线性规划及单纯形法

n
即化为： max z ' c j x j j 1
2、约束条件为不等式，
xn+1 ≥ 0
松弛变量
n
aij x j bi j 1
n
aij x j bi j 1
n
aij x j xn1 bi
j 1
如何处理？
8
§1 线性规划问题及其数学模型
３、右端项bi < 0时，只需将等式两端同乘（-1）
… …
…a2n
…b2
am1 am2 … amn
bm
c1 c2 … cn
3
第二章 线性规划及单纯形法
解：
表2
设 xj 为购买食
食品
最少
品 Bj 的数量 ( j=1,2, …,n )
营养 A1 A…2
B1 B2 … Bn 需要量
a11 a12 … a1n
b1Fra Baidu bibliotek
…a21
…a22
… …
…a2n
…b2
n
min z c j x j j 1
max s.t.
n
z c j x j j 1
n
aij x j bi (i 1,2,, m)
j 1
x j 0 ( j 1,2,, n)
a11 a12 a1n
A


a21
am1
a22
am2

a2n
amn



3
60
1
40
25
1
第二章 线性规划及单纯形法
解 ： 设 x1，x2 为下一个生
产周期产品甲和乙的产量；
表1 产品
决策变量
约束条件： x1 + 3x2 ≤ 60 x1 + x2 ≤ 40 x1，x2 ≥ 0
目标函数：
z = 15 x1 +25 x2
Subject to
资源
甲
A
1
B
1
单件利润 15
乙 库存量
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤（或=，≥）b2
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤（或=，≥）bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
其中aij、bi、cj（i = 1,2,…,m；j = 1,2,…,n）为已知
常数
6
§1 线性规划问题及其数学模型
特点：
1、目标函数为极 大化； 2、除决策变量的 非负约束外，所有 的约束条件都是等 式，且右端常数均 为非负；
3、所有决策变量 均非负。
7
第二章 线性规划及单纯形法
如何转化为标准形式？
n
1、目标函数为求极小值，即为：min z c j x j 。 j 1
因为求 min z 等价于求 max (-z)，令 z’ = - z，
Am
am1 am2 … amn
bm
单 价 c1 c2 … cn
n
s.t.
aij x j bi
j 1
（i = 1,2,…,m）
xj≥0 （j = 1,2,…,n）
0≤ xj ≤lj
4
§1 线性规划问题及其数学模型 Note：
1、善于抓住关键因素，忽略对系统影响不大的因素； 2、可以把一个大系统合理地分解成 n 个子系统处理。
x1,x2 ≥0 化为标准形式。
解： 令 x3= x4 - x5 其中x4、x5 ≥0；
对第一个约束条件加上松弛变量 x6 ；
对第二个约束条件减去松弛变量 x7 ；
对第三个约束条件两边乘以“-1” ；
令 z’=-z 把求 min z 改为求 max z’ 10
§1 线性规划问题及其数学模型
LP的几种表示形式：
线性规划问题的标准形式：
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 …… am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n） bi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）
内含有 Ai 种营养数量为 aij (i=1~m,j=1~n)，又知人们每
天对 Ai 营养的最少
表2
需要量为 bi。见表2：
食品
最少
试在满足营养要 求的前提下，确定食 品的购买量，使食品 的总价格最低。
营养
A1 A…2 Am 单价
B1 B2 … Bn 需要量
a11 a12 … a1n
b1
…a21
…a22
则右端项必大于零
4、决策变量无非负约束 设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ， 则 xj’ ≥0； 又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数， 可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
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第二章 线性规划及单纯形法
e.g. 3 试将 LP 问题
系数矩阵
c c1, c2, , cn 价值向量
max s.t.
max s.t.
z cx (1)
Ax b (2)
x0
(3)
z cx
n
pjxj b j 1
三个基本要素：
1、决策变量 xj≥0 2、约束条件 —— 一组决策变量的线性等式或不等式 3、目标函数 —— 决策变量的线性函数
5
第二章 线性规划及单纯形法
线性规划问题的一般形式：
max（min）z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤（或=，≥）b1
§1 线性规划问题及其数学模型
e.g. 1 资源的合理利用问题
某工厂在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，
要消耗A、B两种资源，已知每件产品对这两种资源的
消耗，这两种资源的现有数量和每件产品可获得的利
润如表 1。 问：如何安排生产计划， 使工厂获总利润最大？
表1
产品
资源
甲
A
1
B
1
单件利润 15
乙 库存量
min z = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 ≤7
x1-x2+x3 ≥2 -3x1+x2+2x3 = -5
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7
x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
3
60
1
40
25
max z = 15x1 +25x2 s.t. x1 + 3x2 ≤ 60
x1 + x2 ≤ 40 x1，x2 ≥ 0
2
§1 线性规划问题及其数学模型
e.g. 2 营养问题
假定在市场上可买到 B1,B2,…Bn n 种食品，第 i 种
食品的单价是 ci , 另外有 m 种营养 A1,A2,…Am。设 Bj