线性规划及单纯形法
单纯形法与线性规划问题
单纯形法与线性规划问题线性规划是一种优化问题，其基本形式是在给定的约束条件下，使目标函数最大或最小。
这种问题在工业、商业、农业和社会等领域有着广泛的应用。
在解决线性规划问题时，单纯形法是一种经典和常用的算法。
本文将介绍单纯形法和其在线性规划问题中的应用。
一、单纯形法概述单纯形法是一种基于向量空间的方法，其基本思想是沿着可行解空间中的边缘逐步搜索找到最优解。
单纯形法的运算是建立在基向量的概念上，基向量是指满足线性不可约条件的可行解基组成的向量。
单纯形法的步骤如下：1. 构造首行，确定初始基向量。
2. 选择离目标函数最远并且为正的变量，称为入基变量。
3. 选择离约束最近的基变量，称为出基变量。
4. 通过 Gauss-Jordan 消元法计算新的基向量组，确定更新后的基向量。
5. 重复步骤 2-4 直至无法选择入基变量为止。
6. 找到目标函数的最优解。
二、线性规划问题线性规划问题的一般形式如下：$$\max_{x_1,x_2,\dots,x_n\ge0}f(x_1,x_2,\dots,x_n)$$$$\text{s.t.}\begin{cases}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\le b_1\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\le b_2\\\dots\dots\\\end{cases}$$其中，$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 为线性目标函数，$a_{ij}$ 和$b_i$ 均为常数。
三、单纯形法解决线性规划问题1. 转化为标准型单纯形法只能用于标准型的线性规划问题，因此需要将原始问题转化为标准型。
标准型的形式如下：$$\max_{x_1,x_2,\dots,x_n\ge0}\sum_{j=1}^nc_jx_j$$$$\text{s.t.}\begin{cases}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\le b_1\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\le b_2\\\dots\dots\\\end{cases}$$2. 添加松弛变量将约束条件转化为等式形式时需要添加松弛变量，松弛变量是一种关于决策变量的人工变量，其值可以取负数。
第二章线性规划及单纯形法总结
第一章
工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3
1．线性规划介绍
第一章
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
第一章
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第一章
j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
第一章
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
第一章 线性规划及单纯形法
线性规划问题的标准形式： 线性规划问题的标准形式：
max f = ∑ c j x
j =1 j n
n ∑ aij x j = bi , i = 1,2,L , m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,L , n
日产量（ 日产量（吨） 9 5 7 21
11
）（模型 例2（运输问题）（模型） （运输问题）（模型）
minf = 2 x11 + 9 x12 + 10 x13 + 7 x14 + x21 + 3 x22 + 4 x23 + 2 x24 + 8 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 5 x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x +x +x +x =5 23 24 21 22 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 s.t. x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 xij ≥ 0(i = 1,2,3; j = 1,2,3,4)
18
3、（线性规划）数学模型的三要素 、（线性规划） 、（线性规划 变量/决策变量 决策变量； ①变量 决策变量； 目标函数（ ②目标函数（max/min）； ）； 约束条件。 ③约束条件。
19
决策变量： ①变量/决策变量：指决策者为实现规划目标采 变量 决策变量 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量； 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；
线性规划与单纯形法
线性规划与单纯形法线性规划（Linear Programming）是一种在资源有限的情况下，通过最优化目标函数来确定最佳解决方案的数学优化方法。
而单纯形法（Simplex Method）则是一种常用的求解线性规划问题的算法。
