《高数》第三章单元测试卷
高一数学第三章数列单元测试二 试题
高一数学第三章数列单元测试二本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
说明：本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入题后括号内，第二卷可在各题后直接答题．一共100分，考试时间是是90分钟．第一卷〔选择题一共30分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题3分，一共30分〕1．设数列{a n}、{b n}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么由a n+b n所组成的数列的第37项值为〔〕A．0 B．37 C．100 D．－37考察等差数列的性质．【解析】∵{a n}、{b n}为等差数列，∴{a n+b n}也为等差数列，设c n=a n+b n，那么c1=a1+b1=100，而c2=a2+b2=100，故d=c2－c1=0，∴c37=100．【答案】C2．设{a n}为等差数列，那么以下数列中，成等差数列的个数为〔〕①{a n2} ②{pa n} ③{pa n+q} ④{na n}〔p、q为非零常数〕A．1 B．2 C．3 D．4考察对等差数列的理解．【解析】{pa n}、{pa n+q}的公差为pd〔设{a n}公差为d〕，而{na n}、{a n2}不符合等差数列定义．【答案】B3．在等差数列{a n}中，a1>0，且3a8=5a13，那么S n中最大的是〔〕A．S21 B．S20 C．S11 D．S10考察数列和的理解．【解析】3a 8=5a 13⇒d =－392a 1<0． a n ≥0⇒n ≤20．【答案】B4．在{a n }中，a 1=15，3a n +1=3a n －2〔n ∈N *〕，那么该数列中相邻两项的乘积为负数的项是〔 〕A ．a 21和a 22B ．a 22和a 23C ．a 23和a 24D ．a 24和a 25考察等差数列通项及运用．【解析】a n +1－a n =32，∴a n =15+〔n －1〕〔－32〕=3247n -．a n +1a n <0⇒31〔45－2n 〕31〔47－2n 〕<0⇒245<n <247． ∴n =23．【答案】C5．假设数列{a n }前n 项和S n =n 2－2n +3，那么这个数列的前3项为〔 〕A ．－1，1，3B ．2，1，0C ．2，1，3D ．2，1，6 考察通项及数列的和．【解析】a 1=S 1=2，又a 3=S 3－S 2=3．【答案】C6．数列{a n }中，a n +1=nn a a 31+，a 1=2，那么a 4为〔 〕 A ．58 B ．192 C ．516 D ．78 考察数列通项及变形． 【解析】11+n a =n a 1+3，∴n a 1=11a +3〔n －1〕=3n －25，∴a 4=192． 【答案】B7．设{a n }是等差数列，公差为d ，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6， S 6=S 7>S 8．以下结论错误的选项是〔 〕A ．d <0B ．a 7=0C ．S 9>S 5D ．S 6和S 7为S n 最大值考察等差数列求和及综合分析才能．【解析】∵S 5<S 6，S 6=S 7>S 8．由S 6=S 7⇒a 7=0，S 7>S 8⇒d <0．显然S 6=S 7且最大．【答案】C8．在等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50=200，a 51+a 52+…+a 100=2700，那么a 1等于〔 〕A ．－20B ．－2021C ．－2121D ．－22考察等差数列求和公式，通项公式的灵敏运用．【解析】∵a 51+a 52+…+a 100=〔a 1+a 2+…+a 50〕+50×50d =2700．∴d =1，S 50=50a 1+24950⨯×1⇒a 1=－2021． 【答案】B 9．设f 〔n 〕=11+n +21+n +…+n21〔n ∈N *〕，那么f 〔n +1〕－f 〔n 〕等于〔 〕 A ．121+n B ．221+n C ．121+n +221+n D ．121+n －221+n 考察函数与数列概念、项与项数的代换．【解析】f 〔n +1〕=21+n +31+n +…+n 21+121+n +221+n ． 【答案】D10．依场调查结果预测某种家用商品以年初开场的n 个月内累积的需求量S n 〔万件〕．近似地满足S n =90n 〔21n －n 2－5〕，〔n =1，2，…，12〕，那么按此预测在本年度内，需求量超过1．5万件的月份是〔 〕A ．5月、6月B ．6月、7日C ．7月、8日D ．8月、9日考察数列的求和和通项．【解析】第n 个月需求量a n =S n －S n －1=301〔－n 2+15n +9〕， a n >1．5得301〔－n 2+15n +9〕>1．5． 解得：6<n <9，∴n =7或者8．【答案】C第二卷〔非选择题 一共70分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分〕11．等差数列{a n }中，a 1=－5，它的前11项的平均值是5，假设从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，那么抽取的是第_________项．考察等差数列的性质和运用．【解析】由－5×11+21011⨯d =55，得d =2．由a n =5，a n =a 1+〔n －1〕d 得n =6． 【答案】612．在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是_______．考察等差数列通项及不等式根本知识． 【解析】a n =35－4n ．由⇒⎩⎨⎧≤--≥-0)1(4350435n n 7 843≤≤n 43得a 8=3，a 9=－1， ∴最接近的为a 9=－1．【答案】－113．在等差数列{a n }中，满足3a 4=7a 7．且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，假设S n 获得最大值，那么n =_______．考察等差数列的前n 项和及运用．【解析】设公差为d ，得3〔a 1+3d 〕=7〔a 1+6d 〕，∴d =－334a 1<0，令a n >0． 解得n <437，即n ≤9时，a n >0． 同理，n ≥10时，a n <0．∴S 9最大，故n =9．【答案】914．f 〔n +1〕=f 〔n 〕－41〔n ∈N *〕且f 〔2〕=2，那么f 〔101〕=_______． 考察函数、数列的综合．【解析】f 〔n +1〕－f 〔n 〕=－41，f 〔n 〕可看作是公差为－41的等差数列，f 〔101〕=f 〔2〕+99d =－491． 【答案】－491 三、解答题〔本大题一一共5小题，一共54分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕15．〔本小题满分是8分〕在等差数列{a n }中，a 1=－60，a 17=－12．〔1〕求通项a n ，〔2〕求此数列前30项的绝对值的和．考察等差数列的通项及求和．【解】〔1〕a 17=a 1+16d ，即－12=－60+16d ，∴d =3，∴a n =－60+3〔n －1〕=3n －63．〔2〕由a n ≤0，那么3n －63≤0⇒n ≤21，∴|a 1|+|a 2|+…+|a 30|=－〔a 1+a 2+…+a 21〕+〔a 22+a 23+…+a 30〕=〔3+6+9+…+60〕+〔3+6+…+27〕=2)603(+×20+2)273(+×9=765． 16．〔本小题满分是10分〕设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nS n }的前n 项和，求T n ． 考察等差数列根底知识及技巧、运算才能．【解】设等差数列{a n }公差为d ，那么S n =na 1+21n 〔n －1〕d ∵S 7=7，S 15=75，∴⎩⎨⎧=+=+7510515721711d a d a ⇒⎩⎨⎧=+=+571311d a d a ∴a 1=－2，d =1，∴n S n =a 1+21〔n －1〕d =－2+21〔n －1〕 ∵11++n S n －n S n =21 ∴{nS n }为等差数列，其首项为－2，公差为21， ∴T n =41n 2－49n ． 17．〔本小题满分是12分〕设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=12， S 12>0，S 13<0．〔1〕求公差d 的取值范围；〔2〕指出S 1，S 2，S 3…S 12中哪一个值最大？并说明理由．考察数列的性质与最值、灵敏变换才能．【解】〔1〕依题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+=②①0212131302111212113112d a S d a S 即⎩⎨⎧<+>+06011211d a d a ，由a 3=a 1+2d =12得a 1=12－2d ，代入①②⇒－724<d <－3． 〔2〕由d <0，可知a 1>a 2>…>a 12>a 13．因此假设在1≤n ≤12中存在自然数n ，使a n >0，a n +1<0时，那么S n 就是S 1，S 2…S 12中最大值 由于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=+=<=+=01220132121116131317S a a a S a a a ∴在S 1，S 2…S 11，S 12中S 6的值最大．18．〔本小题满分是12分〕f 〔x +1〕=x 2－4，等差数列{a n }中，a 1=f 〔x －1〕， a 2=－23，a 3=f 〔x 〕． 〔1〕求x 值；〔2〕求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值．考察等差数列概念及求和，函数根本知识．【解】〔1〕∵f 〔x －1〕=〔x －1－1〕2－4=〔x －2〕2－4∴f 〔x 〕=〔x －1〕2－4，∴a 1=〔x －2〕2－4，a 3=〔x －1〕2－4又a 1+a 3=2a 2，解得x =0或者x =3．〔2〕∵a 1、a 2、a 3分别为0、－23、－3或者－3、－23、0 ∴a n =－23〔n －1〕或者a n =23〔n －3〕 ①当a n =－23〔n －1〕时，a 2+a 5+…+a 26=29〔a 2+a 26〕=2351 ②当a n =23〔n －3〕时，a 2+a 5+…+a 26=29〔a 2+a 26〕=2297．19．〔本小题满分是12分〕设两个方程x 2－x +a =0和x 2－x +b =0的四个根成首项为41的等差数列，求a +b 的值．考察等差数列与方程思想．【解】不妨设a <b ，函数y =x 2－x +a 与y =x 2－x +b 的对称轴，开口大小均一样，如下图． 设数列为x 1、x 2、x 3、x 4，由x 1=41．∵x 1+x 4=1，∴x 4=43． 又∵x 4=x 1+3d ，∴43=41+3d ，∴d =61 ∴x 2=x 1+d =125，x 3=x 2+d =127 ∴a =x 1·x 4=163，b =x 2·x 3=125×127=14435，∴a +b =7231．本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
