线性规划单纯形法
单纯形法与线性规划问题
单纯形法与线性规划问题线性规划是一种优化问题，其基本形式是在给定的约束条件下，使目标函数最大或最小。
这种问题在工业、商业、农业和社会等领域有着广泛的应用。
在解决线性规划问题时，单纯形法是一种经典和常用的算法。
本文将介绍单纯形法和其在线性规划问题中的应用。
一、单纯形法概述单纯形法是一种基于向量空间的方法，其基本思想是沿着可行解空间中的边缘逐步搜索找到最优解。
单纯形法的运算是建立在基向量的概念上，基向量是指满足线性不可约条件的可行解基组成的向量。
单纯形法的步骤如下：1. 构造首行，确定初始基向量。
2. 选择离目标函数最远并且为正的变量，称为入基变量。
3. 选择离约束最近的基变量，称为出基变量。
4. 通过 Gauss-Jordan 消元法计算新的基向量组，确定更新后的基向量。
5. 重复步骤 2-4 直至无法选择入基变量为止。
6. 找到目标函数的最优解。
二、线性规划问题线性规划问题的一般形式如下：$$\max_{x_1,x_2,\dots,x_n\ge0}f(x_1,x_2,\dots,x_n)$$$$\text{s.t.}\begin{cases}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\le b_1\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\le b_2\\\dots\dots\\\end{cases}$$其中，$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 为线性目标函数，$a_{ij}$ 和$b_i$ 均为常数。
三、单纯形法解决线性规划问题1. 转化为标准型单纯形法只能用于标准型的线性规划问题，因此需要将原始问题转化为标准型。
标准型的形式如下：$$\max_{x_1,x_2,\dots,x_n\ge0}\sum_{j=1}^nc_jx_j$$$$\text{s.t.}\begin{cases}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\le b_1\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\le b_2\\\dots\dots\\\end{cases}$$2. 添加松弛变量将约束条件转化为等式形式时需要添加松弛变量，松弛变量是一种关于决策变量的人工变量，其值可以取负数。
单纯形法求解过程
单纯形法求解过程单纯形法是一种经典的线性规划求解方法，它是由乔治·达竞士等人在1947年提出的。
该方法的基本思想是，通过在单纯形空间内不断移动顶点的位置来寻找最优解。
单纯形法是目前广泛应用的线性规划求解方法之一，它求解线性规划问题可大大地简化计算过程。
单纯形法的求解过程包括以下几个步骤：1. 将线性规划问题转化为标准形式线性规划问题的标准形式为：$ \max_{x} \ \ c^T x $$s.t. \ Ax=b$$x\geq 0$其中，$x$是要求解的向量；$b$是一个常数向量；$A$是一个$m\times n$的矩阵；$c$是一个常数向量。
2. 初始化单纯形表因为单纯形法是通过移动顶点来寻找最优解的方法，因此需要初始化单纯形表。
单纯形表是将原始的约束条件表示为不等式形式时形成的。
例如，对于一个带有3个变量的线性规划问题，其单纯形表的形式如下：CB | X1 | X2 | X3 | X4 | RHS----|-----|-----|-----|-----|----0 | a11| a12| a13| 0 | b10 | a21| a22| a23| 0 | b20 | a31| a32| a33| 0 | b31 | z1 | z2 | z3 | 0 | 0其中，CB代表成本系数，X1、X2、X3、X4分别代表变量。
a11、a12、a13等代表矩阵A中的元素，b1、b2、b3代表矩阵b中的元素。
3. 选择进入变量和离开变量在单纯形表中，规定最后一列为等式右边的常数（RHS），即b。
在单纯形法的求解过程中，首先需要选择一个“进入变量”，即在单纯形表的第一行中，寻找一个系数为正的变量，使得将其加入目标函数后，目标函数值可以上升。
这里以X1为例，X1为进入变量。
接着，需要选择一个“离开变量”，即在单纯形表中，寻找一个使得添加X1变量后，约束条件不改变且取得约束条件中系数最小的一个变量离开。
单纯形法
max z = − 3 x1 + x3 + 0x4 + 0x5
化标准型
x1 + x 2 + x 3 + x4 − x5 −2 x1 + x2 − x3 s .t . 3 x2 + x3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5
=4 =1 =9 ≥0
max z = − 3 x1 + x3 + 0x4 + 0x5 − Mx6 − Mx7
13
单纯形法引例 Max Z=40X1 +50X2 X1 +2X2 +X3 3X1 +2X2 2X2 X1 … X5 ≥0 +X4 =30 =60
+X5 =24
14
解：(1)、确定初始基本可行解 、 B=(P3 P4 P5)=I
Z =0 +40X1+50X2 X3 =30-( X1+ 2X2 ) X4=60-( 3X1+ 2X2) X5 =24 令X1 = X2 =0 X(1) =(0, 0, 30, 60, 24)T Z(1) =0
线性规划的单纯形法
The Simplex Method
1
§4.1 线性规划模型的几种表示
1.标准形式 1.标准形式 max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + … a1j xj+ … + a1n xn a21 x1 + … a2j xj+ … + a2n xn …… am1 x1 + … amj xj + … + amn xn = bm x1 ， … , xj ，… ，xn ≥ 0 = b1 = b2
