数列的概念与简单表示法
高中数学-数列

数列的概念及简单表示法一、数列的概念1.数列定义:按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项2.数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成以正整数集N+(或它的有限子集)为定义域的函数a n=f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值3.数列有三种表示法:是列表法、图象法和通项公式法二、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n+1>a n其中n∈N+递减数列a n+1<a n常数列a n+1=a n按其他标准分类有界数列存在正数M,使|a n|≤M摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列三、数列的两种常用的表示方法1.通项公式:如果数列{a n}的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式2.递推公式:如果已知数列{a n}的第1 项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式四、通项公式的求法:1.观察法:仔细观察数列的项和项数之间的关系,可分离出随项数变化的部分和不变的部分,从而找到规律.如数列2 , -1,10 , -17 , 26 , -37 ,,先将数列变为 2 , -5 , 10 , -17 , 26 , -37 ,,显然3 7 9 11 13 3 5 7 9 11 13S ⎪ ⎪ ⎨ - S 分母为2n +1,分子为n 2 +1,奇数项正偶数项负,乘以(-1)n +1即可.故n +1n 2 +1 a n = (-1)2n +1 .又如数列 7,77,777, ,可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7⨯999, 999,而 9,99,999,依次又可写成10 -1,102-1,103-1, ,因此,这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)2. 公式法:(1) 已知数列{a n }的前 n 项和S n ,则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 n9(n = 1) (n ≥ 2) (2) 对于等差数列和等比数列,把已知条件代入其通项公式、前 n 项和公式列出方程(组)求解3.累加法:形如a n +1 = a n + f (n ),当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法 ⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)(1) 若 f (n ) 是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和(2) 若 f (n ) 是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和(3) 若 f (n ) 是关于n 的二次函数,累加后可分组求和(4) 若 f (n ) 是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和4. 累乘法:形如a = f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫,当 f (1) f (2)f (n ) 可求时,用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘,可得: a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)=⎩5. 构造法:当已知非常数数列的首项(或前几项)及递推公式时用此法 (1)对于一阶递推公式: a n +1 = pa n + q , ( p 为常数,p ≠ 1) 给出的数列,两边各加q 得, a+ q = p (a +q ) ,这样就构造出一个等比数列⎧a +q ⎫ ,其公比 p -1 n +1 p -1 n p -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭为 p ,首项是a +q ,∴ a + q= (a + q ) p n -1 ,即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -1(2)对于二阶递推公式: a n +1 = pa n + qa n -1 (p , q 为常数) 给出的数列,设 a + xa =y (a + xa ) (*),显然⎧ y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等 n +1 n n n -1 ⎨xy = q比数列,继而可以求出通项公式(3)以 a = ma n 给出的数列(p , q , m 均为非零整数),当m = q 时,可以构造一个 n +1pa n + q等差数列;当m ≠ q 时,可以构造一个一阶递推公式6. 周期数列举例:通过计算前有限项发现周期,继而求出某些项或 S n1n n 等 差 数 列 及 其 前 n 项 和一、等差数列的概念1. 定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示 2. 数学语言表达式: a n +1 - a n = d ( n ∈N +,d 为常数),或a n - a n -1 = d ( n ≥2,d 为常数)3. 等差中项:如果三个数x ,A ,y 组成等差数列,那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项,且有 A =x + y 2二、等差数列的通项公式与前n 项和公式1. 若等差数列{a n }的首项是a ,公差是d ,则其通项公式为a = a + (n -1)d = dn + a - d (n ∈ N *)n11通项公式的推广: a = a + (n - m )d ( m , n ∈N) ⇒ d =a n - a mnm+n - m2. 等差数列的前n 项和公式S= na + n (n -1) d = n (a 1 + a n ) = d n 2 + (a - 1 d )n n 12 22 1 2 (其中n ∈N +, a 1 为首项,d 为公差, a n 为第n 项)数列{a }是等差数列⇔ S = An 2+ Bn(A , B 为常数)三、等差数列的性质1. 非零常数列既是等差数列又是等比数列2. 数列{ a n }为等差数列⇔ a n = pn + q (p,q 是常数)3. 数列{λa n + b }( λ, b 为常数)仍为等差数列4. 若m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + ),则a m + a n = a p + a q5. 等差数列{a n }中,若项数成等差数列,则对应的项也成等差数列6. 等差数列{a n }中,隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列p +nq 2k 2k n n 7. 若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d8. 