单纯形法基本原理及实例演示
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2-1单纯形法原理
bl' a'
lmk
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4、迭代运算
写成增广矩阵的形式,进行迭代.
x1 x2 xm xm1....xl
xn
b
1
a1m1 ...a1mk ...a1n ....... ...... .......
1
alm1 ...almk ...aln
....... ...... ........
1 amm1 ...ammk ...amn
xm
的
k
mk
0
并且对应的非基变量的系数
a' 0, i 1,2,..m i ,mk
则具有无界解（或无最优解）。
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2、最优性检验与解的判别
（4）之证明： x1
b1'
a x ' 1mk mk
x2
b2'
a' 2mk
xmk
........
.......... .
xm
bm'
a' mmk
xmk
X (2) (2,3,0,8,0)T 最优解
X (3) (4,2,0,0,4)T 目标函数为： Z 14 1.5x3 0.125x4
最优值Ｚ＝１４
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代入目标函数 Z 9 2 • 结合图形法分析（单纯形法的几何意义）
令：x1 x5 0, 得一基可
x2
X (1) (0,3,2,16,0)T
j m 1
j m1
cm1xm1 ... cn xn
m
n
m
cibi'
(c j ciai'j )x j
i 1
j m 1
求解线性规划的单纯形法03
1.2 单纯形法的几何意义
第二节 单纯形法的计算过程
2.1 单纯形表 表2-1 初始单纯形表的一般形式
cj
基 解
c1 , c2 ,cm , cm1 ,, cn
x1 , x2 , xm , xm1 , xm 2 , xn
比
值
c1 c2
x1 b1 1 0 0 a1,m 1 a1.n x2 b2 0 1 0 a1,m 1 a1.n
基；又由min ,6,9 6 可确定比值6所在行的基变量x4离 基;x2列与x4行的交叉处给出主元2。为醒目起见，在表中x2列和x4 行都标有箭头，分别表示主列和主行，而且主元2被套上圆圈。
按主元2对表2－2进行一次换基运算，于是得到新单纯形 表(见表2－3），返3。由
Cj CB 0 5 基 XB X3 X2 解b 8 6 12 30 3 5 0 0 0 比 值 8 4(min)
分别给每个约束方程硬行加入一个非负变量，
xn1 , xn 2 ,, xn m
得到
b1 a11 x1 a12 x2 a1n xn xn1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn xn 2 b2 (2 9) am1 x1 am 2 x2 amn xn xn m bm x1 0, x2 0, xn , xn1 , xn 2 ,, xn m 0
以 xn 1 , xn 2 , , xn m 为基变量，可以得到(2 －9)的一个初始基本可行解：
这个解x0完全是人为地加入m个变量
X 0 0, 0, b1 , b2 ,, bm , 0, n
T
xn1 , xn 2 ,, xn m
第三节 单纯形法
θi 32.5 40 25
5 7. 5
注意：单纯形法中， 注意：单纯形法中， 1.每一步运算只能用矩阵初等行 1.每一步运算只能用矩阵初等行 变换； 变换； 2.表中第3列的数总应保持非负 2.表中第 表中第3 （≥ 0）； 3.当所有检验数均非正（≤ 0） 3.当所有检验数均非正 当所有检验数均非正（ 得到最优单纯形表。 时，得到最优单纯形表。
8
1.初始单纯形表： 1.初始单纯形表： 初始单纯形表
