6.1数列的概念与简单表示法
6-1数列的概念与简单表示法
2020/9/12
§6.1 数列的概念与简单表示法
1.数列的有关概念
概念 数列 数列的项
数列的通项
含义 按照一__定__顺__序___排列的一列数
数列中的_每__一__个__数__
数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式_a_n_＝__f(_n_) 表示，这个公式叫做数列的通项公式
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、 归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方 法．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的 变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值 特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各 个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替 出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．
(2)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，则其通项an＝ ________；若它的第k项满足5<ak<8，则k＝________．
角度二 形如an＋1＝an＋f(n)，求an
【例4】
设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋
1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．
角度三 形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an 【例5】 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数 列{an}的通项公式．
【思维升华】 已知Sn，求an的步骤 (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1. (3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以 合并；若不适合则写成分段函数形式．
跟踪训练2 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1， 则其通项公式为________．
2020步步高 苏教版高三一轮复习 数列 含答案解析
项数有限 项数无限
按项与项间的 大小关系分类
递增数列 递减数列
常数列
摆动数列
an＋1__>__an
an＋1__<__an
其中 n∈N*
an＋1＝an
从第 2 项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法． 4．数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个 数列的通项公式．
考试内容 数列的概念 等差数列 等比数列
等级要求 A C C
§6.1 数列的概念与简单表示法
考情考向分析 以考查 Sn 与 an 的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在 高考中以填空的形式进行考查，难度为低档．
1．数列的定义
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2，n＝1， 答案
2n－1，n≥2，n∈N*
解析 当 n＝1 时，a1＝S1＝2，当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，
又 a1＝2 不满足 an＝2n－1，
2，n＝1， 故 an＝ 2n－1，n≥2，n∈N*.
题型一 由数列的前几项求数列的通项公式 例 1 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)2，4 ，6 ，8 ，10，…；
2．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列 无穷数列
项数有限 项数无限
按项与项间的 大小关系分类
递增数列 递减数列
常数列
摆动数列
an＋1__>__an
6.1数列的概念与简单表示法
1.数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类3.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项an 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4.(选用)数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.5.已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( × )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.( × )(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( × )(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N ＋，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) (6)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( √ )1.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A.1，12，13，14，…B.－1，－2，－3，－4，…C.－1，－12，－14，－18，…D.1，2，3，…，n 答案 C解析 根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C.2.数列－3,7，－11,15，…的通项公式可能是( ) A.a n ＝4n －7 B.a n ＝(－1)n (4n ＋1) C.a n ＝(－1)n (4n －1) D.a n ＝(－1)n ＋1(4n －1)答案 C3.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A.15 B.16 C.49 D.64答案 A解析 ∵S n ＝n 2，∴a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 当n ＝1时符合上式，∴a n ＝2n －1，∴a 8＝2×8－1＝15.4.(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝ .答案 5n －45.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.题型一 由数列的前几项求数列的通项公式例1 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( )A.a n ＝n －1n ＋1(n ∈N ＋)B.a n ＝n －12n ＋1(n ∈N ＋)C.a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N ＋)D.a n ＝2n2n ＋1(n ∈N ＋)(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝ .答案 (1)C (2)2n ＋1n 2＋1解析 (1)注意到分母0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可.(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.思维升华 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…. 解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5).(2)数列变为89⎝⎛⎭⎫1－110，89⎝⎛⎭⎫1－1102，89⎝⎛⎭⎫1－1103，…， 故a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3. 因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n2n －32n.题型二 由数列的前n 项和求数列的通项公式例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N ＋. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式. 解 (1)令n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2， 则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2] ＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式， 所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)， 因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列. 所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2， 当n ＝1时也成立， 所以a n ＝3×2n －1－2.思维升华 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示.(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 4等于( )A.130B.132C.134D.120(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则其通项公式为 .答案 (1)A (2)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析 (1)a 4＝S 4－S 3 ＝56－45＝130. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式.故数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(选用)题型三 由数列的递推关系求通项公式例3 (1)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝ . (2)数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则它的一个通项公式为a n ＝ . 