9．C 10．35 1112．37507。
数列的概念与简单表示法 课件
由数列的前几项求通项公式
[典例]
(1)数列
3 5
，
1 2
，
5 11
，
3 7
，…的一个通项公式是
________．
(2)根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式．
①2×1 4，3×1 5，4×1 6，5×1 7，…；
②－3,7，－15,31，…；
③2,6,2,6，….
[解析] (1)数列可写为：35，48，151，164，…，分子满足：3 ＝1＋2,4＝2＋2,5＝3＋2,6＝4＋2，…，
已知数列{an}的通项公式，判断某一个数是否是数列{an}的 项，即令通项公式等于该数，解关于n的方程，若解得n为正整 数k，则该数为数列{an}的第k项，若关于n的方程无解或有解且 为非正整数解则该数不是数列{an}中的项．
[点睛] (1)数列中的数是按一定顺序排列的．因此，如 果组成两个数列的数相同而排列顺序不同，那么它们就是 不同的数列．例如，数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4 是不同的数列．
(2)在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不 同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．例如：1，－ 1,1，－1,1，…；2,2,2，….
2．数列的分类
分类标准 名称
含义
按项的 个数
按项的变 化趋势
有穷数列 无穷数列 递增数列
递减数列 常数列 摆动数列
项数_有__限__的数列 项数_无__限__的数列
从第_2_项起，每一项都_大__于__它的前 一项的数列
从第_2_项起，每一项都_小__于__它的前 一项的数列
_各__项__相__等__的数列 从第_2_项起，有些项_大__于__它的前一 项，有些项小__于__它的前一项的数列
数列的概念与性质详细解析与归纳
数列的概念与性质详细解析与归纳数列是数学中的基本概念之一，它在数学及其他科学领域中都有着广泛的应用。
本文将对数列的概念进行详细解析，并总结数列的性质与特点。
一、数列的概念数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的序列。
其中的每个数字被称为数列的项，用an表示第n项，而n则表示项的位置或序号。
数列可以分为两种类型：有限数列和无限数列。
有限数列是指只有有限个数的序列，例如{1, 2, 3}。
而无限数列是指包含无穷多个数的序列，例如{1, 2, 3, ...}。
二、数列的性质1. 公差与公比公差是等差数列中相邻两项之间的差值，表示为d。
而公比是等比数列中相邻两项之比，表示为q。
对于等差数列，第n项可以表示为an = a1 + (n-1)d。
对于等比数列，第n项可以表示为an = a1 × q^(n-1)。
2. 通项公式通项公式是数列中的每一项的一般表示形式。
它能够通过项的位置或序号来计算特定项的值。
对于等差数列，通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d。
对于等比数列，通项公式可以表示为an = a1 × q^(n-1)。
3. 数列的和数列的和是指数列中一定范围内所有项的总和。
它可以通过求和公式来计算，其中有等差数列求和公式和等比数列求和公式两种常用形式。
4. 数列的分类数列可以根据其性质和规律进行分类。
常见的数列类型包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
每种数列类型都有其特定的表达式和特点。
三、数列的应用1. 数列在数学问题中的应用数列在各个数学领域中都有广泛的应用，包括代数、数论、概率论等。
例如在代数中，数列可以用于解决方程和不等式问题；在数论中，数列可用于证明和推导数学定理。
2. 数列在物理学中的应用物理学中很多自然规律和现象的描述和计算都可以通过数列来完成。
例如匀速直线运动的位移、速度和加速度之间就可以构成数列。
3. 数列在计算机科学中的应用数列在计算机科学中也有广泛的应用，例如在算法设计和数据结构中经常会遇到递归数列和动态规划数列。
暑期讲义-数列
数列数列的概念及其表示1 数列的定义(1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫首项．(2)数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成：以正整数集N *或N *的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2 数列的表示方法3 数列的分类4 a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).5 已知递推关系式求通项一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．【例1】(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n ，则此数列的通项公式为a n ＝________.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，求S n .[解析] (1)当n ＝1时， a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，∴a n ＝4n ＋1.(2)∵当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0，即1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是公差为2的等差数列，又S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2，∴1S n ＝2＋(n －1)·2＝2n ， ∴S n ＝12n.【过关练习】1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.2.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知 b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3).第2部分 等差数列及前n 项和1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．2 等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2. 3 等差数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 4 等差数列的前n 项和 等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 等差数列及其前n 项和的性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝…. (2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.(7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a mb m. (8)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.【例1】数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， ∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n ) ＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5， …，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得 a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2， ∴a n ＝n 2－2n ＋2.【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． 解 (1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．【过关练习】1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根， 又公差d >0，所以a 3<a 4， 所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4. 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .因为数列{b n }是等差数列， 所以2b 2＝b 1＋b 3， 即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c， 所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.2.已知等差数列{a n }中，a 5＝12，a 20＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝12a 20＝a 1＋19d ＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20d ＝－2，∴a n ＝20＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋22.(2)由(1)知|a n |＝|－2n ＋22|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋22，n ≤112n －22，n >11，∴当n ≤11时，S n ＝20＋18＋…＋(－2n ＋22)＝n (20－2n ＋22)2＝(21－n )n ；当n >11时，S n ＝S 11＋2＋4＋…＋(2n －22)＝110＋(n －11)(2＋2n －22)2＝n 2－21n ＋220.综上所述，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧(21－n )n ，n ≤11n 2－21n ＋220，n >11.3．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4. (1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式． 解 (1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1， 即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1. 若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1， 而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2.第3部分 等比数列及前n 项和1 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q (q ≠0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q 叫做等比数列的公比．2 等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 3 等比数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1·q n －1(a 1q ≠0)，其中a 1是首项，q 是公比．通项公式的变形：a n ＝a m ·q n －m .4 等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q n)1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1)或S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－a n q 1－q (q ≠1)，na 1(q ＝1).5 等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 等比数列及其前n 项和的性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r ＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭⎬⎫pa n qb n (其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n .(5)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列． (6)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列． (7)若数列{a n }的项数为2n ，S 偶与S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q . 【例1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1， ∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知c n ＝－12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴a n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n.【例2】已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列； (2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．解 (1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝⎛⎭⎫23λ－32＝λ⎝⎛⎭⎫49λ－4，故49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．∴对任意实数λ，数列{a n }都不是等比数列．(2)∵b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n＋1⎝⎛⎭⎫23a n －2n ＋14＝－23(－1)n (a n －3n ＋21)＝－23b n ， 又b 1＝－(λ＋18)，∴当λ＝－18时，b 1＝0(n ∈N *)，此时{b n }不是等比数列； 当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0， 则b n ≠0，∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)． 故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列．【过关练习】1．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ， 则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝15，解得a ＝5， ∴b 3＝7－d ，b 4＝10，b 5＝18＋d . ∵b 3，b 4，b 5成等比数列，∴b 3b 5＝b 24，即(7－d )(18＋d )＝102，化简，得d 2＋11d －26＝0，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，b 4＝10，b 5＝20， ∴数列{b n }的公比q ＝105＝2， 数列{b n }的通项公式为b n ＝b 3q n －3＝5×2n －3. (2)由b 3＝5，q ＝2，得b 1＝b 3q 2＝54，∴数列{b n }是首项为b 1＝54，公比为q ＝2的等比数列，∴数列{b n }的前n 项和S n ＝b 1(1－q n )1－q＝5×2n －2－54.2已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为S 3＝a 4＋6，所以3a 1＋3×2d2＝a 1＋3d ＋6.所以a 1＝3. 因为a 1，a 4，a 13成等比数列， 所以a 1(a 1＋12d )＝(a 1＋3d )2， 即3(3＋12d )＝(3＋3d )2.解得d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1. (2)由题意b n ＝22n ＋1＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝22n ＋1，c n ＋1c n ＝22(n ＋1)＋122n ＋1＝4(n ∈N *)，所以数列{c n }为以8为首项，4为公比的等比数列．所以T n ＝8(1－4n )1－4＋n ＝22n ＋3－83＋n .第4部分 数列求和、数列的综合应用数列的求和方法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 ①等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.③常见数列的前n 项和公式： a ．