若{a n }、{b n }是等差数列,则{ka n } 、{ka n + pb n }{a }( p , q ∈ N *)…也成等差数列 9.单调性:{a n }的公差为d ,则: (1) d > 0 ⇔ {a n }为递增数列 (2) d < 0 ⇔ {a n }为递减数列 (3) d = 0 ⇔ {a n }为常数列( k 、 p 是非零常数)、10. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ,则S k 、S 2k - S k 、S 3k - S … 是等差数列 11. 等差数列{a n }的单调性:当d >0 时, {a n }是递增数列;当d <0 时, {a n }是递减数列;当d =0 时, {a n }是常数列12. 若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k 、a k + m 、a k +2m …(k ,m ∈N +)是公差为md的等差数列13. 若数列{a}是等差数列,前n 项和为S ,则⎧S n ⎫也是等差数列,其首项和{a}的首 nn⎨ n ⎬ n项相同,公差是{a n⎩ ⎭}公差的 1214. 若三个数成等差数列,则通常可设这三个数分别为 x - d , x , x + d ;若四个数成等差数列,则通常可设这四个数分别为 x - 3d , x - d , x + d , x + 3d 四、等差数列前n 项的性质1. 若等差数列{a n }的前n 项和S n ,则S k 、S 2k - S k 、S 3k- S … 是等差数列2. 若数列{a } {b } 都是等差数列,其前 n 项和分别为S T ,则a n= 2n -1n,nn ,nbTn 2n -13. 若数列{a }的前n 项和S = An 2+ Bn +C (A , B 为常数,C ≠ 0) ,则数列{a n }从第二项起是等差数列sn⎨ 2n偶奇 中 偶 奇 偶偶4. 若数列{a n }是等差数列的充要条件是前n 项和公式S n = f (n ) ,是n 的二次函数或一次函数且不含常数项,即 S = An 2 + Bn (A , B 为常数,A 2 +B 2 ≠ 0)5. 等差数列{a n }中,若a < 0,d > 0 ( a ≤ 0 的n 的最大值为k )则S 有最小值S ,前n 项绝对值的和T n 1 = ⎧⎪-s n nn ≤ k;若a > 0,d< 0,( n a n ≥ k0 的n 的最大 ⎪⎩s n - 2s k n ≥ k + 1值为k )则S 有最大值S ,前n 项绝对值的和T = ⎧⎪s nn ≤ kn k n⎨ ⎪⎩2s k - s n n ≥ k + 16. 等差数列{a n }中,若项数为奇数2n - 1,则中间项为a , S =(2n-1)a ,S - S = n - 1 d s n + a , 奇 = 奇 偶 2 1S n - 1 若n 为偶数,则S = nd2若n 为奇数,则S - S =a (中间项)7. 等差数列{a n }中,若项数n 为奇数,设奇数项的和和偶数项的和分别为S 、S ,则sn + 1 s a n奇=;若项数n 为偶数, 奇= 2S n - 1S a n + 12五、等差数列的前 n 项和的最值等差数列{a n }中1. 若a 1>0,d <0,则S n 存在最大值2. 若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值六、等差数列的四种判断方法1. 定义法:a n +1-a n =d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列2. 等差中项法:2a n +1=a n +a n +2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列3. 通项公式:a n =pn +q (p ,q 为常数)⇔{a n }是等差数列4. 前 n 项和公式:S n =An 2+Bn (A ,B 为常数)⇔{a n }是等差数列1- S 偶 偶 奇mb n 等 比 数 列 及 其 前 n 项 和一、等比数列的概念1. 定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用q ( q ≠0)表示 2.数学语言表达式: a n= q ( n≥2, q 为非零常数),或 an +1 = q ( n ∈N , q 为非零常数)+a n -1 a n3. 等比中项:如果三个数x ,G ,y 组成等比数列,那么G 叫做 x 与 y 的等比中项,其中G = ±二、等比数列的通项公式及前n 项和公式1. 若等比数列{a }的首项为a ,公比是q ,则其通项公式为a = a q n -1n通项公式的推广: a n 1= a q n - mn 1a (1- q n )a - a q 2. 等比数列的前n 项和公式:当q =1 时, S n = na 1 ;当q ≠1 时, S n =11- q= 1 n1- q三、等比数列的性质 1. q = 1 ⇒{a n }为常数列2. q < 0 ⇒{a n } 为摆动数列3. 若正项数列{a n }为等比数列,则数列{log a a n }为等差数列4. 若{a }是等比数列,则{λa }(λ 为不等于零的常数),{a 2}⎧ 1 ⎫ {a r }(r ∈ Z ) 是等n n n⎨ a ⎬ n ⎩ n ⎭比数列,公比依次是q ,q 2 1 q r ,若数列{a } ,{b }都是等比数列且项数相同,则⎧ a n ⎫是等比数列, , n nq ⎨ ⎬ ⎩n ⎭ 5. 若数列{a }为等差数列,则数列{ba n}为等比数列6. 若 m + n = p + q (m , n , p , q ∈ N + ) ,则 a⋅ a = a ⋅ a ,当 p = q 时, a ⋅ a = a 2 即a p 是a m 和a n 的等比中项mnpqm n p7. 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即a k 、a k + m 、a k +2m …仍是等比数列,公比为xy1 1 1 1 2n ⎩ n ⎩ q m (即若项数成等差数列,则对应的项也等比数列)8. 任意两数a , b 都存在等差中项为a + b,但不一定都存在等比中项,当且仅当a , b 同号时 2才存在等比中项为9. 任意常数列都是等差数列,但不一定都是等比数列,当且仅当非零的常数列即是等差数列又是等比数列10. 等比数列{a n }的单调性:(1) 当q >1, a >0 或 0< q <1, a <0 时,数列{a n }是递增数列 (2) 当q >1, a <0 或 0< q <1, a >0 时,数列{a n }是递减数列 (3) 当q =1 时,数列{a n }是常数列11. 当q ≠-1,或q =-1 且 n 为奇数时,S n 、S 2n - S n 、S 3n - S 仍成等比数列,其公比为q n12. 等比差数列{a n }: a n +1 = qa n + d , a 1 = b (q ≠ 0) 的通项公式为⎧b + (n -1)d q = 1⎪ a n = ⎨bq n+ (d - b )q n -1 - d ;⎪q -1 q ≠ 1 ⎧nb + n (n -1)d(q = 1)其前 n 项和公式为 s n ⎪ ⎨(b - d ) 1- q + d n(q ≠ 1)⎪1- q q -1 1- q(四)判断给定的数列{a n }是等比数列的方法(1)定义法: an +1 = q (不为 0 的常数)⇔数列{a a n}为等比数列(2)中项法: a ⋅ a= a2⇔数列{a }为等比数列mn +2n +1n(3)前n 项和法:数列{a n }的前n 项和S n = A - Aq n (A 是常数, A ≠ 0, q ≠ 0, q ≠ 1 )⇔数列{a n }为等比数列= nS 1 1 ⎨ - S 数 列 求 和一、公式法1. 