用单纯形法求解目标规划
规划数学(运筹学)第三版课后习题答案 习 题 2
习题21图解法解下列目标规划问题：1122334min (2)f Pd P d P d d -+--=+++..s t 121140x x d d -+++-=122250x x d d -+++-=13324x d d -++-=1244430x x d d -+++-=120,0;,0,1,2,3,4i i x x d d i -+≥≥≥=P 1:AD 直线上侧，P 2:四边形ABCD,P 3:四边形ABEF ，P 4:四边形ABEF 。
故该问题的满意解为四边形ABEF 内的点，所有目标都达到了。
2用单纯形法求解以下目标规划问题的满意解：（1）1122334min (53)f Pd P d P d d -+--=+++..s t 121180x x d d -+++-=122290x x d d -+++-=13370x d d -++-=24445x d d -++-=120,0;,0,1,2,3,4i i x x d d i -+≥≥≥=（2）1122234min ()f P d d P d P d -+--=+++..s t 12114580x x d d -+++-=12224248x x d d -+++-=123381080x x d d -+++-=1445x d d -++-=120,0;,0,1,2,3,4i i x x d d i -+≥≥≥=5案例练习（1)某厂生产甲、乙两种产品，每件利润分别为20、30元。
这两种产品都要在A 、B 、C 、D 四种设备上加工，每件甲产品需，而这4种设备正常生产能力依次为每天12、8、16、12机时。
此外，A 、B 两种设备每天还可加班运行。
试拟订一个满足下列目标的生产计划： 1P ：两种产品每天总利润不低于120元；2P ：两种产品的产量尽可能均衡；3P ：A 、B 设备都应不超负荷，其中A 设备能力还应充分利用（A 比B 重要3倍）。
民航运筹学_中国民用航空飞行学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
民航运筹学_中国民用航空飞行学院中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.同一目标约束的一对偏差变量，至少有一个取值为0。
参考答案:正确2.目标规划问题一定存在最优解参考答案:错误3.在目标规划求解中，若高级别目标不能满足时，其后的低级别目标也一定不能满足。
参考答案:错误4.对于只有两个决策变量的目标规划问题，可用图解法求解。
参考答案:正确5.在用单纯形法求解目标规划时，利用最小比值法确定换出变量。
参考答案:正确6.目标规划的满意解不可能出现（）参考答案:di+>0，di- >07.用图解法求解目标规划问题，满意解在图中可能是（）参考答案:（A）（B）（C）之一8.以下叙述不正确的是（）参考答案:目标规划模型用单纯形法求解时，某些情况也需增加人工变量9.以下叙述正确的是（）参考答案:目标规划模型的约束中含绝对约束和目标约束10.产地个数为m销地个数为n的平衡运输问题的系数矩阵为A，则有r(A)≤m+n－1。
参考答案:错误11.表示作业法实质上是求解运输问题的单纯形法。
参考答案:正确12.按最小元素法（或Vogel法）给出的初始基可行解，从每一个空格出发可以找到唯一的闭回路。
参考答案:正确13.下列结论正确的有( )参考答案:表上作业法使用的条件是产量等于销量的平衡问题_用位势法判断一个解是否最优时，得出的位势值存在且唯一_任何运输问题都存在可行解14.有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征有( )参考答案:有mn个变量，m+n个约束_系数矩阵的秩等于m+n-1_有m+n-1个基变量，mn－m－n+1个非基变量15.当迭代到运输问题最优解时，如果有某非基变量的检验数等于0，则说明该运输问题有（）参考答案:多重最优解16.在求解运输问题的表上作业法中，空格的检验数值应等于（）参考答案:（闭回路上奇数次顶点运价之和）-（闭回路上偶数次顶点运价之和）17.关于产销不平衡的运输问题，下列叙述正确的是（）参考答案:当产大于销时，只在运价表右端增加一列Bn+1，运价为零,销量为bn+1即可18.产销平衡的运输问题的数学模型系数矩阵的Pij中只有两个元素取1，其余为0，这两个1的元素位于（）参考答案:第i行和第m+j行19.运输问题是一类特殊的线性规划问题，因而求解的结果为（）参考答案:可能出现唯一最优解或多重最优解20.对偶单纯形法适用于下列线性规划：在求目标函数最大值时，所有非基变量的检验数都小于等于0，但存在某些基变量的值为负数参考答案:正确21.在对偶单纯形法中，因为总存在<0的bi，选取数值最小的作为第r行，令br=min{bi}，其对应变量xr为换出基的变量。
