精讲班第13讲讲义
七年级秋季班-第13讲：分式的运算
通过与分数乘除法类比的过程，总结概括出分式乘除的运算法则．通过具体的练习，掌握分式乘法、除法的运算法则，体会化归与转化的数学思想．重点是分式的四则运算，难点在于异分母分式的加减法．把分式的除法转化为乘法，能正确进行通分，把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减，是本讲内容的关键．1、分式的乘法法则两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示A C ACB D BD⋅=．2、分式的除法法则分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为A C A D ADB D BC BC÷=⋅=．3、分式的乘方法则分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即n nnA AB B⎛⎫=⎪⎝⎭．分式的运算内容分析知识结构模块一：分式的乘除知识精讲2 / 254、分式的乘除混合运算分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．【注意】（1）在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算；（2）要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．例如：211a aa b b b b b ÷⋅=⋅=．【例1】 下列式子中，化简正确的有（ ）．A ．a x a b x b +=+B ．0x y x y +=+C ．22a b a b a b +=++ D ．1x yx y-+-=- 【难度】★ 【答案】D【解析】A 错误，考察分式的基本性质，分子分母同时乘以或除以一个不为零的数，分式值不变；B 错误，正确答案应为1；C 错误，化简不了．【总结】主要考察运用分式的基本性质如何化简． 【例2】 下列计算正确的是（）． A ．233yxy x x÷= B ．2313y x x y x ÷= C ．1x y x y÷⋅=D ．21111a a a a a -⋅=-+ 【难度】★ 【答案】D【解析】A 错误，正确应为：2331133y y xy x x xy x÷=⋅=； B 错误，正确应为：222333393y x y y y x y x x x÷=⋅=；C 错误，正确应为：2111xx y x y y y y÷⋅=⋅⋅=． 【总结】主要考察运用分式的基本性质如何化简．【例3】 若a b s r 、、、都是正数，则式子a b br s-=可变形为（ ）． A ．rb sa s+= B ．asb r s=+ C ．r sa as+=D ．as rb r-=【难度】★例题解析【答案】B【解析】两边同时乘以rs ，可得：()br s b a =-，整理可得：()s r b as +=，则选B 【总结】考察分式的化简．【例4】 计算()222x y x x y x x y++÷⋅+的结果是（ ）． A ．22x x y+B ．2x y +C ．1yD ．11y+ 【难度】★ 【答案】A【解析】()222x y x x y x x y ++÷⋅+()22222x x x x y x y x y x y =+⋅⋅=+++．【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除． 【例5】 化简224252ab bab a b÷⨯，结果是（ ）．A ．215a bB ．2245a bC ．25b aD ．45b【难度】★【答案】A【解析】224252ab b ab a b ÷⨯2224115225ab b ab a b a b =⋅⨯=． 【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除． 【例6】 计算： （1）2238_______32x yz y z x⋅=；（2）2412_______9aab b -⋅=； （3）43_______3xyz z÷=； （4）233_______105y yx x-÷=-． 【难度】★【答案】（1）243z x y ；（2）2163a b-；（3）249xy z ；（4）2x ．【解析】（1）223284323x yz zy z x x y⋅=；（2）224161293a a ab b b -⋅=-；（3）2441433339xy xy xyz z z z z ÷=⋅=； （4）2233351051032y y y x x x x x y --÷=-⋅=-． 【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除．【例7】 计算：（1）211_______x x x ÷=-； （2）()2242_______44a a a a--⋅=+-．【难度】★【答案】（1）x -1；（2）2--a ．【解析】（1）()()211111111x x x x x x x x x x÷=÷=⋅-=---； （2）()()()()()222224222442a a a a a a a a a +---⋅=-⋅=--+--． 【总结】本题主要考察分式的乘除法运算，注意先约分后乘除．【例8】 计算22222662x x x x x x x x --+-÷--+-的结果是___________． 【难度】★★【答案】9122--x x ．【解析】22222662x x x x x x x x --+-÷--+-()()()()()()()()21323221x x x x x x x x -++-=÷-++-()()()()()()()()21213232x x x x x x x x -++-=⋅-++-()()()()1133x x x x +-=-+2219x x -=-．【总结】考察分式的乘除法，当分子分母为多项式时，要先因式分解，再约分． 【例9】 计算：（1）22_______11a aa a ⋅=-+； （2）223_______212x x x x x +÷=++--． 【难度】★★【答案】（1）a a 1-；（2）2342-++x x x ．【解析】（1）()()222221111_______1111a a a a a a a a a a a a a a a+---=÷=⋅=⋅=+-++；（2）()()()()()()2222313343_______21121222x x x x x x x x x x x x x x x ++++++=++⋅=+⋅==--+---．【总结】考察分式的乘除法，当分子分母为多项式时，要先因式分解，再约分．【例10】 先化简，再求值：（1）()232xy x x yx y y x y--÷-⋅+，其中 1.5x =-，2y =； （2）2232232(2)a ab b b a ab b b b ++-+--+，其中12a =，13b =．【难度】★★ 【答案】（1）43；（2）5． 【解析】（1）()232xy x x yx y y x y --÷-⋅+()()()21x y x y x x y x y x y y x y +--=⋅⋅=-+-， 当 1.5x =-，2y =时，原式=4325.1=--； （2）2232232(2)a ab b b a ab b b b ++-+--+()()222322322a b ab b a ab ab b b -++=+--+()()()()222322232a b ab b a ab b ab b-++=-++-()()()()()222a b a b b a b a b b a b +-++=-+-()()()()22a b a b b a b a b b +-+=--+a ba b+=-， 当12a =，13b =，原式=5616531213121==-+．【总结】考察分式的乘除法，当分子分母为多项式时，要先因式分解，再约分．【例11】 若1x x=，求234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭的值． 【难度】★★ 【答案】1±．【解析】234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭()343134x x x x x x x x -+⎛⎫=⋅⋅-= ⎪+-⎝⎭，因为xx 1=，所以1±=x ，所以原式=1±． 【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．【例12】 已知0132=+-a a ，则32232531a a a --++的值是________ 【难度】★★ 【答案】1-．