2 最优化方法-线性规划-单纯形法解析
最优化方法-单纯形法
记：Z0=CBB-1b
(1-1) (1-2) (1-3)
(1-4)
2 最优解判别定理
定理：设B是线性规划(1-1)’～(1-2)’的基
b’=B-1b=(b’1 ,b’2 ,…..b’m )T ≥0 X(0)是与B对应的基可行解，即
X(0) ＝（ b’1 ,b’2 ,…0 ..b’m,0,…..0) T 如果X所有的检验数 j ≤0,则X 是最优解。
X
1
X
2
X
3
X 4
X
5
(1,2,0,0)T
( 45 ,0, 14 ,0)T 13 13
(34 ,0,0, 7 )T
5
5
(0, 45 , 7 ,0)T 16 16
(0, 68 ,0, 7 )T 29 29
X
6
(0,0, 68 , 45)T 31 31
注：基向量的下标视约束方程而异，不一定是1,2,…,m
例 2 求初始基可行解
max z = 3x1-2x2+5x3+9x4-x5
x1
s.t.
x2 x3
x4 x5 8 6x4 - 3 x5 12 x4 2x5 4
Hale Waihona Puke x1, , x5 0解：
系数矩阵A
b
1 0… 0… 0 a1,m+1… a1,m+t… a1n
b1
0 1… 0… 0 ┇
a2,m+1… a2,m+t… a2n ┇
b2 ┇
0 0… 1… 0 al,m+1… al,m+t… aln
单纯形法解线性规划问题
一、用单纯形第Ⅰ阶段和第Ⅱ阶段解下列问题s.t.解：1)、将该线性问题转为标准线性问题一、第一阶段求解初始可行点2)、引入人工变量修改约束集合取人工变量为状态变量，问题变量和松弛变量为决策变量，得到如下单纯形表，并是所有决策变量的值为零，得到人工变量的非负值。
2 -2 -1 1 21 1 -1 -1 12 -1 -2 1 25 -2 -4 1 -1 1 50 0 0 0 03)、对上述单纯形表进行计算，是目标函数进一步减小，选为要改变的决策变量，计算改变的限值。
2 -2 -1 1 2 11 1 -1 -1 1 02 -1 -2 1 2 05 -2 -4 1 -1 1 5 10 0 0 0 00 1 0 0 04)、由于，为人工变量，当其到达零值时，将其从问题中拿掉保证其值不会再变。
同时将以改变的决策变量转换为状态变量。
增加的值使目标函数值更小。
1 -3 1 1 1 01 1 -1 11 -3 1 1 1 00 0 0 00 0 05）使所有人工变量为零的问题变量的值记为所求目标函数的初始可行点，本例为，二、第二阶段用单纯形法求解最优解-2 2 1 01 1 -1 0-2 1 2 15 1 3要使目标函数继续减小，需要减小或的值，由以上计算，已经有两个松弛变量为零，因此或不能再减小了，故该初始可行点即为最优解。
2、求解问题s.t.如果目标函数变成，确定使原解仍保持最优的c值范围，并把目标函数最大值变达成c的函数。
解：先采用单纯形法求解最优解，再对保持最优解时C值的范围进行讨论。
1）将问题华为标准线性问题s.t.2）用单纯形表表示约束条件，同时在不引入人工变量的前提下，取松弛变量得初始值为零值，求解初始解和最优解10 -1 -1 -1 10-20 1 5 1 -20-2 -1 -1 00 0 0要使目标函数继续减小，可以增大，增大的限值是10。
10 -1 -1 -1 10 0-20 1 5 1 -20 -10-2 -1 -1 0 -200 0 010 0 03）转轴。
管理运筹学 第2章 线性规划与单纯形法
甲 乙 设备 1 1 原料A 2 1 原料B 0 1 单件利润 50（元/件） 100（元/件）
Байду номын сангаас
资源限制 300台时 400千克 250千克
问:工厂应分别生产多少个产品甲、乙才能使工厂获利最多？
设生产甲产品x1个，生产乙产品x2个
j 1
n
n aij x j (或 ， ）bi (i 1, 2, , m) s.t. j 1 x 0( j 1, 2, , n) j
n j 1 n p j x j (或 ， ）b s.t. j 1 x 0( j 1, 2, , n) j
x2 B
C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D z=0=50x1+100x2 E
A
z=10000=50x1+100x2
x1
图2-2
解的几种可能结果
唯一最优解解 无穷多个最优解 无界解(可行域无界，常为模型遗漏了某些 必要的约束条件) 无可行解（可行域为空集，约束条件自相矛 盾,资源满足不了人们的需求）
(2) MinZ Max(Z ) 3 y1 5 x2 y2 y3
(3) 3 y1 2 x2 y2 y3 6
3 y1 2 x2 y2 y3 6
(4)在第一、第三约束左端加上松弛变量 x4,x6≥0 ，在第二约束左端减去剩余变量 x5≥0
解:
2x1+x2=400 x2=250
100
100 200 300
x2≤250
线性规划与单纯形法
线性规划与单纯形法线性规划（Linear Programming）是一种在资源有限的情况下，通过最优化目标函数来确定最佳解决方案的数学优化方法。