运筹学作业-王程130404026
运筹学作业王程信管1302130404026目录运筹学作业 (1)第一章线性规划及单纯形法 (3)第二章线性规划的对偶理论与灵敏度分析 (24)第三章运输问题 (53)第四章目标规划 (63)第五章整数规划 (73)第六章非线性规划 (85)第七章动态规划 (94)第八章图与网络分析 (97)第九章网络计划 (99)第一章 线性规划及单纯形法1.1分别用图解法和单纯形法求下列线性规划问题，⑴指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解；⑵当具有限最优解时，指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
121212121min 23466 s.t.324,0z x x x x x x x x =++≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩（） 1212121,22max 3222s.t.34120z x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩（）121212123max 105349 s.t.528 ,0z x x x x x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩（） 121212124max 5622 s.t.232,0z x x x x x x x x =+-≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩（）解：⑴图解法：当212133x x z =-经过点6155（，）时，z 最小，且有无穷多个最优解。
⑵图解法：1x该问题无可行解。
⑶图解法：当21125x x z =-+经过点312（，）时，z 取得唯一最优解。
单纯形法：在上述问题的约束条件中分别加入松弛变量34,x x ， 化为标准型：12341231241234max 10+500349s.t.528,,,0z x x x x x x x x x x x x x x =++++=⎧⎪++=⎨⎪≥⎩由线性规划问题的标准型可列出单纯初始形表逐步迭代，计算结果如下表所示：**33(,1,0,0),10512022(0,0,9,8)821(,0,,0)553(1,,0,0)2T T T T X Z X O X C X B ==⨯+⨯====（0）（1）（2）单纯形表的计算结果表明：单纯形表迭代的第一步得，表示图中原点（0,0）单纯形表迭代的第二步得，表示图中点单纯形表迭代的第三步得，表示图中点⑷图解法：当215166x x z =-经过点2,2（）时，z 取得唯一最优解。
用单纯形法求解目标规划
P3 -56 －8 －10 0 0 0 0 0 1 0
Cj
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0 0
CB XB b x1
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0
d
1
5 3/2 0
1 －1 1/2 -1/2 0
0 0 0 -2/5 2/5 1
0 1 0 -3/10 3/10 0
00 01 0 0
00 00 0 0
00 00 0 0
P2 P3 0
d
2
d
3
d
3
000
000
-1 0 0
0 1 -1
0 0 0单
1 0 0纯 0 0 1形 0 -1 1 表 0 1/10 -1/101
-1 -3/5 3/5
0 1/20 -1/20
cj
CB XB b
0 x3 60
0 x1 0
0
d
2
36
P3
d
3
48
P1 j c j z j P2
P3
0 x3 12
0 x1 24/5
0
d
2
36/5
0 x2
j cj zj
12/5
P1 P2 P
单纯形表1
00 x1 x2
0 P1 x3 d1
00
d1
d
2Байду номын сангаас
0 20 1 -5 5 0
1 -2 0 1 -1 0
目标规划的单纯形法
Ch4 Goal Programming
2020年5月14日星期四 Page 2 of 6
【解】用单纯形法求解目标规划问题的具体步骤如下：
第１步：列出初始单纯形表。由于目标规划中的目标函数一定是求极小， 为方便起见不转换成求极大。又由于各目标约束中的负偏差变量其系数均为 单位向量，全部负偏差变量的系数列向量构成一个基。因此本例中以d1－、d2 －、d3－作为基变量，列出初始单纯形表见表4－1。
1
§4.3 单纯形法 Simplex Method
Ch4 Goal Programming
2020年5月14日星期四 Page 5 of 6
这里需要说明两点： 1．对目标函数的优化是先按优先顺序逐步进行的。当P1行的