【解析】已知0132=+-a a ，则132-=a a 或a a 312=+，31=+aa （方程两边同时除以a ）． 32232531a a a --++22232531a a a a =⋅--++()223312531a a a a =---++ 222362531a a a a =---++223231a a a =--++2331231a a a =---++2341a a =-++343a a =-+14a a=-+341=-=-． 【总结】本题主要考查分式的变形以及整体代入思想和降次思想的运用．【例13】 已知6a b +=，2ab =-，求代数式()()224466a b a b a b ab +-÷÷-的值．【难度】★★★ 【答案】-2．【解析】()()224466a b a b a b ab+-÷÷-()()()()222216ab a b a b a b a b a b =++-⋅⋅+-()6a b ab +=， 已知6a b +=，2ab =-，所以原式=()2626-=-⨯．【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．【例14】 已知2244450x y x y +-++=，求2442222222x y x y x y x xy y xy y y ⎛⎫--+⋅÷ ⎪+--⎝⎭的值．【难度】★★★【答案】217-．【解析】已知2244450x y x y +-++=，则()()222210x y -++=，所以2=x ，12y =-．2442222222x y x y x y x xy y xy y y ⎛⎫--+⋅÷ ⎪+--⎝⎭()()()()()()()22222222x y x y x y x y y x y x y y x y x y ++--=⋅⋅-+-+22yx y =+，当2=x ，12y =-时，原式=221122217171242-=-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【总结】本题一方面考查非负性的运用，另一方面考查分式的化简求值． 【例15】 已知2310x x --=，求：（1）221x x +；（2）2421x x x ++的值．【难度】★★★ 【答案】（1）11；（2）121． 【解析】已知2310x x --=，则31=-xx （等式两边同时除以x ）， （1）22221123211x x x x ⎛⎫+=-+=+= ⎪⎝⎭，（2）2422211111111121x x x x x ===+++++．【总结】考察分式的变形，这种变形经常用到，因此要彻底理解．1、同分母的分式加减法法则同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 2、异分母的分式加减法法则（1）通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．（2）异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．模块二：分式的加减知识精讲8 / 253、分式的综合运算与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．【例16】 计算：39_______33a b a bab ab++-=--． 【难度】★【答案】a 2．【解析】3962333a b a b b ab ab ab a ++--==---．【总结】考察同分母分式的加减法． 【例17】 下列各式计算错误的是（）． A ．325x y x y ya b a b a b+--=+++ B ．322x y x y x ya b a b a b +-++=+++C ．32x y x y ya b a b a b+++=+++D ．32x y x y ya b a b a b ++-=+++【难度】★ 【答案】C【解析】C 错误，正确答案为3225x y x y x ya b a b a b ++++=+++．【总结】考察同分母分式的加减法． 【例18】 计算：（1）51________1212x x+=； （2）2_______22x x x -=--； （3）22______a b a b a b -=--；（4）33________a b a ba b a b++-=++． 【难度】★ 【答案】（1）12x；（2）1；（3）b a +；（4）b a ba +-22．【解析】（1）51611212122x x x x+==； （2）221222x x x x x --==---； （3）()()2222a b a b a b a b a b a b a b a b a b +---===+----；（4）3322a b a b a ba b a b a b++--=+++． 【总结】考察同分母分式的加减法，注意结果要最简．例题解析【例19】 已知2x =，3y =，则22_______x y x y y x+=--． 【难度】★ 【答案】5．【解析】()()2222235x y x y x y x y x y x y y x x y x y +--+===+=+=----． 【总结】考察同分母分式的加减法，注意结果要最简．【例20】 化简：222m m m ---的结果是_____________．【难度】★【答案】24-m ．【解析】()()222222442222222m m m m m m m m m m m m m -+---=-=-=------．【总结】考察同分母分式的加减法，注意结果要化成最简分式，另外注意符号的变化． 【例21】 求下列分式的最简公分母 （1）22325a b ab abc -，，；（2）()223111x x x x +-，，；（3）2263562x x x x -+--，；（4）2211211a a a a a a a a-+-++-，，．【难度】★【答案】（1）c b a 22；（2）()()11-+x x x ；（3）()()()132+--x x x ；（4）()()211a a a +-．【解析】单项式取字母的最高次数，多项式先进行因式分解彻底，再取各因式的最高次数． 【总结】本题主要考查最简公分母的概念．【例22】 通分：（1）238x y -，3512x yz ，3320xy z-；（2）1(1)x x x +-，21x x -，2221x x -+； （3）2m n mn -，2n m mn -，221m n -；（4）()()1a b a c --，()()1b c b a --，()()1c a c b --．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）22333458120xy z x y x y z -=-，233355012120y x yz x y z =，233331820120x xy z x y z--=；（2）221(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ++-=--+，()()()2221111x x x x x x x -=--+，2222(1)21(1)(1)x x x x x x x +=-+-+； （3）()()()22m m n m n mn mn m n m n -+=-+-，()()()22n m n nm mn mn m n m n +=-+-，()()221mnm n mn m n m n =-+-；（4）()()()()()1b c a b a c a b a c b c -=-----，()()()()()()1a cbc b a a b b c a c --=-----，()()()()()1a bc a c b a b a c b c -=-----．【总结】本题一方面考查最简公分母的概念，另一方面考查利用分式的基本性质进行通分． 【例23】 计算：（1）212293x x +--； （2）2431222x x x x ++----． 【难度】★ 【答案】（1）32+-x ；（2）()()122+-+x x x ． 【解析】（1）()()()()()()22232312212293933333x x x x x x x x x x +-+=-==----+-+-+； （2）2431222x x x x ++----()()4312221x x x x =-+---+ ()()()()()()112212121x x x x x x x x ++=+=-+-+-+．【总结】考察异分母分式的加减法，注意先通分再加减．【例24】 小明上学时从家到学校要走一段上坡路，途中平均速度为m 千米/时，放学回家后， 沿原路返回，平均速度为n 千米/时，则小明上学和放学来回一次路上的平均速度为（ ）千米/时． A ．