高中数学 第三章 变化率与导数单元测试1 北师大版选修1-1
第三章 变化率与导数(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )＝13，则f ′(x )等于( )A ．－33B ．0 C.33D. 3解析：选B.因为f (x )＝13，所以f ′(x )＝(13)′＝0.2．已知某质点的运动规律为s ＝t 2＋3(s 的单位：m ，t 的单位：s)，则该质点在t ＝3 s 到t ＝(3＋Δt )s 这段时间内的平均速度为( )A ．(6＋Δt )m/sB ．(6＋Δt ＋9Δt)m/sC ．(3＋Δt )m/sD ．(9Δt ＋Δt )m/s解析：选A.平均速度为Δs Δt ＝（3＋Δt ）2＋3－（32＋3）Δt＝(6＋Δt )m/s.3．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f （1）－f （1－x ）2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解析：选D.k ＝f ′(1)＝lim x →0 f （1－x ）－f （1）－x＝2lim x →0 f （1）－f （1－x ）2x＝－2. 4．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能是( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1) B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数f ′(x )，再求f ′(1)．5．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解析：选B.设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0，因为y ′＝12x －3x ，所以k ＝12x 0－3x 0＝－12，所以x 0＝2.6．已知y ＝2x 3＋3x ＋cos x ，则y ′等于( )A ．6x 2＋x －23－sin xB ．6x 2＋x －23＋sin xC ．6x 2＋13x －23＋sin xD ．6x 2＋13x －23－sin x解析：选D.y ′＝(2x 3)′＋(x 13)′＋(cos x )′＝6x 2＋13x －23－sin x .7．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称函数f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称函数f (x )在D 上为凸函数，以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝－x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x解析：选D.对A ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＜0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2， 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对B ，f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数； 对C ，f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ＜0⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是凸函数；对D ，f ′(x )＝e x ＋x e x ，f ″(x )＝e x ＋e x ＋x e x ＝e x(2＋x )＞0⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜π2，故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上不是凸函数，选D.8．已知曲线C ：y ＝2x 2，点A (0，－2)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要实现不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．(－∞，4)C ．(10，＋∞)D ．(－∞，10)解析：选D.在曲线C ：y ＝2x 2上取一点D (x 0，2x 20)(x 0＞0)，因为y ＝2x 2，所以y ′＝4x ，所以y ＝2x 2在D 点处切线的斜率为4x 0，令2x 20＋2x 0＝4x 0，解得x 0＝1，此时D (1，2)，所以k AD ＝2－（－2）1－0＝4，所以直线AD 的方程为y ＝4x －2，要实现不被曲线C 挡住，则实数a ＜4×3－2＝10，即实数a 的取值范围是(－∞，10)．9．设a ＞0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则P 到曲线y ＝f (x )对称轴距离的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1aB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12aC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2aD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －12a 解析：选B.因为过P (x 0，f (x 0))的切线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，且a ＞0，P 在对称轴的右侧，所以P 到曲线y ＝f (x )对称轴x ＝－b2a 的距离d ＝x 0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝x 0＋b2a .又因为f ′(x 0)＝2ax 0＋b ∈[0，1]，所以x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b 2a，1－b 2a .所以d ＝x 0＋b 2a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12a .10．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝2x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝x 3(x ≠0)的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c解析：选B.g ′(x )＝2，h ′(x )＝1x，φ′(x )＝3x 2(x ≠0)．解方程g (x )＝g ′(x )，即2x ＝2，得x ＝1，即a ＝1；解方程h (x )＝h ′(x )，即ln x ＝1x，在同一坐标系中画出函数y＝ln x ，y ＝1x的图像(图略)，可得1＜x ＜e ，即1＜b ＜e ；解方程φ(x )＝φ′(x )，即x3＝3x 2(x ≠0)，得x ＝3，即c ＝3.所以c ＞b ＞a .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________．解析：f (x )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，f ′(x )＝3x 2－2ax －4，f ′(－1)＝3＋2a －4＝0，所以a ＝12.答案：1212．设f (x )＝e x＋x ，若f ′(x 0)＝2，则在点(x 0，y 0)处的切线方程为________．解析：f ′(x )＝e x ＋1，f ′(x 0)＝2，所以e x 0＋1＝2，所以x 0＝0，y 0＝e 0＋0＝1，所以切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝013．已知函数f (x )＝sin x －x cos x ，若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞λx 成立，则实数λ的取值范围是________．解析：f ′(x )＝(sin x －x cos x )′＝(sin x )′－(x cos x )′＝cos x －(cos x －x sin x )＝x sin x ＞λx ，因为x ∈(0，π)，所以sin x ＞λ，因为sin x ∈(0，1]，所以λ＜1.答案：(－∞，1)14．抛物线y ＝x 2上到直线x ＋2y ＋4＝0距离最短的点的坐标为________．解析：y ′＝2x ，设P (x 0，x 20)处的切线平行直线x ＋2y ＋4＝0，则点P 到直线x ＋2y ＋4＝0的距离最短，由抛物线y ＝x 2在点P (x 0，x 20)处的切线斜率为2x 0，则2x 0＝－12，解得x 0＝－14，y 0＝116，故所求点的坐标为(－14，116)．答案：(－14，116)15．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和为________．解析：由y ＝x n(1－x )得y ′＝nx n －1(1－x )＋x n(－1)，所以f ′(2)＝－n ·2n －1－2n.又因为切点为(2，－2n)． 所以切线方程为：y ＋2n ＝－(n ·2n －1＋2n )(x －2)．令x ＝0，得a n ＝(n ＋1)·2n. 则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的通项公式为a n ＝2n ，由等比数列前n 项和公式求得其和为2n ＋1－2. 答案：2n ＋1－2三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R 以4 m/s 的波速增加，求在3 s 末被扰动的水面面积的增长率．解：设被扰动水面面积为S ，时间为t (t ≥0)，所以S ＝πR 2＝π(4t )2＝16πt 2，所以S ′＝(16πt 2)′＝32πt ，所以当t ＝3时，水面面积的增长率为96π. 17．(本小题满分10分)求下列函数的导数． (1)f (x )＝ln(8x )；(2)y ＝x 3sin x 2cos x2；(3)y ＝x 5＋x ＋sin xx 2.解：(1)f (x )＝3ln 2＋ln x ， f ′(x )＝(3ln 2)′＋(ln x )′＝1x.(2)y ＝x 3sin x 2cos x 2＝12x 3sin x ，y ′＝12(x 3sin x )′＝12(3x 2sin x ＋x 3cos x )＝32x 2sin x ＋12x 3cos x . (3)y ＝x 5＋x ＋sin x x2＝x 3＋x －32＋x －2sin x ， 所以y ′＝(x 3)′＋(x －32)′＋(x －2sin x )′＝3x 2－32x －52－2x －3sin x ＋x －2cos x .18．(本小题满分10分)已知曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4. (1)求曲线C 在点(1，－4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由．