而单纯形法（Simplex Method）则是一种常用的求解线性规划问题的算法。
本文将介绍线性规划与单纯形法的基本概念和运算步骤，以及实际应用中的一些注意事项。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本思想是在一组线性不等式约束条件下，通过线性目标函数的最小化（或最大化）来求解最优解。
其中，线性不等式约束条件可表示为：```a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b```其中，x1、x2、...、xn为决策变量，a1、a2、...、an为系数，b为常数。
目标函数的最小化（或最大化）可表示为：```min(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```或```max(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```其中，c1、c2、...、cn为系数。
二、单纯形法的基本思想单纯形法是由乔治·丹尼尔·丹齐格尔（George Dantzig）于1947年提出的求解线性规划问题的算法。
其基本思想是通过逐步迭代改进当前解，直至达到最优解。
三、单纯形法的运算步骤1. 初等列变换：将线性规划问题转化为标准型，即将所有约束条件转化为等式形式，并引入松弛变量或人工变量。
2. 初始化：确定初始可行解。
通常使用人工变量法来获得一个初始可行解。
3. 检验最优性：计算当前基础解的目标函数值，若目标函数值小于等于零，则该基础解即为最优解。
否则，进入下一步。
4. 基本可行解的变换：选择一个入基变量和一个出基变量，并进行基本变换，得到新的基础解。
5. 迭代求解：根据目标函数值是否小于等于零，判断是否达到最优解。
若达到最优解，则算法终止；若未达到最优解，则返回步骤3进行下一轮迭代。
四、单纯形法的实际应用注意事项1. 线性规划问题的约束条件必须是线性的，且可行解集合必须是有界的。
运筹学 第二章线性规划 第三讲 单纯形法
[1] 1 2 -1↑
1 0 0 0
1 0 0 0
1 -1 -2 1
0 1 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 1 0
5→ 6 21
5 1 11
5 6 21/2
表中λj≥0( j=1,2,…,5), 所以最优解为X=(0,5,0,1,11 )T , 最 优值 Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11。
大值，因此原问题只要有可行解，新的线性规划问
题的最优解中人工变量的取值一定为0， 这种方
法称为大M单纯形法（简称大M法）。
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
大M法中加入人工变量后新的线性规划问题为
max Z’=c1x1+c2x2+…+cnxn –Mxn+1 – … –Mxn+m
【解】首先将数学模型化为标准形式
2.5 单纯形法 Simplex Method
Chapter 1 线性规划 Linear Programming
max Z 3x1 2 x 2 x3
式中x4，x5为松弛变量，x5可 4 x1 3x 2 x3 x 4 4 作为一个基变量，第一、三 x x 2 x x 10 约束中分别加入人工变量x6 、 1 2 3 5 x7 ， 目 标 函 数 中 加 入 2 x1 2 x 2 x3 1 ―Mx6―Mx7一项，得到人工 x j 0, j 1,2,,5 变量单纯形法数学模型
0 0 1
Z＝2 x1 2 x2 (6 x1 x2 ) 6 x1 x2
最优化方法- 之单纯形法
代入目标函数得
z 10 x1 5 x2 16 x2 2 x4
(1, 2为检验系数)
• 确定进基变量和出基变量
*确定x2为进基变量，则x4仍为非基变量。
x3 21 14 x2 3 x4 5 5 5 x1 8 2 x2 1 x4 5 5 5
x3 21 14 x2 0 x2 3 5 5 2 x1 8 2 x2 0 x2 4 5 5
2
0 0
T
z(2) 17.5
• 判断
x2 5 x1 x3 3 x4 3 14 14 2 - 1 x3 2 x4 1 7 7 x2 3 5 x3 3 x4 2 14 14 x1 1 1 x3 - 2 x4 7 7
z 17.5 5 x3 25 x4 代入目标函数： 14 14
f x f x
z
0
k
ck
br 0 f x . yrk
旧基为 P , , Pr , , Pm 1 新基为 P , , Pk , , Pm 1 yk B 1 Pk ,
xr 为离基变量 xk 为进基变量。
证明：因为B P , , Pr , , Pm , P , , Pr , , Pm线性无关， 1 1
(b)确定x3 , x4与x1的关系：
3 4 1 0 9 x3 9 3x1 0 x1 3 5 2 0 1 8 x4 8 5 x1 0 x1 1.6
x1取 min 3,1.6 1.6,
即x4 0 x4出基
3 1 得到新基 5 0
x1
x2
T
0
线性规划问题的解法与最优解分析