CB XB b b1 b2 ┇ bm f
m
cn+1 xn+1 cn+2 xn+2 ┇ ┇ cn+m xn+m m -z
c1 x1 a11 a21 ┇ am1 σ1
… … … … ┇ … …
cn xn a1n a2n ┇ amn σn
m
cn+1 xn+1 1 0 ┇ 0 m 0
-z
15
在最优单纯形表中，非基变量的检验数不 在最优单纯形表中， 是正数,于是得到最优解为X 是正数,于是得到最优解为X*=(15,10,0,0,45)T 最优目标值为z =32500。注意到非基变量x 最优目标值为z*=32500。注意到非基变量x4 的检验数是0 如果选x 为进基变量， 的检验数是0，如果选x4为进基变量，迭代 还可以进行下去，但是最优值不会增大， 还可以进行下去，但是最优值不会增大， 而只有最优解改变，这就是多解的情况。 而只有最优解改变，这就是多解的情况。 下面再迭代一步，如表2 所示。 下面再迭代一步，如表2-9所示。
19
解：单纯形法求解过程如下表。 单纯形法求解过程如下表。
CB XB
0 0 0 -z 7 0 0 -z x1 x6 x7 x5 x6 x7
单纯形法2(原理)
单纯形法原理
理论方法 算法步骤
第1页
min z=6x1)+ x2=1
1
x2
s.t. 3x 4 x 1.5 1 2
x1 , x2 0
目标 等值 线：
作 业 讲 评 可 行 域
6x1+4x2 ＝3
6x1+4x2 ＝1 6x1+4x2 ＝0
最优解
最优解：x1 ＝0.5,x2=0 0 最优值：minz=3
X4 =190- 2X2 ≥0 X5 =240- 3X2 ≥0
b1 b2 b3 min( , , ) a12 a22 a32
选择X2=min(100/1,190/2,240/3)=80 方能同时满足以上三个约束
这时X5=0决定了应该用X2去换X5
第24页
实例
用非基变量表示基变量
X1+X2+X3 =100
第12页
实例 Max Z=1.5X1+2.4X2
X1+ X2 ≤100 3X1+2X2 ≤190 2X1+3X2 ≤240 X1 、X2 ≥0
不是标准型
第13页
实例
化成标准型
Max Z=1.5X1+2.4X2+0X3+0X4+0X5 X1+X2+X3 =100 3X1+2X2 +X4 =190 2X1+3X2 +X5 =240 X1 、X2、X3、X4、X5 ≥0
第26页
实例
求 解
Z=192-0.1X1-0.8X5 X3 =20-1/3X1+1/5X5 X4 =30-5/3X1+2/3X5 X2 =80-2/3X1- 1/3X5
理论方法 算法步骤
第1页
min z=6x1)+ x2=1
1
x2
s.t. 3x 4 x 1.5 1 2
x1 , x2 0
目标 等值 线：
作 业 讲 评 可 行 域
6x1+4x2 ＝3
6x1+4x2 ＝1 6x1+4x2 ＝0
最优解
最优解：x1 ＝0.5,x2=0 0 最优值：minz=3
X4 =190- 2X2 ≥0 X5 =240- 3X2 ≥0
b1 b2 b3 min( , , ) a12 a22 a32
选择X2=min(100/1,190/2,240/3)=80 方能同时满足以上三个约束
这时X5=0决定了应该用X2去换X5
第24页
实例
用非基变量表示基变量
X1+X2+X3 =100
第12页
实例 Max Z=1.5X1+2.4X2
X1+ X2 ≤100 3X1+2X2 ≤190 2X1+3X2 ≤240 X1 、X2 ≥0
不是标准型
第13页
实例
化成标准型
Max Z=1.5X1+2.4X2+0X3+0X4+0X5 X1+X2+X3 =100 3X1+2X2 +X4 =190 2X1+3X2 +X5 =240 X1 、X2、X3、X4、X5 ≥0
第26页
实例
求 解
Z=192-0.1X1-0.8X5 X3 =20-1/3X1+1/5X5 X4 =30-5/3X1+2/3X5 X2 =80-2/3X1- 1/3X5
第三讲 单纯形法
最优性检验和解的判别