本文将介绍线性规划与单纯形法的基本概念和运算步骤，以及实际应用中的一些注意事项。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本思想是在一组线性不等式约束条件下，通过线性目标函数的最小化（或最大化）来求解最优解。
其中，线性不等式约束条件可表示为：```a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b```其中，x1、x2、...、xn为决策变量，a1、a2、...、an为系数，b为常数。
目标函数的最小化（或最大化）可表示为：```min(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```或```max(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```其中，c1、c2、...、cn为系数。
二、单纯形法的基本思想单纯形法是由乔治·丹尼尔·丹齐格尔（George Dantzig）于1947年提出的求解线性规划问题的算法。
其基本思想是通过逐步迭代改进当前解，直至达到最优解。
三、单纯形法的运算步骤1. 初等列变换：将线性规划问题转化为标准型，即将所有约束条件转化为等式形式，并引入松弛变量或人工变量。
2. 初始化：确定初始可行解。
通常使用人工变量法来获得一个初始可行解。
3. 检验最优性：计算当前基础解的目标函数值，若目标函数值小于等于零，则该基础解即为最优解。
否则，进入下一步。
4. 基本可行解的变换：选择一个入基变量和一个出基变量，并进行基本变换，得到新的基础解。
5. 迭代求解：根据目标函数值是否小于等于零，判断是否达到最优解。
若达到最优解，则算法终止；若未达到最优解，则返回步骤3进行下一轮迭代。
四、单纯形法的实际应用注意事项1. 线性规划问题的约束条件必须是线性的，且可行解集合必须是有界的。
第1章-线性规划及单纯形法-课件(1)
✓ x1、 x2 0
IБайду номын сангаас
设备
1
原材料 A 4
原材料 B 0
利润
2
II 资源限量
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
3
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
该计划的数学模型
✓ 目标函数 ✓ 约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x1
✓ 美国航空公司关于哪架飞机用于哪一航班和哪些 机组人员被安排于哪架飞机的决策。
✓ 美国国防部关于如何从现有的一些基地向海湾运 送海湾战争所需要的人员和物资的决策。
✓ ……
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
二、线性规划问题的数学模型
✓ 1、一般形式 ✓ 2、简写形式 ✓ 3、表格形式 ✓ 4、向量形式 ✓ 5、矩阵形式
1、唯一最优解
max Z 2 x 1 3 x 2
2 x 1 2 x 2 12 ⑴
x1 4 x1
2 x2
8 16
⑵ ⑶
4 x 2 12 ⑷
x 1 0 , x 2 0
1 234 56
x2
⑶ ⑷
(4，2)
0 1 234 5678
x1
⑵
⑴
✓最优解：x1 = 4,x2 = 2，有唯一最优解Z=14。
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
三、线性规划模型的标准形式
✓ 1、标准形式 ✓ 2、转换方式
第一章 线性规划及单纯形法 运筹学
1、标准形式
maZx cjxj
xj
aijxj 0
bi
第1章线性规划及单纯形法
表1-17
原料 甲
乙
丙
A ≥60% ≥3%
B C ≤20% ≤50% ≤60 加工费 0.50 0.40 0.30 (元/kg) 售价 3.4 2.85 2.25 (元/kg)
原料成本 每月限 (元/kg) 制用量
(kg)
2.00 2000
1.50 2500
1.00 1200
（二） 产品计划问题
Min z= 13x1 +9x2 +10x3 +11x4 +12x5 +8x6
s.t.
x1 +x4 =300
x2 +x5 =500
x3 +x6 =400
0.4x1 +1.1x2
+x3 ≤700
0.5x4 +1.2x5 +1.3x6 ≤800
xj ≥0 （j＝1， 2， …， 6）
例3：某昼夜服务的公共交通系统每天各时间段 （ 每4小时为一个时间段）所需的值班人数如下表， 这些值班人员在某一时段开始上班后要连续工作8个 小时 （ 包括轮流用膳时间在内），问该公交系统至
少需多少名工作人员才能满足值班的需要。
班次
时间段
所需人数
1
6:00—10:00
60
2
10:00—14:00
70
3
14:00—18:00
60
4
18:00—22:00
50
5
22:00—2:00
20
6
2:00—6:00
30
设xi为第i个时段开始上班的人员数，由此可得数 学模型如下：
Min z= x1 +x2
+x3 +x4 +x5 +x6
运筹学线性规划与单纯形法
整理课件
16
Max Z= x1-2x2+3x3' -3x3" + 0x4 +0x5 s.t. x1+x2+ x3' - x3" +x4 =7
x1-x2+ x3' - x3" -x5=2
-3x1+x2+2x3' -2x3" =5 x1, x2,x3',x3", x4,x5 0
第一节小结：建立模型；三个组成要素；四种形式； 化为标准形（4个条件5点）
.