2m n + B ．2mnm n +C ．mnm n+ D ．m n mn +【难度】★★ 【答案】B【解析】设路程为1，则上坡路的时间为m 1，下坡路的时间为n1，所以小明上学和放学来回一次路上的平均速度为nm mnnm +=+2112 【总结】本题主要考察分式运算在实际问题中的应用，本题注意对平均速度的理解．【例25】 计算：（1）32231131x x x x x x x -+⋅----；（2）22424422x x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-+--⎝⎭； （3）2331()y x y x y x x y x y ⎛⎫÷-÷ ⎪--⎝⎭；（4）()222211121a a a a a a +-÷+---+； （5）22321113x x x x x x x +++-⋅--+；（6）221369324a a a a a a a +--+-÷-+-． 【难度】★★【答案】（1）x ；（2）()22x x+；（3）0；（4）1-；（5）11x --；（6）33a -． 【解析】（1）32231131x x x xx x x -+⋅----()()()2231113111x x x x x x x x x x x x -+=⋅-=-+----- ()2111x x x x x x x --===--； （2）22424422x x x x x x x ⎛⎫-+-÷ ⎪-+--⎝⎭()()()2222222x x x xx x x ⎡⎤+-+=-÷⎢⎥---⎢⎥⎣⎦()()22222222222x x x x x x x x xx x x ++++--⎛⎫=+⋅=⋅= ⎪---⎝⎭； （3）2331()y x y x y x x y x y ⎛⎫÷-÷ ⎪--⎝⎭()233323330()y y y y y x y x x x x y x x =⋅-⋅-=-=-； （4）()222211121a a a a a a +-÷+---+()()()()2211112111111111a a a a a a a a a a a ++-+-=⋅-=-==--+----； （5）22321113x x x x x x x +++-⋅--+()()()213111113111x x x x x x x x x x x x +++=-⋅=-=---++---；（6）221369324a a a a a a a +--+-÷-+-()()()()()()2232213133222323a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+-=-÷=-⋅-++--+- 123333a a a a a +-=-=---．【总结】考察分式的加减法运算，注意分子分母中含有多项式时，要先进行因式分解．【例26】 若()()211212x A Bx x x x +=+++++恒成立，则_________A B +=．【难度】★★ 【答案】2． 【解析】若()()211212x A Bx x x x +=+++++恒成立，则()()()()()()()()()()()2122112121212A x B x A B x A B x x x x x x x x x ++++++=+=++++++++恒成立， 则⎩⎨⎧=+=+122B A B A ，所以2=+B A ．【总结】考察分式的加减法，注意先通分再加减．【例27】 已知111a b a b +=+，则b aa b +的值是__________．【难度】★★ 【答案】-1． 【解析】已知111a b a b +=+，则ba ab b a +=+1，可得()ab b a =+2，即ab b a -=+22， 所以122-=+=+abb a b a a b ．【总结】考察异分母分式的加减法和分式的变形运用．【例28】 已知1ab =，1111M a b =+++，11a b N a b=+++，则M 与N 的大小关系是 （）．A ．M N =B ．M N >C ．M N <D ．不确定【难度】★★ 【答案】A 【解析】N M -111111a b a b a b ⎛⎫=+-+ ⎪++++⎝⎭1111a b a b --=+++()()()()()()111111a b b a a b -++-+=++ ()()1111b a ab a b aba b +--++--=++221ab ab a b -=+++0=，所以M N =． 【总结】本题主要考察分式的比较大小．【例29】 若分式M 满足()22224222y x yM x y x xy y x xy y +⋅++=----，求M 的值． 【难度】★★【答案】()21y x +．【解析】∵()22224222y x yM x y x xy y x xy y +⋅++=----， ∴()22222422x y y M x y x xy y x xy y +⋅+=-----2222x y x xy y -=--()()22x yx y x y -=-+1x y=+， ∴()21M x y =+．【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意法则的准确运用．【例30】 先化简，后求值：22222222m mn m n mnm n m mn n m n n m -+-+-+++，其中1132m n =-=，． 【难度】★★ 【答案】-2．【解析】22222222m mn m n mn m n m mn n m n n m -+-+-+++()()()()()2=m m n m n mn m n m n mn m n m n -+-+-+++ 11m mm n m n m n m n=-+=++++， 当1132m n =-=，，原式26131213131-=-=+--=． 【总结】本题主要考查分式的加减运算，注意法则的准确运用．【例31】 计算：2411241111x x x x +++-+++． 【难度】★★★【答案】818x -． 【解析】2411241111x x x x +++-+++=224224111x x x =++-++448448111x x x =+=-+-． 【总结】本题主要考查异分母分式的加法，注意先通分，通分时注意平方差公式的运用．【例32】 计算：()()()()()()222x y z y z x z y xx y x z y x y z z y z x ------++------．【难度】★★★【答案】0．【解析】()()()()()()222x y z y z x z y xx y x z y x y z z y z x ------++------()()()()()()x y x z y z y x z y z xx y x z y x y z z y z x -+--+--+-=++------111111x z x y y x y z z y z x=+++++------0=．【总结】注意分式规律b a ab b a 11+=+的运用． 【例33】 已知a b c 、、三个数满足1abc =，求式子111111a ab b bc c ca ++++++++的值．【难度】★★★ 【答案】1．【解析】已知a b c 、、三个数满足1abc =，则bac 1=，111111a ab b bc c ca ++++++++11111abc a ab abc b bc c b=++++++++ 1111bc bb bc b bc b bc =++++++++11bc bb bc ++=++1=．【总结】本题综合性较强，主要考查整体代入思想的运用，以及通过恰当的变形，将异分母分式转化为同分母分式．【习题1】 化简：（1）_____x yx y y x -=--；（2）2_____a a ba b b a++=--． 【难度】★ 【答案】（1）yx yx -+；（2）1． 【解析】x y x y x y y x x y+-=---； （2）21a a b a ba b b a a b+-+==---． 【总结】考察同分母分式的加减法，注意相反数的变形． 【习题2】 计算：（1）3212_______11x x x x -+-=-+；（2）2222______42x x x x ⎛⎫+-= ⎪--⎝⎭； （3）()2222_________x y x y x y y x+⋅+=--． 【难度】★【答案】（1）1-x ；（2）1；（3）y x +．