等差数列的前n 项和公式: S n2. 等比数列的前n 项和公式 (1) 当q =1 时, S n = na 1= na 1+n (n -1) d = n (a 1 + a n)2 2a (1- q n )a - a q(2) 当q ≠1 时, S n = 11- q = 1 n1- q3. 已知数列{a n }的前 n 项和S n ,则 a n= ⎧⎪S 1⎪⎩ nn -1 (n = 1) (n ≥ 2) 4. 差比数列求和:通项为a n b n 型,其中{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,称为差比数列.求和方法为(设 d , q 分别是{a n },{b n }的公差、公比):令S n = a 1b 1 + a 2b 2 + + a n b n …①,两边同乘以q 得qS n = a 1b 1q + a 2b 2q + + a n b n q , ∴qS n = a 1b 2 + a 2b 3 + + a n b n +1 …②,①-②得 (1- q )S n = a 1b 1 + (a 2 - a 1)b 2 + + (a n - a n -1)b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d b 2 + d b 3 + + d b n -1 + d b n - a n b n +1 = a 1b 1 + d (b 2 + b 3 + + b n -1 + b n ) - a n b n +1= a 1b 1 + d ⨯b (1- qn) 1- q-a nb n +1,∴当q ≠ 1时, Sn = a 1b 1 - a n b n +1 + d ⨯ 1- q b (1- q n) (1- q )2二、观察法:仔细观察数列的项和项数之间的关系,可分离出随项数变化的部分和不变的部分,从而找到规律.1.数列 2 , -1,10 , - 17 , 26 , - 37 , ,先将数列变为 2 , - 5 , 10 , - 17 , 26 , - 37, ,分母379 111335 79 11 13n +1n 2 +1 为2n +1,分子为n 2 +1,奇数项正偶数项负,乘以(-1)n +1即可.故a = (-1)2n +1 .2.又如数列 7,77,777, ,可写成 7 ⨯ 9, 7 ⨯ 99, 7 ⨯999,9 9 9,而 9,99,999,依次又可写成10 -1,102-1,103 -1, ,因此,这个数列的通项公式为a = 7 (10n -1)n9n⎪ ⎪ 3. 周期数列举例:通过计算前有限项发现周期,继而求出某些项或 S n三、累加法:形如a n +1 = a n + f (n ),当 f (1) + f (2) + + f (n ) 的值可求时用此法⎧an - a n -1 = f (n -1) ⎪a - a = f (n - 2) ⎪ n -1⎨n -2 ⇒ a n = f (n -1) + f (n - 2) +... f (2) + f (1) + a 1, (n ≥ 2) ⎪... ⎪⎩a 2 - a 1 = f (1)(1) 若 f (n ) 是关于n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和(2) 若 f (n ) 是关于n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和(3) 若 f (n ) 是关于n 的二次函数,累加后可分组求和(4) 若 f (n ) 是关于n 的分式函数,累加后可裂项求和四、累乘法:形如a= f (n )a ⎛或 a n +1 = f (n ) ⎫,当 f (1) f (2)f (n ) 可求时用此法.⎧ a n⎪ a= f (n -1) n +1n⎪⎝a n⎭⎪ n -1 ⎪ a n -1⎪ a f (n - 2) ⎨ n -2 ⎪... ⎪ a 2 = af (1) ⎩ 1 将上述n -1个式子两边分别相乘,可得: a n = f (n -1) ⋅ f (n - 2) ⋅...⋅ f (2) f (1)a 1, (n ≥ 2)五、构造法:当已知非常数数列的首项(或前几项)及递推公式时用此法1. 对于一阶递推公式: a n +1 = pa n + q , ( p 为常数,p ≠ 1) 给出的数列,两边各加qp -1得, a +q = p (a +q) ,这样就构造出一个等比数列⎧a + q ⎫ ,其公比为 n +1p -1 np -1 ⎨ n p -1⎬⎩ ⎭p ,首项是a +q ,∴ a + q= (a + q ) p n -1 ,即a = (a + q ) p n -1 - q 1p -1 n p -1 1 p -1 n 1p -1 p -12. 对于二阶递推公式: a n +1 = pa n + qa n -1 (p , q 为常数) 给出的数列, =⎩设 a + xa =y (a + xa ) (*),显然⎧y - x = p.把方程组的解代入(*)便可构成一个等n +1n n n -1⎨xy = q比数列,继而可以求出通项公式3. 以 a= ma n 给出的数列( p , q , m 均为非零整数),当m = q 时,可以构造一个等n +1pa n + q差数列;当m ≠ q 时,可以构造一个一阶递推公式 4. 形如a n +1 = pa n + q (其中 p , q 均为常数且 p ≠ 0 )型的递推式:(1) 若 p = 1时,数列{ a n }为等差数列 (2) 若q = 0 时,数列{ a n }为等比数列(3) 若 p ≠ 1 且q ≠ 0 时,数列{ a n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种:法一:设a n +1 + λ = p (a n + λ) ,展开移项整理得a n +1 = pa n + ( p -1)λ ,与题设a = pa + q 比较系数(待定系数法)得λ =q, ( p ≠ 0) ⇒ a + q = p (a + q)n +1np -1 n +1p -1n p -1⇒ a + q= p (a + q ) ,即⎧a + q ⎫构成以a + q为首项,以 p 为公比的等比 np -1 n -1 p -1 ⎨ n p -1⎬ 1 p -1⎩ ⎭数列.再利用等比数列的通项公式求出⎧a + q ⎫的通项整理可得a . ⎨ n p -1⎬ n法二:由a= pa ⎩ ⎭ + q 得a = pa + q (n ≥ 2) 两式相减并整理得a n +1 - a n= p , 即 n +1 n n n -1 a - an n -1{a n +1 - a n }构成以a 2 - a 1 为首项,以 p 为公比的等比数列.求出{a n +1 - a n }的通项再转化为累加法便可求出a n .5. 形如a n +1 = pa n + f (n ) ( p ≠ 1) 型的递推式: (1) 当 f (n ) 为一次函数类型(即等差数列)时:法一:设a n + An + B = p [a n -1 + A (n -1) + B ] ,通过待定系数法确定 A 、B 的值,转化成以a 1 + A + B 为首项,以 p 为公比的等比数列{a n + An + B } ,再利用等比数列的通项公式求出{a n + An + B } 的通项整理可得a n .