单纯形法的计算步骤
变量作为换出变量。
L
min
bi
aik
a ik
0
单纯形法旳计算环节
Page 4
③ 用换入变量xk替代基变量中旳换出变量，得到一种新旳基。 相应新旳基能够找出一种新旳基可行解，并相应地能够画出 一种新旳单纯形表。
④ 5）反复3）、4）步直到计算结束为止。
单纯形法旳计算环节
将3化为1
换入列
j
乘
,
x2
,
x3
,
x4
0
Page 1
单纯形法旳计算环节
Page 2
2）求出线性规划旳初始基可行解，列出初始单纯形表。
j
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
单纯形法旳计算环节
Page 3
3）进行最优性检验
假如表中全部检验数 止。不然继续下一步。
，j 则表0中旳基可行解就是问题旳最优解，计算停
单纯形法旳计算环节
例1.8 用单纯形法求下列线性规划旳最优解
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 40
x1
3x2
30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为原则型，加入松驰变量x3、x4则原则型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
x1
3x2
x4
30
x1
以
1/3 后
j
得
到
j
30 5/3 0 10 1/3 1
5/3 0
18 1
0
40
1
0
0
Page 5
bi /ai2，ai2>0
运筹学单纯形法
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
线性规划与单纯形法
线性规划与单纯形法线性规划（Linear Programming）是一种在资源有限的情况下，通过最优化目标函数来确定最佳解决方案的数学优化方法。
而单纯形法（Simplex Method）则是一种常用的求解线性规划问题的算法。
本文将介绍线性规划与单纯形法的基本概念和运算步骤，以及实际应用中的一些注意事项。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本思想是在一组线性不等式约束条件下，通过线性目标函数的最小化（或最大化）来求解最优解。
其中，线性不等式约束条件可表示为：```a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b```其中，x1、x2、...、xn为决策变量，a1、a2、...、an为系数，b为常数。
目标函数的最小化（或最大化）可表示为：```min(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```或```max(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```其中，c1、c2、...、cn为系数。
二、单纯形法的基本思想单纯形法是由乔治·丹尼尔·丹齐格尔（George Dantzig）于1947年提出的求解线性规划问题的算法。
其基本思想是通过逐步迭代改进当前解，直至达到最优解。
三、单纯形法的运算步骤1. 初等列变换：将线性规划问题转化为标准型，即将所有约束条件转化为等式形式，并引入松弛变量或人工变量。
2. 初始化：确定初始可行解。
通常使用人工变量法来获得一个初始可行解。
3. 检验最优性：计算当前基础解的目标函数值，若目标函数值小于等于零，则该基础解即为最优解。
否则，进入下一步。
4. 基本可行解的变换：选择一个入基变量和一个出基变量，并进行基本变换，得到新的基础解。
5. 迭代求解：根据目标函数值是否小于等于零，判断是否达到最优解。
若达到最优解，则算法终止；若未达到最优解，则返回步骤3进行下一轮迭代。
四、单纯形法的实际应用注意事项1. 线性规划问题的约束条件必须是线性的，且可行解集合必须是有界的。
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。
在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。
如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。
线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。
1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。
单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。
单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。
2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。
这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。
对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。
内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。
内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。
4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。
这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。