9x1+4x2 ≤ 360
90 80 60 40 20
4x1+5x2 ≤200
B C
HI G
Z=70x1+120x2 3x1+10x2 ≤300
0
20 D40 E 60
80 1F00 x1
整理课件
30
二、解的几种可能情况
1．唯一最优解。目标函数直线与凸多边形只有 一个切点； 2．无穷多最优解，目标函数图形与某个约束条 件平行。 3．无界解（无最优解）----可行域无界。一般是 漏了一些约束条件。 4．无可行解----可行域为空。
Ⅰ
Ⅱ 计划期可用能力
2
2
12
1
2
8
4
0
16
0
4
12
2
3
问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？
整理课件
3
解：用数学的语言进行描述:
1.决策变量：设产品I、II的产量分别为 x1、x2 2.目标函数：问题要求获取利润最大，该公司获取
利润为2 x1 + 3 x2，令z = 2 x1 + 3 x2，则max z = 2 x1 + 3 x2， max z 是该公司获取利润的目标 值，它是变量x1、 x2的函数，称为目标函数。
线性规划与单纯形法
设工厂1和工厂2 每天分别处理污水x1 和x2万m3，则有：
Min z=1000x1+800x2 (2-x1)/500 ≤0.002 [0.8(2-x1)+1.4-x2]/700
≤0.002 x1≤2, x2≤1.4
x1, x2≥0
以上两例都有一些共同的特征： ⑴用一组变量表示某个方案，一 般这些变量取值是非负的。
划能使该厂获利最多？
ⅠⅡ
这个问题可以用下面的数学模型
设备 1 原料A 4 原料B 0
2 8台时 0 16kg 4 12kg
来描述，设计划期内产品Ⅰ、Ⅱ 的产量分别为x1，x2，可获利润 用z表示，则有：
Max Z=2x1+3x2 x1+2x2≤8 4x1 ≤16
4x2≤12 x1, x2≥0
又例 靠近某河流有两个化工厂，流经
• 最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解
几点说明
• 由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定 义是：集合内部任意两点连线上的点都属于这 个集合)。
• 可行域有有限个顶点。设规划问题有n个变量， m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。
• 目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而 不可能在其内部。
满足以上条件的数学模型称为
线性规划模型。线性规划模型 的一般形式如下：
⑵存在一定的约束条件，可以用 线性等式或线性不等式来表示。 ⑶都有一个要达到的目标，可以 用决策变量的线性函数来表示。
其中： cj为价值系数；aij为技术系数； bi为限额系数；xj为非负变量
max(min) z c1x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn (, )b2
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内含有 Ai 种营养数量为 aij (i=1~m,j=1~n)，又知人们每
天对 Ai 营养的最少
表2
需要量为 bi。见表2：
食品
最少
试在满足营养要 求的前提下，确定食 品的购买量，使食品 的总价格最低。
营养
A1 A…2 Am 单价
B1 B2 … Bn 需要量
a11 a12 … a1n
b1
…a21
…a22
§1 线性规划问题及其数学模型
e.g. 1 资源的合理利用问题
某工厂在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，
要消耗A、B两种资源，已知每件产品对这两种资源的
消耗，这两种资源的现有数量和每件产品可获得的利
润如表 1。 问：如何安排生产计划， 使工厂获总利润最大？
表1
产品
资源
甲
A
1
B
1
单件利润 15
乙 库存量
min z = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 ≤7
x1-x2+x3 ≥2 -3x1+x2+2x3 = -5
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7
x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
系数矩阵
c c1, c2, , cn 价值向量
max s.t.
max s.t.