法二:当 f (n ) 的公差为d 时,由递推式得: a n +1 = pa n + f (n ) , a n = pa n -1 + f (n -1)两式相减得: a n +1 - a n = p (a n - a n -1 ) + d ,令b n = a n +1 - a n 得: b n = pb n -1 + d 转化为“4”求出 b n ,再用累加法便可求出a n .(2) 当 f (n ) 为指数函数类型(即等比数列)时:法一:设a n + λ f (n ) = p [a n -1 + λ f (n -1)],通过待定系数法确定λ 的值,转化成以 a 1 + λ f (1) 为首项,以 p 为公比的等比数列{a n + λ f (n )} ,再利用等比数列的通项公式求出{a n + λ f (n )} 的通项整理可得a n .法二:当 f (n ) 的公比为q 时,由递推式得: a n +1 = pa n + f (n ) ——①,a n = pa n -1 + f (n -1) ,两边同时乘以q 得a n q = pqa n -1 + qf (n -1) ——②,由①②两式相减得a - a q = p (a - qa ) ,即 a n +1 - qa n= p ,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出a . n +1 n n n -1 a - qa nn n -1法三:递推公式为an +1 = pa n + q n (其中p ,q 均为常数)或a = pa n + rq n (其中p ,q, r 均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以q n +1 ,得:a n +1 = p • a n + 1 ,引入辅助数列{b }(其中b = a n ),得: b = p b + 1 再应用类型 q n +1 q q n qn n q nn +1 q n q“4”的方法解决。
2.1数列的概念与简单表示法

第1课时 数列的概念与简单表示法
知识点一 数列及其有关概念 梳理 (1)按照 一定顺序 排列的 一列数 称为数列,数列中的每一个数叫 做这个数列的 项 .数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数 称为这个数列的 第1项 (通常也叫做 首项 ),排在第二位的数称为这个数 列的第2项 ……排在第n位的数称为这个数列的第n项 . (2) 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,…,an,… ,简记为{an} .
数列中的项的性质 (1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性:数列中的数可以重复. (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且也与这些数的排列 次序有关.
知识点二 通项公式
梳理 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表 示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
跟踪训练 3 已知数列{an}的通项公式为 an=nn1+2(n∈N*),那么1120是 这个数列的第__1_0___项. 解析 ∵nn1+2=1120,∴n(n+2)=10×12,∴n=10.
(1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018; (2)0,12,23,…,n-n 1,…;
(3)1,12,14,…,2n1-1,…;
解 (1)(6)是有穷数列; (1)(2)是递增数列; (3)是递减数列; (4)(5)是摆动数列;
(4)-1×1 2,2×1 3,-3×1 4,4×1 5,…;(6)是常数列.
题型探究
类型一 数列的分类 例1 下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是 A.1,12,13,14,… B.-1,-2,-3,-4,…
√C.-1,-12,-14,-18,…
2.1数列的概念与简单表示法

第二章 数列2.1 数列的概念与简单表示法一、 知识点 (一)数列的定义1、按一定次序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
2、数列中的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列,例如,数列4,5,6,7,8,9,10与数列10,9,8,7,6,5,4,3,是不同的数列。
3、在数列的定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此 ,同一个数在数列中可以重复出现4、数列的一般形式可以写成12,,...,,...n a a a 此数列可简记为{}n a 例如;把数列1111,,,...,,...23n 简记作1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭5、数列的项通常用字母加右下角标表示,其中右下角标表示项的位置序号、我们还应注意到这里{}n a 与n a 是不同的:{}n a 表示数列12,,...,n a a a ;而n a 只表示这个数列的第n 项,这里{}n a 是数列的简记符号,并不表示一个集合。
(二)数列的分类根据数列的项数可以对数列进行分类 1、 项数有限的数列叫有穷数列 2、 项数无限的数列叫无穷数列补充说明:按照项与项之间的大小关系、数列的增减性,可以分为以下几类1、 递增数列:一个数列,如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项(即1n n a a +>),这样的数列叫做递增数列。
2、 递减数列:一个数列,如果从第2项起,每一项都小于它前面的一项(即1n n a a +<), 这样的数列叫做递减数列。
3、 摆动数列:一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫做摆动数列。
4、 常数列:一个数列,如果它的每一项都相等,这个数列叫做常数列。
新版数列公式总结-新版

数列公式总结一、数列的概念与简单的表示法数列前 n 项和:对于任何一个数列,它的前 n 项和Sn 与通项 an 都有这样的关系:二、等差数列1.等差数列的概念台(1)等差中项:若三数 a 、A 、b 成等差数列(2)通项公式:an =a +(n-1)d=am+(n-m)d(3).前n 项和公式:2等差数列的.常用性质(1)若m+n=p+q(m,n,P,q ∈N+), 则am+an=ag+ag自n}的公差为d,则:(2)单调性:i) d >0 ⇔白,}为递增数列;ii) d <0 ⇔A,} 为递减数列;ii) d =0 台白,}为常数列;(3)若等差数列(白,)的前n项和S,,则S、Sa-S、Sm-S…是等差数列。