解：(1)y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以当x ＝1时，y ′＝－12，所以在点(1，－4)处的切线的斜率为－12.所以所求的切线方程为y ＋4＝－12(x －1)，即y ＝－12x ＋8.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，y ＝－12x ＋8，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，即(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1.所以除切点外，曲线和切线还有交点(－2，32)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x . (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ≥1时，求证：当x ∈[1，e]时，f ′(x )≥0，其中e 为自然对数的底数．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x，因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2.所以切线方程是y ＝－2.(2)证明：函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x，即f ′(x )＝2ax 2－（a ＋2）x ＋1x ＝（2x －1）（ax －1）x，当a ≥1时，在x ∈[1，e]上，2x －1＞0，ax －1≥0， 可得f ′(x )≥0.20．(本小题满分13分)设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0.曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)确定b ，c 的值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，证明：当x 1≠x 2时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)．解：(1)由f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，得f (0)＝c ，f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，f ′(0)＝b .又由曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，得f (0)＝1，f ′(0)＝0. 故b ＝0，c ＝1.(2)证明：f (x )＝13x 3－a 2x 2＋1，f ′(x )＝x 2－ax ，由于点(t ，f (t ))处的切线方程为y －f (t )＝f ′(t )(x －t )，而点(0，2)在切线上，所以2－f (t )＝f ′(t )(－t )，化简得23t 3－a 2t 2＋1＝0，即t 满足的方程为23t 3－a 2t 2＋1＝0.下面用反证法证明：假设f ′(x 1)＝f ′(x 2)，由于曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))及(x 2，f (x 2))处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：⎩⎪⎨⎪⎧23x 31－a 2x 21＋1＝0，①23x 32－a2x 22＋1＝0，②x 21－ax 1＝x 22－ax 2.③由③，得x 1＋x 2＝a .由①－②，得x 21＋x 1x 2＋x 22＝34a 2.④又x 21＋x 1x 2＋x 22＝(x 1＋x 2)2－x 1x 2＝a 2－x 1(a －x 1)＝x 21－ax 1＋a 2＝(x 1－a 2)2＋34a 2≥34a 2，故由④得x 1＝a 2，此时x 2＝a2与x 1≠x 2矛盾，所以f ′(x 1)≠f ′(x 2)．。
高一数学第三章直线与方程单元测试题及答案
必修2第三章《直线与方程》单元测试题（时间：90 满分：120分）班别 座号 姓名 成绩一、选择题（本大题共10小题；每小题5分；共50分）1.若直线过点（１；２）；（４；２＋3）；则此直线的倾斜角是（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０° 2．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A. B. C. D.－2；－33. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行；则系数a=A 、 -3B 、-6C 、23- D 、324.点P （-1；2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ）（A ）2 （B ）21 （C ）1 （D ）275.以Ａ（１；３）；Ｂ（－５；１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=06.过点Ｍ（２；１）的直线与Ｘ轴；Ｙ轴分别交于Ｐ；Ｑ两点；且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜； 则Ｌ的方程是（ ）Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点；则该点的坐标是 A （-2；1） B （2；1） C （1；-2） D （1；2）8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1；直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3；则必有 A. k 1<k 3<k 2 B. k 3<k 1<k 2C. k 1<k 2<k 3D. k 3<k 2<k 110.已知A （1；2）、B （-1；4）、C （5；2）；则ΔABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为（ ）（A ）x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0选择题答题表 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题（本大题共4小题；每小题5分；共30分）11线过原点且倾角的正弦值是54；则直线方程为 . 12已知点)4,5(-A 和),2,3(B 则过点)2,1(-C 且与B A ,的距离相等的直线方程为 . 13过点Ｐ（１；２）且在Ｘ轴；Ｙ轴上截距相等的直线方程是 . 14直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是 . 15原点Ｏ在直线Ｌ上的射影为点Ｈ（－２；１）；则直线Ｌ的方程为 . 16mx ＋ny ＝1（mn ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为 . 三、解答题（本大题共3小题；每小题10分；共40分） 17若N a ∈；又三点A(a ；0)；B （0；4+a ）；C （1；3）共线；求a 的值.18直线062=++y ax 和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直；求a 的值.19 ①求平行于直线3x+4y-12=0；且与它的 距离是7的直线的方程;②求垂直于直线x+3y-5=0； 且与点P(-1；0)的距离是1053的直线的方程.20线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点；求实数m 的值.参考答案：1.A ；2.B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.D ；7.A ；8.C ；9.A ；10.A. 11. x y 34±=;12.x+y-3=0或2x-y=0;14261; 15．-y+5=0; 16．mn21 17．点共线说明AC AB k k =；即可求出a18．示：斜率互为负倒数；或一直线斜率为0；另一直线斜率不存在 19．（1）(2)3x-y+9=0或3x-y-3=0. 20．0或m=-1;。
推荐-高一数学单元测试卷——第三章数列1 精品
高中45分钟过关检测第三章检测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.某数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列为A.常数列B.公差为零的等差数列C.公比为1的等比数列D.这样的数列不存在2.设等差数列{a n }的公差为d ，若它的前n 项和S n =－n 2，则A.a n =2n －1,d =－2B.a n =2n －1,d =2C.a n =－2n +1,d =－2D.a n =－2n +1,d =23.公差不为零的等差数列的第2，3，6项组成等比数列，则公比为A.1B.2C.3D.44.已知{a n }是等比数列，且a n ＞0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5等于A.5B.10C.15D.205.已知数列1111211110,,10,10n ，…，它的前n 项的乘积大于100000，则正整数n 的最小值是A.8B.10C.11D.126.在等差数列{a n }中，a 18=95,a 32=123,a n =199，则n 等于A.78B.74C.70D.667.设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13，且a 1＞0,S n 为其前n 项之和，则S n 中最大的是A.S 21B.S 20C.S 11D.S 10 8.已知{a n }的前n 项和S n =1－5+9－13+17－21+…+(－1)n －1·(4n －3)，则S 15+S 22－S 31的值为A.13B.－76C.46D.769.一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和为80，所有项之和是210，则项数n 是A.12B.14C.16D.1810.等差数列{a n }中，前2m 项之和S 2m =100，且a m +1+a m +2+…+a 3m =200，则a m +1+a m +2+…+a 2m 等于A.50B.75C.100D.12511.某人于2000年7月1日去银行存款a 元，存的是一年定期储蓄，计划2001年7月1日将到期存款的本息一起取出再加a 元之后还存一年定期储蓄，此后每年的7月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款.设银行一年定期储蓄的年利率r 不变，则到2018年7月1日他将所有的存款和本息全部取出时，取出的钱共为A.a (1+r )4元B.a (1+r )5元C.a (1+r )6元D.ra ［(1+r )6－(1+r )］元 12.