将X (0)
( x10 ,
x20 ,,
x
0 m
,0,
,0)T
和
X (1) ( x10 -a1 j ,, xm0 amj ,0,,0)T
代入目标函数
m
z(0) ci xi0 i 1
m
z(1) ci ( xi0 aij ) c j i 1
m
m
ci
x
0 i
(c j
单纯形法引例4这样如此下去可得要有一个变为非基变量此时目标函数变为由于目标函数中的变量系数都小于等于0所以42004为最优解最优值z14标本无需切片处理而代之在标本表面涂上一层铂金当电子撞击标本表面各点时便产生次及电子呈现立体状态可观察标本的形状及表面的特征
第1章 线性规划与单纯形法
第1节 线性规划问题及其数学模型 第2节 线性规划问题的几何意义 第3节 单纯形法 第4节 单纯形法的计算步骤 第5节 单纯形法的进一步讨论 第6节 应用举例
1 0 1 0 -1/2
0 0 -4 1 2
0 1 0 0 1/4
0 0 -2
0 1/4
1 0 0 1/4 0 0 0 -2 1/2 1 0 1 1/2 -1/8 0
0 0 -3/2 -1/8 0
j
--8/2
3/(1/4)
单纯形法迭代原理：确定初始可行解
n
目 标 函 数 ：max z c j x j j 1
令 这m个 不 等 式 至 少 有 一 个 等号 成 立 。
可 令
min i
xi0 aij
aij
0
xl0 alj
故X (1)是一个可行解，其分量xi1 xi0
aij
系统工程导论_09单纯形法
（1）
第三、第一次迭代，得到初始基本可行解后，就进入迭代过程，但在开始迭代前应建立 一个判断标准， 以便决定每次迭代后的基本可行解是否是最优解， 从而决定迭代过程是停止 还是继续。选取临近顶点，如果能使目标函数值增大，则为新的基础可行解。 1）选择引入变量：选大原则； 考虑目标函数 f x 13x1 11x 2 ，由于 x1 的系数 13 比 x 2 的系数 11 大，故选 x1 为 引入变量； 2）选择退出变量：最小比值规则（或 规则） ；
x3 1500 4 x1 41500 / 4 x1 4375 x1 由于 x 2 0 ，根据（1）有： x 4 1575 5 x1 51575 / 5 x1 5315 x1 ，取 x 420 x 1420 / 1 x 1420 x 1 1 1 5
x1 2 x 2 x3 10 s.t. 2 x1 3 x 2 3 x3 10 （Ⅰ） x 0, x 0, x 0 2 3 1
线性规划问题（Ⅰ）和（Ⅱ）之间有如下关系： ① 一个问题的目标函数系数是另一个问题约束条件的右端常数； ② 一个问题的第 i 个约束条件的各系数是另一个问题第 i 个变量的约束条件系数（或， 一个问题的约束条件的系数矩阵是另一个问题的约束条件系数矩阵的转置） ； ③ 一个问题是求目标函数的极大值，约束条件全都是“≤”形式，而另一个问题是求 目标函数的极小值，约束条件全都是“≥”形式； ④ 两个问题的变量均非负。 一般情况：
3 x1 6 x2 24 s.t. 2 x1 x2 10 x 0, x 0 2 1
解：最优解为 x1 4 ， x2 2 ，最优值为 f x 14 。
第五章 单纯形法ppt课件
➢ x2+x5＝250
→ 0＝250？
➢ 显然不能得到相应的解。
编辑版pppt
9
一、问题的提出
➢ 为什么令x2＝0，x5＝0时不能得到解？ ➢ 因为其余三个变量的系数列向量为
110
201
000
➢ 该矩阵是非可逆矩阵，即去掉x2和x5后的三个约束 方程线性相关，这种情况下得不到解。
编辑版pppt
10
编辑版pppt
24
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 3、那有没有办法在求出解之前保证我 们取得的基为可行基？
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
编辑版pppt
25
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