三、等比数列1.等比数列的概念(3).前n 项和公式:2.等比数列的常用性质(1)若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N+), 则am an=ap 码(2)单调性:a₁>0,q>1 或a<0,0<q<1={an} 为递增数列;a₁>0,0<q<1 或a<0,q>1={a}为递减数列;q =1={an}为常数列;q<0={an}为摆动数列;(3)若等比数列(a,)的前n项和S₁,则S、S₂-S₁、S-S…是等比数列.四、非等差、等比数列前n项和公式的求法(1)错位相减法(2)裂项相消法常见的拆项公式有:①②(3){分组法求和有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组(4)倒序相加法一、等差数列公式及其变形题型分析:1. 设S 是等差数列{an}的前n 项和,若,则A. B C. D.2. 在等差数列{an}中,若a10o3+a1004+a1os+a106=18, 则该数列的前2008项的和为( ).A. 18072B.3012C. 9036D.120483. 已知等差数列{an}中,az+ag=16,a4=1, 则a12的值是( ).A.15B. 30C. 31D. 644. 在等差数列{an}中,3(a₂+a₆)+2(a₅+ao+as)=24, 则此数列前 13项之和为()A. 26B.13C.52D. 1565. 等差数列{an}中,ai+az+ag=-24,a18+ ag+a2o=78,则此数列前20项和等于( ).A. 160B.180C.200D.220二、等比数列公式及其变形题型分析:1. 已知{an}是等比数列,a2=2, , 则a ia₂+aza₃+ …+ anan+1=( ).A.16(1-4"B. 16( 1 — 2C. D.2. 已知等比数列{an}的前10项和为32,前20项和为56,则它的前30项和为3.在等比数列{an}中,若a₁+a₂+a₃=8,a₄+as+a₆=-4, 则a₁3+a₁4+a₁5=该数列的前15项的和S15=4.等比数列a,中,a₂=9,as=243,则(a,}的前4项和为()A.81B.120C.168D.1925. √②+1与√②-1,两数的等比中项是( )A.1B.-1C.±1D.6. 已知一等比数列的前三项依次为 x,2x+2,3x+3,那么是此数列的第( ) 项A.2B. 4C. 6D. 87.在等比数列{a,}中,若a₃=3,ag=75,则a₁三、数列求和及正负项的解题思路1. 两个等差数列则2求和:(a-1)+(a²-2)+ …+(a”-n),(a≠0)3.求和:1+2x+3x²+…+nx′14.已知数列{an}的通项公式an=-2n+11,如果b₁=an(n∈N)求数列6,}的前n项和。
数列知识点总结(高中数学)

数列知识点总结 数列的概念与简单表示法知识点一、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项。
数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常称为首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项,所以数列的一般形式可以写成: ,,,,,,321 n a a a a简记为{}n a 。
项数有限的数列叫做有穷数列,项数无限的数列叫做无穷数列。
1.从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列; 2.从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列; 3.各项相等的数列叫做常数列;4.从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列; 知识点二、通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。
知识点三、数列的前n 项和1.数列的前n 项和的定义:我们把数列{}n a 从第一项起到第n 项止的各项之和,称为数列{}n a 的前n 项和,记作n S ,即n n a a a S +++= 21。
2.数列前n 项和n S 与通项公式n a 之间的关系:⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,11n S S n S a n n n等差数列知识点一、等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。
知识点二、等差中项有三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成简单的等差数列,这时A 叫做b a 与的等差中项。
1.根据等差中项的定义:b A a ,,是等差数列,则2b a A +=;反之,若2ba A +=,则b A a ,,是等差数列。
2.在等差数列{}n a 中,任取相邻的三项()*+-∈≥N n n a a a n n n ,2,,11,则n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项;反之,n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项对一切*∈≥N n n ,2均成立,则数列{}n a 是等差数列。
数列的概念与简单表示法

即(n×n+11101)n-1≤1110(n≥n+(1n)+211)10n1110n+1,解得 9≤n≤10. 又 n∈N*,则 n=9 或 n=10.故数列{an}有最大项,为第 9 项和第 10 项,且 a9=a10=10×11109.
小结:可以利用不等式组aann-≥1≤ana+n1,,找到数列的最大项;利用不等 式组aann-≤1≥ana+n1,,找到数列的最小项.
有,请说明理由.
解 法一 an+1-an=(n+2)1110n+1-(n+1)1110n=(9-1n1)1110n, 当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an.
则 a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…, 故数列{an}有最大项,为第 9 项和第 10 项,且 a9=a10=10×11109. 法二 根据题意,令aann- ≥1≤ana+n1,
【例 2-2】 已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+2(n≥2),写出 该数列前 5 项,并归纳出它的一个通项公式.
【例 2-3】 已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+n(n1-1)(n≥2), 写出该数列前 5 项,并归纳出它的一个通项公式.
【例 2-4】 设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)a2n+1-na2n+ an+1an=0(n∈N*),则它的通项公式 an=________.
2.在数列{an}中,若an+1>an,则{an}是 递增 数列;若an+1<an, 则{an}为 递减 数列;若an+1=an,则{an}为 常数列 .
【例2-1】 根据下面数列{an}的通项公式,写出它的前5项:
第一讲+数列的概念与简单表示法课件-2025届高三数学一轮复习

a6=( )
A.3×44
B.3×44+1
C.44
D.44+1
解析:由an+1=3Sn,得到an=3Sn-1(n≥2),
两式相减,得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an, 则an+1=4an(n≥2),因为a1=1,a2=3S1=3a1=3,所以此数 列除去第一项后,为首项是3,公比为4的等比数列,所以an= a2qn-2=3×4n-2(n≥2).则a6=3×44.故选A.
1
=
(2n
+
1)
7 8
n+1
,
an+1 an
=
(2n+1)78n+1 (2n-1)78n
=
14n+7 16n-8
.