1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ； c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2； d ．12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6；e ．13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.(2)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 常见的裂项公式有： ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2；③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．(5)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．【例1】(1)已知等差数列{a n }，公差d >0，前n 项和为S n ，且满足a 2a 3＝45，a 1＋a 4＝14.①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； ②设b n ＝S nn ＋c ，若{b n }也是等差数列，试确定非零常数c ，并求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ·b n ＋1的前n 项和T n . (2)数列{a n }的前n 项的和为S n ，对于任意的自然数a n >0,4S n ＝(a n ＋1)2. ①求证：数列{a n }是等差数列，并求通项公式； ②设b n ＝a n3n ，求和T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n .[解] (1)①依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝5a 3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9a 3＝5(舍去)，∴a n ＝4n －3，S n ＝2n 2－n . ②由①知b n ＝2n 2－n n ＋c.数列{b n }是等差数列，则2b 2＝b 1＋b 3，即 2·62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12，∴b n ＝2n .则1b n ·b n ＋1＝12n ·(2n ＋2)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n4(n ＋1).(2)①证明：令n ＝1,4S 1＝4a 1＝(a 1＋1)2， 解得a 1＝1， 由4S n ＝(a n ＋1)2， 得4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，两式相减得4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2， 整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0， ∵a n >0， ∴a n ＋1－a n ＝2，则数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. ②由①得b n ＝2n －13n，T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －13n ，①13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －13n ＋1，② ①－②得23T n ＝13＋2⎝⎛⎭⎫132＋133＋…＋13n －2n －13n ＋1 ＝13＋2×19⎝⎛⎭⎫1－13n －11－13－2n －13n ＋1 ＝23－2n ＋23n ＋1， 所以T n ＝1－n ＋13n. 【例2】已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n－14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n－1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎨⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.【例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)bn (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)bn ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8，又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)． 所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n (n ＋1)2＝(2)n (n＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)2n－1， 而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1>0， 得n (n ＋1)2n≤5·(5＋1)25<1. 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.【过关练习】1.在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. ①求数列{a n }的通项公式； ②令b n ＝2an－10，证明：数列{b n }为等比数列；③求数列{nb n }的前n 项和T n .[解] (1)①设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，由a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12d ＝2. 所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10. ②证明：由①，得b n ＝2an －10＝22n＋10－10＝22n ＝4n ，所以b n ＋1b n ＝4n ＋14n ＝4.所以{b n }是首项为4，公比为4的等比数列．③由nb n ＝n ×4n ，得T n ＝1×4＋2×42＋…＋n ×4n ①， 4T n ＝1×42＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1 ②，①－②，得－3T n ＝4＋42＋…＋4n －n ×4n ＋1＝4(1－4n )－3－n ×4n ＋1.所以T n ＝(3n －1)×4n ＋1＋49.2.已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n (n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －20042对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .[解] (1)∵a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n ＝2＋3a n 3＝a n＋23， ∴{a n }是以23为公差，首项a 1＝1的等差数列，∴a n ＝23n ＋13.(2)当n ≥2时， b n ＝1a n －1a n＝1⎝⎛⎭⎫23n －13⎝⎛⎭⎫23n ＋13＝92⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 当n ＝1时，上式同样成立． ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝92⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1， ∵S n <m －20042，即92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<m －20042对一切n ∈N *成立， 又92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1随n 递增，且92⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1<92， ∴92≤m －20042，∴m ≥2013，∴m min ＝2013. 课后练习【补救练习】1.