总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。
希望本文能够对您有所帮助。
单纯形法
四、单纯形法的实现——单纯形表
例1：煤电油例 Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 化为标准型 s.t. 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0 s.t. Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2 +x3 4x1 +5x2 3 x1 +10x2 x1 ,…,x5≥0 +x4 =360 = 200
•
“≥”型约束，减松弛变量；
练习1.3 请将例1.1的约束化为标准型
Maxz = 7 x1 + 12 x 2 ⎧9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 ⎪4 x1 + 5 x 2 ≤ 200 s.t.⎨ 3x1 + 10 x 2 ≤ 300 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
则约束化为
= 360 ⎧9 x1 + 4 x 2 + x3 ⎪4 x + 5 x 2 + x4 = 200 s.t.⎨ 1 3 x1 + 10 x 2 + x5 = 300 ⎪x , x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 5
例4 下面为某线性规划的约束
=1 ⎧ x1 + 2 x2 + x3 ⎪ + x4 = 3 ⎨2 x1 − x2 ⎪ x1 , , x4 ≥ 0 ⎩ 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
解：
本例中， A = ⎡1 2 1 0⎤，A中的2阶可逆子阵有 ⎢ 2 − 1 0 1⎥ ⎦ ⎣
问题：本例的A中一共有几个基？—— 6个。
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一般地，记松弛变量的向量为 X s，则
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bi ≥0
bi < 0
≤ =≥
maxZ
minZ
约 束
xs xa
求 解
图 解 法、 单 纯 形 法
单 纯 形 法
不
令xj = xj′令 x j″ 处 xj’ = -xj
不 处 理
理
xj′ ≥0 xj″ ≥0
xj’ ≥0
约 束 条 件 两 端 同 乘 以-1
加 松 弛 变 量 xs
加 入 人 工 变 量 x a
max Z x1 2 x 2 x 3 2 x1 3 x 2 2 x 3 x 4 15 1 s .t x1 x 2 5 x 3 x 5 20 3 x j 0, j 1,2, ,5
不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。
bm 0 1 am,m1 amn m
0
0
3 1
－2
j
x2
1 0
0
17/3 1/3 1 28/9 -1/9 2/3
-98/9 -1/9 -7/3
单纯形法的计算步骤
Page 12
表1-6中所有的 j 都小于或者等于0，表明已经达到了最 优解，因此，现行的基本可行解X=（25，35 /3，0，0，0） T是最优解，Z=95/3是该线性规划的最优值。
减 去 x s, 加 入 xa
不 处 理
令 z′=- Z minZ =－ max z′
0 -M
找出基变量 列出初始单纯形表
求 : j c j ci a j
i 1
m
循环
基变 有某个 否 否 唯一 量中是否 非基变量的 最优解 含有xa j 0
是 是
所有
是
j 0
否
找出 ( j )max即 k
将2化为1，本列的其他值化为0
（表1-5）Cj
cB 0 0 0 基变量 x1 x4 b 2 8 3 2 x1 1 0 0 0 3 x2 0 0 1 0
Paபைடு நூலகம்e 8
换入列
0 x3 1 -4 0 -2 0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/2 2 1/4 1/4 Z=13 θi
换 出 行
4
j
x2
第二步：将第一行加上第二行乘以1/2
② 确定换出变量。根据下式计算并选择θ ，选最小的θ对应基
单纯形法的计算步骤
③
Page 5
用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。 对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出 一个新的单纯形表。
5）重复3）、4）步直到计算结束为止。
单纯形法的计算步骤
将4化为1，本列 的其他值化为0
单纯形法的计算步骤
单纯形表
Page 1
cj
cB
XB
c1 cm
x1 xm
c1 cm cm 1 cn i b x1 xm xm1 xn b1 1 0 a1,m1 a1n 1
bm 0 1 am,m1 amn m
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
例1.10 用大M法解下列线性规划 max Z 3 x1 x 2 x 3
Page 15
x1 2 x 2 x3 11 4 x x 2 x 3 1 2 3 2 x1 x 3 1 x1、x2、x3 0 解：首先将数学模型化为标准形式
j
00 j c j ci aij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解 max Z 2 x1 3 x 2
Page 2