若{a n }的通项公式为a n =nn 2，则前n 项和为 A.S n =1－n21 B.S n =2－n n n 2211+- C.S n =n (1－n 21) D.S n =2－n n n 2211-- 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知等差数列{a n }的公差不为0，且a 1,a 2,a 4成等比数列，则842421a a a a a a ++++=__________. 14.已知等比数列前三项和为80，前六项和为6560，则此数列的公比为__________.15.在等差数列{a n }中，已知公差d =5，前20项的和S 20=400,则(a 22+a 42+…+a 218)－(a 12+a 32+…+a 192)=__________.16.设{a n }是正数组成的数列，其前n 项之和为S n ，并且对所有正整数n ,a n 和1的等差中项等于S n 和1的等比中项，则{a n }的前三项是__________.三、解答题(本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是8，第二个数与第三个数的和是4，求这四个数.18.(本小题满分12分)某房地产公司推出的售房有两套方案：一种是分期付款的方案，当年要求买房户首付3万元，然后从第二年起连续十年，每年付款8000元；另一种方案是一次性付款，优惠价为9万元，若一买房户有现金9万元可以用于购房，又考虑到另有一项投资年收益率为5%，他该采用哪种方案购房更合算？请说明理由.(参考数据1.189≈1.551，1.1810≈1.628)19.(本小题满分14分)某林场原有森林木材量为a ，木材以每年25%的增长率生成，而每年要砍伐的木材量为x ，为使经过20年木材存有量翻两番(即4倍)，求每年砍伐量x (lg2=0.3).参考答案一、1.C 2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.B 8.C 9.B 10.B 11.D 12.D二、13.21 14.333 15.2000 16.1,3,5 三、17.－1，1，3，918.解：如果分期付款，到第十一年付清后看其是否有结余，设首次付款后第n 年的结余数为a n ，∵a 1=(9－3)×(1+0.5%)－0.8=6×1.18－0.8a 2=(6×1.18－0.8)×1.18－0.8=6×1.182－0.8×(1+1.18)……a 10=6×1.1810－0.8(1+1.18+…+1.189)=6×1.1810－0.8×105.1105.110-- =6×1.1810－16×(1.1810－1)=16－10×1.1810≈16－16.28=－0.28(万元)所以一次性付款合算.19.解：依题意得各年末木材存有量如下： 第一年：45a －x ， 第二年：a (45)2－x (1+45) ……第二十年：a (45)20+4x －4x (45)20 于是：a (45)20+4x －4x (45)20=4a 令y =(45)20,而lg2=0.3 即x =338a ，故每年砍伐量为338a .。
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高一数学第三章《数列》单元测试卷新人教A版必修5 高一数学《数列》单元测试卷班级:_____________ 姓名: 一、选择题(每小题5分,共60分)81524的一个通项公式是 1、数列,1,,,,,？5793n，nn(n，3)nn A( B( a,(,1)a,(,1)nn2n，12n，12n(n，2)(n，1),1nn C( D(a,(,1) a,(,1)nn2n，12n,12*2、已知数列,,的通项公式,则等于( ). aa,n,3n,4(n,N)ann4A 、 1B 、2 C、 3 D、 0 3、在等比数列中,则( ) a,{a}a,,16,a,8,7n14A、 B、 C 、 D 、 ,4,4,2,24、已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则等于( ) {a}aaaan3142A 、 ,4 B 、 C 、 D 、 ,6,8,105、等差数列{a}中，公差那么使前项和最大的值为( ) d,0,S||||,aa,nnn39nA、5 B、6 C、 5 或6 D、 6或7aS5596、等差数列的前项和，已知( )( S{a}n,,,则nnaS9351 A(1 B(,1 C(2 D( 2A4n，2an137、若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别为A 、B，且满足，则的值为( ) ,nnnnB5n,5b13n5160197A) (B) (C) (D) (6051208用心爱心专心 1122的四个根组成一个首项为的等差数列，则 8、已知方程(x,2x，m)(x,2x，n),0m,n,4313A、1 B、 C、 D、 4289、若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100?，最大角为140?，这个凸多边形的边数为A(6 B( C(10 D(12 8n222210、若是等比数列,前n项和,则 aS,,21aaaa，，，，,,,nn123n1n2n2 A.B. (21),,(21)31nnC. D. 41,,(41)3*11、数列{a}前n项和是S，如果S,3，2a(n?N)，则这个数列是 nnnnA(等比数列 B(等差数列C(除去第一项是等比 D(除去最后一项为等差 12、等比数列中,,aa=9,则( ) aa,0loglogloglogaaaa，，，,,,，,56,,nn313233310A.12B.10C.8D. 2log5，3二、填空题(每小题5分,共20分)13、在,9和3之间插入n个数，使这n，2个数组成和为,21的等差数列，则n,_______(14、在等差数列{a}中，已知 aaaaaaS，，,，，,,15,78,155,n12312nnnn,,则 n,___________________.,,15、已知数列满足，=1，则= aaan,，aannn，11n2x16、已知 fx(),,x，1111则 ffffff()()()(1)(2)(2008)____________.，，，，，，，,200820072三、解答题(共70分)17、(本小题满分10分)等比数列a中前n项和为S,S,2,S,6,求aaaa，，，的值. ,,nn4817181920用心爱心专心 218、(本小题满分12分)有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数。
高一数学第三章单元测试AnlAUH
高一数学第三章单元测试（本章测试可用计算器）班级 姓名 学号一、选择题（共5题，每题6分）１．若函数)(x f y =在区间[m,n]上的图象是连续不断的曲线,且方程0)(=x f 在(m, n)内仅有 一个实数根,则)()(n f m f ⋅的值 ( )A ．大于0B ． 小于0C ．等于0D ． 无法判断2．．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长40%，若每年的平均增长率相同（设为x ），则以下结论正确的是（ ）Ａ．%20>x Ｂ．%20<x Ｃ．%20=x Ｄ．x 的大小由第一年的产量确定３．实数c b a ,,是图象连续不断的函数)(x f y =定义域中的三个数，且满足0)()(,<⋅<<b f a f c b a0)()(<⋅c f b f ，则)(x f y =在区间),(c a 上的零点个数为 （ ）Ａ．２ Ｂ．奇数 Ｃ．偶数 Ｄ．至少是２４．某地区的绿化面积每年平均比上一年增长10.4%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则)(x f y =的图象大致为 （ ）５．若方程0=--a x a x 有两个解，则a 的取值范围是（ ）Ａ．),1(+∞ Ｂ．)1,0( Ｃ．（０，∞+） Ｄ．Φ二、填空题（共5题，每题目6分）６．函数2x y =与函数x x y ln =在区间),0(+∞上增长较快的一个是 ． ７．若函数)12(log 221-+=ax x y 在),1(+∞为减函数，则a 的取值范围为 ．８．函数34)(3--=x x x f 的零点个数为 ．９．若已知函数)(x f 的零点在)6.1,5.1(之间，用二分法求近似解，若精确度为0.0001，需要进 行 次等分．１０．某企业生产总值的月平均增长率为p ，则年平均增长率为 ．D C B A三、解答题（共3题，共40分）１１．借助计算器，用二分法求函数x x f lg )(=和xx g 1)(=交点横坐标（精确度０．１）．１２．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？１３．方程02lg 2lg 2=-+-a x a x 的两根均在区间[1，100]内,求a 的取值范围．。
高一数学第三章测试题
高一数学第三章测试题一、选择题：〔此题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、假设0a >,且,m n 为整数,那么以下各式中正确的选项是 〔 〕 A 、m mnna a a ÷= B 、m n m n a a a = C 、()nm m n a a += D 、01n n a a -÷=2、(10)x f x =,那么(5)f = 〔 〕A 、510B 、105C 、lg10D 、lg 5 3、对于0,1a a >≠,以下说法中,正确的选项是 〔 〕①假设M N =那么log log a a M N =；②假设log log a a M N =那么M N =；③假设22log log a a M N =那么M N =；④假设M N =那么22log log a a M N =.A 、①②③④B 、①③C 、②④D 、② 4、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈,那么S T 是 〔 〕 A 、∅ B 、T C 、S D 、有限集 5、函数22log (1)y x x =+≥的值域为 〔 〕A 、()2,+∞B 、(),2-∞C 、[)2,+∞D 、[)3,+∞6、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,那么 〔 〕A 、312y y y >>B 、213y y y >>C 、132y y y >>D 、123y y y >> 7、在(2)log (5)a b a -=-中,实数a 的取值范围是 〔 〕A 、52a a ><或B 、2335a a <<<<或C 、25a <<D 、34a << 8、计算()()22lg 2lg52lg 2lg5++等于 〔 〕A 、0B 、1C 、2D 、3 9、3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是〔 〕A 、52a -B 、2a -C 、23(1)a a -+D 、 231a a --10、假设21025x =,那么10x -等于 〔 〕A 、15B 、15-C 、150D 、162511、某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,那么四年后的价格与原来价格比拟,变化的情况是〔 〕A 、减少7.84%B 、增加7.84%C 、减少9.5%D 、不增不减 12、假设函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍,那么a 的值为〔 〕A B C 、14 D 、12二、填空题：〔此题共4小题,每题5分,共20分,请把答案填写在做题纸上〕13、化简22log (1log (1+= . 14、[]643log log (log 81)的值为 .15、某企业生产总值的月平均增长率为p ,那么年平均增长率为 .16、假设)log 11x =-,那么x = .高中数学第三章测试题做题卷班级 姓名 学号 成绩13、 14、 15、 16、 三、解做题：〔此题共5小题,共70分,解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.〕 17、化简或求值：〔14分〕〔1〕2； 〔2〕()281lg500lg lg 6450lg 2lg552+-++18、由于电子技术的飞速开展,计算机的本钱不断降低,假设每隔5年计算机的价格降低13,问现在价格为8100元的计算机经过15年后,价格应降为多少？〔12分〕19、225x x -+=,求〔1〕44x x -+；〔2〕88x x -+〔14分〕20、21()log 1xf x x+=-〔14分〕 〔1〕求()f x 的定义域； 〔2〕求使()0f x >的x 的取值范围.21、判断函数)()lg f x x =的奇偶性、单调性.〔16分〕高中数学第三章测试题参考答案一、选择题：DDDCC CBBBA AA二、填空题：13、3214、0 15、12(1)1p +- 161三、解做题： 17、〔1〕1a - 〔2〕52 18、2400元 19、〔1〕23 〔2〕110 20、〔1〕(1,1)- 〔2〕(0,1) 21、奇函数,函数是减函数.。