答案 (1)n (n ＋1)2＋1 (2)2×3n －1－1解析 (1)由题意得，当n ≥2时， a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)方法一 (累乘法)a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 即a n ＋1＋1a n ＋1＝3， 所以a 2＋1a 1＋1＝3，a 3＋1a 2＋1＝3，a 4＋1a 3＋1＝3，…，a n ＋1＋1a n ＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得a n ＋1＋1a 1＋1＝3n. 因为a 1＝1，所以a n ＋1＋11＋1＝3n，即a n ＋1＝2×3n －1(n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1. 方法二 (迭代法) a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)＝32(a n －1＋1)＝33(a n －2＋1) ＝…＝3n (a 1＋1)＝2×3n (n ≥1)， 所以a n ＝2×3n －1－1(n ≥2)， 又a 1＝1也满足上式，故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2×3n －1－1.思维升华 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解.当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列；当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列；当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解；当出现a n a n －1＝f (n )时，用累乘法求解.(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n·a n －1(n ≥2)，则a n ＝ .(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N ＋)，则a 5等于( ) A.－16 B.16 C.31 D.32 答案 (1)1n(2)B解析 (1)∵a n ＝n －1n a n －1 (n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时也满足此等式，∴a n ＝1n .(2)当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1. ∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2， 故a 5＝a 1×q 4＝24＝16. 题型四 数列的性质 命题点1 数列的单调性例4 已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A.递减数列B.递增数列C.常数列D.摆动数列答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N ＋，易知{a n }是递增数列.命题点2 数列的周期性例5 数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝ .答案 12解析 ∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n ＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.命题点3 数列的最值例6 数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A.310B.19C.119D.1060答案 C解析 令f (x )＝x ＋90x (x >0)，运用均值不等式得，f (x )≥290当且仅当x ＝310时等号成立.因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋90n ≤1290，由于n ∈N ＋，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大.思维升华 1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列. (2)用作商比较法，根据a n ＋1a n (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断.(3)结合相应函数的图象直观判断. 2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值. 3.数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.(1)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12＜a n＜1，a 1＝35，则数列的第2 015项为 .(2)设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133 C.4D.0答案 (1)25(2)D解析 (1)由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝35，∴{a n }为周期数列且T ＝4， ∴a 2 015＝a 3＝25.(2)∵a n ＝－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大值为0.5.数列中的新定义问题典例 (1)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”.根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a 2 014－5等于( )A.2 018×2 012B.2 020×2 013C.1 009×2 012D.1 010×2 013(2)对于数列{x n }，若对任意n ∈N ＋，都有x n ＋x n ＋22＜x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”.设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( ) A.(－1，＋∞) B.(－∞，－1] C.(1，＋∞)D.(－∞，1]思维点拨 (1)观察图形，易得a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)可利用累加法求解.(2)由“减差数列”的定义，可得关于b n 的不等式，把b n 的通项公式代入，化归为不等式恒成立问题求解. 解析 (1)因为a n －a n －1＝n ＋2(n ≥2)，a 1＝5，所以a 2 014＝(a 2 014－a 2 013)＋(a 2 013－a 2 012)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2 016＋2 015＋…＋4＋5 ＝(2 016＋4)×2 0132＋5＝1 010×2 013＋5，所以a 2 014－5＝1 010×2 013，故选D. (2)由数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”， 得b n ＋b n ＋22＜b n ＋1(n ≥3)，即t －tn －12n ＋t －t (n ＋2)－12n ＋2＜2t －t (n ＋1)－12n ， 即tn －12n ＋t (n ＋2)－12n ＋2＞t (n ＋1)－12n ， 化简得t (n －2)＞1.当n ≥3时，若t (n －2)＞1恒成立，则t ＞1n －2恒成立， 又当n ≥3时，1n －2的最大值为1，则t 的取值范围是(1，＋∞). 答案 (1)D (2)C温馨提醒 解决数列的新定义问题要做到：(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆.(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法.[方法与技巧]1.求数列通项或指定项.通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)n 或(－1)n＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加法或累乘法可求数列的通项公式. 4.数列的性质可利用函数思想进行研究. [失误与防范]1.数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )定义域不同，其单调性也有区别：y ＝f (x )是增函数是a n ＝f (n )是递增数列的充分不必要条件.2.数列的通项公式可能不存在，也可能有多个.3.由a n ＝S n －S n －1求得的a n 是从n ＝2开始的，要对n ＝1时的情况进行验证.A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1.数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A.－1617B.－1819C.－2021D.－2223答案 C解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n ＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021.2.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( ) A.15 B.12 C.－12 D.－15 答案 A解析 由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15. 3.若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( )A.56 B.65 C.130 D.30答案 D解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30.4.若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，而数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 B解析 ∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列， ∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n . ∵a 7＝22－21＝1>0，a 8＝22－24＝－2<0， ∴n ＝7时，数列{a n }的前n 项和最大.5.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N ＋)，则“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若数列{a n }为递增数列，则有a n ＋1－a n ＞0，即2n ＋1＞2λ对任意的n ∈N ＋都成立，于是有3＞2λ，λ＜32.由λ＜1可推得λ＜32，但反过来，由λ＜32不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A.6.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N ＋)，则a n ＝ .