x1 2 x 2 8 4 x1 16 4 x 2 12 x1 , x 2 0 解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4、 x5则标准 型为: max Z 3 x1 4 x 2 0 x 3 0 x4 0 x5
单纯形法的计算步骤
cj
cB 0 0 基变量 x4 b 15 20
Page 11
1
x1 2 1/3
2
x2 -3 1
1
x3 2 5
0
x4 1 0
0
x5 0 1
θi
j
x5
－ 20 25 60
2
0
j
1
2
x2
x1
x4
75 3 20 1/3 1/3
25 35/3
1
0 1 0 0 1
0
2
17 5
－9
1
1 0 0
1 4 0 2
表1-4
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
－1/2 0 1/4 －3/4
x2
j
第二步：将第一行减去第三行乘以2 第一步：将第三行除以4
单纯形法的计算步骤
将4化为0
（表1-4）Cj
cB 0 0 0 基变量 x3 x4 b 2 16 3
Page 7
换入列
2 x1 1 4 0 2 3 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0
2 0 3 x1 x5
4 4 2
1 0 0 0
表1-6
0 0 1 0
0 -2 1/2 -3/2
1/4 1/2 -1/8 -1/8
0 1 0
x2
j
0
第一步：将第二行除以2 第三步：将第三行减去第二行乘以1/4
单纯形法的计算步骤
Page 9
表1-6中所有的 j 都小于或者等于0，表明已经达到了最 优解，因此，现行的基本可行解X=（4，2，0，0，4）T是 最优解，Z=14是该线性规划的最优值。
Page 3
0 1 c1 (0 c3a11 c4a21 c5a31 ) 2 (0 1 0 0 4 0 0) 2 x3 1 x4 0 x5 0
θi
4
0
0
x4
x5
16
12
4
0 2
0
4 3
0
0 0
1
0 0
0
1 0
-3 Z=0
j
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 c5a31 ) 2 (0 1 0 4 0 0) 2
（表1-3）cj
cB 0 0 0 基变量 x3 x4 b 8 16 12
Page 6
换入列
2 x1 1 4 0 2 3 x2 2 0 4 3 0 x3 1 0 0 0
bi /ai2，ai2>0
0 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0 θi
j
x5
4 3
Z=0
换 出 行
0 0 3
x3 x4
2 16 3
x1 2 x 2 x 3 8 4 x1 x4 16 4 x 2 x5 12 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 0
单纯形法的计算步骤
2）求出线性规划的初始基可行解， 列出初始单纯形表。 cj CB 0 XB x3 b 8 2 x1 1 3 x2 2
1
-M-1 -5/3 -2 -7/3 M+2/3
——
j
单纯形法的总结
解的判别：
Page 18
1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非 零,则线 规划具有唯一最优解。 2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为 零,则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。
j >0且aij≤０（i=1，2,…,m）则线 3）无界解判别：某个 性规 划具有无界解。
max Z 3 x1 x 2 x 3 0 x4 0 x5 x1 2 x 2 x 3 x4 11 4 x x 2 x x 3 1 2 3 5 2 x1 x 3 1 x j 0, j 1,2, ,5
Page 17
θi 11 3/2 1
j
→ →
—— 1 —— 4
j
1-3M -5 -2
→
——
-1
3 -1 -1
j
x1 x2 x3 4 1 9
x3
－2
1↑ 1 0 0 0
0
0 0 1 0 0
1
0 0 0 1 0
0
0 1/3 0 2/3 -1/3
0
-1 -2/3 -1 -4/3 -1/3
0
-M+1 2/3 1 4/3 M+1/3
2 c2 (c3a12 c4a22 c5a32 ) 3 (0 2 0 0 0 4) 3
单纯形法的计算步骤
Page 4
3）进行最优性检验 如果表中所有检验数 0 ，则表中的基可行解就是问题 j 的最优解，计算停止。否则继续下一步。 4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解， 列出新的单纯形表
单纯形法的计算步骤
例1.9 用单纯形法求解
max Z x1 2 x 2 x 3 2 x1 3 x 2 2 x 3 15 1 s .t x1 x 2 5 x 3 20 3 x1、x 2、x 3 0
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解：将数学模型化为标准形式：
单纯形法的进一步讨论－人工变量法
cj CB 0 -M -M 0 -M -1 0 -1 XB x4 x6 x7 x4 x6 x3 x4 x2 b 11 3 1 10 1 1 12 1 3 x1 1 -4 -2 3-6M 3 0 -2 1 3 0 -1 x2 -2 1 0 -1+M -2 1 0 -1+M↑ 0 1 -1 x3 1 2 1 -1+3M↑ 0 0 1 0 0 0 0 x4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 x5 0 -1 0 -M 0 -1 0 -M -2 -1 -M x6 0 1 0 0 1 1 0 0 2 1 -M x7 0 0 1 0 -1 -2 1