高考数学一轮复习 第三章 单元测试卷
第三章 单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求) 1．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为3x －y ＋1＝0，则( ) A ．f ′(x 0)＜0 B ．f ′(x 0)＞0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在答案 B 2．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则实数a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2答案 D 解析 ∵y ＝x ＋1x －1＝x －1＋2x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2x －12，∴曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝3＝－12. 由题意知ax ＋y ＋1＝0的斜率为k ′＝2，∴a ＝－2，故选D. 3．函数y ＝x e x的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]答案 A解析 令y ′＝e x (1＋x )≥0，又e x>0，∴1＋x ≥0，∴x ≥－1，故选A. 4．若三次函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( ) A ．a ≤0 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a ＝13答案 A解析 y ′＝3ax 2－1，由y ′≤0，得3ax 2－1≤0.∴a ≤0.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－1≤x ≤0，cos x 0<x ≤π2，则f (x )d x ＝( )A.12 B ．1 C ．2 D.32答案 D6．若函数f (x )＝2x＋ln x ，且f ′(a )＝0，则2aln2a＝( ) A ．1 B ．－1 C ．－ln2 D ．ln2答案 B解析 f ′(x )＝2x ln2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln2＋1a ＝0，得2a ln2＝－1a，则a ·2a ·ln2＝－1，即2a ln2a＝－1.7．已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝12x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤2B ．m >2C ．m ≤－12D ．m >－12答案 B解析 因为函数f (x )＝e x－mx ＋1的图像为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝12x 垂直的切线，即说明e x－m ＝－2有解，∴m ＝e x＋2，则实数m 的取值范围是m >2，故选B.8．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在(12，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1，＋∞)C ．[0,3]D ．[3，＋∞)答案 D解析 由条件知f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在(12，＋∞)上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在(12，＋∞)上恒成立．∵函数y ＝1x 2－2x 在(12，＋∞)上为减函数，∴y max <1122－2×12＝3.∴a ≥3.故选D.9．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图像的一部分如图所示，则( )A ．f (x )的极大值为f (3，极小值为f (－3)B ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)C ．f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)D ．f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3) 答案 D解析 由函数y ＝x ·f ′(x )的图像可知，x ∈(－∞，－3)，f ′(x )<0，f (x )单调递减； x ∈(－3,3)，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x ∈(3，＋∞)，f ′(x )<0，f (x )单调递减，∴选D.10．若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1答案 A解析 f ′(x )＝1－ln xx2，当x >e 时，f ′(x )<0， 则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )，故选A.11．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有( )A ．0个零点B ．1个零点C ．2个零点D ．3个零点答案 B解析 ∵f ′(x )＝x 2－2ax ，且a >2， ∴当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0， 即f (x )在(0,2)上是单调减函数． 又∵f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0，∴f (x )在(0,2)上恰好有1个零点．故选B.12.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与x 轴相切于原点，且x 轴与函数图像所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－2答案 A解析 方法一：因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的图像与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．因为函数f (x )的图像与x 轴所围成区域的面积为112，所以⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝－112，所以(－14x 4＋13ax 3)| 0a ＝－112，所以a ＝－1或a ＝1(舍去)，故选A.方法二：因为f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，函数f (x )的图像与x 轴相切于原点，所以f ′(0)＝0，即b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2.若a ＝0，则f (x )＝－x 3，与x 轴只有一个交点(0,0)，不符合所给的图像，排除B ；若a ＝1，则f (x )＝－x 3＋x 2＝－x 2(x －1)，与x 轴有两个交点(0,0)，(1,0)，不符合所给的图像，排除C ；若a ＝－2，则所围成的面积为－(－x 3－2x 2)d x ＝(14x 4＋23x 3)＝43≠112，排除D.故选A. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知曲线y ＝－13x 3＋2与曲线y ＝4x 2－1在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为________．答案 12解析 ∵两曲线在x 0处切线互相垂直， ∴(－x 20)·(8x 0)＝－1.∴x 0＝12.14．已知f (x )＝x (1＋|x |)，则f ′(1)·f ′(－1)＝________. 答案 9解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ，f ′(x )＝2x ＋1， 则f ′(1)＝3.当x <0时，f (x )＝x －x 2，f ′(x )＝1－2x ，则f ′(－1)＝3，故f ′(1)·f ′(－1)＝9. 15．已知函数f (x )＝ax sin x －32(a ∈R )，若对x ∈[0，π2]，f (x )的最大值为π－32，则(1)实数a 的值为________；(2)函数f (x )在(0，π)内的零点个数为________． 答案 (1)1 (2)2解析 因为f ′(x )＝a (sin x ＋x cos x )，当a ≤0时，f (x )在x ∈[0，π2]上单调递减，最大值f (0)＝－32，不适合题意，所以a >0，此时f (x )在x ∈[0，π2]上单调递增，最大值f (π2)＝π2a －32＝π－32，解得a ＝1，符合题意，故a ＝1.f (x )＝x sin x －32在x ∈(0，π)上的零点个数即为函数y ＝sin x ，y ＝32x的图像在x ∈(0，π)上的交点个数．又x ＝π2时，sin π2＝1>3π>0，所以两图像在x ∈(0，π)内有2个交点，即f (x )＝x sin x －32在x ∈(0，π)上的零点个数是2.16．若对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1; ②y ＝3x －2(sin x －cos x )； ③y ＝e x＋1; ④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________． 