14单纯形法的计算步骤(精)
第四节 单纯形法的计算步骤
上表中由于所有σ 上表中由于所有 j>0 ，表明已求得最优解 x1=4， x2=2， x3=0， x4=0， x5=0， x6=4， ， ， ， ， ， ， Z=14。 。 当确定x 为换入变量计算θ值时 值时， ◆当确定 6为换入变量计算 值时，有两个相 同的最小值： 同的最小值：2/0.5=4，8/2=4。任选其中一 ， 。 个作为换出变量时， 个作为换出变量时，则下面表中另一基变 量的值将等于0，这种现象称为退化 退化。 量的值将等于 ，这种现象称为退化。含有 一个或多个基变量为0的基可行解称为 的基可行解称为退化 一个或多个基变量为 的基可行解称为退化 的基可行解。 的基可行解。
18
迭代
xB
次数
cB
x1
x2
x3
x4
x5 bi
θi
50
x1
100
0
0
0
50 0 100
1 0 0
0
0 0 1
0
1 -2 0
- 50
0 1 0
0
-1 1 1
- 50
50 50 250 -27500
2
x4 x2
σj
2010年8月
管理工程学院
18
《运筹学》 运筹学》
19
所有的检验数 σ j ≤ 0, 此基本可行解： 此基本可行解：
2010年8月
管理工程学院
5
《运筹学》 运筹学》
6
c1 … cl b b1´
⋮
c j→ cB c1
⋮
… cm … xm …0 …⋮ 0 …1 …
⋮
…cj …xj …a1j´ …⋮ a2j´ …⋮ amj´
… ck … cn … xk …xn …0 …⋮ 1 …0
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题max z =从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n)中一般能直接观察到存在一个初始可行基（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对 及 ( i = 1 , 2 , ⋯ , m; j = 1 , 2 , ⋯ , n)进行编号, 则可得下列方程组显然得到一个m×m单位矩阵以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得令由上式得又因 ≥0, 所以得到一个初始基可行解（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
即对不等式约束减去一个非负的剩余变量后, 再加上一个非负的人工变量; 对于等式约束再加上一个非负的人工变量, 总能得到一个单位矩阵。
4.2 最优性检验和解的判别对线性规划问题的求解结果可能出现唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种情况, 为此需要建立对解的判别准则。
一般情况下, 经过迭代后可以得到：将上代入目标函数，整理后得令于是再令则(1) 最优解的判别定理若为对应于基B的一个基可行解，且对于一切 且有则 为最优解。
称为检验数。
(2) 无穷多最优解的判别定理若为一个基可行解， 且对于一切 且有 又存在某个非基变量的检验数，则线性规划问题有无穷多最优解。
(3) 无界解判别定理若为一个基可行解，有一个> 0 ,并且对i = 1 , 2 , ⋯, m,有≤0 , 那么该线性规划问题具有无界解(或称无最优解)。
单纯形法的计算步骤
运筹学基础及应用
解：化标准型
max
z 2 x1 x2 0 x3 0 x4 0 x5 5 x2 x3 15 6 x 2 x x4 24 1 2 x5 5 x1 x2 x1 , , x5 0
运筹学基础及应用
表1：列初始单纯形表 （单位矩阵对应的变量为基变量）
运筹学基础及应用
单纯形表
- Z x1基变量 x 2 ... xm XB 0 1 1E 0 单位阵 ....... 0 1 1 c c 0... c 1 2 m xm xNn 非基变量 1 .... X a1m 1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n
非基阵 ......
在上一节单纯形法迭代原理中可 知，每一次迭代计算只要表示出当前的约 束方程组及目标函数即可。
a1m 1 xm 1 ..... a1n xn b1 x1 x a2 m 1 xm 1 ..... a2 n xn b2 2 .......... .......... .......... ..... xm amm 1 xm 1 ..... amn xn bm Z c1 x1 ... cm xm cm 1 xm 1 ... cn xn 0
3
0 1 5/4 -15/2 1*3/2 0 0 1/4 -1/2 +0*15/2 检验数<=0 1 0 -1/4 3/2
cj z j
8.5
0
0
-1/4
-1/2
最优解为X=(7/2,3/2,15/2,0,0) 目标函数值Z=8.5
cj
CB
0 0 0
2
1
0最小的值对应 0 0
14单纯形法计算步骤
j j 0 设 k max ，则 x 为入基变量。 k j
法则3 出基变量确定法则
bi bl min aik 0 i aik alk
第 6页
算
例
求解下列LP问题
max z x 2 3x3 2 x5 2 x5 7 x1 3x 2 x3 2x 4x x 12 2 3 4 8 x5 x6 10 4 x 2 3 x3 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 0
第16页
练 习
4.