所有检验数均为非负时，说明第一级已得到优化，可转入下一 级，再考察P2行的检验数是否存在负值，依此类推。
因为目标函数中各偏差变量分别乘以不同的优先因子，因此表中检验
数（cj－zj）按优先因子Ｐ1、Ｐ2分成两行，分别计算。
第２步：确定换入变量。在表4－１中按优先级顺序依次检查Ｐ1,P2,Ｐ 3,…，Ｐk行的（cj－zj）值是否有负的。因表中Ｐ1行存在负检验数，说明目 标函数中第一优先级可进一步优化，选取Ｐ 行中最小检验数，其对应变量
第五章 整数规划 Exit
b
0
x1 1 ½
1/2 －1/2
20
0
d1+
[1/2] －1 1 1/2 －1/2
10
P2
d3－
1/2
－3/2 3/2 1 －1 40
Cj－Zj
P1
1
1
P2
－½
－3/2
1
0
x1 1
1 －1
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。
在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。
如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。
线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。
1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。
单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。
单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。
2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。
这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。
对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。
内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。
内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。
4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。
这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。
总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。
希望本文能够对您有所帮助。
单纯形法大M法求解线性的规划问题
无界解
无最优解与无可行解时两个不同的概念。 ➢ 无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指
线性规划问题的可行域为空集； ➢ 无最优解则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目
标函数达不到最优值，即目标函数在可行域内可以趋于无穷大 （或者无穷小）。无最优解也称为有限最优解，或无界解。
判别方法：无最优解判别定理
两阶段法
两阶段法引入人工变量的目的和原则与大M法相同，所不同的是 处理人工变量的方法。
两阶段法的步骤： 求解一个辅助线性规划。目标函数取所有人工变量之和，并取极小 化；约束条件为原问题中引入人工变量后包含一个单位矩阵的标准型 的约束条件。
如果辅助线性规划存在一个基本可行解，使目标函数的最小值等于 零，则所有人工变量都已经“离基”。表明原问题已经得了一个初始 的基本可行解，可转入第二阶段继续计算；否则说明原问题没有可行 解，可停止计算。
Z可以
例2、试用单纯形法求解下列线性规划问题： m a x Z = 2 x 1 + 2 x 2
解：引入松弛变量x3,x4化为标准型
m axZ=2x1+2x 2
-x 1 x 2 x 3 1
-
1 2
x1
x
2
+x4 2
x j 0 , j 1 , 2 , 3 , 4
x 1 - x 2 -1
人工变量的值不能取零，说明了原线性规划的数学模型的约束条 件出现了相互矛盾的约束方程。此时线性规划问题的可行域为空集。
例1、求解下列线性规划问题
解：
首先将问题化为标准型
令 Z ' = -Z ，则
m axZ '= -3x 1-2x 2 -x 3
x1+x 2 +x 3+x 4
单纯形法大M法求解线性规划问题
1
B=(P3P5
)=
0
0 1
，基变量
x 3，x 5
非基变量x1,x 2 , x 4 。
X
B
=
x3 x5
,X
N
=
x1 x2 x4
,B=
1 0
1
0 1
,N=
2 5 2
1 3