答案 ②③解析 因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，即(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0， 所以函数f (x )在R 上是增函数．由y ′＝－3x 2＋1>0，得－33<x <33，即函数在区间(－33，33)上是增函数，故①不是“H 函数”；由y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin(x ＋π4)≥3－22>0恒成立，所以②为“H 函数”；由y ′＝e x>0恒成立，所以③为“H 函数”；由于④为偶函数，所以不可能在R 上是增函数，所以不是“H 函数”．综上可知，是“H 函数”的有②③.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间．答案 (1)a ＝12，b ＝1 (2)单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)解析 (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b x.又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝x ＋1x －1x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值所以函数y ＝f (x )18．(本题满分12分) 已知函数f (x )＝12x 2－m ln x .(1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是单调递增的，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值． 答案 (1)m ≤14 (2)最大值e 2－42，最小值1－ln2解析 (1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0在(12，＋∞)上恒成立．而f ′(x )＝x －m x ，即m ≤x 2在(12，＋∞)上恒成立，即m ≤14.(2)当m ＝2时，f ′(x )＝x －2x ＝x 2－2x.令f ′(x )＝0，得x ＝± 2.当x ∈[1，2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，e)时，f ′(x )>0，故x ＝2是函数f (x )在[1，e]上唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (2)＝1－ln2.又f (1)＝12，f (e)＝12e 2－2＝e 2－42>12，故f (x )max ＝e 2－42.19．(本题满分12分)(2014·江西理)已知函数f (x )＝(x 2＋bx ＋b )·1－2x (b ∈R )． (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上单调递增，求实数b 的取值范围．答案 (1)极小值为0，极大值为4 (2)(－∞，19]解析 (1)当b ＝4时，f ′(x )＝－5x x ＋21－2x ，由f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝0.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,0)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 故f (x )当x ＝－2时取得极小值f (－2)＝0， 在当x ＝0时取得极大值，f (0)＝4. (2)f ′(x )＝－x [5x ＋3b －2]1－2x，因为当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，－x 1－2x＜0，依题意当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，有5x ＋(3b －2)≤0， 从而53＋(3b －2)≤0.所以实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，19. 20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝(x －a )2＋(ln x －a )2. (1)求函数f (x )在A (1,0)处的切线方程；(2)若g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (3)证明：g (x )≥12.答案 (1)y ＝x －1 (2)a ≥－2 (3)略 解析 (1)因为f ′(x )＝1x，所以f ′(1)＝1.故切线方程为y ＝x －1. (2)g ′(x )＝2(x －a x ＋ln xx－a )， 令F (x )＝x －a x ＋ln xx－a ，则y ＝F (x )在[1，＋∞)上单调递增． F ′(x )＝x 2－ln x ＋a ＋1x2，则当x ≥1时，x 2－ln x ＋a ＋1≥0恒成立， 即当x ≥1时，a ≥－x 2＋ln x －1恒成立．令G (x )＝－x 2＋ln x －1，则当x ≥1时，G ′(x )＝1－2x2x<0，故G (x )＝－x 2＋ln x －1在[1，＋∞)上单调递减． 从而G (x )max ＝G (1)＝－2. 故a ≥G (x )max ＝－2.(3)证明：g (x )＝(x －a )2＋(ln x －a )2＝2a 2－2(x ＋ln x )a ＋x 2＋ln 2x ，令h (a )＝2a 2－2(x ＋ln x )a ＋x 2＋ln 2x ，则h (a )≥x －ln x22.令Q (x )＝x －ln x ，则Q ′(x )＝1－1x ＝x －1x，显然Q (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则Q (x )min ＝Q (1)＝1. 则g (x )＝h (a )≥12.21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ln(x ＋m )＋2x 2在点P (0，f (0))处的切线方程与直线x ＋y ＝0垂直．(1)若∀x 1>x 2>－m ，f (x 1)－f (x 2)>a (x 1－x 2)恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当x >0时，求证：ln(x ＋1)＋2x 2>12(9x －5)．答案 (1)(－∞，0] (2)略解析 (1)函数f (x )的定义域为(－m ，＋∞)．f ′(x )＝1x ＋m ＋4x ，故函数f (x )在点P (0，f (0))处的切线斜率k ＝f ′(0)＝1m ＝1，即1m＝1，解得m ＝1.故f (x )＝ln(x ＋1)＋2x 2.由f (x 1)－f (x 2)>a (x 1－x 2)，得f (x 1)－ax 1>f (x 2)－ax 2. 故由题意可得g (x )＝f (x )－ax 在(－1，＋∞)上为增函数． 故g ′(x )＝f ′(x )－a ≥0在(－1，＋∞)上恒成立，即1x ＋1＋4x －a ≥0在(－1，＋∞)上恒成立． 故a ≤1x ＋1＋4x 在(－1，＋∞)上恒成立． 设p (x )＝1x ＋1＋4x ＝1x ＋1＋4(x ＋1)－4， 因为x ＋1>0，所以1x ＋1＋4(x ＋1)－4≥21x ＋1×4x ＋1－4＝0.所以实数a 的取值范围是(－∞，0]． (2)设h (x )＝ln(x ＋1)＋2x 2－12(9x －5)．则h ′(x )＝1x ＋1＋4x －92＝2＋8x x ＋1－9x ＋12x ＋1＝8x 2－x －72x ＋1＝8x ＋7x －12x ＋1，令h ′(x )＝0，解得x ＝－78或x ＝1.故当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，函数h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，函数h (x )单调递增．所以函数h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (1)＝ln(1＋1)＋2×12－12×(9×1－5)＝ln2>0.故h (x )>0，即ln(x ＋1)＋2x 2－12(9x －5)>0，也就是ln(x ＋1)＋2x 2>12(9x －5)．22．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数．(1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求实数a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论． 答案 (1)a >e (2)a ＝1e 或a ≤0时，f (x )有1个零点；0<a <1e 时，f (x )有2个零点解析 (1)f ′(x )＝1x－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立，则a ≥1x，x ∈(1，＋∞)，故a ≥1.g ′(x )＝e x －a ，若1≤a ≤e，则g ′(x )＝e x－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立．此时，g (x )＝e x －ax 在(1，＋∞)上是单调增函数，无最小值，不合题意；若a >e ，则g (x )＝e x －ax 在(1，ln a )上是单调减函数，在(ln a ，＋∞)上是单调增函数，g (x )min ＝g (ln a )，满足题意．故实数a 的取值范围为a >e.(2)g ′(x )＝e x－a ≥0在(－1，＋∞)上恒成立，则a ≤e x， 故a ≤1e ，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)．①若0<a ≤1e ，令f ′(x )>0得单调递增区间为(0，1a )；令f ′(x )<0得单调递减区间为(1a，＋∞)．当x →0时，f (x )→－∞；当x →＋∞时，f (x )→－∞； 当x ＝1a 时，f (1a )＝－ln a －1≥0，当且仅当a ＝1e 时取等号．故当a ＝1e 时，f (x )有1个零点；当0<a <1e 时，f (x )有2个零点．②若a ＝0，则f (x )＝－ln x ，易知f (x )有1个零点． ③若a <0，则f ′(x )＝1x－a >0在(0，＋∞)上恒成立，即f (x )＝ln x －ax 在(0，＋∞)上是单调增函数， 当x →0时，f (x )→－∞；当x →＋∞时，f (x )→＋∞. 此时，f (x )有1个零点．综上所述，当a ＝1e 或a ≤0时，f (x )有1个零点；当0<a <1e时，f (x )有2个零点．。
高一数学第三章数列单元测试一 试题
