单纯形法基本原理
单纯形法原理
单纯形法原理单纯形法，求解线性规划问题的通用方法。
单纯形是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的。
它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。
顶点所对应的可行解称为基本可行解。
单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行。
因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解。
如果问题无最优解也可用此法判别。
单纯形法是从某一基可行解出发，连续地寻找相邻的基可行解，直到达到最优的迭代过程，其实质是解线性方程组。
概述：根据单纯形法的原理，在线性规划问题中，决策变量（控制变量）某1，某2，…某n的值称为一个解,满足所有的约束条件的解称为可行解。
使目标函数达到最大值（或最小值）的可行解称为最优解。
这样，一个最优解能在整个由约束条件所确定的可行区域内使目标函数达到最大值（或最小值）。
求解线性规划问题的目的就是要找出最优解。
最优解可能出现下列情况之一：①存在着一个最优解；②存在着无穷多个最优解；③不存在最优解，这只在两种情况下发生，即没有可行解或各项约束条件不阻止目标函数的值无限增大（或向负的方向无限增大）。
单纯形法的一般解题步骤可归纳如下：①把线性规划问题的约束方程组表达成典范型方程组，找出基本可行解作为初始基本可行解。
②若基本可行解不存在，即约束条件有矛盾，则问题无解。
③若基本可行解存在，从初始基本可行解作为起点，根据最优性条件和可行性条件，引入非基变量取代某一基变量，找出目标函数值更优的另一基本可行解。
④按步骤3进行迭代,直到对应检验数满足最优性条件（这时目标函数值不能再改善），即得到问题的最优解。
⑤若迭代过程中发现问题的目标函数值无界，则终止迭代。
用单纯形法求解线性规划问题所需的迭代次数主要取决于约束条件的个数。
单纯形法基本原理
否
含 有xa
是 无可行解
(a对ik
0 任一
j 0)
否
是 无界解
有某个 否 非基变量的
j 0
唯一 最优解
是
无穷多
最优解
循
环
停止
计 算 i
( bi alk
alk
0)
用 非 基 变 量xk 替 换 基 变 量xl
列出下一个 新单纯形表
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 Page 17
解的判别： 1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零, 则线 规划具有唯一最优解。 2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零, 则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。 3）无界解判别：某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性 规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并 且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。
max Z 3 x1 4 x2
2x1 x2 40
x1
3x2
30
x1
,
x2
0
解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:
max Z 3 x1 4 x2
2 x1 x2 x3 40
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
3x2
x4
30
x1
,
x2
,
x3
换
x3
x4
出
1
0
40 行
0
1
1-3 单纯形法原理
由于任意系数列向量均可由基向量组线性表示，则非基向 量中的 Pj 用基向量组线性表示为：
Pj a ijPi
i 1
2017/5/5
m
Pj a ijPi 0,
i 1
m
( j m 1,...,n )
12
设有 0，则
( Pj aij Pi ) 0
i 1
只要取
(0) (0) x x min i aij 0 l 为
正，于是非零分量的个数
m
，并可证得
P P2 ... Pl 1 Pl 1 ... Pm , Pj 1
线性无关，所以 X (1) 是新的基可行解。
2017/5/5
a12 a22
a1n a2 n
am 2 amn
1 0 0 0 1 0 0 0 1
9
由于该矩阵含有一个单位子矩阵，因此，这个单位阵就是一组 基，就可以求出一个基可行解：
X 0,,0, b1,, bm
令：X X (1) (1 ) X ( 2 )
0 1
则AX A(X (1) (1 ) X ( 2 ) ) AX (1) AX ( 2 ) AX ( 2 ) b
X C C 为凸集
引理：线性规划问题的可行解X＝(x1,x2,……xn)为基可行解的充要条件是 X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的（所组成的矩阵是非奇 异的）。
11
由构造初始可行基的方法知前m 个基向量恰好是一个单位
阵，所以约束方程组的增广矩阵为
P1 P2 ... Pm Pm1 ... Pj ... Pn b
1 0 ... 0 0 ... 0 1 ... 0 ... ... ... 0 ... 1 a1,m 1 ... ... a1, j ... ... a2,m 1 ... a2, j am,m 1 ... am , j ... a1,n b1 ... a2,n b2 ... ... ... ... am,n bm