❖ 我们首先将最优解缩小在一个有限的❖ 回顾图解法，我们知道：最优解必定在可行域的顶 点上取得，而顶点的个数总是有限的。
❖ 多维线性规划问题的可行域也存在有限个顶点。
❖ 如果能够从一个顶点开始，通过某种方式向更优顶 点转移，总会找到最优点。
❖ 首先面临的问题： ❖ 如何通过代数方法找到第一个顶点？
存在3阶单位阵
编辑版pppt （初始可行基）
26
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 基本可行解为（0，0，300，400，250） ➢ 此可行基称为初始可行基。 ➢ 对应的解称为初始基本可行解。
➢ 初始基本可行解在上页矩阵中一目了然。
编辑版pppt
27
二、单纯形法的基本思路和原理 ➢第二步：最优性检验
不存在 (200,0,100,0,50) (300,0,0,-200,-50) (0,250,50,150,0) (0,400,-100,0,150) (0,300,0,100,-50)
单纯形法
单纯形法一、单纯形法的原理线性方程组的解：⎩⎨⎧=----=+-+-4322425432154321x x x x x x x x x x （1） 5个未知数，两个方程组。
方程的解多于1个。
两种初等变换：51）方程组的任一方程乘上一个不为零的数。
2）方程组的任一方程两边同乘上一个常数，分别加到另一个方程的两边。
式（1）做变换得到：（①×-1）⎩⎨⎧=-+-=+-+-2322242543254321x x x x x x x x x （2） 式（2）做变换得到：（②×2）⎩⎨⎧=-+-=---232642354325431x x x x x x x x （3）方程组（1）、（2）、（3）同解，可令0543===x x x 。
得到：61=x ，22=x 。
选择3x ，4x ，5x 不同的值，相应地有不同的1x 和2x 的值，因此方程组有多组解。
基本变量：如果变量i x 的系数在某一个方程为1，而在其它所有方程为0，则称i x 为该方程组中的基本变量。
非基本变量：凡不是基本变量的变量都叫做非基本变量。
1x ，2x 为基本变量；3x ，4x ，5x 为非基本变量。
旋转运算：运用初等变换，可使一给定变量化为基本变量，这一运算，成为旋转运算。
基本变量的个数，与方程的个数相同。
基本解：设非基本变量为0，求得相应的基本变量的值，得到一组解，这组解称为基本解。
基本可行解：基变量的值为非负时的基本解称为基本可行解。
单纯形法的思路；1）先不考虑目标函数，从满足约束条件开始，寻求一个初始基本可行解； 2）求具有较佳目标函数值的另一个基本可行解，以改进初始解；3）对目标函数做有限次的改善。
当某一个基本可行解不能再得到改善时，即求得最优解，单纯形法结束。
二、单纯形算法例：54321325max x x x x x Z +-++= 约束条件为：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥≥≥=+++=+++0,0,0,0,0743********53214321x x x x x x x x x x x x x （5） 以上线性规划问题中，具有： 1）全部变量非负；2）全部约束条件都是等式；5 3）右端常数都是正的。
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Max Z = CX
（a）
C(c1,c2, ,cn);
s.t. AX=b X 0
（ b） （c）
X(x1,x2, ,xn)T
a11 a12 …. a1n
b1
A= a21 a22 …. a2n
……………………………
am1 am2 …. amn
b = b2
…………
bm
整理课件
基矩阵
示例:
目标函数
约 束 条 件
CB
CN
x1
x2
0• s1
s2
s3
每个非基
XB
变量的检
验值
XN j cj zj
Zj=CBNj
s.t.