1
2 -1 2
,
CB =(3,1) CN =(5,2,-1)
,b=
4 3
➢ 若在化标准形式前，m个约束方程都是“≤”的形式， 那么在化标准形时只需在一个约束不等式左端都加上一个松弛变 量xn+i (i=12…m)。
➢ 若在化标准形式前，约束方程中有“≥”不等式， 那么在化标准形时除了在方程式左端减去剩余变量使不等式变 成等式以外，还必须在左端再加上一个非负新变量，称为 人工变量．
➢ 即使系数矩阵Ａ中找到了一个基B，也不能保证该基恰好是可行基。 因为不能保证基变量ＸB=Ｂ-1b≥0。
➢ 为了求得基本可行解
X=
B，01b必 须求基Ｂ的逆阵Ｂ-1。
但是求逆阵Ｂ-1也是一件麻烦的事。
结论：在线性规划标准化过程中设法得到一个m阶单位矩阵I作为初始
可行基Ｂ，
6
为了设法得到一个m阶单位矩阵I作为初始可行基Ｂ，可在性规 划标准化过程中作如下处理：
Ｎ=(Ｐm+1，Pm+2， …Pn)为非基变量xm+1，xm+2， …xn的
系数列向量构成的矩阵。
4
所以约束方程 AX=就b可以表示为
AX=(BN)
XB XN
=BXB
+NXN
=b
用可行基Ｂ的逆阵Ｂ-1左乘等式两端，再通过移项可推得：
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0 12 0 -4 4 1
0 [20] 0 -6 6 0
00 01 0 0
00 00 0 0
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0 0 1 1 -1 0
1 0 0 2/5 -2/5 0
0 0 0 -2/5 2/5 1
0 1 0 -3/10 3/10 0
00 01 0 0
00 00 0 0
00 00 0 0
P2 P3 0
P1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 σkj P2 -10 －1 －2 0 0 0 2 0 0 0
P3 -56 －8 －10 0 0 0 0 0 1 0
Cj
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0 0
CB XB b x1
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0
d
1
5 3/2 0
1 －1 1/2 -1/2 0
（3）若检验数矩阵的Pi行中有负系数，但负系数所在 列的前i-1行优先因子的系数有0，也有正数，
（例如 P2 - 3 P3 >0），即整个检验数的值可判为正
（因Pi-1»Pi ），故也应转入对Pi+1级目标的寻优，否则会
使高优先级别的目标函数值劣化．
3．基变换 ① 入基变量的确定：在Pk行，从那些上面没有 正检验数 的负检验数中，选绝对值最大者，对应的变量xs就是进基变 量。 若Pk行中有几个相同的绝对值最大者，则依次比较它们各列 下部的检验数，取其绝对值最大的负检验数的所在列的xs为 进基变量。 假如仍无法确定，则选最左边的变量（变量下标小者）为进 基变量。
（1）若检验数矩阵的Pi 行系数均≥0，则Pi 级目标已达最优， 应转入对Pi+1 级目标的寻优，直到 i = k，计算结束。
（2）若检验数矩阵的Pi 中有负系数，且负系数所在列的 前i-1行优先因子的系数全为0 ( 例如 -P2 +223 P3 <0 ) ，
可判定该检验数为负， 则选该系数（若此类负系数有多个，则可选绝对值最大者） 所在列对应的非基变量为入基变量，继续进行基变换．
1
1 -1 0
0
0 x2 3 0 1 1/20 -1/4 1/4 0 0 0 0
P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
j c j z j P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0
P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0
例：用单纯形法求解下列目标规划问题
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d
3
x1 x1
x2 d1 d1 0
2x2
d
2
d
2
10
8x1
10x2
d
3
d
3
56
2x1
x2
11
x1
,
x
2
0,
d
i
,
d
i
0
(i 1,2,3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d
3
x1 x1
x2 d1 d1 0
2x2
d
2
d
2
10
8x1
10x2
θ= min｛10/3,10,6/3,12/3｝= 2,故d 3为换出变量。
Cj
0
CB XB b x1
0
d 1
2
0
0 x2 4
0
0 x1
2
1