单纯形法的基本原理
单纯形法的基本原理单纯形法是一种用于求解线性规划问题的数学方法，它的基本原理是通过不断地移动解空间中的顶点来逼近最优解。
在解决实际问题中，我们经常会遇到一些资源有限，而需要在这些资源限制下最大化或最小化某个指标的情况，这时就需要用到线性规划问题。
而单纯形法正是针对这类问题提出的一种高效的求解方法。
单纯形法的基本原理可以用几个关键步骤来概括。
首先，我们需要将线性规划问题转化为标准型，即目标函数为最大化，约束条件为等式的形式。
接着，我们需要找到一个初始可行解，这个可行解需要满足所有的约束条件。
然后，我们通过一系列的基本变量的替换，不断地移动解空间中的顶点，直到找到最优解为止。
在单纯形法中，我们需要利用单纯形表来进行计算。
单纯形表是一个表格，其中包含了目标函数、约束条件、基本变量等信息。
通过对单纯形表的不断变换和计算，我们可以逐步逼近最优解。
在每一步的计算中，我们需要选择一个入基变量和一个出基变量，通过一系列的行变换和列变换来更新单纯形表，直到找到最优解为止。
单纯形法的基本原理虽然看起来比较复杂，但实际上它是建立在一些简单的数学原理之上的。
通过对解空间中的顶点进行移动，我们可以逐步逼近最优解，这是单纯形法能够高效求解线性规划问题的关键所在。
在实际应用中，单纯形法已经被证明是一种非常有效的方法，它可以帮助我们在资源有限的情况下做出最优的决策。
总的来说，单纯形法是一种用于求解线性规划问题的高效方法，它的基本原理是通过不断地移动解空间中的顶点来逼近最优解。
通过对单纯形表的计算和变换，我们可以逐步找到最优解。
在实际应用中，单纯形法已经被广泛地应用于各个领域，它为我们解决资源有限的最优化问题提供了一个强大的工具。
希望本文对单纯形法的基本原理有所帮助，谢谢阅读！。
运筹学-第一章-单纯形法基本原理
X ( 0) ( x1 , x2 ,, xm ,0,0,...,0)T (b1 , b2 ,......,bm ,0,0,...,0)T
0
0
0
单纯形法基本原理
2、基变换 定义：两个基可行解称为相邻的，如果它们之间变换 且仅变换一个基变量。 初始基可行解的前m个为基变量，
X
凸集
顶点
凸集
不是凸集
顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，使X 成为这两个点连线上的一个点
单纯形法基本原理
定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是 凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶 点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优 解。（或在某个顶点取得）
的左边变成一个单位矩阵，
b (b1 a1 j ,.,bl 1 al 1 j , , bl 1 al 1 j ,.,bm am1 j , ) ( x1 , x2 ,..., xl 1 , x j , xl 1 ,..., xm )
X
(1)
T
与X
( 0)
是相邻的基可行解。
M M bm 0 L
M M
M M
L 1 am,m1 L L 00
M , M amn m
bi 其中： i a kj 0 a kj
j c j ci aij c j z j
单纯形法的计算步骤
例1.12 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
xi0 aij 0, aij 0,取值无限，
运筹学第5章 单纯形法
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
单纯形法原理 单纯形表
单纯形法原理单纯形表单纯形法原理与单纯形表的详实解析在数学领域中，特别是在线性规划问题的研究中，单纯形法是一种十分重要的求解方法。
它是由美国数学家乔治·丹齐格在1947年提出的一种迭代算法，用于解决具有多个变量和约束条件的优化问题。
本文将围绕单纯形法的原理和单纯形表这两个核心概念进行详细的解析。
一、单纯形法原理单纯形法的基本思想是通过一系列可行解逐步逼近目标函数的最大值或最小值。
这些可行解形成一个点集，称为单纯形。
每次迭代过程中，算法都会选择一个新的顶点作为下一个单纯形的顶点，这个新的顶点应该使目标函数有所改进。
重复这一过程，直到达到最优解或者满足停止准则为止。
单纯形法的步骤如下：1. 构造初始单纯形：首先，需要找到一个包含至少两个可行解的多边形，这就是初始单纯形。
2. 判断是否达到最优解：如果当前顶点的目标函数值已经是全局最优解，那么算法结束。
3. 选择换入变量：如果当前顶点不是最优解，那么需要选择一个非基变量来替换基变量。
这个被选中的非基变量应该是能够使目标函数最大化的变量。
4. 计算换出变量：确定了换入变量后，需要计算相应的换出变量。
这可以通过解一个线性方程组来实现。
5. 更新单纯形：用新选出的变量替换旧的变量，得到新的单纯形。
6. 回到第二步，继续判断是否达到最优解。
二、单纯形表单纯形表是单纯形法的重要工具，它记录了单纯形法每一步的详细信息。
每个列代表一个基变量，而每个行则代表一个约束条件。
表中还包括目标函数的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
在单纯形表中，每一行代表一个约束条件，包括它的系数、常数项以及松弛变量和剩余变量的系数。
每一列则代表一个基变量，包括它的系数和该变量对应的值。
在每一步迭代过程中，单纯形表都会被更新以反映当前的解状态。
通过观察单纯形表的变化，我们可以清楚地看到迭代过程是如何进行的，以及如何通过调整基变量来改进目标函数的值。