答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ 4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2 解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2. 7.数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)，则a 7＝ .答案 1解析 由已知a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，a 1＝1，a 2＝2，能够计算出a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2，a 6＝－1，a 7＝1.8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝ .答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－1，得a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)， 即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.9.数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项.(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍去).所以从第7项起各项都是正数.10.已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n. (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式.解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1， a 3＝42a 2， ……a n －1＝n n －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2. 显然，当n ＝1时也满足上式.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2. B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11.已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A.a 2 014＝－1，S 2 014＝2B.a 2 014＝－3，S 2 014＝5C.a 2 014＝－3，S 2 014＝2D.a 2 014＝－1，S 2 014＝5 答案 D解析 由a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，知a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a n ＋2＝－a n －1(n ≥2)，a n ＋3＝－a n ，…，a n ＋6＝a n ，所以数列{a n }是周期数列，周期是6.又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，所以a 2 014＝a 4＝－1，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋3＋2＋(－1)＝5.12.数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ＋)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( ) A.5B.72C.92D.132 答案 B解析 ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72.故选B. 13.定义：称n P 1＋P 2＋…＋P n为n 个正数P 1，P 2，…，P n 的“均倒数”.若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝2n －1 B.a n ＝4n －1C.a n ＝4n －3D.a n ＝4n －5 答案 C解析 ∵n a 1＋a 2＋…＋a n ＝12n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n n＝2n －1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2n －1)n ，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(2n －3)(n －1)(n ≥2)，当n ≥2时，a n ＝(2n －1)n －(2n －3)(n －1)＝4n －3； a 1＝1也适合此等式，∴a n ＝4n －3.14.若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝ . 答案 4解析 由题意得⎩⎨⎧ k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1，k (k ＋4)(23)k ≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10，k 2－2k －9≤0，由k ∈N ＋可得k ＝4. 15.已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N ＋，a ∈R 且a ≠0). (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围.解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N ＋).结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4， a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N ＋).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5＜2－a 2＜6，即－10＜a ＜－8.。
6.1数列的概念与简单表示法
§6.1 数列的概念与简单表示法（时间：45分钟 满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分)1．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B ．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n 的第k 项为1＋1k D ．数列0,2,4,6，…可记为{2n }2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.383．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n 3n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列4．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( )A.6116B.259C.2516D.31155．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( )A ．第2项B ．第3项C ．第4项D ．第5项二、填空题(每小题6分，共24分)6．已知a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ＋1 (n ∈N *)，则a n ＝________.7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k 的值为________．8．已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________.9．(2010·江苏)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k)处的切线与x 轴的交点的横坐标为 a k ＋1，其中k ∈N *，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．三、解答题(共41分)10．(13分)已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .11．(14分)已知数列{a n }的通项a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．12．(14分)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)． (1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 答案1.C2.C3.A4.A5.B6. n 2＋17.88. ⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)2n (n ≥2)9.21 10. 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋b ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1. 当b ＝－1时，a 1适合此等式； 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ， n ＝1，2·3n －1， n ≥2. 11. 解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11.当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…， 所以数列中有最大项为第9、10项．12. 解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1) (n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9. 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性． 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4；a 5>a 6>a 7>…>a n >1 (n ∈N *)． ∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2. ∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，并结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， ∴5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.。
6.1数列的概念和表示法
,__13_,
1 4
,
1 5
,
1 6
1 , __7_
练习
1、 根据下面数列{an}的通项公式， 写出它的前5项：
（1）
an
n n 1
（2） an 1n n
方法：类似于求函数值，在通项公式中依次取 n=1、2、3、4、5得到数列的前5项
2 根据6.下1 列数各列无的穷概数念列的前4项, 写出数列的 一个通项公式.