高一数学第三章数列单元测试一●试题详解说明：本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入题后括号内，第二卷可在各题后直接答题．一共100分，考试时间是是90分钟．第一卷〔选择题一共30分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题3分，一共30分〕1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为〔〕A．34 B．35 C．36 D．37考察等差数列的应用．【解析】观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等差数列，公差为11，数a n=110+〔n－1〕·11=11n+99，由a n≤500，解得n≤36．4，n∈N*，∴n≤36．【答案】C2．在数列{an}中，a1=1，an+1=an2－1〔n≥1〕，那么a1+a2+a3+a4+a5等于〔〕A．－1 B．1 C．0 D．2考察数列通项的理解及递推关系．【解析】由：a n+1=a n2－1=〔a n+1〕〔a n－1〕，∴a2=0，a3=－1，a4=0，a5=－1．【答案】A3．{an}是等差数列，且a1+a4+a7=45，a2+a5+a8=39，那么a3+a6+a9的值是〔〕A ．24B ．27C ．30D ．33考察等差数列的性质及运用．【解析】a 1+a 4+a 7，a 2+a 5+a 8，a 3+a 6+a 9成等差数列， 故a 3+a 6+a 9=2×39－45=33． 【答案】D4．设函数f 〔x 〕满足f 〔n+1〕=2)(2nn f +〔n ∈N*〕且f 〔1〕=2，那么f 〔20〕为〔 〕A ．95B ．97C ．105D ．192考察递推公式的应用．【解析】f 〔n +1〕－f 〔n 〕=2n ⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯=-⨯=-⨯=-1921)19()20( 221)2()3(121)1()2(f f f f f f相加得f 〔20〕－f 〔1〕=21〔1+2+…+19〕⇒f 〔20〕=95+f 〔1〕=97． 【答案】B5．等差数列{an}中，a1=－6，an=0，公差d ∈N*，那么n 〔n ≥3〕的最大值为〔 〕 A ．5B ．6C ．7D ．8考察等差数列的通项．【解析】a n =a 1+〔n －1〕d ，即－6+〔n －1〕d =0⇒n =d6+1 ∵d ∈N *，当d =1时，n 取最大值n =7． 【答案】C6．设an=－n2+10n+11，那么数列{an}从首项到第几项的和最大〔 〕 A ．第10项B ．第11项C ．第10项或者11项D ．第12项考察数列求和的最值及问题转化的才能．【解析】由a n=－n2+10n+11=－〔n+1〕〔n－11〕，得a11=0，而a10>0，a12<0，S10=S11．【答案】C7．等差数列{an}的公差为正数，且a3·a7=－12，a4+a6=－4，那么S20为〔〕A．180 B．－180 C．90 D．－90考察等差数列的运用．【解析】由等差数列性质，a4+a6=a3+a7=－4与a3·a7=－12联立，即a3，a7是方程x2+4x －12=0的两根，又公差d>0，∴a7>a3⇒a7=2，a3=－6，从而得a1=－10，d=2，S20=180．【答案】A8．现有200根一样的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为〔〕A．9 B．10 C．19 D．29考察数学建模和探究问题的才能．【解析】1+2+3+…+n<200，即2)1(-nn<200．显然n=20时，剩余钢管最少，此时用去22019⨯=190根．【答案】B9．由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1+a4， a2+a5， a3+a6…是〔〕A．公差为d的等差数列B．公差为2d的等差数列C．公差为3d的等差数列D．非等差数列考察等差数列的性质．【解析】〔a2+a5〕－〔a1+a4〕=〔a2－a1〕+〔a5－a4〕=2d．〔a3+a6〕－〔a2+a5〕=〔a3－a2〕+〔a 6－a 5〕=2d ．依次类推．【答案】B10．在等差数列{an}中，假设S9=18，Sn=240，an －4=30，那么n 的值是〔 〕 A ．14B ．15C ．16D ．17考察等差数列的求和及运用．【解析】S 9=2)(991a a +=18⇒a 1+a 9=4⇒2〔a 1+4d 〕=4． ∴a 1+4d =2，又a n =a n －4+4d ．∴S n =2)(1n a a n +=16n =240．∴n =15． 【答案】B第二卷〔非选择题 一共70分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分〕11．在数列{an}中，a1=1，an+1=22+n na a 〔n ∈N*〕，那么72是这个数列的第_________项．考察数列概念的理解及观察变形才能．【解析】由得11+n a =n a 1+21，∴{n a 1}是以11a =1为首项，公差d =21的等差数列． ∴n a 1=1+〔n －1〕21，∴a n =12+n =72，∴n =6． 【答案】612．在等差数列{an}中，S100=10，S10=100，那么S110=_________． 考察等差数列性质及和的理解．【解析】S 100－S 10=a 11+a 12+…+a 100=45〔a 11+a 100〕=45〔a 1+a 110〕=－90⇒a 1+a 110=－2．S 110=21〔a 1+a 110〕×110=－110．【答案】－11013．在－9和3之间插入n 个数，使这n+2个数组成和为－21的等差数列，那么n=_______．考察等差数列的前n 项和公式及等差数列的概念． 【解析】－21=2)39)(2(+-+n ，∴n =5．【答案】514．等差数列{an}，{bn}的前n 项和分别为Sn 、Tn ，假设n nT S =132+n n ，那么1111b a =_________．考察等差数列求和公式及等差中项的灵敏运用．【解】1111b a =2)(212)(212)(2)(211211211211b b a a b b a a ++=++=322112132122121=+⨯⨯=T S ． 【答案】3221 三、解答题〔本大题一一共5小题，一共54分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕15．〔本小题满分是8分〕假设等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少一样的项？考察等差数列通项及灵敏应用．【解】设这两个数列分别为{a n }、{b n }，那么a n =3n +2，b n =4n －1，令a k =b m ，那么3k +2=4m －1．∴3k =3〔m －1〕+m ，∴m 被3整除．设m =3p 〔p ∈N *〕，那么k =4p －1． ∵k 、m ∈［1，100］．那么1≤3p ≤100且1≤p ≤25． ∴它们一共有25个一样的项．16．〔本小题满分是10分〕在等差数列{an}中，假设a1=25且S9=S17，求数列前多少项和最大．考察等差数列的前n 项和公式的应用． 【解】∵S 9=S 17，a 1=25，∴9×25+2)19(9-⨯d =17×25+2)117(17-d 解得d =－2，∴S n =25n +2)1(-n n 〔－2〕=－〔n －13〕2+169． 由二次函数性质，故前13项和最大．注：此题还有多种解法．这里仅再列一种．由d =－2，数列a n 为递减数列．a n =25+〔n －1〕〔－2〕≥0，即n ≤13．5．∴数列前13项和最大．17．〔本小题满分是12分〕数列通项公式为an=n2－5n+4，问〔1〕数列中有多少项是负数？〔2〕n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． 考察数列通项及二次函数性质．【解】〔1〕由a n 为负数，得n 2－5n +4<0，解得1<n <4．∵n ∈N *，故n =2或者3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项． 〔2〕∵a n =n 2－5n +4=〔n －25〕2－49，∴对称轴为n =25=2．5 又∵n ∈N *，故当n =2或者n =3时，a n 有最小值，最小值为22－5×2+4=－2． 18．〔本小题满分是12分〕甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m ．〔1〕甲、乙开场运动后，几分钟相遇．〔2〕假如甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开场运动几分钟后第二次相遇？考察等差数列求和及分析解决问题的才能． 【解】〔1〕设n 分钟后第1次相遇，依题意得2n +2)1(-n n +5n =70 整理得：n 2+13n －140=0，解得：n =7，n =－20〔舍去〕 ∴第1次相遇在开场运动后7分钟． 〔2〕设n 分钟后第2次相遇，依题意有：2n +2)1(-n n +5n =3×70 整理得：n 2+13n －6×70=0，解得：n =15或者n =－28〔舍去〕 第2次相遇在开场运动后15分钟．19．〔本小题满分是12分〕数列{an}的前n 项和为Sn ，且满足an+2Sn ·Sn －1=0〔n ≥2〕，a1=21．〔1〕求证：{n S 1}是等差数列；〔2〕求an 表达式；〔3〕假设bn=2〔1－n 〕an 〔n ≥2〕，求证：b22+b32+…+bn2<1． 考察数列求和及分析解决问题的才能．【解】〔1〕∵－a n =2S n S n －1，∴－S n +S n －1=2S n S n －1〔n ≥2〕S n ≠0，∴n S 1－11-n S =2，又11S =11a =2，∴{nS 1}是以2为首项，公差为2的等差数列． 〔2〕由〔1〕n S 1=2+〔n －1〕2=2n ，∴S n =n21当n ≥2时，a n =S n －S n －1=－)1(21-n nn =1时，a 1=S 1=21，∴a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=)2( 1)-(21-)1( 21n n n n〔3〕由〔2〕知b n =2〔1－n 〕a n =n1∴b 22+b 32+…+b n 2=221+231+…+21n <211⨯+321⨯+…+n n )1(1- =〔1－21〕+〔21－31〕+…+〔11-n －n 1〕=1－n1<1．。
高中数学必修1第3章《函数的应用》单元测试
