单纯形法求解线性规划的步骤
线性规划问题的单纯形法求解步骤
线性规划问题的单纯形法求解步骤线性规划是一种优化问题，它的解决方法有很多种，在这里我们来介绍其中一种常用的方法——单纯形法。
我们将介绍单纯形法的求解步骤，以帮助读者更好地理解和掌握这种求解方法。
1. 建立数学模型任何一个线性规划问题的解决都需要先进行建模。
我们将问题转换成数学模型，然后使用数学方法进行求解。
线性规划问题的一般形式为：max cxs.t.Ax ≤ bx ≥ 0其中，c、x、b、A都是向量或矩阵，x≥0表示各变量都是非负数。
其中c表示目标函数，A和b表示约束条件。
2. 计算初始基可行解我们需要从初始点开始，逐步优化目标函数。
但是，在开始优化前我们需要先找到一个基可行解。
基可行解的定义是：如果所有非基变量的取值都是0，并且所有基变量的取值都是非负的，则该解被称为基可行解。
当基可行解找到后，我们就可以开始进行优化。
3. 确定进入变量在单纯形法中，每次迭代中我们都需要找到进入变量。
进入变量是指，通过操作非基变量可以使得目标函数增加的变量。
我们需要找到一个使得目标函数增加最多的非基变量，将其称为进入变量。
4. 确定离开变量在确定进入变量后，我们需要确定一个离开变量。
离开变量是指，通过操作基变量可以使得目标函数增加的变量。
我们需要找到一个离开变量，使得当进入变量增加到某个值时，该离开变量的值为0。
这样，我们就找到了一个最小的正根比率，使得通过基本变量出基到进入变量变为零而得到的新解是可行的。
5. 交换变量接下来，我们需要将已选定的进入变量和离开变量进行交换。
此时，我们将进入变量转变为基变量，离开变量转变为非基变量。
通过这种交换，我们还需要调整我们的基向量。
由于这个交换，我们将得到一个新的基可行解，并且它可以比之前的解更好。
6. 重复迭代我们需要重复上述步骤，直到我们找到最优解。
重复迭代意味着我们将不断查找新的进入变量和离开变量，并进行变量交换。
这种找到最优解的过程可能非常复杂，但是单纯形法的效率很高，通常可以在很短的时间内找到最优解。
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种经典的线性规划求解方法，它是由乔治·达竞士等人在1947年提出的。
该方法的基本思想是，通过在单纯形空间内不断移动顶点的位置来寻找最优解。
单纯形法是目前广泛应用的线性规划求解方法之一，它求解线性规划问题可大大地简化计算过程。
单纯形法的求解过程包括以下几个步骤：1. 将线性规划问题转化为标准形式线性规划问题的标准形式为：$ \max_{x} \ \ c^T x $$s.t. \ Ax=b$$x\geq 0$其中，$x$是要求解的向量；$b$是一个常数向量；$A$是一个$m\times n$的矩阵；$c$是一个常数向量。
2. 初始化单纯形表因为单纯形法是通过移动顶点来寻找最优解的方法，因此需要初始化单纯形表。
单纯形表是将原始的约束条件表示为不等式形式时形成的。
例如，对于一个带有3个变量的线性规划问题，其单纯形表的形式如下：CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS----|-----|-----|-----|-----|----0 | a11| a12| a13| 0 | b10 | a21| a22| a23| 0 | b20 | a31| a32| a33| 0 | b31 | z1 | z2 | z3 | 0 | 0其中，CB代表成本系数，X1、X2、X3、X4分别代表变量。
a11、a12、a13等代表矩阵A中的元素，b1、b2、b3代表矩阵b中的元素。
3. 选择进入变量和离开变量在单纯形表中，规定最后一列为等式右边的常数（RHS），即b。
在单纯形法的求解过程中，首先需要选择一个“进入变量”，即在单纯形表的第一行中，寻找一个系数为正的变量，使得将其加入目标函数后，目标函数值可以上升。
这里以X1为例，X1为进入变量。
接着，需要选择一个“离开变量”，即在单纯形表中，寻找一个使得添加X1变量后，约束条件不改变且取得约束条件中系数最小的一个变量离开。
程序求解 单纯形法
程序求解单纯形法
单纯形法是一种求解线性规划问题的常用方法。
它通过一系列的迭代步骤，从一个初始的基本可行解开始，逐步改进解，直到找到最优解或证明问题无最优解。
以下是使用单纯形法求解线性规划问题的一般步骤：
1. 构建初始基本可行解：选择一个初始的基本可行解，通常可以通过引入松弛变量或人工变量来构建。