已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且5a 1，12a 3,4a 2成等差数列，则a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝( )A ．－1B ．1C ．52nD ．52n －1答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，则依题意有a 3＝5a 1＋4a 2，即a 1q 2＝5a 1＋4a 1q ，q 2－4q －5＝0，解得q ＝－1或q ＝5.又q >0，因此q ＝5，所以a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝a 1q 2n ＋a 2q 2na 1＋a 2＝q 2n ＝52n ，选C.2．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( )A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．1 答案 C解析 由题意可知a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ，解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数，故a n ＝0舍去)，又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n (n ≥2)，所以b n ＝2(n ≥2)，所以log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2.3．已知等比数列{a n }的公比q ＝2，且2a 4，a 6,48成等差数列，则{a n }的前8项和为( ) A ．127 B ．255 C ．511 D ．1023 答案 B解析 ∵2a 4，a 6,48成等差数列，∴2a 6＝2a 4＋48，∴2a 1q 5＝2a 1q 3＋48，解得a 1＝1，∴S 8＝1×(1－28)1－2＝255.4．已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n ＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于 ( )A ．126B ．130C ．132D ．134 答案 C解析 ∵b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝lg a n ＋1a n为常数， ∴{b n }为等差数列．设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝18，b 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，b 1＝22.由b n ＝－2n ＋24≥0，得n ≤12，∴{b n }的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负， ∴S 11，S 12最大且S 11＝S 12＝132.5.设数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，记数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4(T 6－T 4)，则a 7＋a 5b 7＋b 5＝________.答案 －513解析 由S 7－S 5＝4(T 6－T 4)得，a 6＋a 7＝4(b 5＋b 6)， 又a 5＝b 5，a 6＝b 6，所以a 6＋a 7＝4(a 5＋a 6)， 所以6a 1＋25d ＝0，所以a 1＝－256d ， 又q ＝b 6b 5＝a 6a 5＝－256d ＋5d －25d6＋4d ＝－5，所以a 7＋a 5b 7＋b 5＝2a 6b 5(q 2＋1)＝2b 6b 5(q 2＋1)＝2q q 2＋1＝－513. 【巩固练习】1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝25－n，数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋k ，设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，a n ≤b n ，a n ，a n >b n ，若在数列{c n }中，c 5≤c n 对任意n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是________．答案 [－5，－3]解析 c n 是取a n 和b n 中的较大值，又c 5是数列{c n }中的最小项，由于函数y ＝25－n 是减函数，函数y ＝n ＋k是增函数，所以b 5≤a 5≤b 6或a 5≤b 5≤a 4，即5＋k ≤25－5≤6＋k 或25－5≤5＋k ≤25－4，解得－5≤k ≤－4或－4≤k ≤－3，所以－5≤k ≤－3.2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S 4≥4，S 7≤28，则a 10的最大值为________． 答案 16解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4≥4，S 7≤28，∴⎩⎨⎧S 4＝4a 1＋4×32d ≥4，S 7＝7a 1＋7×62d ≤28，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥2，a 1＋3d ≤4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋3d ＋6d ≤4＋6d ，a 10＝a 1＋9d ＝12(2a 1＋3d )＋15d 2≥2＋15d2， ∴2＋15d 2≤a 10≤4＋6d ，∴2＋15d2≤4＋6d ，解得d ≤2， ∴a 10≤4＋6×2＝16.3．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n . 解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，∴a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d .由T 3＝15，即b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列可得(5－d ＋1)·(5＋d ＋9)＝(5＋3)2，解得d ＝2或d ＝－10. ∵等差数列{b n }的各项为正，∴d >0， ∴d ＝2，b 1＝3，∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . 4. 数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n >n n ＋1.解 (1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1， ∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ， 即1a n ＋1－1a n ＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)知1a n ＝2n －1，∴S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.证法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 证法二：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>1，又∵1>n n ＋1，∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.【提高练习】1.设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎭⎫12，1 D.⎣⎡⎦⎤12，1 答案 C解析 因为对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，所以令x ＝n ，y ＝1，得f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，即a n ＋1a n＝f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝12，所以数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以S n＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，则S n ∈⎣⎡⎭⎫12，1.故选C.2．