(1)5,10,15,20，…；
1
−1
1
，答案不一 定是唯一的
关系 (1)1 (1)2 (1)3 (1)4
．
由此得到，该数列的一个通项公式为
an (1)n．
3、 观察下面数列的特点，用适当的数填空： (1) _1__,4,9,16,25, _36__,49;
(2) 1, 2, __3_,2, 5, （1）数列的前4项与其项数的关系如下表：
项数n an 关系
1
2
3
4
5
10
15
20
5 5 1 10 5 2 15 5 3 20 5 4
由此得到，该数列的一个通项公式为
an 5n．
6.1 数列的概念
(2) 1，1，1，1，L ； 2468
解： (2) 数列前4项与其项数的关系如下表：
序号
数列
概念形成
疏理归纳有关概念
◆按一定次序排列的一列数叫数列 ◆数列中的每一个数叫做这个数列的项 ◆各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），
第2项，······， 第n项，······
◆数列的一般形式可以写成： a1，a2，…，an，…简记为{an}，其中an是数列 的第n项。
◆数列分类： 有穷数列,无穷数列;
数列的概念与简单表示法备课资料
《数列的概念与简单表示法》备课资料（2）
1.数列的表示方法
数列可以看作是以正整数集（或它的有限子集{}1
23n ，，，，为定义域的函数()n a f n =）当自变量从小到大依次取值时，所对应的一列函数值．因此，可以说数列具有特殊的函数，所以从函数的观点看，数列的表示方法有以下三种：
（1）解析法
解析法可分为通项公式和递推公式两种，通项公式已在前面论述了，递推公式是利用数列前后项之间的关系给出数列的构成规律，那么通过知道数列中的一些项，就可以求出后面的项．递推公式也是给出数列的一种重要方法．
有些数列，虽然它给出的是递推公式，但可以根据递推公式，求出它的前几项，进而归纳出它的通项公式．
（2）列表法
2.数列的分类
（1）有穷数列、无穷数列
按数列的项数是有限还是无限来分类分为有穷数列和无穷数列．切记不要按项数的多少来分，一个数列，它的项数再多，只要是有限项，那么它也是有穷数列．
（2）单调数列，摆动数列
常数列按前后项之间的大小关系来分，从第二项起，每一项都不大于它的前一项的数列，称之为递减数列；每一项都不小于它的前一项的数列，称之为递增数列；若有些项大于后面的项，有些小于后面的项，称之为摆动数列；若数列里面的所有项均为同一个常数，则称之为常数列．
递增数列和递减数列，称为单调数列．
3.已知数列的前项和公式，求数列的通项公式
在已知，求时，我们可以利用1(2)n n n a S S n -=-≥，这里常常因为忽略了条件而出错．由此求得不一定就是它的通项公式，因此，必须要验证时是否也成立，
否则通项公式只能用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩ ≥来表示．。
2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案+作业：第六章 6.1 数列的概念与简单表示法 Word
姓名，年级：时间：§6。
1 数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式)．2。
了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查S n与a n的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档。
1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{a n}的第n项a n通项公式如果数列｛a n}的第n项a n与序号n之间的关系能用公式a n ＝f （n）表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列｛a n}中，S n＝a1＋a2＋…＋a n叫做数列的前n项和2。
数列的表示方法列表法列表格表示n与a n的对应关系图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表示递推公式使用初始值a1和a n＋1＝f （a n）或a1,a2和a n＋1＝f (a n,a n－1)等表示数列的方法n n若数列｛a n}的前n项和为S n,则a n＝错误!4．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n其中n∈N＊递减数列a n＋1〈a n常数列a n＋1＝a n概念方法微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式a n＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式a n＝3n＋5是特殊的函数,其定义域为N＊，而函数y＝3x＋5的定义域是R，a n＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ×）（2)所有数列的第n项都能使用公式表达．（×）(3）根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．（√）(4)1,1，1，1，…不能构成一个数列．（×)题组二教材改编2．在数列{a n｝中,已知a1＝1，a n＋1＝4a n＋1，则a3＝________。