总结来说，单纯形法是一种有效的解决线性规划问题的方法，其核心在于构造并不断更新单纯形表，通过迭代寻找最优解。
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工程优化设计中单纯形法的基本原理张云龙（大连海洋大学土木工程学院辽宁大连116023)摘要：从实例出发提出线性规划的数学模型，给出图解法的基本原理，进而重点讲述它的标准解法——单纯形法。
在此基础上进一步讨论单纯形法的推广，即大M法和两相法。
关键词：线性规划图解法单纯形法大M法THE BASIC PRINCIPLES OF SIMPLEX METHOD TO THE ENGINEERING OPTIMIZE DESIGNZHANG Yun-long(Dalian Ocean University, College of Civil Engineering, Liaoning, Dalian 16023)Abstract: From the instance of the starting linear programming mathematical model of the basic principles of the graphic method, and then focus on the standard solution - simplex method. To promote further discussion on this basis, the simplex method, that is, the big M method and two-phase method.Key Words: Linear programming；Graphic method；Simplex Method; Big M Method1引言在工程优化设计问题中，当约束集由一组线性函数所确定时，其最优化问题的求解已有比较系统的技巧。
如果连目标函数也是线性的，也即线性规划问题，则是目前对规划问题研究最透彻最完善的一类问题，而且有比较成熟的解法。
线性规划在工程实例中的应用已相当广泛。
虽然大多数设计问题是非线性的，但对线性规划的研究仍然占据突出地位。
其原因是：有一部分实际问题，诸如运输问题，分配问题等，确实可以用线性规划问题来求解。
尤为重要的是，对于几乎所有规划问题的讨论都与线性规划有关，有时用线性逼近法去直接求解非线性问题；有时则利用线性规划，作为求解在最优化过程中所提出的那些子问题的一个工具，例如，可用来求解可行方向法中的方向寻求问题等错误!未找到引用源。
因此，深刻理解线性规划问题及其标准解法——单纯形法，显得尤为关键。
2线性规划问题2.1数学模型线性规划主要解决：如何利用现有的资源，使得预期目标达到最优。
例如，美佳公司计划制造Ⅰ、Ⅱ两种家电产品。
已知各制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试工序及每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况，如表1-1所示。
问该公司应制造两种家电各多少件，使获取的利润最大？表1-1 工时及利润简表解题过程：设公司制造Ⅰ、Ⅱ两种家电分别为1,x 2x 件。
问题：1?x = 2?x =可使得利润Z 最大？ 设备A 的工时限制： 2515x ≤ 设备B 的工时限制： 126224x x +≤ 调试工序的时间限制：125x x +≤ 利润： 122Z x x =+ 即要求：12max 2Z x x =+ 目标函数即为：12max 2Z x x =+约束条件：s.t. 212121251562245,x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩其中，约束条件可记 s. t. (subject to), 意思为“以…为条件”、“假定”、“满足”之意。
从数学的角度来看上述的例子①每一个问题都有一组变量—称为决策变量，一般记为12,,,.n x x x 对决策变量每一组值：(0)(0)(0)12(,,)T n x x x 代表了一种决策方案。
通常要求决策变量取值非负，即0,(1,2,).i x i n ≥=②每个问题中都有决策变量需满足的一组约束条件—线性的等式或不等式。
③都有一个关于决策变量的线性函数—称为目标函数。
要求这个目标函数在满足约束条件下实现最大化或最小化。
将约束条件及目标函数都是决策变量的线性函数的规划问题称为线性规划。
有时也将线性规划问题简记为LP （linear programming)其数学模型为：1122max(min)n n Z c x c x c x =+++11112211211222221122(,)(,)..(,)0,(1,2,,)n n n n m m mn n mj a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x bx j n +++≤=≥⎧⎪+++≤=≥⎪⎪⎨⎪+++≤=≥⎪≥=⎪⎩上述模型的简写形式为：1max(min)nj jj Z c x==∑1(,)(1,2,,).0(1,2,,)nij j i j j a x b i m s t x j n =⎧≤=≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑若令12(,,,);n C c c c =12;n x x X x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12;m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11121212221212(,,,)n n n m m mn a a a a a a A P P P a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭则线性规划问题的矩阵形式：max(min)Z CX =(,).0AX bs t X ≤=≥⎧⎨≥⎩2.2 线性规划问题的标准形式LP 问题的数学模型的标准形式为：1122max n n Z c x c x c x =+++1(1,2,,,0).0(1,2,,)nij j i i j j a x b i m b s t x j n =⎧==≥⎪⎨⎪≥=⎩∑且⑴ 若目标函数为 1122min n n Z c x c x c x =+++，则可以引进新的目标函数,Z Z '=-则Z 的最小值即为Z ’的最大值，即：min max Z Z '=。