线性规划问题的解法与最优解分析线性规划是一种数学建模方法，用于解决最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划问题的解法和最优解分析。
一、线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
线性规划问题的数学模型可以表示为：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划问题的解法线性规划问题的解法主要有两种：图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
它通过绘制约束条件的直线或平面以及目标函数的等高线或等高面，来确定最优解。
首先，将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系上。
然后，确定目标函数的等高线或等高面，并绘制在坐标系上。
最后，通过观察等高线或等高面与约束条件的交点，找到最优解。
图形法简单直观，但只适用于低维的线性规划问题。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代的求解方法，适用于高维的线性规划问题。
它通过在可行域内不断移动，直到找到最优解。
单纯形法的基本思想是从初始可行解开始，每次通过找到一个更优的可行解来逼近最优解。
它通过选择一个基本变量和非基本变量，来构造一个新的可行解。
然后，通过计算目标函数的值来判断是否找到了最优解。
如果没有找到最优解，则继续迭代，直到找到最优解为止。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法，但对于大规模的问题，计算量会很大。
第2章 线性规划与单纯形法(2)
max z = 20 x1 + 30 x2 3 x1 + 10 x2 ≤ 150, x1 ≤ 30, x1 + x2 ≥ 40, x1 , x2 ≥ 0.
管
max z = 20 x1 + 30 x2 − Mx6 3x1 + 10 x2 + x3 = 150, x1 + x4 = 30, x1 + x2 − x5 + x6 = 40, xi ≥ 0, i = 1, 2,..., 6
管
理
运
筹
学
4
要注意到人工变量是与松弛、剩余变量不同的。 松弛变量、剩余变量它们可以取零值，也可以取 正值，而人工变量只能取零值。一旦人工变量取 正值，那么有人工变量的约束方程和原始的约束 方程就不等价了，这样所求得的解就不是原线性 规划的解了。为了竭尽全力地要求人工变量为零， 我们规定人工变量在目标函数中的系数为－M， M 这里M为任意大的数。这样为了使目标函数实现 最大就必须把人工变量从基变量中换出。如果一 直到最后，人工变量仍不能从基变量中换出，也 就是说人工变量仍不为零，则该问题无可行解。 以下讨论如何解含有人工变量的线性规划问题
• 由于不存在单位矩阵,在第1,2个约束条件加上 一个人工变量x6,x7,并在目标函数中加上-Mx6Mx7得到的线性规划问题：
max f ' = −2 x1 − 3 x2 + 0 x3 + 0 x4 + 0 x5 − Mx6 − Mx7
x1 + x 2 − x 3 + x 6 = 3 5 0, x1 − x 4 + x 7 = 1 2 5, 2 x1 + x 2 + x 5 = 6 0 0, x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 ≥ 0 .
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一般形式 转化 标准形
称 松弛(slack)/盈余(surplus)变量；自由变量
例5. 化成标准形
等 价 表 示 为
基本解与基变量
其中
满秩假定：m×n矩阵A满足m<n，且A的行向量线性无关 • 在满秩假定下，方程组Ax=b总有解，且至少有一个基本 解 定义： 给定含有n个变量，m个方程的线性方程组Ax=b， 设B是由A 的列组成的任一非奇异m×m子阵，则如果置x 的所有与B无关的n-m个分量为零后，所得方程组的解是 Ax=b关于基B的基本解(basic solution) ，称x中与基B对应 的分量为基变量(basic variables)
◎ 模型：
例2. 运输问题
产销平衡/不平衡的运输问题
例3. 其它应用
• 数据包络分析(data envelope analysis, DEA) • 网络流问题(Network flow) • 博弈论(game theory)等
线性规划的一般形式
线性规划的标准形(分析、算法)
向量表示： 标准形的特征：极小化、等式约束、变量非负
转 轴
B=(a1,a2,a3) X=(4,3,1,0,0,0)
a4进基
x=(0,1,3,2,0,0)
3. BFS→目标值减小的相邻BFS
设x是BFS，且规范形如前，则有
◎问题：确定进基变量，转轴后使新BFS的目标值变小？ ⊙ 将Ax=b的任一解用非基变量表示； ⊙ 将目标函数
依次移动到相邻极点/BFS，直到找出最优 解，或判断问题无界.