min z 8 3x1 5 x2 8 s.t. x1 2 x2 x3 4 x1 2 x2 x4 16 4 x2 x5 12 x j 0( j 1, 2,3, 4,5)
第17页
a1m+1 a2m+1 amm+1
m i 1
… …
…
a1k a2k amk
m i 1
… a1n … a2n … amn
m i 1
0 0 … 0 c m1 ci aim1 c k ci aik c n ci ain
第 5页
单纯形法的基本法则
法则1 最优性判定法则 若对基可行解X1，所有检验数σj≤0，则X1为最 优解。 法则2 入基变量确定法则
第 7页
算
Cj
CB 0 0 XB x1 x4 b 7 12
例
-1
x2 3 -2
0
x1 1 0
3
x3 -1 [4]
0
x4 0 1
-2
x5 2 0
0
x6 0 0 3 10/3
14单纯形法计算步骤
10
1
σj
-1/5
0
0
-4/5
-12/5 0 第8页
关于单纯形法的补充说明
无穷多最优解与唯一最优解的判别法则 若对某基可行解X1， （1）所有检验数σj≤0，且有一个非基变量xk 的检验数等于0，则问题有无穷多最优解； （2）所有非基变量的检验数σj<0，则问题有 唯一最优解。
第9页
cj
1 1 2 -1
第2页
第3页
第4页
第5页
单纯形法的基本法则
法则1 最优性判定法则 若对基可行解X1，所有检验数σj≤0，则X1为最 优解。 法则2 入基变量确定法则
设km j ajx j 0，则xk为入基变量。
法则3 出基变量确定法则
mi inabiik aik 0abllk
第6页
算例
求解下列LP问题
入基变量确定法则改为：如果 m j in jj 0k
则xk为入基变量。
min z 2x1 2x2 3x3
20x1 40x2
x4
10x1
20x3 x5
x1,x2,x3,x4,x5 0
1 8
01 2 1 2
x1 x1
x2
410x4
1 4
x3
1 20x5
2 5
第12页
关于单纯形法的补充说明
cj
max z x1 x2 2x3 x4 CB XB b x1 x2 x3 x4
x1 x3 x4 1 2 x3 1 [1] 0 1 -1
x1 x2 2x4 0 x1, x2 , x3, x4 0
1 1
x2 σj x1
0 1
-1 0 1
1 0 0
0 0 1
单纯形法的计算步骤及应用
（4-16）
（4-17）
bi' bi
bl ai ,k ( i 1,2, , n; i l ) al ,k
这样经过变换以后就得到了新的增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,k 1 a l ,k 1 0 al ,k a m ,k 0 a l ,k 0 a
单纯形法介绍及相关问题
标准型线性规划问题 max s=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
an1x1+an2x2+…+annxn=bn xj≥0(j=1,2,…,n)
单纯形法介绍及相关问题
例1 已知约束如下
（4-11）
单纯形法介绍及相关问题
2、基本可行解之间的迭代
在讨论中我们假设对方程组（4-10）的系数增广矩阵 p1 … pl pm pm+1 pk pn b
a1,m1 1 1 al ,m1 1 am ,m1
a1,m1 a1,n al ,m1 al ,n am ,m1 am ,n
' a1 ,m 1 ' 0 a1 ,n
' l ,m 1
0
1 al' ,n
1 a'm ,m 1 0 a'm ,n
' b1 bl' ' bm
单纯形法解题步骤
三、单纯形法的解题步骤第一步：作单纯形表.）（1）把原线性规划问题化为标准形式；）（2）找出初始可行基，通常取约束方程组系数矩阵中的单位矩阵；）（3）目标函数非基化；）（4）作初始单纯形表.第二步：最优解的判定.(1) 若所有检验数都是非正数，即，则此时线性规划问题已取得最优解.(2) 若存在某个检验数是正数，即，而所对应的列向量无正分量，则线性规划问题无最优解.如果以上两条都不满足，则进行下一步.第三步：换基迭代.，并确定所在列的非基变量为进基变量.（1）找到最大正检验数，设为（2）对最大正检验数所在列实施最小比值法，确定出主元，并把主元加上小括号.主元是最大正检验数所在列，用常数项与进基变量所对应的列向量中正分量的比值最小者；替换出基变量，从而得到新的基变量.也就是主元所在（3）换基：用进基变量（4）利用矩阵的行初等变换，将主元变为1，其所在列其他元素都变为零，从此得到新的单纯形表；（5）回到第二步，继续判定最优解是否存在，然后进行新一轮换基迭代，直到问题得到解决为止.