【解析】（1）()()()()2322211122121111111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+++++--=-=-==--+-+++++；（2）()()()22222222142222222x x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+--=-=-== ⎪--+-----⎝⎭； （3）()22222222x y x y x y x y x y x y y x x y y x x y-+⋅+=+==+-----． 【总结】本题主要考查分式的加减乘除混合运算，注意法则的准确运用． 【习题3】 代数式211x xx x +÷--有意义，则x 的取值范围是（ ）． A ．1x ≠ B ．1x ≠且0x ≠ C ．2x ≠且1x ≠ D ．2x ≠-且0x ≠【难度】★ 【答案】B【解析】分式有意义的条件是分母不为零． 【总结】考察分式有意义的条件．随堂检测【习题4】 化简：2n n m m m⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭的结果是（）．A ．1m --B ．1m -+C ．mn m -+D ．mn n --【难度】★ 【答案】B【解析】()211m m n n n m m m m m n -⎛⎫⎛⎫-÷=-⋅=-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．【总结】考察分式的乘除运算，注意先约分后乘除． 【习题5】 给定下面一列分式：3x y ，52x y -，73x y ，94x y-（其中0x ≠），根据你发现的规律， 给定的此列分式中的第7个分式为____________． 【难度】★ 【答案】715yx ．【解析】奇数项为正号，偶数项为负号．【总结】分本题主要考查找规律，次数与项数之间的关系．【习题6】 已知2320x x --=，那么代数式()32111x x x --+-的值是_____________．【难度】★★ 【答案】2． 【解析】()()()()()()()3322211111113211x x x x x x x x x x x -----+-===--+=-=--原式．【总结】本题主要考查分式的除法，注意整体因式的运用．【习题7】 若22560a ab b -+=，则________a bb +=． 【难度】★★ 【答案】3或4．【解析】若22560a ab b -+=，则()()032=--b a b a ，所以b a 2=或b a 3=， 当b a 2=时，32=+=+b b b b b a ；当b a 3=时，43=+=+bbb b b a ． 【总结】考察两个未知数的十字相乘法因式分解以及整体思想的运用．【习题8】 当整数x 为何值时，分式22322212x x x x x -+⋅-+-的运算结果为整数？ 【难度】★★【答案】2031x x x x ====-或或或．【解析】()()()2221232222=212211x x x x x x x x x x ---+⋅⋅=-+----， 要使最后的结果为整数，则112x -=±±或，所以2031x x x x ====-或或或． 【总结】考察分式的乘法运算，注意先对多项式因式分解再约分． 【习题9】 计算：（1）23324b b b a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）22136932x x x x x x +-÷⋅-+-+；（3）22226235623x x x x x x x x +-+-÷-+--；（4）222212111a a a a a a a a --÷⋅++++； （5）()()()22218334423x xx x x x x ⎡⎤--÷+⋅⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）23232232364162442727b b b b a a a a a a a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷÷-=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）()()222132331693223x x x x x x x x x x x +-+-÷⋅=⋅-⋅=--+-++-； （3）()()()()()()()()222232316231562332311x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--++-+-+÷=⋅=-+----+--；（4）()()()()222222111121111111a a a a a a a a aa a a a a a a a a +---+÷⋅=⋅⋅=++++-+++； （5）()()()()()()()22233233233223222x x x x x x x x x x x x +-+-+--=÷=⋅=------原式． 【总结】考察分式加减乘除混合运算，注意法则的准确运用．【习题10】 化简求值：223323212a a a a a a a ++÷-++++，其中 1.2a =． 【难度】★★【答案】14-．【解析】()()()223332122=321212322a a a a a a a a a a a a a a a a ++++-÷-⋅-=+++++++++，当 1.2a =时，原式 1.2211.224-==-+． 【总结】考察分式的混合运算，注意法则的准确运用．【习题11】 已知1a =-，10b =-，8m =，9n =，求()111mm n m nn n n n n n ab a b a b a b a a b+++++⋅÷++的值． 【难度】★★ 【答案】1．【解析】()111mm n m nn n n n n n ab a b a b a b a a b+++++⋅÷++ ()()m n m n m mn n n a a b b a b a b a b a a b ⋅⋅⋅=÷++()()m n m n n n n m ma ab b a a b a b a b a b ⋅⋅⋅+=⋅+1m a ==．【总结】本题主要考查分式的化简求值，注意观察公因式的提取．【习题12】 甲、乙两人两次到某粮店去买大米，两次的大米价格分别为每斤a 元和b 元()a b ≠，甲每次买100斤大米，乙每次买100元的大米，问甲、乙两人买大米谁平均价格更低？ 【难度】★★ 【答案】乙． 【解析】甲的平均价为2200100100b a b a +=+；乙的平均价为()b a ababb a b a +=+=+100200100100200， 因为()()()02222222>++=+-+=+-+b a b a b a ab b a b a ab b a ，所以b a ab b a +>+2， 所以乙买大米平均价更低．【总结】本题主要考查分式的运算在实际问题中的运用．【习题13】 计算：23451234x x x x x x x x ++----+++--． 【难度】★★★ 【答案】()()()()43211010--+++-x x x x x ．【解析】23451234x x x x x x x x ++----+++-- 112131411234x x x x x x x x ++++----=--+++-- 11111(1)(1)(1)1234x x x x =+-+--+-++-- 11111234x x x x =-+-++-- ()()()()111234x x x x =-++--()()()()10101234x x x x x -+=++--．【总结】分式计算时，先观察分式的规律，适当的时候作简便运算．【习题14】 已知4360x y z --=，270x y z +-=，0xyz ≠，求2x y zx y z +--+的值．【难度】★★★【答案】34．【解析】已知4360x y z --=，270x y z +-=，则z y 2=，z x 3=， 所以3244232233x y z z z z z x y z z z z z +-+-===-+-+．【总结】利用解方程组的思想消元，得出未知数之间的关系，然后通过约分求出分式值． 【习题15】 已知1ab =，试说明111a b a b +=++． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】已知1ab =，则b a 1=，所以111111111111a b b b bb a b b b b b b ++=+=+==+++++++．20 / 25【习题16】 已知x a y z =+，y b x z =+，z c x y=+，求111a b c a b c +++++的值． 【难度】★★★【答案】1．