数列的概念与简单表示法教案
数列的概念与简单表示法教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
举例说明数列的组成，如自然数数列、等差数列等。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
强调数列项的顺序和重复性质。
1.3 数列的通项公式引导学生了解通项公式的概念，即用公式表示数列中任意一项的方法。
举例讲解如何写出简单数列的通项公式。
第二章：数列的表示法2.1 列举法讲解如何用列举法表示数列，即直接写出数列的所有项。
练习写出几个给定数列的列举表示。
2.2 公式法解释公式法表示数列的方法，即用公式来表示数列的任意一项。
举例说明如何用公式法表示等差数列和等比数列。
2.3 图像法介绍图像法表示数列的方法，即用图形来表示数列的项。
引导学生通过观察图形来理解数列的特点。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的数量。
举例说明如何确定一个数列的项数。
3.2 数列的单调性引导学生理解数列的单调性，即数列项的增减规律。
举例说明如何判断一个数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中项按照一定规律重复出现。
举例说明如何判断一个数列的周期性。
第四章：数列的通项公式4.1 等差数列的通项公式讲解等差数列的定义和性质。
推导等差数列的通项公式。
4.2 等比数列的通项公式讲解等比数列的定义和性质。
推导等比数列的通项公式。
4.3 其他类型数列的通项公式引导学生了解其他类型数列的通项公式。
举例讲解如何求解其他类型数列的通项公式。
第五章：数列的前n项和5.1 等差数列的前n项和讲解等差数列的前n项和的定义和性质。
推导等差数列的前n项和的公式。
5.2 等比数列的前n项和讲解等比数列的前n项和的定义和性质。
推导等比数列的前n项和的公式。
5.3 其他类型数列的前n项和引导学生了解其他类型数列的前n项和的求法。
举例讲解如何求解其他类型数列的前n项和。
第六章：数列的求和公式6.1 数列求和的定义解释数列求和是指将数列中的所有项相加得到一个数值。
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题型一 由数列的前几项写数列的通项公式 【例1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一
个通项公式： （1）-1，7，-13，19，… （2）0.8，0.88，0.888，…
（3）1 , 1 , 5 ,13, 29 , 61, 2 4 8 16 32 64
（4）3 ,1, 7 , 9 , 2 10 17
（3）2 ,1,10 ,17 , 26 , 37 , 3 7 9 11 13
（4）3，33，333，3 333，…
解（1）因为各项是从4开始的偶数，
所以an=2n+2. （2）由于每一项分子比分母少1，而分母可写为
21，22，23，24，25，…，故所求数列的一个通
如果数列{an}的第n项an与序号n 之间的关系可 以用一个公式 an=f(n来) 表示，那么这个公式叫 做这个数列的通项公式.
5.
已知Sn ,则an
S1 , Sn-Sn-1,
(n (n
12)).数列{an}中,
若an
最大,则aann
aann-+11.,若an最小,则aann
（5）0，1，0，1，…
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9
思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项
公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之
间的关系.
解 （1）符号问题可通过（-1）n或（-1）n+1表
示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝
对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an= (-1)n(6n-5).
解析 由数列与函数的关系知①③对，由数
列的分类知②不对，数列的通项公式不是惟一
的，④不对.