当
aan+n1>1 时,n<125;当aan+n1<1 时,n>125.∵an>0,∴数列{an}的最大项 是 a8.
答案:8
考向 2 数列的周期性
[例3]已知数列{an}满足:an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),a1=
2.数列的表示方法
列表法
列表格表示n与an的对应关系
图象法
把点(n,an)画在平面直角坐标系中
公 通项公式 把数列的通项用公式表示
式 法
递推公式
使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an, an-1)等表示数列的方法
3.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则 an=SS1n, -nSn=-11,,n≥2.
4.数列的分类
分类标准
类型
项数
有穷数列 无穷数列
项与项间的 大小关系
递增数列 递减数列
常数列
高中数学课件-第1讲 数列的概念与简单表示法

第六章 数列第1讲 数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通考试要求项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,理解单调性是数列的一项重要性质,可用来求最值.01聚焦必备知识知识梳理1.数列的有关概念(1)数列的定义一般地,我们把按照__________________排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R 的函数,其自变量是__________,对应的函数值是________________,记为a n=f (n).数列是一种特殊的函数,在研究数列问题时,既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.提醒2.数列的表示法解析式法、表格法、____________.3.数列的单调性从第2项起,每一项都_________它的前一项的数列叫做递增数列;从第2项起,每一项都_________它的前一项的数列叫做递减数列.特别地,__________________的数列叫做常数列.4.数列的通项公式和递推公式(1)如果数列{a n}的__________________与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.(2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用_______________来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.提醒(1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.5.数列的前n项和公式如果数列{a n}的前n项和S n与它的____________之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式.常用结论1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( )(2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.( )(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( )(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ,则对∀n ∈N *,都有a n +1=S n +1-S n .( )夯基诊断√××√(2)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n =n 2,则a n =____________.答案:2n -1当n=1时,a 1=S 1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -1,且a 1=1也满足此式,故a n =2n -1,n ∈N *.(3)根据下面的图形及相应的点数,写出点数构成的数列的一个通项公式a n=____________.答案:5n -4由a1=1=5×1-4,a 2=6=5×2-4,a 3=11=5×3-4,a 4=16=5×4-4,…,归纳可知a n =5n -4.02突破核心命题考 点 一由an与S n的关系求通项公式C(2)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n=2n+2-3,则a n=_____.已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1=S 1求出a 1.(2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.(3)对n =1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n ≥2两段来写.反思感悟训练1 (1)已知数列{a n}的前n项和为S n,且2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n·2n,则数列{a n}的通项公式为a n=____________.(2)已知S n为数列{a n}的前n项和,a1=1,S n S n+1=-a n+1(n∈N*),则a10=____________.例2 设数列{a n }满足a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式为a n =____________.考 点 二由数列的递推关系求通项公式考向1累加法例3 已知a 1=2,a n +1=2n a n ,则数列{a n }的通项公式a n =_______.2累乘法反思感悟B考 点 三数列的性质考向 1数列的单调性D2数列的周期性答案:13数列的最值A反思感悟训练3 (1)如表,定义函数f (x ):对于数列{a n },a 1=4,a n =f (a n -1),n =2,3,4,…,则a 2023=( )A.1B.2C.5D.4C x12345f (x )54312C 由题意,a1=4,a n=f(a n-1),所以a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1,a7=f(a6)=f(1)=5,…,则数列{a n}是以4为周期的周期数列,所以a2023=a2020+3=a3=5,故选C.突破核心命题限时规范训练聚焦必备知识 4103限时规范训练(四十)ADB4.大衍数列,来源于我国的《乾坤谱》,是世界数学史上第一道数列题,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60,则大衍数列的第41项为( )CA.760B.800C.840D.924BCD6.(2023·珠海质检)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2且a n +2=a n +(-1)n ,n ∈N *,则该数列的前40项之和为( )A.-170B.80C.60D.230C C 由a n +2=a n +(-1)n ,n ∈N *,得a 2k +2=a 2k +1,a 2k +1=a 2k -1-1,所以a 2k +1+a 2k +2=a 2k -1+a 2k =…=a 1+a 2=3,所以数列{a n }的前40项之和为20(a 1+a 2)=60.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