【解析】111a b c a b c +++++1111x z y y z y z x z x y z y z x z y z x z y y z x y x z x y z x y z x y z y z x z x y x y zx y z x y z x y z x y z x y z +++=+++++++++++=+++++++++++=++++++++++=++= 【总结】本题计算比较复杂，解题时注意观察规律，将难度降低．【作业1】 计算：（1）22543125y x y xy x ⎛⎫⋅⋅- ⎪⎝⎭；（2）22226y xx y x x y⎛⎫÷-⋅÷ ⎪⎝⎭；（3）22362444x x x x x -+÷-++；（4）23232243323a b b b a a ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （5）22422242x y y x x ax a ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫÷⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【难度】★【答案】（1）-1；（2）y x 26-；（3）3；（4）232ab-；（5）2104a x ．【解析】（1）225431125y x y xy x ⎛⎫⋅⋅-=- ⎪⎝⎭；（2）2222222221666y x x x x x y x x y x y y y x y ⎛⎫⎛⎫÷-⋅÷=⋅-⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；课后作业（3）()()()()2223223623444222x x x x x x x x x x -+-+÷=⋅=-++-++；（4）232363222462243162723239893a b b a b bb b a a b a a a ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅⋅=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （5）224222244102242241644216x y y x x y a x x x x ax a y a a ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫÷⋅=⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用． 【作业2】 计算：（1）222931x xx x x --÷-+；（2）2221111a a a a a a a -+⎛⎫÷⋅ ⎪---⎝⎭． 【难度】★ 【答案】（1）()13-+-x x x ；（2）11-+-a a ． 【解析】（1）()()()()()()22233139311131x x x x x x x x x x x x x x x +-++--÷=⋅=--++---；（2）()()()()()22222111111111111a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-+-+⎛⎫÷⋅=⋅⋅=- ⎪---+--⎝⎭-． 【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用． 【作业3】 计算： （1）22______a b b aa b b a a b++-=---； （2）231______222x x x x x x -++-=---；（3）2222222222________x y x y x y y x x y ++-=---； （4）222223121_________232323x x x x x x x x x -+--+=------；（5）2________b a c b ca b c b a c b a c +-+-=-+----． 【难度】★【答案】（1）-1；（2）2x --；（3）2222yx y --；（4）222223x x x x ----；（5）-2． 【解析】（1）22221a b b a a b b a a ba b b a a b a b a b++---++-===------；（2）()()22231314222222x x x x x x x x x x x x x---+-+-+-===-------；（3）()22222222222222222222x y x y x y x y y x y y x x y x y x y --+++-==------； （4）()222222222231213121222323232323x x x x x x x x x x x x x x x x x x --++--+----+==----------； （5）()()2222222b a c b c b a c b a c b ca b c a b c b a c b a c b a c b a c b a c-++-----+--++-====--+----------．【总结】考察分式的乘除法，注意法则的准确运用．【作业4】 如果m 为整数，那么使分式31m m ++的值为整数的m 的值有（）个．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【难度】★★【答案】C【解析】31221111m m m m m +++==++++，要使分式值为整数，则112m +=±±或，所以整数m 的值有4个． 【总结】题目中的分式可以进行分离常数，然后再讨论整数取值．【作业5】 分式251126x x x -+-是由分式2A x +与23Bx -相加得到，则A 、B 应为（ ）A ．511A xB =⎧⎨=-⎩ B ．115A B x =-⎧⎨=⎩C ．13A B =-⎧⎨=⎩D ．31A B =⎧⎨=-⎩【难度】★★ 【答案】D 【解析】()()()()()()()623223222322323222-+-++=-+++-+-=-++x x A B x B A x x x B x x x A x B x A 所以252311A B B A ⎧+=⎨-=-⎩，解得：31A B =⎧⎨=-⎩．【总结】考察异分母分式的加减法通分的方法． 【作业6】 计算：（1）222555ab b a bab b a ab a b a b ⎛⎫+++⋅-⎪-+-⎝⎭； （2）()()22222222(22)2x y x y x y xy x xy y x y x y+⋅+--÷-+--；（3）22422442222a b a a b a b a b a b a b b a ⎛⎫⋅-÷-⎪-+-+-⎝⎭． 【难度】★★【答案】（1）ab 5；（2）y x -；（3）2222ab a a b --．【解析】（1）222555ab b a b ab b a ab a b a b ⎛⎫+++⋅- ⎪-+-⎝⎭()()()55b a b a bb a b a a b a b a b ⎡⎤+=++⋅-⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦ ()()()555b a b a a bb a b a a b a b a b a b +=⋅++⋅--++-55b b ab ab a ba b =+-=--；（2）()()22222222(22)2x y x y x y xy x xy y x y x y+⋅+--÷-+-- ()()()()()2222xy x y x y x y x y x y x y x y -=+⋅+-+---()2222x y x y xy x y x y x y x y x y-=+-==-----； （3）22422442222a b a a b a b a b a b a b b a ⎛⎫⋅-÷- ⎪-+-+-⎝⎭()()()2442222222222a b a a b a b a b b a a b a b a b =⋅-÷--+--++ ()()()222242224222222ab ab ab a b a b a a b a b +=-⋅----+ 2222222222ab a b b a b a b a b+=-+--- 2222ab a a b -=-．【总结】考察分式的加减乘除运算，注意乘法分配律的应用． 【作业7】 已知210253a a b ++=--，求代数式()4322222322b a ab a b b a b ab b a b +--⋅÷+-的值．【难度】★★【答案】845-．【解析】已知210253a a b ++=--，所以()2530a b ++-=，则53a b =-=，．