x1
1 2 0
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
•
x2 s1 s2
300 400 250
N
基B
s3
1x1+1 x2+1s1+0s2+0s3 =300 2x1+1 x2+0s1+1s2+0s3 =400 0x1+1x2+0s1+0s2+1s3 =250 x1 ≥0, x2≥0, si≥0
0
0 100
Zj=CBNj
j cj zj
整理课件
比值
S3 b b i
0
a i2
0 300
0 400
1 250
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
x2
s1
s2
量
50 100 0 0
1 110 2 101
1
0 100
Zj=CBNj
j cj zj
整理课件
比值
s3 b b i
0
a i2
0 300
如果CN- CB B-1N小于0，无论XN取任何大于0值，只会让Z变 小，因此我们可以通过CN- CB B-1N来判断Z取得是不是最大 值。
如果存在一个CN- CB B-1N大于0，则说明Z的值会随着XN增 大而增大，说明Z有调整的余地。
定理一：若某个基本可行解所对应的检验向量CN- CB B-1N <=0,则这个基本可行解就是最优解。
整理课件
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
X2
s1
s2
S3
比值
b bi a ij
1 Zj=CBNj
j cj zj
整理课件
Z=CBB-1b
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1 X2 s1 s2 S3
目标函数系数区
比值
b bi a ij
基 变 量 区
1
约束条件
右 端 系
系数区 数
Zj=CBNj
300
2x1 x2 s2 400
x2 s3 250
x1, x2, s1, s2, s3 0
整理课件
•提取系数，填入表格：
m z 5 x 1 a 1 0 x x 2 0 0 s 1 0 s 2 0 0 s 3 = CB B-1b + (CN- CB B-1N ) XN
C向量
maxz 50 100 0 0
设 A=（B , N）（B为一个基，即线性无关向量组R(A)=R(B)）
XT= (XB , XN) T （XB 为基变量，XN为非基变量） C= (CB , CN) （CB 为基变量系数，CN为非基变量系数） 则有： Z= (CB , CN) (XB , XN) T= CB XB+CN XN AX =（ B , N） (XB , XN) T = B XB+ N XN = b 因为B为基, 故有 XB +B-1N XN = B-1b，
0 400
1 250
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
j cj zj
检验系数区
Z=CBB-1b
整理课件
初始单纯形表
迭代 基变 次数 量
CB
x1
x2
s1
s2
s3
50 100 0 0 0
比值
b bi a i2
1 Zj=CBNj
j cj zj
整理课件
Z=CBB-1b
初始单纯形表
基
迭代 次数
变
CB
x1
X2
s1
s2
量
50 100 0 0
1 110 2 101
整理课件
线性规划的例子
max z 4 x1 3 x2 2 x1 2 x2 1600 5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 , x2 0
整理课件
线性规划--标准化
❖ 引入变量：s1,s2,s3
max z 50x1 100x2 0s1 0s2 0s3
x1 x2 s1
解得可行解XB=B-1b-B-1NXN，代入目标函数Z， Z = CB B-1b + (CN- CB B-1N ) XN
令非基变量XN = 0 ，则有 XT = (XB , XN) T =（ B-1b , 0) T Z = CB B-1b
整理课件
Z = CB B-1b + (CN- CB B-1N ) XN
最优解，停止计算，否则转入下步。 ④在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk≤0，则此问题
是无界解，停止计算，否则转入下步。 ⑤根据max{j｜j＞0}=k原则，确定xk为换入变量(进基变量)，再按
规则计算：=min{bi/aik| aik＞0}=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建立新 的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。 ⑥以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即 aik变为1，同列中其它元素为0，转第③ 步。
定理二：若某个基本可行解所对应的检验向量CN- CB B-1N存 在一个检验数=0,则该问题有无数多个最优解。
定理三：若某个基本可行解所对应的检验向量Cj- CB B-1Nj大
于0，且aij,都小于0，则无解。 为了矩阵形求逆计算方便，
整理课件一般将B转化为单位矩阵。
2、单纯形法的计算步骤
①将线性规划问题化成标准型。 ②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。 ③计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ′，若所有j≤0，则问题已得到
单纯形法求解—动态演示
❖ 在求解LP问题时,有人给出了图解法,但对 多维变量时,却无能为力,于是
❖ 美国数学家G·B·Dantgig(丹捷格)发明了 一种“单纯形法”的代数算法，尤其是 方便于计算机运算。这是运筹学史上最 辉煌的阶段。
整理课件
一、关于标准型解的若干基本概念
线性规划问题标准型的矩阵形式：
x1 x2 x3 x4
3 0 00 3
0 2 0 0= 2
0 0 11 1
max z 3x1 2 x2 x3 x4
3x1
3
s.t.
2x2
2
Байду номын сангаас
x3 x4 1
x1 x2 x3
0
行列式≠0 基矩阵
300 020 001
X1,x2,x3为基变量,x4为非基变量
整理课件
1、单纯形法原理：
Z = CX AX=b