0 x3 3
0
P1 0
0
σkj P2 0
0
P3 0
0
0
0
P1 P2 P2 P3
0
0
x2
d 1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0 1 －1 3 -3 -1/2 1/2 0
00 00 01
P1 0 σkj P2 0
0 0 0100 0 00 0 0 0011 0 00
P3
0 0 0000 1 00
最优解为x1＝10/3,，x2 =10/3。
则这两个解得凸组合都是本例的满意解。
理解为一种特殊的正常数，且注意到各等级系数之间的
关系：P1»P2 »…»Pk． 而检验数就是各优先因子P1, P2 ,…, Pk的线性组合。
ci - zj = ∑αkj Pk ,j=1,2,…,n ; k=1,2,…,K
当所有检验数都满足最优性条件（ C j cj z j 0 ）时，从 最终表上即可得出目标规划的解． Pk是指不同数量的很大的数 d-是松弛变量 d+是剩余变量
Pk>>MPk+1 (M是任意大的正数）
例: 用单纯形法求解下面目标规划问题:
Min
Z
P1d1
P2d
2
P3d3
5 x1 10 x2 60
(l1 )
x1 2x2
d1 d1 0
(l2 )
s.t
4 x1
4 x2
d
2
d
2
36
(l3 )
6 x1 8x2
d
3
d
3
48
(l4 )
x1, x2 0,
1 0 0 4/3 -4/3 -1/6 1/6 0
0 0 0 -5/3 5/3 1/3 -1/3 0
0 0 0 2 -2 -1/2 1/2 1
0 0100 0 00
0 0011 0 00
0 0000 1 00
最优解为x1＝2， x2 ＝4。 但非基变量d 3的检验数为
零，故此题有无穷多最优解。
θ= min｛4 , 24 ,－, 6｝= 4,故d1为换出变量。
cj
CB XB b
0 x3 60
0 x1 0
0
d
2
36
P3
d
3
48
P1 j c j z j P2
P3
0 x3 12
0 x1 24/5
0
d
2
36/5
0 x2
j cj zj
12/5
P1 P2 P
单纯形表1
00 x1 x2
0 P1 x3 d1
00
d1
d
2
0 20 1 -5 5 0
1 -2 0 1 -1 0
0
(i 1,2,3)
Cj
0
CB XB b x1
0
d
1
0
1
P2
d
2
10
1
P3
d
3
56
8
0
0 P1 P2 P2 P3 0
0
x2 d1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
－1 1 －1 0 0 0 0 0
2 0 0 1 －1 0 0 0
10 0 0 0 0 1 －1 0
0 x3 11 2 1 0 0 0 0 0 0 1
d
3
d
3
56
2x1 x2 x3
11
x1 , x2
0,
d
i
,
d
i
0
(i
1,2,3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d
3
x1 x1
x2
d
1
d1
0
2x 2
d
2
d
2
10
8x1 10x2
d
3
d
3
56
2x1
x2 x3
11
x1 , x2
0,di,diCj
0
0
0 P1 P2 P2 P3
0
0
CB XB b x1
x2
d 1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0
d
3
4
0 0 2 -2 6 -6 -1 1 0
0 x2 10/3 0
0 x1 10/3 1
0 x3 1
0
1 -1/3 1/3 1/3 -1/3 0 0 2/3 -2/3 1/3 -1/3 0 0 -1 －1 -1 1 0
② 出基变量的确定： 按最小非负比值规则确定出基变量，当存在两个或两个 以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换 出变量。 ③ 主元素的确定： 出基变量与入基变量在系数矩阵中对应的交叉点上的元素即 为主元素． ④ 迭代变换： 同线性规划的单纯形法．得到新的单纯形表，获得一组新解
⑤对求得的解进行分析： 若计算结果满意，停止运算； 若不满意，需修改模型，即调整目标优先等级和权系数， 或者改变目标值，重新进行第1步。
000
100
010
单纯形法的计算步骤：
1、建立初始单纯形表。 一般假定初始解在原点， 即以约束条件中的所有负偏差变量或松弛变量为初始基变量， 按目标优先等级从左至右分别计算出各列的检验数， 填入表的下半部 ，得检验数矩阵。
2．最优性检验 目标规划的最优性检验是分优先级进行的， 从P1级开始依次到Pk 级为止， 具体检验Pi 级目标 时，可能有下述三种情况．
d
i
,
d
i
0, (i
1, 2, 3)
cj CB XB
b
00 x1 x2
0 P1 x3 d1