()4322222322b a ab a b b a b ab b a b +--⋅÷+-()()()()()24223a a b b a b b ab b b a b a b aa b -+=⋅⋅=+---， 当53a b =-=，时，原式()()84553352-=--⨯-=． 【总结】本题一方面考查非负性的运用，另一方面考查分式的化简求值．【作业8】 甲、乙两种茶叶，以:x y （重量比）相混合制成一种混合茶．甲种茶叶的价格每500克50元，乙种茶叶的价格每500克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，求:x y ． 【难度】★★ 【答案】4:5．【解析】有题意可得：()()y x y x ％％10140101504050-++=+，则解得：5:4:=y x ． 【总结】考察分式的运算在实际问题中的应用．【作业9】 计算：11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)x x x x x x x ++++-------．【难度】★★★【答案】()()1991199---x x x ．【解析】11111(1)(2)(2)(3)(99)(100)x x x x x x x ++++-------11111111122399100x x x x x x x =+-+-++-------- 11111100x x x =+---- 211100x x =--- 2(100)(1)(1)(100)x x x x ---=--()()1991100x x x -=--．【总结】考察有规律的分数运算，总结出规律为()11111+-=+n n n n ，类似分数的裂项运算．【作业10】 已知234a b c ==，求22a ab ac a b c a b c--⋅---+的值． 【难度】★★★【答案】34．【解析】已知234a b c==，则可设234a k b k c k ===，，， ()22222242343a abc a ab ac a k a b c a b c a b c a b c a b c k k k ----⋅⋅=⋅===---+---+-+-+．【总结】考察分式的乘法运算，遇比设未知数进行约分求值是一种常用的方法．【作业11】 求证：()()()()()()222b c c a a b a b a c b c b a c a c b a b b c c a ---++=++---------．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】()()()()()()b c c a a ba b a c b c b a c a c b ---++------()()()()()()()()()()()()a c ab b a bc c b c a a b a c b c b a c a c b ---------=++------ 111111a b a c b c b a c a c b =-+-+------- 111111a b c a b c a b c a b c =+++++------ 222a b c a b c=++---． 【总结】本题综合性较强，主要考查分式的变形化简，解题时注意观察分子分母间的关系．。
精讲班实务第十三讲课后作业
2.10精讲班实务第十三讲课后作业一、单选题1.2018年1月1日，某企业向银行借入资金600 000元，期限为6个月，年利率为5％，借款利息分月计提，季末交付，本金到期一次归还，下列各项中，2018年6月30日，该企业交付借款利息的会计处理正确的是（）。
A.借：财务费用5 000应付利息2 500贷：银行存款7 500B.借：财务费用7 500贷：银行存款7 500C.借：应付利息5 000贷：银行存款5 000D.借：财务费用2 500应付利息5 000贷：银行存款7 500【正确答案】D【答案解析】借款利息分月计提，按季支付。
计提4月份利息：借：财务费用 2 500（600 000×5％/12）贷：应付利息 2 500计提5月份利息处理同上。
2018年6月30日支付利息时：借：应付利息 5 000（已计提4、5月份利息）财务费用 2 500贷：银行存款 7 5002.2018年9月1日，某企业向银行借入一笔期限2个月、到期一次还本付息的生产经营周转借款200 000元，年利率6％。
借款利息采用预提方式，月末确认。
11月1日，企业以银行存款偿还借款本息的会计处理正确的是（）。
A.借：短期借款 200 000贷：银行存款 200 000B.借：短期借款 200 000应付利息 2 000贷：银行存款 202 000C.借：短期借款 200 000财务费用 2 000贷：银行存款 202 000D.借：短期借款 202 000贷：银行存款 202 000【正确答案】B【答案解析】借款利息采用预提方式，所以月末确认利息费用。
会计处理如下：借：财务费用1 000贷：应付利息1 000借：短期借款200 000应付利息 2 000贷：银行存款202 0003.下列各项中，应计入“应付账款”入账价值的是（）。
A.应付租入包装物租金B.应付无偿提供给职工居住的住房的租金C.一般纳税人赊购商品，所负担的增值税D.银行承兑汇票到期无力支付时【正确答案】C【答案解析】选项AB，计入其他应付款；选项D，计入短期借款。
【易错题精析】第13讲 梯形的面积(讲义) 小学数学五年级上册易错专项练
第13讲梯形的面积（讲义）学校数学五班级上册易错专项练（学问梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）1.梯形面积计算公式的推导。
可以把一个梯形分成两个三角形或一个三角形和一个平行四边形，通过计算两个三角形的面积之和或一个三角形和一个平行四边形的面积之和推导出梯形的面积计算公式。
2.梯形的面积计算公式。
梯形的面积＝(上底＋下底)×高÷２；若用S表示梯形的面积,用a表示梯形的上底,用b表示梯形的下底,用h表示梯形的高,则S＝(a＋b)×h÷2 。
1.只有两个完全一样的梯形才能拼成一个平行四边形。
2.计算梯形的面积时，不要遗忘除以2。
【易错一】在下图中，三个图形A、B、C的面积，图形面积最大的是（）。
A．A B．B C．C【解题思路】观看发觉三个图形是等高的，把高的长度看作2，再依据面积公式分别求出三个图形的面积，再比较即可。
【完整解答】A．（4＋6）×2÷2＝1022⨯÷10=B．1122=⨯÷11C．6212⨯=所以C图形面积最大。
故答案为：C【易错点】本题考查三角形、平行四边形、梯形的面积，解答本题的关键是把握三种图形的面积计算公式。
【易错二】如图是小红家的一块梯形菜地，其中萝卜地的面积是48m2，其余的是白菜地。
白菜地的面积是( )m2，梯形菜地的面积是( )m2。
【解题思路】萝卜地是一个直角三角形，已知三角形的面积和底，那么三角形的高h＝2S÷a，求出萝卜地的高，也是白菜地的高；依据三角形的面积S＝ah ÷2，求出白菜地的面积；最终用萝卜地的面积加上白菜地的面积，求出梯形菜地的面积。
【完整解答】48×2÷12＝96÷12＝8（m）20×8÷2＝160÷2＝80（m2）48＋80＝128（m2）【易错点】机敏运用三角形的面积计算公式是解题的关键。
第13讲 一元一次方程(3)
第13讲一元一次方程（3）—行程问题专题【知识点清单】1、解行程问题中所用到的基本数量关系：路程= ×时间；速度=路程÷；时间=÷速度。
2、行程问题的四种基本类型：★（1）相遇问题★（2）追及问题（3）航行问题（4）火车过桥问题（1）相遇问题中的等量关系：甲的行程 + = 甲、乙起始间的全程；×相遇时间=路程和。
S甲+S乙=C环形（2）追及问题的等量关系：追及时间× =追及路程，S快者―S慢者=（3）、航行问题：V顺水=V静水+V水流； V逆水=V静水―V水流；V顺风=V无风+V风速； V逆风=V无风―V风速；（4）、火车过桥问题：【典例精讲】考点1: 相遇问题【例1】（1）甲、乙两站之间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米，两车同时开出相向而行，_________小时后相遇。
（2）甲、乙两人骑着自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5千米，则乙的速度是_________。
【例2】甲乙两人同时从A地前往相距为1252千米的B地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的2倍快2千米/时，甲先到达B地后，立即由B地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时间为3小时，求两人的速度。