已知函数f (x )＝log 2x －log x 2(0<x <1)，数列{a n }满足f (2an )＝2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性． 解 (1)由已知得log 22an －1log 22a n＝2n ， ∴a n －1a n ＝2n ，即a 2n －2na n －1＝0，∴a n ＝n ±n 2＋1. ∵0<x <1，∴0<2a n <1，∴a n <0.∴a n ＝n －n 2＋1. (2)∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋1－(n －n 2＋1)＝1－2n ＋1(n ＋1)2＋1＋n 2＋1>1－2n ＋1(n ＋1)＋n ＝0，∴a n ＋1>a n ，∴{a n }是递增数列．3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1·a n ＝a n －a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝lga n ＋2a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)由题意得1a n ＋1－1a n ＝1， 又因为a 1＝1，所以1a 1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1n .(2)由(1)得b n ＝lg n －lg(n ＋2)，所以S n ＝lg 1－lg 3＋lg 2－lg 4＋lg 3－lg 5＋…＋lg (n －2)－lg n ＋lg (n －1)－lg (n ＋1)＋lg n －lg (n ＋2)＝lg 1＋lg 2－lg (n ＋1)－lg (n ＋2)＝lg2(n ＋1)(n ＋2).。
3数列的相关概念及简单表示-拔高难度-讲义
数列的相关概念及简单表示知识讲解一、数列的概念概念：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限二、数列的通项定义：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项．数列的一般形式可以写成：123n a a a a ，，，，，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项．三、数列的通项公式定义：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式．四、数列的递推公式定义：如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，1112(2)n n a a a n -==-，≥．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法．五、数列的前n 项和定义：123n n S a a a a =++++．数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．六、根据数列的通项公式判定数列的单调性方法1.确认单调性：已知)(n f a n =，若)(x f 的单调性可以确定，则}{n a 的单调性可以确定。
（含参慎用）2.比较法①作差比较法：*1,0{}n n n n N a a a +>∈-=⇒<递增数列为常数列递减．②作商比较法（对于各项符号相同的数列）数列递减常递增数列为}{1,0,1*n nn n a a a a N n ⇒<=>>∈+．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•新昌县校级模拟）已知数列{a n}，{b n}的通项公式为：，，在数列{a n}中存在连续的k（k＞1，k∈N*）项和是数列{b n}中的某一项，则k的取值集合为（）A．{k|k=2α，α∈N*}B．{k|k=3α，α∈N*}C．{k|k=2α，α∈N*}D．{k|k=3α，α∈N*} 2．（2018•安徽模拟）删去正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）A．2062 B．2063C．2064 D．20653．（2017•玉林一模）已知数列{a n}中a n=（n∈N*），将数列{a n}中的整数项按原来的顺序组成数列{b n}，则b2018的值为（）A．5035 B．5039C．5043 D．50474．（2016秋•永州期末）已知函数，，＞＞，，数列{a n}满足，且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．，D．，5．（2016秋•吉安期末）已知函数f（x）=，，＞，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4）D．（1，4）6．（2017秋•浦东新区期中）使数列，，，前项积大于的自然数n的最小值为（）A．8 B．9C．10 D．117．（2017春•宿州期中）已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n=，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，b n≥T恒成立，则T的最大值为（）A．1 B．2C．4 D．38．（2017秋•福州期中）（理）在数列{a n}中，对任意n∈N*，都有=k（k 为常数），则称{a n}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n=a•b n+c（a≠0，b≠0，1）的数列一定是等差比数列．其中正确的个数为（）A．1 B．2C．3 D．49．（2017秋•宜昌期中）已知函数f（x）=，，＞（a＞0，且a≠1），若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（0，1）C．，D．（2，3）10．（2016•温州二模）数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）A．f（x）=B．f（x）=2x﹣1C．f（x）=D．f（x）=log2（x+1）二．填空题（共4小题）11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}．可以推测：b2012是数列{a n}中的第项．12．（2018•中山市一模）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，，，则a2017=．13．（2018•上海模拟）已知函数f（x）=，，＞，记a n=f（n）（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．14．（2016秋•抚顺期末）定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为．三．解答题（共1小题）15．（2016•丰台区一模）已知数列{a n}是无穷数列，a1=a，a2=b（a，b是正整数），，．（Ⅰ）若a1=2，a2=1，写出a4，a5的值；（Ⅱ）已知数列{a n}中，求证：数列{a n}中有无穷项为1；（Ⅲ）已知数列{a n}中任何一项都不等于1，记b n=max{a2n﹣1，a2n}（n=1，2，3，…；max{m，n}为m，n较大者）．求证：数列{b n}是单调递减数列．。
数列的概念与简单表示法 课件
(4)将数列各项改写为93，939，9939，9 9399，…，分母都是 3， 而分子分别是 10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以 an＝13(10n－1)．
1．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析， 抓住以下几方面的特征：
【解】 (1)数列的前三项：a1＝12＋2×1－5＝－2； a2＝22＋2×2－5＝3； a3＝32＋2×3－5＝10. (2)∵an＝n2＋2n－5， ∴an＋1－an＝(n＋1)2＋2(n＋1)－5－(n2＋2n－5) ＝n2＋2n＋1＋2n＋2－5－n2－2n＋5 ＝2n＋3. ∵n∈N*，∴2n＋3>0，∴an＋1>an. ∴数列{an}是递增数列．
1．数列的通项公式给出了第 n 项 an 与它的位置序号 n 之间的 关系，只要用序号代替公式中的 n，就可以求出数列的相应项．
2．判断某数值是否为该数列的项，需假定它是数列中的项去 列方程．若方程有正整数解则是数列的一项；若方程无解或解不是 正整数，则不是该数列的一项．
将数列的通项变为“an＝n2＋2n－5”，第(2)问改为“判断数 列{an}的单调性”．
【解】 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，…， 所以 an＝2n2－n 1.