• 初始化：如何找到一个BFS？ • 判断准则：何时最优？何时无界？ • 迭代规则：如何从一个极点/BFS迭代到相
邻极点/BFS？
1. 转轴(基本解→相邻基本解)
满秩假定： A是行满秩的
规范形(canonical form)
不妨设
线性无关 等价变形
例1.
例2.
K 有3个极点 有3个基本解，均可行
K 有2个极点 有3个基本解，2个可行
例3.
Subject to
5个极点
－极点
线性规划 解的
几何特征
唯一 解(顶点)！
线性规划解的几何特征
• 有解：唯一解/多个解(整条边、面、甚至
整个可行集)
有顶点解
• 无界：没有有限最优解 • 不可行：没有可行解
• 1947年, George Dantzig发明了单纯形法
• 1979年，L. Khachain找到了求解线性规划的一 种有效方法(第一个多项式时间算法－椭球内点法)
• 1984年，Narendra Karmarkan发现了另一种求 解线性规划的有效方法，已证明是单纯形法的强 有力的竞争者(投影内点法)
无解
可行集：多边形(二维) →多边集(高维空间)
给出有效的代数刻画和严谨的几何描述，从理论上证 实上述几何特征，并寻求有效算法
无(下)界
顶点 一 条 边
线性规划问题解的几种情况
单纯形法简介
• 适用形式：标准形(基本可行解=极点) • 理论基础：线性规划的基本定理！ • 基本思想：从约束集的某个极点/B个单位列
非基变量
次序可以打乱！
规范形的转换问题
◎ 替换问题
假设在上述规范形中，想用
⊙ 什么时候可以替换？ ⊙ 替换后新规范形是什么？
转轴(pivot)
◎ 当且仅当
，可以替换
◎ 替换后，新规范形的系数
转轴公式
－转轴元(pivot element)
例1. 求下列方程组以
• 现在求解大规模、退化问题最有效的是原－对偶 内点法
例1. 食谱问题
◎ 问题：确定食品数量，满足营养需求，花费最小？
n种食品，m种营养成份； －第 j 种食品的单价 －每单位第 j 种食品所含第 i 种营养的数量 －为了健康，每天必须食用第i 种营养的数量
◎ 变量： －食用第 j 种食品的数量
几何解释：连接集合中任两点的线段仍含在该集合中 性质
一些重要的凸集
超平面(hyperplane): 正/负闭半空间：
多面集(polyhedral convex set): 有限个闭半空间的交集
推 广
平面上：多边形
注：任一线性规划的可行集是多面集！
极点
几何上：极点即不能位于连接该集合中其它两点 的开线段上的点
退化基本解：基本解中如果有一个或多个基变量的值为零
基本可行解
约束系统
定义 称
的非负基本解是标准形的基
本可行解(basic feasible solution)；
线性规划的基本定理
考虑线性规划标准形，其中A是秩为m的m×n阶 矩阵，则以下结论成立：
i) 若标准型有可行解，则必有基本可行解； ii) 若标准型有最优解，则必有最优基本可行解。
为基变量的基本解
转轴
转 轴 转 轴 转 轴
x=(0,0,0,4,2,1)
2. BFS→相邻BFS(极点→相邻极点)
设x是BFS, 且规范形如前，且假设 aq 进基 ◎问题：确定出基变量，使转轴后新规范形对应BFS？ 因为
所以
令 可否选取合适的
使得
是BFS ？
确定离基变量
至少有一个正元
例3. 考虑线性方程组
实用优化方法
线性规划：单纯形法
线性规划
线性规划：目标函数是线性的，约束条件是 线性等式或不等式
线性规划的历史
• 渊源要追溯到Euler、Liebnitz、Lagrange等
• George Dantzig, Von Neumann(Princeton)和 Leonid Kantorovich在1940’s创建了线性规划
基本可行解的个数不超过
与凸性的关系
线性规划的基本定理(标准形)
基本可行解
极点
线性方程组 的基本性质
代数理论 (与表述形式有关)
设计算法
凸集理论
几何理论
(与表述形式无关)
直观理解
凸性(凸集及性质)
定义
是凸集(convex set)，如果对S中任意
两 点 x , y 和(0,1)中的任一数 满足
定义 称凸集C中的点 x 是C的极点，如果存在 C 中
的点 y, z 和某
，有
则必有 y=z.
极点与基本可行解的等价性定理
考虑线性规划标准形，其中A是秩为m的m×n 矩阵，令 则x是 K 的极点，当且仅当x是线性规划的基本可行解.
推论：（线性规划基本定理的几何形式）
i) 若K非空，则至少有一个极点. ii) 若线性规划有最优解，则必有一个极点是最优解. iii) Ax=b对应的约束集K最多有有限个极点.