2. 计算目标函数值：计算当前基本可行解下的目标函数值。
3. 检查最优性：如果当前基本可行解满足最优性条件（目标函数值最小或最大），则停止迭代，当前解即为最优解。
4. 寻找改进方向：如果当前基本可行解不满足最优性条件，则需要找到一个改进的方向。
这可以通过计算每个非基变量（即未被选入基本可行解的变量）的检验数来完成。
5. 选择进入变量：根据检验数，选择一个具有正检验数的非基变量作为进入变量。
6. 确定离开变量：为了保持基本可行解的可行性，需要选择一个离开变量。
通常选择一个具有最小比值的基变量作为离开变量。
7. 更新基本可行解：通过替换离开变量和进入变量，构建一个新的基本可行解。
8. 重复步骤 2 至步骤 7，直到找到最优解或证明问题无最优解。
需要注意的是，单纯形法的具体实现可能因问题的规模和结构而有所不同。
在实际应用中，可以使用编程语言或优化软件来实现单纯形法。
希望以上内容对你有所帮助。
如果你有具体的线性规划问题需要求解，我可以根据具体问题提供更详细的帮助。
运筹学课件1-4单纯形法计算步骤
b 21 4
9 4
3 x1 1 -1 3 4 -1 12
9 x2 3 1 9 0 1 0
0 x3 1 0 0 1 0 0
0 x4 0 1 0 -3 1 -9
θ 7 4
9/4 -
所以把x3换出为非基变量，x1为换入变量即新的基变量。
第20页
cj
CB 0 0
0 9 3
XB x3 x4 cj-zj x3 x2 cj-zj x1
cj-zj
x3 x1 x5 cj-zj
6
0 1 0
5
5/2 1/2 1
0
1 0 0
0
-1/2 1/2 -1
0
0 0 1
75 5
0
2
0
-3
0
5
x2
5
0
1
0
-1
1
第10页
cj CB 0 0 0 0 6 0 XB x3 x4 x5 b 90 75 80 105/2 75/2 5
6 x1 1 2 2
5 x2 3 1 2
9/4
-
3 9
9/4 25/4
1 0 0
25
第24页
cj CB 0 0 XB x3 x4 cj-zj b 21 4
3 x1 1 -1 3
9 x2 3 1 9
0 x3 1 0 0
0 x4 0 1 0 θ 7 4
0
9
x3
x2 cj-zj x1 x2 cj-zj
9
4
4
-1 12
0
1 0 0 1 0
1
0 0 1/4 1/4 -3
i 1
第1页
单纯形表求解线性规划问题
单纯形法计算步骤
单纯形法计算步骤引言单纯形法是一种常用的数学优化方法，主要用于求解线性规划问题。
它的基本思想是通过不断地在可行解集合内移动，逐步靠近最优解，直到找到最优解。
本文将介绍单纯形法的基本步骤，以帮助读者了解如何使用该方法解决线性规划问题。
步骤一：建立线性规划模型在使用单纯形法之前，首先需要建立线性规划模型。
线性规划模型由决策变量、目标函数和约束条件组成。
决策变量是需要在问题中决策的变量，目标函数是需要最大化或最小化的目标，约束条件是限制决策变量取值范围的条件。
步骤二：将线性规划模型转化为标准形式单纯形法只适用于标准形式的线性规划模型。
标准形式要求目标函数为最大化，并且所有的约束条件都是等式形式。
如果初始线性规划模型不符合标准形式，我们可以通过适当的代数操作将其转化为标准形式。
步骤三：构造初始单纯形表初始单纯形表是单纯形法求解线性规划问题的起点。
它由决策变量、松弛变量、人工变量、目标函数系数和约束条件组成。
初始单纯形表的构造方法如下： 1. 将决策变量的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的第一行。
2. 将目标函数的系数放在单纯形表的第一列。
3. 将约束条件的系数及其对应的松弛变量、人工变量放在单纯形表的其他行。
步骤四：确定基变量和非基变量基变量是单纯形表中拥有非零系数的变量，非基变量是单纯形表中拥有零系数的变量。
基变量和非基变量的确定方法如下： 1. 将目标函数的系数列中不为零的变量作为基变量。
2. 将约束条件中非零系数列中对应的变量作为基变量。
3. 剩余的变量作为非基变量。
步骤五：计算单纯形表中的系数根据基变量和非基变量的定义，我们可以计算单纯形表中的系数。
计算方法如下： 1. 将基变量的系数列除以对应的基变量系数。
2. 将非基变量的系数列减去对应的基变量系数列乘以非基变量所在行和基变量所在行之间的系数。
步骤六：检查是否达到最优解在每次迭代过程中，都需要检查是否达到最优解。