从而目标函数变换为：1122max n n Z c x c x c x '=----⑵ 当约束条件中含有不等式时， 如：12max 33Z x x =+()()12122101.21420(1,2)ix x s t x x x i +≤→⎧⎪+≤→⎨⎪≥=⎩此时，对⑴ 12210x x +≤，引入变量30,x ≥ 使得⑴式变为：123210x x x ++=，同理对⑵式12214x x +≤引入变量40,x ≥使得⑵式变为：124214x x x ++= 于是原LP 问题化为标准形式：12max 33Z x x =+123124210.2140(1,2,3,4)i x x x s t x x x x i ++=⎧⎪++=⎨⎪≥=⎩引进变量x 3,x 4称为松弛变量。
⑶ 若约束条件中线性方程式的常数项为负数，则将该线性方程式两端乘以-1，使得常数项为正数。
⑷ 若变量l x 无约束，则引进两个非负变量0,l x '≥0l x ''≥将l x 表示为：l l l x x x '''=- 所有的线性规划问题，总可以通过这四步将其化为标准形式，这样便于利用图解法或单纯形法进一步求解。
3 线性规划的图解法线性规划的图解法是解决两个变量LP 问题的一种简单实用的方法。
图解法步骤：⑴ 根据约束条件画出可行域。
⑵ 根据目标函数Z 的表达式画出目标直线Z=0，并表明目标函数增加的方向，即目标函数原点处的梯度方向，可通过求偏导数得到。
⑶ 在可行域中，找符合要求的距离目标直线Z=0的最远或最近点，并求出该点坐标。
例如，解LP 问题：12max 3Z x x =+12128.601,2i x x s t x x i +≤⎧⎪≤⎨⎪≥=⎩解：123Z x x =+在原点的梯度：13,xZ '=21x Z '= 所以，(3,1)Z ∇=。
随着直线213x x =-沿梯度方向去扫可行域，目标函数123Z x x =+中的Z 在增加。
如：经过点(1,1)时， 4.Z =由此可见，当目标函数沿梯度的方向去扫可行域时，在顶点(6,1)处取得最大值。
目标函数的最优值为：max 36119.Z =⨯+=图1 线性规划图解法实际上，如果利用图解法解决很多的类似的题目后，我们可以得到以下事实： ①若线性规划问题的可行域存在，则可行域一定是凸集。
②若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解之一（如果有无穷多最优解的话）一定是可行域凸集的某个顶点。
4 单纯形法4.1 单纯形法中的一些基本概念在一个非齐次线性方程组中，例如：非其次方程组2312412551562245x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，其增广矩阵为 称3,x 4,x 5x 为基变量（括号中的数字所对应的变量）。
基变量个数=()()3r A r A ==。
此方程组的解为3241251215524625x x x x x x xx =-⎧⎪=--⎨⎪=--⎩。
其中1,x 2x 为任意实数。
称它们为非基变量，或自由变量。
称非基变量1,x 2x 为0的解(0,0,15,24,5) 叫基解。
如果一个解的每个分量都是非负数，就叫做可行解。
如果基解是可行的，就叫基可行解，如0(0,0,15,24,5)TX =即为基可行解。
基可行解所对应的基称为2x ()()()0510********2411015A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1x 2x 3x 4x 5x b可行基，如345{,,}x x x 即为可行基。
基可行解很重要，可以证明以下定理：定理1：若线性规划问题存在最优解，则问题的可行域是凸集。
定理2：线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域（凸集）的顶点。
定理3：若线性规划问题最优解存在，则最优解一定在可行域顶点处取得[2]。
由此可看出，最优解要在基可行解（可行域顶点）中找。
通过以上分析，我们也可以得到以下几个结论：（1）线性规划问题的可行域是一个凸集，可行域可能有界，也可能无界，但其顶点数是有限个。
（2）线性规划问题每个基本可行解对应于可行域的一个顶点。
（3）若线性规划问题有最优解，则必可在其可行域的某个（或多个）顶点上达到最优值。
4.2 单纯形法基本原理首先说明什么是基变换。
例如，对于LP 问题：12345max 2000Z x x x x x =++++23124125515622451,,5i x x xx x x x x x i +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪≥=⎩当前可行基345{,,}x x x 所对应的基可行解0(0,0,15,24,5)TX =。
这个解显然不是最优。
因为，当10,x =20x =时是没有现实意义的。