例3 求.解（1）化标准型：令，引进松弛变量，其标准型为求（2）作单纯形表：在约束方程组系数矩阵中的系数构成单位矩阵，故取为基变量，目标函数已非基化了，作初始单纯形表并“换基迭代”（见表6.8）.表 6.8（3）最终结果：此时检验数均为非正数，线性规划问题取得最优解，最优解为标函数取得最优值.目性规划问题的最优解为：.原线目标函数的最优值为14，即.例4 用单纯形方法解线性规划问题.求.解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵（1、2行，3、4列构成），取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数, 经整理后，目标函数非基化了.作单纯形表，并进行换基迭代（见表6.9）.最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量进基.表 6.9目前最大检验数，其所在列没有正分量，所以该线性规划问题没有最优解.例5用单纯形方法解线性规划问题.求解此数学模型已是标准型了，其中约束方程含有一个二阶单位矩阵，取为基变量，而目标函数没有非基化.从约束方程找出，,代入目标函数，经整理得,目标函数已非基化.作单纯形表，并进行换基迭代(见表6.10).最大检验数，由最小比值法知：为主元，对主元所在列施以行初等变换，基变量出基，非基变量x2进基，先将主元化为1，然后再将主元所在列的其他元素化为零.表 6.10至此，检验数均为非正数，故得基础可行解.原问题的最优解为：.最优值为6，即.如果我们再迭代一次，将基变量出基，非基变量进基（见表6.11）.表 6.11可得到另一个基础可行解,原问题的最优解为：，最优值仍为6，说明该线性规划问题有无穷多最优解，其最优解均为6.如何知道线性规划问题有无穷多最优解呢？这主要反映在单纯形表中.如果非基变量所对应的检验数为0，我们可对此列继续进行换基迭代，就可以得到另一个基础可行解.以此作下去，可得到许多基础可行解，即相对应的最优解有无穷多个.（4） 011 0。
1.4 单纯形法计算步骤
xB x4 x5
b
19 9 0
m
x1 x2 x3 x4 x5
3 9 10
θ
σj =cj - ci aij
i 1
z= ci bi
i 1
第10页
4.2计算步骤
单纯形法基本步骤
(1) 寻找初始可行基，初始基可行解，建立初始单 纯形表。
(2) 对应于所有非基变量检验数σ j 0。 若是，停，得到最优解； 若否，转(3)。 (3) 若有σ k >0， σ k对应的Pk 0，停， 此问题无界； 否则转(4)
X *= (4, 2, 0 ,0 , 4)T
最优解
第18页
4.2计算步骤 用单纯形法求解线 性规划问题
课 堂 练 习
第19页
4.2计算步骤
cj
CB
10 b 19 9 0 3 9 10
3 6 3 3
4 2 1 4
0 1 0 0
0 θ 0 1 0
0 0
xB x4 x5
x1 x2
x3 x4 x5
z
第20页
§1.4 单纯形法计算步骤
1.将非标准型线性规划化为标准型 2.确定初始基可行解：一般设松弛变量为初始基可 行解 3.判断：若所有的非基变量的检验数σj≤0，则此 解为LP的最优解，若存在某一非基变量的检验数 σj>0，则问题还没有达到最优解，需进行改进 4.迭代：选换入变量max{cj- zj/ cj-zj>0}假设xk为换 入变量；选换出变量θ＝min{bi/aik，aik＞0}，假 设选取xl为换出变量；然后迭代，使得alk＝1，其 余aik为0 m
第11页
4.2计算步骤
单纯形法基本步骤
(4) Max σj =σk→Xk 换入变量 σ >0
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45 x2 3 3 45
24 x3 1 2 24
0 x4 1 0 0
0 x5 θ i 0 100/3 1 120/3 0
现用例1的标准型来说明上述计算步骤。
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
x1 2x 2 x 3 4x 2 xj 0 8 4x1 x4 16 x 5 12 j 1,2, ,5
i 1
θ列的数字是在确定换入变量后， 0 0 xi xl min a ij 0 按θ规则计算后填入， i a ij a lj 用以确定换出变量； 表1-2 称为初始单纯形表，每迭代一步构造一个新单纯形表。
例 ： 试列出下面线性规划问题的初始单纯型表