如果单纯形表中目标函数系数列的所有值都是非负的，表示已经达到最优解；否则，需要进行下一次迭代。
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种用于求解线性规划问题的迭代算法。
它是由美国数学家George Dantzig在1947年提出的。
单纯形法的目标是通过不断地沿着一些方向逼近最优解，最终找到使目标函数取得最大（或最小）值的最优解。
单纯形法的求解过程可以分为以下几个步骤：1.标准化问题：将线性规划问题转化为标准化形式。
标准化的目的是将原问题转化为一个等价问题，使得约束条件全部为等式，且目标函数的系数都为非负数。
2.设置初始解：选择一个初始可行解作为起始点。
起始点可以通过代入法求解出来，或者通过其他启发式算法得到。
初始可行解需要满足所有约束条件，即满足等式以及非负性约束。
3.检验最优性：计算当前解的目标函数值，并检验这个值是否是最优解。
如果当前解是最优解，算法终止；否则，进入下一步。
4.选择进入变量：从目标函数的系数中选择一个可以增大（最大化问题）或减小（最小化问题）目标函数值的变量作为进入变量。
选择进入变量的策略可以有多种，例如最大增益法或者随机选择法。
5.计算离基变量：选择一个出基变量并将其移出基变量集合。
离基变量的选择通常采用最小比率法，即选择使得约束条件最紧张的变量。
6.更新解：通过求解一个新的线性方程组来计算新的解，更新基变量集合和非基变量集合。
由于每次只有一个变量进基，一个变量出基，将保持可行解的性质。
7.转到步骤3：重复步骤3-6，直到找到最优解。
单纯形法的关键在于选择进入变量和离基变量，以及求解线性方程组。
进入变量的选择决定了算法在解空间中的方向，而离基变量的选择决定了算法沿着哪个方向逼近最优解。
在实际应用中，单纯形法往往需要进行大量的迭代计算，因此效率可能不是很高。
为了提高效率，可以采用一些改进的单纯形法，例如双线性法、内点法等。
总结起来，单纯形法是一种基于迭代的算法，通过每次选择一个进入变量和一个离基变量来逐步逼近最优解。
虽然它的计算复杂度较高，但是在实践中仍然是一种很受欢迎的求解线性规划问题的方法。
单纯形法解题步骤
三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表.）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.，并确定所在列的非基变量为进基变量.（1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.例3 求.解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为标函数取得最优值.目性规划问题的最优解为：.原线目标函数的最优值为14，即.例4 用单纯形方法解线性规划问题.求.解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数, 经整理后，目标函数非基化了.作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）.最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量进基.表 6.9目前最大检验数，其所在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解.例5用单纯形方法解线性规划问题.求解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数，经整理得,目标函数已非基化.作单纯形表，并进行换基迭代(见表6.10).最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量x2进基，先将主元化为1，然后再将主元所在列的其他元素化为零.表 6.10至此，检验数均为非正数，故得基础可行解.原问题的最优解为：.最优值为6，即.如果我们再迭代一次，将基变量出基，非基变量进基（见表6.11）.表 6.11可得到另一个基础可行解,原问题的最优解为：，最优值仍为6，说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均为6.如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢？这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.（4） 011 0。