z cx (1)
Ax b (2)
x0
(3)
z cx
n
pjxj b j 1
特点：
1、目标函数为极 大化； 2、除决策变量的 非负约束外，所有 的约束条件都是等 式，且右端常数均 为非负；
3、所有决策变量 均非负。
7
第二章 线性规划及单纯形法
如何转化为标准形式？
n
1、目标函数为求极小值，即为：min z c j x j 。 j 1
因为求 min z 等价于求 max (-z)，令 z’ = - z，
x1,x2 ≥0 化为标准形式。
解： 令 x3= x4 - x5 其中x4、x5 ≥0；
对第一个约束条件加上松弛变量 x6 ；
对第二个约束条件减去松弛变量 x7 ；
对第三个约束条件两边乘以“-1” ；
令 z’=-z 把求 min z 改为求 max z’ 10
§1 线性规划问题及其数学模型
LP的几种表示形式：
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤（或=，≥）b2
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤（或=，≥）bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
其中aij、bi、cj（i = 1,2,…,m；j = 1,2,…,n）为已知
常数
6
§1 线性规划问题及其数学模型
Am
am1 am2 … amn
bm
单 价 c1 c2 … cn
n
s.t.
aij x j bi
j 1
（i = 1,2,…,m）
xj≥0 （j = 1,2,…,n）
0≤ xj ≤lj
4
§1 线性规划问题及其数学模型 Note：
1、善于抓住关键因素，忽略对系统影响不大的因素； 2、可以把一个大系统合理地分解成 n 个子系统处理。
n
即化为： max z ' c j x j j 1
2、约束条件为不等式，
xn+1 ≥ 0
松弛变量
n
aij x j bi j 1
n
aij x j bi j 1
n
aij x j xn1 bi
j 1
如何处理？
8
§1 线性规划问题及其数学模型
３、右端项bi < 0时，只需将等式两端同乘（-1）
三个基本要素：
1、决策变量 xj≥0 2、约束条件 —— 一组决策变量的线性等式或不等式 3、目标函数 —— 决策变量的线性函数
5
第二章 线性规划及单纯形法
线性规划问题的一般形式：
max（min）z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤（或=，≥）b1
max s.t.
n
z c j x j j 1
n
aij x j bi (i 1,2,, m)
j 1
x j 0 ( j 1,2,, n)
a11 a12 a1n
A
a21
am1
a22
am2
a2n
amn
则右端项必大于零
4、决策变量无非负约束 设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ， 则 xj’ ≥0； 又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数， 可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
9Leabharlann 第二章 线性规划及单纯形法
e.g. 3 试将 LP 问题
3
60
1
40
25
max z = 15x1 +25x2 s.t. x1 + 3x2 ≤ 60
x1 + x2 ≤ 40 x1，x2 ≥ 0
2
§1 线性规划问题及其数学模型
e.g. 2 营养问题
假定在市场上可买到 B1,B2,…Bn n 种食品，第 i 种
食品的单价是 ci , 另外有 m 种营养 A1,A2,…Am。设 Bj
3
60
1
40
25
1
第二章 线性规划及单纯形法
解 ： 设 x1，x2 为下一个生
产周期产品甲和乙的产量；
表1 产品
决策变量
约束条件： x1 + 3x2 ≤ 60 x1 + x2 ≤ 40 x1，x2 ≥ 0
目标函数：
z = 15 x1 +25 x2
Subject to
资源
甲
A
1
B
1
单件利润 15
乙 库存量
线性规划问题的标准形式：
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 …… am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n） bi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）
… …
…a2n
…b2
am1 am2 … amn
bm
c1 c2 … cn
3
第二章 线性规划及单纯形法
解：
表2
设 xj 为购买食
食品
最少
品 Bj 的数量 ( j=1,2, …,n )
营养 A1 A…2
B1 B2 … Bn 需要量
a11 a12 … a1n
b1
…a21
…a22
… …
…a2n
…b2
n
min z c j x j j 1