变式议练：1、上午8点，李华和张涛两同学分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知李华的速度每小时比张涛快2千米，上午十点两人还距36千米，到中午十二点时，两人又相距36千米，试求：A、B两地的距离。
2、A、B两地相距450千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t小时两车相距50千米，求t的值是？考点2: 追及问题【例3】开心填一填（1）A、B两地间的路程为450千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米，一列快车从B地出发，每小时行驶90千米，若两车同时开出，相向而行，_________小时相遇；若慢车先开1小时，快车在同地同向开出，快车经过了_______小时可追上慢车。
初中语文新人教部编版七年级上册第13课《纪念白求恩》考点精讲课件(2024秋)
叙
白求恩的事迹
论
精神 品格
国际主义精神 毫不利己专门利人的精神 对技术精益求精的态度
颂
号召大家学习白求恩精神
本文整体写作思路为 “叙—论—颂”，明晰而 有条理。先叙述白求恩不 远万里来支援中国的抗战， 由此引出对其国际主义精 神的论述；再论述他毫不 利己专门利人的精神和对 技术精益求精的态度，结 合正反两面展开论述；最 后表达痛惜之情，号召大 家学习白求恩精神。
白求恩自1938年1月从寒冬的加拿大出发，带着医疗器 械及药品，带着救死扶伤的信念，带着舍生忘死的精神， 穿越浩瀚的太平洋去往中国，最终在3月底到达延安。 国际主义精神
白求恩：“我是来工作的，不是来休息的，你们要拿我当一挺机关枪使用。”
白求恩开创了我军战地输血的先河，而在前线难以找 到适配的血型时，O型血的白求恩就自告奋勇地上前，让 医护人员抽他的血，因此他在部队被称为“群众血库”。
“白求恩”交代纪念对象。
学习目标
1. 了解有关毛泽东的文学常识，积累“殉职、狭隘、见 异思迁”等重点词语。
2. 厘清课文的写作思路，把握段落之间的关联。（重点） 3. 学习对比手法，理解其作用；学习叙议结合、以议为
主的写法。（难点） 4. 了解白求恩其人其事，学习白求恩的国际主义精神和
共产主义精神，提升道德修养境界。
课文精讲 默读课文，归纳各段内容要点，说说课文
段落之间的关系。
第1段：赞扬白求恩同志的国际主义精神。 第2段：赞扬白求恩同志毫不利己专门利人的精神。 第3段：赞扬白求恩同志对技术精益求精的态度。 第4段：号召全党学习白求恩同志毫无自私自利之心的精神。
第13讲 小说阅读之情节 讲义(含答案)-2021年暑期七年级升八年级语文衔接
第13讲 小说阅读之情节小说：以刻画人物形象为中心，通过完整的故事情节和环境描写来反映社会生活的文学体裁。
小说与诗歌、散文、戏剧，并称“四大文学体裁”。
【知识梳理】故事情节是作品所描写的生活事件发展、演变的全过程。
小说的情节一般可以分为开端、发展、高潮、结局四个部分，有些小说还具有序幕、尾声两部分。
（1）开端是作品所反映的矛盾冲突的第一件事；（2）发展是作品中矛盾冲突从展开到激化的演变过程；（3）高潮是决定矛盾各方的命运及主要矛盾即将解决的关键时刻，是矛盾冲突发展到顶点，人物的思想斗争最紧张，最激励，最尖锐的阶段；（4）结局是矛盾得到解决，人物性格的发展已经完成，事件有了最后的结果，主题思想得到充分展现，是情节发展的必然结果。
你知道：小说三要素是什么吗？小说最重要的内容又是什么吗？小说阅读之情节情节的定义 情节的构成情节的考点概括题作用题题型解析情节概括题常见考点：1、文章中因为时间地点的转换，出现多个小情节，要求学生仿照已给的情节填空所缺的情节。
2、用一句话简要概括全文内容。
例一：仿照已给的情节填空所缺的情节。
审清题意确定范围理清层次精炼表达根雕眼镜贺伟我从邮局取回一个邮包。
那是我的一个搞雕塑的学生寄来的，里面放着一副由树根雕成的眼镜，非常精美。
我心中一动——这么多年了，他还记着那件事？那是20年前，我在一个小城市的中学任教。
他来自农村，在学校住读。
高一时他的成绩在班上遥遥领先，可到了高二下学期，他的成绩却下降不少。
这让我觉得很奇怪，因为这个孩子虽然来自农村，却自尊自强，学习非常努力，从不肯落在别人后面。
我试着找他谈了几次话，想问出原因，可他总是低着头，红着脸，嗫嚅着不肯说什么。
后来我问了一位和他很要好的同学，才知道他最近一段时间总是看不清黑板上的字。
他曾去医院检查了一下视力，居然两眼都近视到400度了。
我思虑了几天。
他家中比较贫困，显然他是不忍心向父母开口要钱配眼镜。
我拿钱给他配一副眼镜并不难，但让这个自尊心很强的孩子接受却不是件容易的事。
精讲班经济法第十三讲课后作业
1.14精讲班经济法第十三讲课后作业一、单选题1.根据企业所得税法律制度的规定，以下属于非居民企业的是（）。
A.根据我国法律成立，实际管理机构在中国的丙公司B.根据外国法律成立，实际管理机构在我国的甲公司C.根据外国法律成立且实际管理机构在国外，在我国设立机构场所的D.根据我国企业法律成立，在国外设立机构场所的『正确答案』C『答案解析』非居民企业，是指依照外国（地区）法律成立且实际管理机构不在中国境内，但在中国境内设立机构、场所的，或者在中国境内未设立机构、场所，但有来源于中国境内所得的企业。
2.根据消费税法律制度的规定，企业发生下列事项，应根据企业同类应税消费品最高计税价格计征消费税的是（）。
A.向职工福利的自产高档化妆品B.用于运输车队的自产柴油C.用于抵偿债务的自产小汽车D.用于广告宣传的自产白酒『正确答案』C『答案解析』纳税人用于换取生产资料和消费资料、投资入股和抵偿债务等方面的应税消费品，应当以纳税人同类应税消费品的最高销售价格作为计税依据计算消费税。
二、多选题3.根据消费税法律制度的规定，下列各项中，属于消费税纳税人的有（）。
A.委托加工白酒的超市B.进口白酒的贸易商C.销售白酒的商场D.生产白酒的厂商『正确答案』ABD『答案解析』白酒在生产销售、委托加工和进口环节征收消费税，销售白酒的零售商不属于消费纳税人。
4.根据消费税法律制度的规定，下列情形中，属于消费税征税范围的有（）。
A.甲服装厂生产销售服装B.丙烟草批发企业将卷烟销售给其他烟草批发企业C.丁商场零售金银首饰D.乙汽车贸易公司进口小汽车『正确答案』CD『答案解析』服装不属于消费税征税范围，选项A错误；烟草批发企业将卷烟销售给其他烟草批发企业的，不属于批发，不加征消费税。
5.2016年12月甲酒厂发生的下列业务中，应缴纳消费税的有（）。
A.将自产高度白酒继续加工成低度白酒B.将自产低度白酒奖励职工C.将自产高度白酒馈赠客户D.将自产低度白酒用于市场推广『正确答案』BCD『答案解析』纳税人自产自用的应税消费品，用于连续生产应税消费品的，不纳税；用于其他方面的，于移送使用时纳税。
第13讲 经济问题—小升初复习讲义(通用版 含详解)14页
2021-2022学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第13讲经济问题知识点一：打折问题1.基本概念：打折：现价是原价的百分之几，叫做折扣，通称“打折”；几折就是十分之几，也就是百分之几十成数:表示一个数是另一个数的十分之几，通称“几成”。
几成就是十分之几，也就是百分之几十;三成五是十分之三点五，也就是35% 2.打折的常见类型举例：（1）买一大瓶送一小瓶（2）超过50元的部分打八折（3）买四送一（4）满200元送40元（5）学生半价（6）折上折（7）团购代金券59元一张，可抵100元消费3.解决打折问题注意事项：要根据打折的不同方式灵活计算，选择最佳的消费方式知识点二：利润利率税率问题1.基本概念：存入银行的钱叫做本金；取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率；应纳税额与各种收入的比率叫做税率2.利润利率税率问题主要相关公式：利息=本金×利率×期数；利率＝利息÷本金÷存期×100％存期=利息÷本金÷利率应纳税额=总收入×税率收入额=应纳税额÷税率=+售价成本利润， 100%100%-=⨯=⨯售价成本利润率利润成本成本； 1=⨯+售价成本（利润率）， 1=+售价成本利润率 其它常用等量关系：售价=成本×（1+利润率）；成本=卖价÷（1+利润率）； 含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；[来源:Z_xx_]注意：如要缴利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：税后利息=本金×利率×存期×(1－利息税率)3.利润利率税率问题的一般题型(1)直接与利润相关的问题：无非是找成本与销售价格的差价.(2)与利润无直接联系，但是涉及价格变动的问题：涉及价格变动，虽然没有直接提到利润的问题，但是最终还是转化成(1)的情况.4.解题主要方法：（1）抓不变量(一般情况下成本是不变量)；（2）列方程解应用题．（3）用假设法和比例法解应用题知识点三：阶梯收费问题1.阶梯收费问题的特点是分段计费,所以题目中的数量关系也相应地被分为几段,并且各段中的数量关系各不相同,所以列出的算式或方程也不相同。