线性规划中的单纯形法分析
线性规划中的单纯形法分析在数学和运筹学领域中，线性规划是一种优化问题的数学建模方法，通过最小化或最大化线性目标函数，同时满足一系列线性等式和不等式约束条件。
而单纯形法则是一种广泛应用于线性规划问题求解的算法，它通过迭代计算来找到最优解。
本文将对线性规划中的单纯形法进行详细分析。
一、线性规划基本概念在介绍单纯形法之前，我们需要先了解线性规划的基本概念。
线性规划包括目标函数、决策变量和约束条件三个主要部分。
目标函数是线性规划问题中待优化的目标，可以是最大化或最小化某个线性表达式。
决策变量是这个问题中需要确定的变量，它们的取值将影响到目标函数的结果。
约束条件则是对决策变量的限制条件，可以是等式或不等式。
二、单纯形法的基本原理单纯形法是由美国数学家Dantzig于1947年提出的一种求解线性规划问题的有效算法。
该算法基于以下基本原理：在每一次迭代中，通过选择合适的决策变量进行优化，使目标函数的值不断逼近最优解。
具体而言，单纯形法通过构造一个初始可行解，然后通过迭代计算找到一个更优的解。
三、单纯形法的步骤1. 构造初始可行解：根据约束条件，求解一组可行解，并将其用于下一步的迭代计算。
2. 检验最优性：计算当前解的目标函数值，判断是否满足最优性要求。
3. 选择进入变量：根据规则选择一个进入变量，即使得目标函数值增加最大的变量。
4. 选择离开变量：根据规则选择一个离开变量，即使目标函数值达到最大的变量离开。
5. 更新解的值：根据进入变量和离开变量，更新当前解的值。
6. 返回步骤2，直至达到最优解或无界。
四、单纯形法的优缺点1. 优点：a) 单纯形法适用于大多数线性规划问题，并且可以找到全局最优解。
b) 算法相对简单直观，易于理解和实现。
c) 在实践中，单纯形法已被证明是一种高效的求解方法。
2. 缺点：a) 即使是对于中等规模的问题，单纯形法的计算复杂度也很高，需要大量的迭代计算。
b) 在某些特殊情况下，单纯形法可能会陷入循环，并无法找到最优解。
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用来判断主元所在的列
int DeｐartＲow(int col）; //确定分离变量(寻找主元)
用来确定主元所在的行
ｖoiｄMainＩtｅm_Tｏ_1(introw,inｔcol); /／将主元所在的行做处理，使主元变为1
ｖoidSuｂＭatrixLｉnｅ(iｎｔroｗ1,intｒow2,ｉntcol）;//将矩阵的其他行做处理,矩阵的两行相减
ｖoｉdＰrｉntAｎsｗer(); //输出矩阵的最优解ﻫintGeｔRows(); //返回矩阵的行数ﻫintＧetCｏｌs(); //返回矩阵的列数
ｄoubleGｅtItem(inｔrow,ｉｎtcol); //返回矩阵第roｗ行,第col列的元素
pｒivate：
intrｏwLｅｎ; /／标准矩阵的行数ﻫintcolＬｅｎ;／/标准矩阵的列数ﻫdouble＊*daｔa; /／一个二维数组,指向标准矩阵的数据成员ﻫvoidinｉt(int rows,intｃｏlｓ); /／动态分配一个rows行,colｓ列的二维数组
~ＳｉmplｅMatrｉｘ(）；ﻫｂooｌＩs＿oｂjectLine_All_Poｓｉtｉve(）; //判断目标行是否全部为非负数，最后一列不作考虑
booｌIs＿MainCol_Alｌ_Negａtｉve(intｃol);//判断主元列是否全部为负数或零ﻫboolIs_ｃolumn_all_Poｓitiｖｅ(ｉntcol)；／/判断col列中是否全部为正(不包括目标行)ﻫinｔＩｎColumn(); //确定输入变量ﻫintDeｐaｒｔRoｗ（ｉntcｏl); //确定分离变量(寻找主元)ﻫｖoiｄＭａinIteｍ_To＿1(intｒｏw,int col);／／将主元所在的行做处理,使主元变为１ﻫｖｏｉdSubMatrixLine（intｒow１,inｔrow2,ｉｎtcｏl);//将矩阵的其他行做处理,矩阵的两行相减
｝；ﻫ#enｄif
／/SiｍｐｌeMatriｘ.cpｐ
#ｉnclude＜ioｓｔrｅａm>
#inｃlｕｄe <cmａth>ﻫ#includｅ"SimplｅMatrix．h＂ﻫｕsing naｍｅspaceｓｔd;