数列的概念与简单表示法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020第六章数列§6.1数列的概念与简单表示法考点梳理1.数列的概念(1)定义:按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的________.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________),排在第n位的数称为这个数列的第n项.所以,数列的一般形式可以写成__________,其中a n是数列的第n 项,叫做数列的通项.常把一般形式的数列简记作{a n}.(2)通项公式:如果数列{a n}的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(3)从函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数(离散的),当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________.(4)数列的递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.(5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________.2.数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分,分为__________、__________.(2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和__________.递增数列an+1______an;递减数列a n+1_____a n;常数列a n+1______an.递增数列与递减数列统称为__________.3.数列前n项和S n与a n的关系已知S n,则a n=⎩⎨⎧(n=1)_________,(n≥2)_________.自查自纠:1.(1)项首项a1,a2,a3,…,a n,…(2)第n项n(3)函数值(4)a n a n-1(5)通项公式法(解析式法) 列表法图象法递推公式法2.(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列摆动数列常数列><=单调数列3.S1S n-S n-1典型例题讲练类型一数列的通项公式例题1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;(2)23,415,635,863,1099,…;(3)12,2,92,8,252,…;(4)5,55,555,5 555,….解:(1)偶数项为正,奇数项为负,故通项公式正负性可用(-1)n 调节,观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为a n =(-1)n (6n -5).(2)这是一个分数数列,其分子构成偶数数列,而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一项都是两个相邻奇数的乘积.故数列的一个通项公式为a n =2n(2n -1)(2n +1).(3)数列的各项,有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数再观察.即12,42,92,162,252,…,故数列的一个通项公式为a n =n 22.(4)将原数列改写为59×9,59×99,59×999,…,易知数列9,99,999,…的通项为10n -1,故数列的一个通项公式为a n =59(10n -1).变式1 写出下列数列的一个通项公式:(1)-1,12,-13,14,-15,…;(2)3,5,9,17,33,…;(3)23,-1,107,-179,2611,….(4)1,2,2,4,3,8,4,16,….解:(1)a n =(-1)n ·1n;(2)a n =2n +1;(3)由于-1=-55,故分母为3,5,7,9,11,…,即{2n +1},分子为2,5,10,17,26,…,即{n 2+1}.符号看作各项依次乘1,-1,1,-1,…,即{(-1)n +1},故a n =(-1)n +1·n 2+12n +1.(4)观察数列{a n }可知,奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧n +12(n 为奇数),2n2(n 为偶数).类型二 由前n 项和公式求通项公式例题2 (1)若数列{a n }的前n 项和S n =n 2-10n ,则此数列的通项公式为a n=______________.(2)若数列{a n }的前n 项和S n =2n +1,则此数列的通项公式为a n= .解:(1)当n =1时,a 1=S 1=1-10=-9; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n 2-10n -[(n -1)2-10(n -1)]=2n -11. 当n =1时,2×1-11=-9=a 1.∴a n =2n -11. 故填2n -11.(2)当n =1时,a 1=S 1=21+1=3; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n +1)-(2n -1+1) =2n -2n -1=2n -1.综上有 a n =⎩⎨⎧3(n =1),2n -1(n ≥2).故填⎩⎨⎧3(n =1),2n -1(n ≥2).变式2 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ,分别求它们的通项公式a n . (1)S n =2n 2-3n ; (2)S n =3n +b.解:(1)a 1=S 1=2-3=-1,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(2n 2-3n )-[2(n -1)2-3(n -1)]=4n -5,a 1也适合此等式,∴a n =4n -5. (2)a 1=S 1=3+b ,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(3n +b )-(3n -1+b )=2·3n -1. 当b =-1时,a 1适合此等式. 当b ≠-1时,a 1不适合此等式. ∴当b =-1时,a n =2·3n -1;当b ≠-1时,a n =⎩⎨⎧3+b ,n =1,2·3n -1,n ≥2.类型三 由递推公式求通项公式例题3 写出下面各数列{a n }的通项公式. (1)a 1=2,a n +1=a n +n +1;(2)a 1=1,前n 项和S n =n +23a n ;(3)a 1=1,a n +1=3a n +2.解:(1)由题意得,当n ≥2时,a n -a n -1=n , ∴a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1)=2+(2+3+…+n )=2+(n -1)(2+n )2=n (n +1)2+1.又a 1=2=1×(1+1)2+1,适合上式,因此a n =n (n +1)2+1.(2)由题设知,a 1=1.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n +23a n -n +13a n -1.∴a n a n -1=n +1n -1.∴a n a n -1=n +1n -1,…,a 4a 3=53,a 3a 2=42,a 2a 1=3. 以上n -1个式子的等号两端分别相乘,得到a n a 1=n (n +1)2.又∵a 1=1,∴a n =n (n +1)2. (3)解法一:(累乘法)a n +1=3a n +2,得a n +1+1=3(a n +1),即a n +1+1a n +1=3, ∴a 2+1a 1+1=3,a 3+1a 2+1=3,a 4+1a 3+1=3,…,a n +1+1a n +1=3. 将这些等式两边分别相乘得a n +1+1a 1+1=3n.∵a 1=1,∴a n +1+11+1=3n, 即a n +1=2×3n -1(n ≥1), ∴a n =2×3n -1-1(n ≥2), 又a 1=1也适合上式,故数列{a n }的一个通项公式为a n =2×3n -1-1. 解法二:(迭代法) a n +1=3a n +2,即a n +1+1=3(a n +1)=32(a n -1+1)=33(a n -2+1)=…=3n (a 1+1)=2×3n (n ≥1), ∴a n =2×3n -1-1(n ≥2), 又a 1=1也满足上式,故数列{a n }的一个通项公式为a n =2×3n -1-1.变式3 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式.(1)a 1=2,a n +1=a n +1n (n +1);(2)a 1=1,a n +1=2n a n ; (3)a 1=1,a n +1=2a n +1.解:(1)∵当n ≥2时,a n -a n -1=1n (n -1)=1n -1-1n,∴当n ≥2时,a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=⎝⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +⎝⎛⎭⎪⎫1n -2-1n -1+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+2=3-1n . 当n =1时,适合.故a n =3-1n.(2)∵a n +1a n =2n ,∴a 2a 1=21,a 3a 2=22,…,a na n -1=2n -1,将这n -1个等式叠乘,得a n a 1=21+2+…+(n -1)=2n (n -1)2,∴a n =2n (n -1)2. 