第3章函数的应用（人教实验A版必修1）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列图中函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（）2.若函数y=f(x)在区间［a，b ］上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A.若f(a)f (b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c ∈(a，b)使得f(c)=03.如图，表示某人的体重与年龄的关系，则( )A.体重随年龄的增长而增加B.25岁之后体重不变C.体重增加最快的是15岁至25岁D.体重增加最快的是15岁之前4. 不论m为何值，函数f(x)＝mx＋m2的零点有( )A.2个B.1个C.0个D.不确定5.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)1没有零点的是( )6.图中的图象所表示的函数的解析式为( )A.y＝|x1|(0≤x≤2)B.y＝|x1|(0≤x≤2)C.y＝|x1|(0≤x≤2)D.y＝1|x1|(0≤x≤2)7.在下列区间内，函数+x+5有零点的区间是（）A. B.C. D.8.方程5x＋m=0的两个实根都大于1，则实数m的取值范围是（）A.m<4B.m <C.4<m <D.m∈R9. 下列函数中，随着x的增大，其增大速度最快的是( )A.y ＝B.y＝1 000ln xC.y ＝D.y＝1 000·10.若函数f(x)＝x a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是( )A.{a|a＞1}B.{a|a≥2}C.{a|0＜a＜1}D.{a|1＜a＜2}11.设方程|3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于( )A.1B.2C.3D.412.某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社.在一个月(按30天计算)里，有20天每天卖出量可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，为使每月所获利润最大，这个摊主应每天从报社买进( )份晚报.A.250B.400C.300D.350二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.已知函数f(x)＝＋ax＋a1的两个零点一个大于2，一个小于2，则实数a的取值范围是. 14.1992年底，世界人口已达到54.8亿，若世界人口的年平均增长率为x，2019年底世界人口数为y亿，那么y与x之间的函数关系式为.15.方程的实数根的个数是.16.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①如不超过200元，则不予优惠；②如超过200元但不超过500元，按标价给予9折优惠；③如超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠.某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的商品，则应付款元.三、解答题（共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（12分）设函数f(x)＝＋(b8)x a ab的两个零点分别是3和2；(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域.18.(12分)为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x(cm)40.0 37.0课桌高度y(cm)75.0 70.2必写出x的取值范围).(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？19.（12分）某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为 3 000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？20.（12分）已知函数＋3x6在区间内有零点，用二分法求方程＋3x6=0在区间内的一个实数解的近似值（精确度0.1）.21.(13分)设与分别是实系数方程+bx+c=0和+bx+c=0的一个实数根，且，≠0，≠0，求证：方程+bx+c=0有且仅有一实数根介于与之间.22.(13分)某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：时间t50 110 250成本Q150 108 150取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝＋bt＋c，Q＝a·，Q＝a·；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本.第3章函数的应用（人教实验A版必修1）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13．14．15．16．三、解答题17.18.19.20.21.22．第3章函数的应用（人教实验A版必修1）参考答案1.B 解析：B选项中，在零点的两侧函数值同号，∴不能用二分法求函数的零点.2.C 解析：如图，可知选项C正确.3.D 解析：∵整个函数不是增函数，∴A错；函数在[25，50]上为增函数，故B错；函数在[0，15]上比[15，25]上增长快，故C错，D正确.4.A 解析：令f(x)=0，∵Δ＝4(m2)＝＋4＞0，∴方程mx+m2=0有两个不相等的实根，∴f(x)有两个零点.5.C 解析：把y＝f(x)的图象向下平移一个单位后，只有C图中的图象满足y＝f(x)1与x轴无交点.6.B 解析：取特殊值x＝1，由图象知y＝f(1)＝，据此否定A，D.再取x＝0，由图象知y＝f(0)＝0，据此否定C，故正确选项是B.7.B 解析：f(3)=43<0，f(2)=13<0，f(1)=1>0，f(0)=f(1)=5＞0，由f(2)f(1)<0，知函数f(x)在区间（2，1）内有零点.8.C 解析：设5x m，则对称轴为x=，且抛物线开口向上，所以方程5x m=0的两个实根都大于1⇔即解得4<m<.9.A 解析：增大速度最快的应为指数型函数，又知e≈2.718＞2，故选A.10.A 解析：设函数y＝(a＞0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝x a(a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝(a＞0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0＜a＜1时两函数图象只有一个交点，不符合；当a＞1时，因为函数y＝(a＞1)的图象过点(0，1)，而直线y＝x＋a 所过的点(0，a)一定在点(0，1)的上方，所以函数(a＞1)与y=x a的图象一定有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a＞1}.11.A 解析：在同一坐标系中分别画出函数＝|3|和＝a的图象.如图所示.可知方程解的个数为0，2，3或4，不可能为1.12.B 解析：若设每天从报社买进x(250≤x≤400，x∈N)份晚报，则每月共可销售(20x＋10×250)份，每份可获利润0.10元，退回报社10(x250)份，每份亏损0.15元，建立月利润函数f(x)，再求f(x)的最大值，可得一个月的最大利润.设每天从报社买进x份晚报，每月获得的总利润为y元，则依题意，得y＝0.10(20x＋10×250)0.15×10(x250)＝0.5x＋625，x∈［250，400］.∵函数y=0.5x+625在［250，400］上单调递增，∴当x＝400时，＝825.即摊主每天从报社买进400份晚报时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元.13.(∞，1) 解析：函数f(x)＝＋ax＋a1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f(2)＜0，可求得实数a的取值范围是(∞，1).14.y＝解析：1年后，世界人口数为54.8(1＋x)；2年后，世界人口数为54.8(1＋x)(1＋x)＝；3年后，世界人口数为(1＋x)＝；…；19年后,即2019年底，世界人口数为y＝.15.2 解析：如图，因为函数与函数的图象有２个交点，所以方程有２个实数根.16.560.4 解析：设消费金额为x元，应付款为y元，由题意可知，y＝当200＜x≤500时，180＜y≤450；当x＞500时，y＞450.因为168＜180，所以第一次购物的消费金额为168元.因为180＜423＜450，所以第二次购物的消费金额为＝470(元).所以两次的消费金额为x＝168＋470＝638＞500，所以若他只去一次购买同样的商品，则应付款y＝0.8×(638－500)＋0.9×500＝560.4(元).17.解：(1)∵f(x)的两个零点分别是－3和2，∴函数图象过点(－3，0)，(2，0)，∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①4a＋2(b－8)－a－ab＝0，②①②得b＝a＋8.③③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即＋3a＝0.∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5.∴f(x)＝－－3x＋18.(2)由(1)得f(x)＝－－3x＋18＝－3＋18，其图象开口向下，对称轴是直线x＝－.∴函数f(x)在［0，1］上为减函数.∴＝f(1)＝12，＝f(0)＝18，∴函数f(x)的值域是［12，18］.18.解：(1)依题意，由于课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设y＝ax＋b（a≠0），将给出的符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得解得所以y与x的函数关系式是y＝1.6x＋11.(2)配套.理由：将x＝42.0代入(1)中的函数关系式得y＝1.6×42.0＋11＝78.2，因此给出的这套课桌椅是配套的.19.解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为＝12，所以这时可租出88辆车.(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)＝(x－150)－×50.整理得f(x)＝－＋162x－21 000＝－(x－4 2＋307 050.所以，当x＝4 050时，f(x)最大，最大值为f(4 050)＝307 050.即当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元.20.解：f(1)=－1<0，f(2)=4>0，由f(1)f(2)<0，知函数＋3x－6在内有零点，方程＋3x－6=0在内有解.取的中点1.5，f(1.5)≈1.328 43>0.又f(1)<0，由f(1)·f(1.5)<0，知方程＋3x－6=0在内有解.如此下去，得到方程实数解所在的区间的表如下：左端点右端点第1次 1 2第2次 1 1.5第3次 1 1.25第4次 1.125 1.25第5次 1.187 5 1.25因为｜1.25－3x－6=0的一个近似解可以为1.25.21.证明：设f(x)=＋bx＋c，∵＋c=0，＋c=0，即＋c=，＋c=，∴=·=.∵，∴a≠0.又≠0，≠0，∴<0，即<0，故方程f(x)=0在与之间有实数根.若在与之间有两个实数根，则必有>0，矛盾，故方程+bx+c=0有且仅有一实数根介于与之间.22.解：(1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不是单调函数，这与函数Q＝at＋b，Q＝a·，Q＝a·均具有单调性不符，所以，在a≠0的前提下，可选取二次函数Q＝＋bt＋c进行描述.（2）把表格提供的三对数据代入＋bt＋c得到解得所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是Q＝t＋.当t＝＝150天时，西红柿种植成本Q最低为Q＝×150＋＝100(元/100 kg).。