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4
2.数列1，8 ,15, 24，…的一个通项公式an是（ D ） 57 9
A. n2 B. n(n 2) C. (n 1)2 1 D. n(n 2)
2n 1
n 1
2(n 1)
2n 1
解析 ∵1可以写成 3 ，∴分母为3，5，7，9，
3
即2n+1,分子可以看为1×3,2×4,3×5,4×6,故
为n(n+2)，即
an
n(n 2) 2n 1
.
此题也可用排除法求解，只需验证当n=1时，A
选 项 为 1， B 选 项 为 3， C 选 项 为 3 ， 均 不 为 1 ， 故
来求.
（2）由数列的前几项写出数列的一个通项公式是
不完全归纳法，得出的结果是不可靠的，要注意代
值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1
来调整.
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12
知能迁移1 写出下列各数列的一个通项公式：
（1）4，6，8，10，…（2）1 , 3 , 7 ,15, 31, 2 4 8 16 32
（2）将数列变形为
8 (1 0.1), 8 (1 0.01), 8 (1 0.001),,
9
9
9
an
8 9
(1
1 10n
).
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10
(3)各项的分母分别为21,22,23,24,…易看出第2,3,
4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为 2 3, 2
原数列可化为
an-1, an+1.
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3
基础自测
1.下列对数列的理解有四种：
①数列可以看成一个定义在N*（或它的有限子集
{1，2，3，…，n}）上的函数；
②数列的项数是有限的；
③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立
的点；
④数列的通项公式是惟一的.
其中说法正确的序号是
（ C）
A.①②③ B.②③④ C.①③ D.①②③④
1，5，4，….
由此可得a100=-1.
方法二 an+2=an+1-an，an+3=an+2-an+1，
两式相加可得an+3=-an，an+6=an，
∴a100=a16×6+4=a4专=业-课1.件，精彩无限！
6
4.若数列{an}的前n项和Sn=n2-1,
则a4等于
A.7
B.8
C.9
解析 a4=S4-S3=42-1-（32-1）=7.
项数 无限
递增数列 递减数列 常数列
an+1＞an an+1＜ an an+1=an
其中 n∈N*
有界数列 存在正数M，使|an|≤M
摆动数列
an的符号正负相间，如 1，-1，1，-1，…
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2
3.数列的表示法：
数列有三种表示法，它们分别是 列表法、图象法
和解析法.
4.数列的通项公式
3
2
4
排除A、B、C，从而选D.
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5
3.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an
(
n
∈
N
*
)B,
则a100等于
（）
A.1
B.-1
C.5
D.-5
解析 方法一 由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an (n∈N*)可得该数列为1，5，4，-1，-5，-4，
第六编 数 列
§6.1 数列的概念与简单表示法 基础知识 自主学习
要点梳理 1.数列的定义
按照 一定顺序 排列着的一列数称为数列，数列中 的每一个数叫做这个数列的项.
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1
2.数列的分类
分类原则
按项数分类
按项与项间 的大小关系
分类
按其他 标准分类
类型
满足条件
有穷数列
项数 有限
无穷数列
21 21
3,
22 22
3,
23 23
3
,
24 24
3 ,,
∴
an
(1)n
2n 2n
3
.
(4)将数列统一为 3,5, 7 , 9 , …对于分子3，5， 2 5 10 17
7，9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式
为bn=2n+1，对于分母2，5，10，17，…联想到数 列1，4，9，16，…即数列{n2}，可得分母的通项
(A） D.17
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7
5.数列{an}中，an n 1 n 1 ，Sn=9，则n=99 .
解析
an
1 n 1
n
n 1
n,
Sn 2 1 3 2 n 1 n
n 1 1 9.
n 99.
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8
题型分类 深度剖析
公式为cn=n2+1 因此可得它的一个通专业项课件公，精式彩为无限！an
2n 1 n2 1
11
（
5） an
0 1
(n为奇数) (n为偶数)
或an
1
(1)n 2
或an
1
cos 2
nπ.
探究提高 （1）由数列的前几项求它的一个通项公式，要Biblioteka 意观察每一项的特点，可使用添项、还
原、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式