z c1 x 1 c m x m c m 1 x m 1 c n x n 0
线 性 规 划 的 方 程 组
为了便于迭代运算，将上述方程组写成增广矩阵形式
z
x1
x2
xm
x m 1
xn
b
0 1 0 0 a 1 ,m 1 0 1 0 a 2 ,m 1 0 0 0 0 1 a m ,m 1 cm 1 1 c1 c 2 c m -z+c1x1+c2x2+…+cmxm+cm+1xm+1+ …
0
X4 1/4 1/2 -1/8 -1/8
θ 4 12
c j→
CB 2 0 3 -z XB x1 x5 x2
0
x5 0 1 0 0 θ
表 1-5
1/2 -3/2
-14
(4) 表1-6最后一行的所有检验数都已为负或零。 表示目标函数值已不可能再增大，于是得到最优解
max f ( x) 40x1 45x 2 24x 3 +0x4+0x5 2x 1 3x 2 x 3 s.t . 3x1 3x 2 2x 3 x1 , x 2 , x 3
+x =100 100 4
120 +x5=120 0
CB 0 0
40 XB b x1 x4 100 2 x5 120 3 cj-zj 40
(3) x1应为换入变量，得表1-5。
c j→
2
3
0
0
0
CB 2 0 3 -z
XB x1 x4 x2
b 2 8 3 -13
x1 1 0 0 0
2
b 4 4 2 x1 1 0 0 0
x2 0 0 1 0
3
x2 0 0 1 0
x3 1 -4 0 -2
0
x3 1 -2
x4 0 1 0 0
x5 -1/2 2 1/4 1/4
i 1 m
cn i xn a 1n a 2n a mn c n c i a in
i 1 m
1 2 m
单纯形表1-2 的说明：
XB (基）列中填入基变量，这里是x 1，x 2 ,…，x m； CB 列中填入基变量的价值系数，这里是 c1 ,c 2 , … , c m ，它们是与基变量相对应的； b 列中填入约束方程组右端的常数； cj 行中填入基变量的价值系数c1 ,c2 , … , c n； 最后一行称为检验数行，对应各非基变量xj 的检验数， m 用以确定换入变量； j c j ci aij , j 1,2, , n
c n c i a in
可根据上述增广矩阵设计计算表---单纯形表
cj CB c1 c2 cm XB x1 x2 xm cj z j b b1 b2 bm
c1 x1 1 0 0 0
cm xm 0 0 1 0
cm 1 x m 1 a 1 ,m 1 a 2 ,m 1 a m ,m 1 c m 1 c i a i ,m 1
(1) 取松弛变量x3,x4,x5为基变量， 得到初始基可行解X(0)=(0,0,8,16,12)T 得到初始单纯形表如下：
，
表 1-3
CB 0 0
目标函数中各变量的价值系数。
cj→ XB x3 x4 x5 b 8 16 12 0 2 3 0 0 0 θ 8/2=4 12/4=3
x1 x2 1 4 0 2 2 0 4 3
4.1单纯形表
为了计算上的方便和规格化，对单纯形法计算 设计了一种专门表格，称为单纯形表。 其功能与增广矩阵相似，下面来建立这种计算表。 将书P23 (1-22) 标准型中的约束方程组与目标函数组 成 n+1 个变量，m+1 个方程的方程组。
x1 x2
a 1m 1 x m 1 a 1 n x n b 1 a 2m 1x m 1 a 2n x n b 2 x m a mm 1x m 1 a mn x n b m
a 1n b 1 a 2n b 2 a mn b m cn 0 +cnxn =0
xn a 1n a 2n a mn
m i 1
线 性 规 划 的 方 程 组
b b2 bm m cibi i 1 b1
z 0 0 0 1 x1 x 2 1 0 0 0 0 0 1 xm 0 0 0 1 0 x m 1 a 1 ,m 1 a 2 ,m 1 a m ,m 1 c m 1 c i a i ,m 1
i 1 m
x3 x4 x5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
基变量 0
-z
3.确定主元素
1.计算检验数，由它 确定为换入变量
2. 计算θ，由它确定为算或迭代运算，
c j→ CB 0 0 3 -z XB x3 x4 x2 b 2 16 3 -9 2 x1 1 4 0 2 3 x2 0 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 -1/2 0 1/4 -3/4 θ 2 4 -