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精讲班第13 讲讲义合同生效7.3.3 合同的生效1. 合同生效的概念合同成立是合同生效的前提。
2. 合同生效的要件（1）当事人必须具有相应的民事行为能力；（2）当事人意思表示真实；（3）合同标的合法，即当事人签订的合同不违反法律和社会公共利益；（4）合同标的须确定和可能。
3. 合同成立和生效的关系合同成立是指合同订立过程的结束。
合同生效是指已经成立的合同具有法律约束力。
合同成立是合同生效的前提。
合同成立和生效的区别：（1）构成要件不同（2）性质不同。
合同成立主要是事实问题。
合同生效主要是法律评价问题。
4. 无效合同导致合同无效的原因包括：（1）一方以欺诈、胁迫的手段订立合同，损害国家利益；（2）恶意串通，损害国家、集体或者第三人利益；（3）以合法形式掩盖非法目的；（4）损害社会公众利益；（5）违反法律、行政法规的强制性规定。
无效的合同自始没有法律约束力。
合同部分无效，不影响其他部分效力，其他部分仍然有效。
5. 可撤销的合同可撤销合同的类型：（1）因重大误解订立的合同。
（2）显失公平的合同。
（3）因欺诈而订立的合同。
（4）因胁迫而订立的合同。
（5）乘人之危的合同。
对于可撤销的合同，有变更和撤销两种救济方法。
6. 效力未定的合同效力未定的合同是指合同订立后尚未生效，须权利人追认才能生效的合同。
7.3.4 合同的履行1. 合同履行的原则（1）实际履行原则（2）全面履行原则（3）协作履行原则（4）诚实信用原则（5）情势变更原则2. 合同履行中的抗辩权抗辩权是指债权人行使债权时，债务人根据法定事由，对抗债权人行使请求权的权利。
不安抗辩权是指在合同成立以后，后履行一方当事人财产状况恶化，有可能不能履行其债务，可能危及先履行一方当事人债权的实现时，应先为给付的一方在对方未提供担保前，中止履行自己的债务的制度。
3. 代位权代位权是指当债务人怠于行使其对第三人享有的到期债权而有害于债权人债权时，债权人可以以自己的名义代位行使债务的权利。
但该债权专属于债务人自身的除外。
4. 撤销权债权人的撤销权，是指当债务人放弃对第三人的债权、实施无偿转让财产的行为或者债务人以明显不合理的低价转让财产，而有害于债权人的债权时，债权人可以依法请求人民法院撤销债务人所实施的行为。
撤销权自债权人知道或者应当知道撤销事由之日起一年内行使。
自债务人的行为发生之日起五年内没有行使撤销权的，该撤销权消灭。
7.3.5 违约责任1. 违约责任的概念2. 违约责任的承担形式（1）违约金责任；（2）赔偿损失；（3）强制履行；（4）定金责任；（5）采取补救措施。
第八章商事法律基本规定8.1 公司法律制度8.1.1《公司法》概述2004 年，由国务院法制办正式启动《公司法》的修改，2005 年 2 月第一次全国人大常委会审议，10月27 日第三次审议时通过，修改后的《公司法》2006 年 1 月 1 日开始实施。
新《公司法》共二百一十九条。
我国《公司法》主要以股东承担责任的范围和形式、股东人数的多少将公司分为有限责任公司和股份有限公司两类。
国有独资公司是一类特殊的有限责任公司。
8.1.2 公司设立制度公司设立是指公司发起人为促进公司成立并取得法人资格，依照法律规定的条件和程序所必须完成的一系列法律行为的总称。
设立公司必须履行公司设立的程序。
8.1.3 公司资本制度公司资本，是股东为达到公司目的所实施的财产出资的总额。
我国公司资本制度的特点是：（1）资本法定。
（2）强调公司必须有相当的财产与其资本总额相维持。
（3）强调公司资本不得任意变更。
8.1.4 公司的组织机构1．股东大会2．董事会3．公司经理4．监事会8.1.5 公司终止制度公司因破产或解散而导致终止，丧失其企业法人资格。
公司终止主要有两种情形：（1）公司破产（2）公司解散①公司章程规定的营业期限届满或者公司章程规定的其他解散事由出现时；②股东会或股东大会决议解散；③因公司合并或者分立需要解散的；④公司违反法律、行政法规被依法吊销营业执照/责令关闭或被撤销以及人们法院予以解散应当解的，散。
上述解散情形出现时，除公司合并、分立免于清算外，公司均必须进行清算，清理债券债务。
8.2 破产法律制度8.2.1《破产法》概述2006 年8 月27 日，第十届全国人民代表大会常务委员会第二十三次会议表决通过了《中华人民共和国企业破产法》，该法共十二章一百三十六条，2007 年6月1日起施行。
8.2.2《破产法》的实体性规定1. 关于破产能力破产能力是民事主体依法被宣告破产的资格。
2. 关于破产原因3. 关于逾期申报债权的法律后果《破产法》第四十五条规定，债权申报期限自人民法院发布受理破产申请公告之日起计算，最短不得少于三十日，最长不得超过三个月；债权人未申报债权的，可以在破产财产最后分配前补充申报，但是，此前已进行的分配，不再对其补充分配。
为审查和确认补充申报债权的费用，由补充申报人承担。
4. 债权人会议的职权8.2.3 破产程序1. 破产程序的概念与特征破产程序是指法院审理破产案件，终结债权债务关系的诉讼程序，也叫破产还债程序。
它主要包括破产申请和受理、破产宣告、破产清算三大程序。
破产程序特点：第一，破产程序是清偿债务的特殊手段；第二，破产程序的适用以法定事实存在为前提；第三，破产程序以债权人依法得到公平受偿为目的；第四，破产程序实行一审终审。
2. 重整和和解程序（1）重整。
债权人申请对债务人进行破产清算的，在人民法院受理破产申请后、宣告债务人破产前，债务人或者出资额占债务人注册资本十分之一以上的出资人，可以向人民法院申请重整。
（2）和解。
3. 破产清算程序8.2.4 破产财产的分配（1）破产人所欠职工的工资和医疗、伤残补助、抚恤费用。
（2）破产人欠缴的除前项规定以外的社会保险费用和破产人所欠税款。
（3）普通破产债权破产财产不足以清偿同一顺序的清偿要求的，按照比例分配。
破产企业的董事、监事和高级管理人员的工资按照该企业职工的平均工资计算。
票据法律制度8.3 票据法律制度8.3.1《票据法》概述广义的票据，是指商业活动的一切票据，包括各种有价证券和凭证。
狭义的票据，是指出票人依法签发，由自己无条件支付或委托他人无条件支付一定金额的有价证券。
按照《票据法》的规定，票据包括汇票、本票、支票所指票据仅指狭义的票据。
（1）票据是完全有价证券（2）票据是要式证券（3）票据是一种无因证券（4）票据是流通证券（5）票据是文义证券（6）票据是设权证券（7）票据是债权证券8.3.2 票据的功能1. 汇兑作用2. 支付与结算作用3. 融资作用4. 替代货币作用5. 信用作用8.3.3 票据行为1. 票据行为的概念广义的票据行为是指以发生、变更或消灭票据的权利义务关系为目的的法律行为，包括出票、背书、保证、承兑；狭义的票据行为是票据当事人以承担票据债务为目的的法律行为，包括出票、背书、承兑、参加承兑、保证、保付六种。
2. 票据行为的种类（1）出票出票是指出票人依照法定款式做成票据并交付于受款人的行为。
它包括“做成”和“交付” 两种行为。
（2）背书背书是指持票人转让票据权利与他人。
（3）承兑承兑是指汇票的付款人承诺负担票据债务的行为。
承兑为汇票所独有。
（4）保证保证是指除票据债务人以外的人为担保票据债务的履行、以承担同一内容的票据债务为目的的一种附属票据行为。
8.3.4 票据权利1.票据权利的概念票据权利是持票人因合法拥有票据而向票据债务人请求支付票据金额的权利。
票据权利包括付款请求权和追索权。
2.票据权利的取得、行使和保全（1）票据权利的取得从票据权利的取得方式看，分为原始取得和继受取得。
从票据取得的主观状态看，分为善意取得和恶意取得。
票据权利取得的限制。
根据《票据法》的规定，票据权利的取得有两项限制：第一，以欺诈、偷盗或者胁迫等手段取得票据的，或者明知有前列情形，出于恶意取得票据的，或者有重大过失取得票据的，不得享有票据权利。
第二，以无偿或者不以相当对价，取得票据的，不得享有优于其前手的票据权利。
（2）票据权利的行使和保全3. 票据权利的消灭持票人对票据的出票人和承兑人的权利，自票据到期日起 2 年，见票即付的汇票、本票，自出票日起2 年；持票人对支票出票人的权利，自出票日起 6 个月；持票人对前手的追索权，自被拒绝承兑或者被拒绝付款之日起 6 个月；持票人对前手的再追索权，自清偿日或者被提起诉讼之日起3个月。
8.3.5 票据丧失的补救措施1.挂失止付2.公示催告失票人应当在通知挂失止付后 3 日内，也可以在票据丧失后，依法向人民法院申请公示催告，或向人民法院提起诉讼。
3. 提起诉讼。