当n =1时,适合.故a n =2n (n -1)2.(3)由题意知a n +1+1=2(a n +1),∴数列{a n +1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n +1=2n ,∴a n =2n -1.类型四 数列通项的性质例题4 已知数列{a n },且a n =(n +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *).求数列{a n }的最大项.解:因为a n =(n +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n是积幂形式的式子且a n >0,所以可用作商法比较a n 与a n -1的大小.解:令a na n -1≥1(n ≥2), 即(n +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011nn ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n -1≥1,整理得n +1n ≥1110,解得n ≤10.令a n a n +1≥1,即(n +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n +2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n +1≥1, 整理得n +1n +2≥1011,解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增,从第10项起递减.故a 9=a 10=1010119最大.变式4 数列{a n }的通项a n =nn 2+90,则数列{a n }中的最大项是( )A .310B .19 C.119 D.1060解:易得a n =1n +90n,运用基本不等式得,1n +90n≤1290,由于n ∈N *,不难发现当n =9或10时,a n =119最大.故选C. 方法规律总结1.已知数列的前几项,求数列的通项公式,应从以下几方面考虑: (1)如果符号正负相间,则符号可用(-1)n 或(-1)n +1来调节.(2)分式形式的数列,分子和分母分别找通项,并充分借助分子和分母的关系来解决.(3)对于比较复杂的通项公式,要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.2.a n =⎩⎨⎧S 1(n =1),S n -S n -1(n ≥2),注意a n =S n -S n -1的条件是n ≥2,还须验证a 1是否符合a n (n ≥2),是则合并,否则写成分段形式.3.已知递推关系求通项掌握先由a 1和递推关系求出前几项,再归纳、猜想a n 的方法,以及“累加法”“累乘法”等.(1)已知a 1且a n -a n -1=f (n ),可以用“累加法”得: a n =a 1+f (2)+f (3)+…+f (n -1)+f (n ).(2)已知a 1且a na n -1=f (n ),可以用“累乘法”得: a n =a 1·f (2)·f (3)·…·f (n -1)·f (n ). 注:以上两式均要求{f (n )}易求和或积. 4.数列的简单性质(1)单调性:若a n +1>a n ,则{a n }为递增数列;若a n +1<a n ,则{a n }为递减数列.(2)周期性:若a n +k =a n (n ∈N *,k 为非零正整数),则{a n }为周期数列,k 为{a n }的一个周期.(3)最大值与最小值:若⎩⎨⎧a n ≥a n +1,a n ≥a n -1, 则a n 最大;若⎩⎨⎧a n ≤a n +1,a n ≤a n -1,则a n 最小.课后练习1.1,2,7,10,13,…中,219是这个数列的( ) A .第16项 B .第24项 C .第26项 D .第28项解:观察a 1=1=1,a 2=2=4,a 3=7,a 4=10,a 5=13,…,所以a n =3n -2.令a n =3n -2=219=76,得n =26.故选C.2.数列{a n }的前n 项积为n 2,那么当n ≥2时,a n =( )A .2n -1B .n 2C.(n +1)2n 2D.n 2(n -1)2解:设数列{a n }的前n 项积为T n ,则T n =n 2,当n ≥2时,a n =T nT n -1=n 2(n -1)2.故选D.3.数列{a n }满足a n +1+a n =2n -3,若a 1=2,则a 8-a 4=( ) A .7 B .6 C .5 D .4解:依题意得(a n +2+a n +1)-(a n +1+a n )=[2(n +1)-3]-(2n -3),即a n +2-a n =2,∴a 8-a 4=(a 8-a 6)+(a 6-a 4)=2+2=4.故选D.4.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1,则满足a n n≤2的正整数n 的集合为( ) A .{1,2}B .{1,2,3,4}C .{1,2,3}D .{1,2,4}解:B5.在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +lg ⎝⎛⎭⎪⎫1+1n ,则a n 的值为( )A .2+lg nB .2+(n -1)lg nC .2+n lg nD .1+n lg n解法一:∵a n +1-a n =lg n +1n,∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=lg n n -1+lg n -1n -2+…+lg 21+2=lg ⎝⎛⎭⎪⎫n n -1·n -1n -2·…·32·21+2=lg n +2. 解法二:a n +1=a n +lg(n +1)-lg n ,a n +1-lg(n +1)=a n -lg n ,所以数列{a n -lg n }是常数列,a n -lg n =a 1-lg1=2,a n =2+lg n.故选A.6.若数列{a n }满足a 1=2,a n +1a n =a n -1,则a 2017的值为( )A .-1 B.12C .2D .3解:根据题意,∵数列{a n }满足a 1=2,a n +1a n =a n -1,∴a n +1=1-1a n,∴a 2=12,a 3=-1,a 4=2,…,可知数列的周期为3,∵2017=3×672+1,∴a 2017=a 1=2.故选C.7.已知数列{a n }满足a s ·t =a s a t (s ,t ∈N *),且a 2=2,则a 8=________. 解:令s =t =2,则a 4=a 2×a 2=4,令s =2, t =4,则a 8=a 2×4=a 2×a 4=8.故填8.8.下列关于星星图案的个数构成一个数列,该数列的一个通项公式是a n =________.解:从题图中可观察星星的个数构成规律,n =1时,有1个;n =2时,有3个;n =3时,有6个;n =4时,有10个;…,∴a n =1+2+3+4+…+n =n (n +1)2.故填n (n +1)2. 9.若数列{a n }满足1a n +1-pa n=0,n ∈N *,p 为非零常数,则称数列{a n }为“梦想数列”.已知正项数列{1b n}为“梦想数列”,且b 1b 2b 3…b 99=299,则b 8+b 92的最小值是________. 解:4依题意可得b n +1=pb n ,则数列{b n }为等比数列.又b 1b 2b 3…b 99=299=b 9950,则b 50=2.b 8+b 92≥2b 8·b 92=2b 50=4,当且仅当b 8=b 92,即该数列为常数列时取等号.10.已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若S n =(-1)n +1·n ,求a 5+a 6及a n ; (2)若S n =3n +2n +1,求a n .解:(1)a 5+a 6=S 6-S 4=(-6)-(-4)=-2, 当n =1时,a 1=S 1=1; 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(-1)n +1·n -(-1)n ·(n -1) =(-1)n +1·[n +(n -1)]=(-1)n +1·(2n -1), a 1适合此式, ∴a n =(-1)n +1·(2n -1). (2)当n =1时,a 1=S 1=6; 当n ≥2时, a n =S n -S n -1=(3n +2n +1)-[3n -1+2(n -1)+1] =2·3n -1+2,a 1不适合此式,∴a n =⎩⎨⎧6,n =1,2·3n -1+2,n ≥2.。