(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各 项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的 数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2－1，偶数项为 2 ＋1，所以 an＝(－1)n·2＋n－1n.
其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列 是________，递减数列是________，摆动数列是________，周期数 列是________．(将合理的序号填在横线上)
数列的概念与简单表示法课件
探究 1 数列的主要特征是有序性，观察数列的前 n 项的变 化规律，考查数列的项随序号的变化趋势、符号特征，是刻画数 列性质的重要方面．
思考题 1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？ 哪些是递增、递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…； (2)2,4,6,8,10，…； (3)7,7,7,7，…； (4)13，19，217，811，…； (5)0,0,0,0,0,0； (6)0，－1,2，－3,4，－5，….
通项公式 an＝n an＝2n
an＝2n－1 an＝n2 an＝2n an＝n1
an＝n·(n＋1) an＝(－1)n－1
an＝10n－1 an＝1
思考题 2 写出下列数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)22－ 3 1，32－ 5 2，42－ 7 3，52－ 9 4，…； (3)5,55,555,5 555，…；
数列的概念与简单表示法
要点 1 数列的概念 按 一定顺序 排列的一列数，叫做数列． 要点 2 数列的表示 ①列举法：将每一项 按一定顺序，一一列举出来 表示数 列的方法． ②图像法：在坐标系中描出(n，an)这些孤立的点．
③通项公式法：an＝ f(n)． n∈N*. ④递推公式法：
给出数列{an}的第 1 项(或前几项)及以后各项与它相邻的 前一项(或前几项) 之间的关系式来表示数列．
(5)将数列各项写为93，939，9939，….
【解析】 所给五个数列的通项公式分别为 (1)an＝2n2－n 1； (2)an＝n22； (3)an＝1＋2－1n；
－1nn＝2k－1，
(4)an＝3 n
n＝2k，其中k∈N*
由于 1＝2－1,3＝2＋1，所以数列的通项公式可合写成 an＝
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数列的概念与简单表示讲义【知识要点】：知识点一：数列的概念⒈数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第项，….其中数列的第1项也叫作首项。
3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第项知识点二：数列的分类1. 根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列2. 根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。
常数数列：各项相等的数列。
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列知识点三：数列的通项公式与前项和1. 数列的通项公式如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.如数列：的通项公式为（）；的通项公式为（）；的通项公式为（）；注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…；它的通项公式可以是，也可以是.（3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．2. 数列的前项和数列的前项逐个相加之和：；当时；当时，，.故.知识点四：数列与函数的关系数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来，对于函数,如果（）有意义，那么我们可以得到一个数列，，，…，，…；通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．关于数列的一些问题常通过函数的相关知识方法解决，如：单调性，最值等.知识点五：数列的表示方法数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法（解析式法、图象法、列表法）有联系1. 通项公式法（解析式法）：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
2. 图象法：数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点。
所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．3. 列表法相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，依次写出成为，，…，，…，简记为．4. 递推公式法递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
递推公式也是给出数列的一种方法。
如数列：3，5，8，13，21，34，55，89，…的递推公式为：.规律方法指导1.与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 2.数列是一个特殊的函数，其特殊性主要体现在定义域上，根据此特殊性可以判定一个数是否数列中的项；数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式；跟不是所有的函数都有解析式一样，不是所有的数列都有通项公式. 3. 递推公式也是给出数列的一种方法. 【经典例题】考点1 数列的通项公式类型一：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1．写出下列各数列的一个通项公式，使其前四项分别是: (1) 0, ,,,…；(2) 1,,,,…；(3) 9, 99,999, 9999,…；(4) 6,1, 6,1,…. 解析：（1）将数列改写为，，，，…， 故.（2）此数列奇数项为正，偶数项为负，可用来表示；其绝对值中分子为奇数数列，分母是自然数的平方数列，故.（3）将数列改写为,,, ，…， 故.（4）将数列每一项减去6与1的平均值得新数列, -,, -,…，故或 总结升华：写通项时注意以下常用思路：①若数列中的项均为分数，则先观察分母的规律再观察分子的规律，如(1)；特别注意有时分数是约分后的结果，要根据观察还原分数；②注意(－1)n 在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现，如(2)；(-1)n作指数，让数列中隔项出现倒数；③（4）可视为周期数列，故想到找一个周期为2的函数为背景。