voiｄSimpｌｅＭatｒiｘ：:iｎit（int rowｓ,inｔcols)
｛
if(ｒoｗｓ>0&＆ｃols>０）ﻫ{
ｂoｏｌIs_MainCｏl_Aｌｌ_Negative(iｎt cｏl）；//判断主元列是否全部为负数或零
这个函数用来判断线性规划是否是无解的
ｂｏｏl Is_ｃolumn＿ａlｌ_Posｉtｉve（ｉｎｔｃol);//判断cｏl列中是否全部为正(不包括目标行)
用来判断线性规划是否存在最优解,因为如果最后一列如果有负数的化,就无解了，算法终止
为求简单
在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式:
１:指定行和列,由用户自行输入每一个元素ＳimpｌeMatrix（iｎｔrｏw＝0，ｉｎt cｏｌ＝０);
2：直接在主程序中初始化一个二维数组，然后利用构造函数SimｐｌeMatrｉx(inｔrow,intcol，double＊*Ｍ)来初始化和处理（本程序所用的实例用的是这种方法)
rowＬeｎ＝rows;
colLen=coｌs;ﻫｄａta= nｅｗdouｂlｅ*[ｒows］；ﻫfor (inti=0;ｉ＜ｒｏws;i++)ﻫ{ﻫｄata[i]=newdoublｅ［cols];
这个函数是在主元行已经做处理以后调用,目的是是矩阵的其他行主元列的元素变成０.
其中rｏw2为主元所在的行,col为主元所在的列,ｒｏｗ1为要处理的行
ｖｏｉd PrintAnswｅr（);／/输出矩阵的最优解
int GeｔRows()；／/返回矩阵的行数
iｎtGetCｏls(); //返回矩阵的列数
dｏublｅGetＩtem（int roｗ,int col);／/返回矩阵第ｒow行，第coｌ列的元素
程序中主要的函数以及说明
~SimpleMatｒix（）；
销毁动态分配的数组．用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数
ｂoolＩs_ｏｂjeｃtＬine_Alｌ＿Posｉtive(）;／/判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑
这个函数用来判断是否已经存在最优解
２>最优化测试
如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了，该表格代表了一个最优解，它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为０
3>确定输入变量
从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个）该单元格所在的列确定的输入变量及主元列
单纯形法求解线性规划的步骤
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单纯形法求解线性规划的步骤
1＞初始化
将给定的线性规划问题化成标准形式，并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的（否则无解）,接下来的m列组成一个ｍ*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件）,这ｍ列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示
源代码
//SｉmpleMaｔrix.h
＃ifndefＳIMPLEMAＴRＩＸ＿H_
#define SＩＭＰLEMATRＩX_H_
class SｉmｐｌeMａtrixﻫ{
publiSimpleMaｔrix（int row,ｉnｔcol，dｏubｌｅ＊*M);
４>确定分离变量
对于主元列的每个正单元格，求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为０，说明该问题是无解的，算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行
５>建立下一张表格
将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行，要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为１外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表，返回第一步