④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律，很多情况下是将已写出的项进行适当的变形，使规律明朗化. 举一反三：【变式】根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,…； （2）1，21-，31，41-，…； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,…； （4）－312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯，…； 【答案】： (1)； （2）n1(-1)a 1n n •=+； (3)； （4）a n ＝1)1)(2n -(2n 2(-1)nn+。
|变式训练1 某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式： ①a n ＝22[1＋(－1)n] ②a n ＝n )(11-+ ③a n ＝⎩⎨⎧)(0)(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是（ D ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③【反思归纳】⑴联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.⑵求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证. 题型2 已知数列的前n 项和，求通项公式例2.已知下列数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a .⑴n n S n 322+=； ⑵13+=nn S .【解题思路】利用⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n n n （，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】⑴当1=n 时，51312211=⨯+⨯==S a ，当2≥n 时，[])1(3)1(2)32(221-+--+=-=-n n n n S S a n n n 14+=n . |当1=n 时，15114a ==+⨯，14+=∴n a n .⑵当1=n 时，41311=+==S a ，当2≥n 时，11132)13()13(---⨯=+-+=-=n n n n n n S S a .当1=n 时，111232a ≠=⨯-，⎩⎨⎧≥⨯==∴-)2(32)1(41n n a n n . 例3．已知数列的前项和公式，求通项. （1）， (2) . 思路点拨: 先由时，，求出；再由当时，，求出，并验证是否符合所求出的.解析： （1）当时，，当时，，∴（2）当时，当时，，∴()为所求. 总结升华：已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式. 举一反三：【变式1】已知数列的前项和，求通项.【答案】当时，，当时，，∴.【变式2】已知数列的前项积，求通项【答案】当时，， 当时，，∴.变式训练2已知数列的前n 项和Sn 满足log 2(Sn+1)=n+1,求{a n }的通项公式 解:3122n nn a n =⎧∴=⎨≥⎩【反思归纳】任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型3 已知数列的递推式，求通项公式 例4.数列{}n a 中，)2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a .【解题思路】已知{}n a 的递推公式)(1-=n n a f a 求前几项，可逐步计算. ！【解析】 )2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ，∴3222112=+=a a a ，4222223=+=a a a ，5222334=+=a a a ，6222445=+=a a a ，由 ,62,52,42,32,22，可以归纳出12+=n a n .【变式1】已知数列满足：，，写出前5项，并猜想．【答案】 法一：，，，观察可得法二：由，∴即∴∴【变式2】数列{}n a 中，12,111+==+n n a a a ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a . 【解析】 12,111+==+n n a a a∴31212=+=a a ，71223=+=a a ，151234=+=a a ，311245=+=a a由 ,1231,1215,127,123,12154321-=-=-=-=-=，可以归纳出12+=n a n【反思归纳】由递推公式求通项，可以考虑“归纳—猜想—证明”的方法，也可以构造新数列.考点2 与数列的通项公式有关的综合问题题型1 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项 ~例5.数列{}n a 中，452+-=n n a n .⑴18是数列中的第几项⑵n 为何值时，n a 有最小值并求最小值.【解题思路】数列的通项n a 与n 之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求.【解析】⑴由0145184522=--⇒=+-n n n n ，解得7=n ，∴18是数列中的第7项. ⑵49)25(4522--=+-=n n n a n ，+∈N n ∴2=n 或3=n 时，25242)(2min-=+⨯-=n a .【变式】数列{}n a 中，12832+-=n n a n ，求n a 取最小值时n 的值.【解析】31933143128322-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=n n n a n ，∴5=n 时，n a 取最小值. 【反思归纳】利用二次函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域n 为正整数.题型2 已知数列通项公式，判断数列单调性及有界性例6．已知数列中,判断数列的单调性，并给以证明. 思路点拨:选择数列中任意相邻两项作差比较即可. 解析：∵，∴（）∴数列是递增数列.总结升华：数列也是函数，可以用证明函数的单调性的方法来证明. 举一反三：【变式1】数列中：,（）（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式； （2）判断它的单调性. 【答案】 （1）,,,,,∴ ；（2）方法一：∵，∴ 数列是递减数列.方法二：∵函数在上单调递减，∴数列是递减数列.【反思归纳】数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列.。