单纯形法图解法及原理
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第二章 图解法与单纯形法
表1-4 XB
基变量 x1 x2
进基列 x3
bi /ai2，ai2>0 x4 b
将3化为1
(1)
θi 40 10
出 基 行
x3
x4
2
1 3
1
3 4
1
0 0
0
1 0
40
30
σj
x3
乘 以 1/3 后 得 到
5/3
0 1 0 0 1
1 0 0 3/5 -1/5
-1/3 1/3 -4/3 -1/5 2/5
x2
40
例题
2 x1 x2 40 x1 1.5x2 30
(15,10)
max Z 3x1 4x2 2 x1 x2 40
30
x1 1.5 x2 30 x1 0, x2 0
20
最优解X=(15,10) 最优值Z=85
10
O
10
20
30
40
x1
2.1 线性规划问题的图解法
θ M 20
0 λj
0 2 λj 1 2 λj
x5
x4 x2 x1 x2
1/3 1
3 1/3 1/3 1 0 0
1 2
0 1 0 0
5 1
17 5 －9 17/3
0 0
1 0 0 1/3
1 0
3 1 －2 1
20
75 20 25
25 60
1 0
28/9 －1/9 2/3 －98/9 －1/9 －7/3
1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式 2.作图的关键有三点 (1)可行解区域要画正确 (2)目标函数增加的方向不能画错 (3)目标函数的直线怎样平行移动
单纯形法(第三章线性规划2)
-f 3 –6M -1+M -1+3M 0
0 -M -M x5 x6 x7 B-1b
0 0 0 11 -1 1 0 3 001 1 -M 0 0 4M
3 -1 -1 0 0 -M -M
xj x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 B-1b
0 x4 -M x6 -1 x3
3 -2 0 1 0100 -2 0 1 0
0 1 0 0 0.5 12
40 0 0 0 -25 -600
6/1=6 36/3=12 __
第二步迭代
40 50 0 0 0
xj
基变量
x1 x2
x3 x4 x5
b
40 x1
1 0 1 0 -1 6
0 x4 0 0 -3 1 2 18
50 x2
0 1 0 0 0.5 12
0 0 -40 0 15 -840
f 428 1.36 x4 0.52 x5
X 3 (20 24 84 0 0)T 目标函数值 f 3 = 428。
X3为最优解
即当A产品生产20kg，B产品生产24kg，工厂才能获得最大利 润428百元。x3=84代表煤的剩余量为84t，x4 = x5 = 0表示电力 和劳动日完全利用，没有剩余。
2.单纯形法的主要步骤
Step1. 标准化，找初始基可行解，建立初始的单纯形表；
对于(max , )，松弛变量对应的列构成一个单位阵 Step2.检验当前基可行解是否为最优解
所有检验数 λj 0，则得到最优解（若存在λk ＞0，且pk 0,则该问题
无最优解，停止计算） 否则进行下一步。
Step3.换基迭代（改进基可行解）
例2 用单纯形法求解下列LP问题
运筹学单纯形法
总结：①在迭代过程中要保持常数列向量非负，这能确保基 可行解旳非负性。最小比值能做到这一点。 ②主元素不能为0。因为行旳初等变换不能把0变成1。 ③主元素不能为负数。因为用行旳初等变换把负数变成1会 把常数列中相应旳常数变成负数。
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
物流运筹学单纯形法
如何确定出基变量（可以按照下述方法来理解） 当x2定为入基变量后，必须从x3 、 x4 、 x5中换出来一个，并保 证其余的变量在新可行解中还都是非负，即： x3≥0 、 x4 ≥0 、 x5 ≥0
因为x1 仍为基变量， 所以将x1=0，带入约 束条件，得到：
4 x2 x3 360 5 x2 x4 200 s.t . 10x2 x5 300 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
需要解决的问题： (1)为了使目标函数逐步变优，怎么转移？ (2)目标函数何时达到最优？判断标准是什么？
1.5.1单纯形法原理
单纯形法步骤
确定初始基本可行解
检验其 是否为最优
是
停
主要工作： 最优性检验
否 寻找更好的 基本可行解
主要工作： 1、基变换（将原来的基换成新的基） 2、修正单纯形表，得到新的基本可行解
基变量的 价值系数 基变量
基本 可行解
CB
0 0 0
XB
X3 X4 X5 机会成本行 σj
7 B b 360 200 300
-1
12 X2 4 5 10 0 12
0 X3 1 0 0 0 0
0 X4 0 1 0 0 0
0 X5 0 0 1 0 0
X1 9 4 3 0 7
θ
90 40 30
因为基变量的检验数σ1和σ2都大于0，所以当前解不是最优。需要变换可行 基，寻找新的解。即原来的非基变量x1 、x2，要有一个被换为基变量，基变 量中也要有一个被换为非基变量，以确定新的基、新的解。
0
0
0
主元列 （确定入基变量）
主元行 （确定 出基变 量）
主元素
单纯形法图解法及原理
单纯形法中的回归分析和误差分析
回归分析
可以通过对单纯形法求解结果进行回归分析，来评 估分析模型的预测准确性和误差范围。
误差分析
对求解过程中出现的误差进行识别和纠正，可以提 高最终结果的精度和可靠性。
单纯形法中的灵敏度分析
1 定义
指在问题模型的基础上， 分析经济因素变动后，最 优解是否发生变化及变化 的情况。
单纯形法在金融中的应用
• 风险投资的有效分配和投资策略的优化 • 金融风险评估和监控，包括信用风险、市场风险和操作风险等 • 资产组合的优化选取和资产价格预测分析，对于促进金融市场的稳定
化和发展有着重要的作用。
单纯形法在工程中的应用
设计优化
单纯形法可以帮助设计和优化复杂的工程模型，包 括航空航天、交通工程、化工工程等多个领域。
设备管理
通过对设备状况的分析和优化，可以减少维护需求 和停机时间，提高工艺效率和生产率。
单纯形法在决策分析中的应用
1 多因素决策
提供一种有效的决策分析方法，可以支持并评估多因素决策，如投资策略、市场营销、 人力资源等。
2 风险评估
通过单纯形法进行风险评估，可以识别和监控潜在风险，促进企业决策者更加科学的做 出决策，并降低风险损失。
可靠性分析
用于识别和减少潜在风险，从而提高模型求解结果 的可靠性。可靠性分析方法可以借鉴于统计学中的 相关理论与方法。
单纯形法在物流中的应用
供应网络优化
单纯形法可以应用在供应网络优化中，包括货物流通路径分析，成本和生产率优化等模型的 构建和求解等。
运输路线规划
单纯形法可以辅助选择最佳的运输路线，并对路线进行规划和优化，从而提高物流效率和降 低成本。
单纯法的工作原理
《图解法与单纯形法》课件
《图解法与单纯形法》ppt课件
• 图解法概述 • 单纯形法概述 • 图解法与单纯形法的比较 • 图解法与单纯形法的实际应用案例 • 总结与展望
01
图解法概述
图解法的定义
• 定义：图解法是一种通过图形和 图像来表达和解决问题的数学方 法。它利用几何图形、函数图像 等手段，将抽象的数学问题转化 为直观的视觉表达，便于理解和 分析。
04
图解法与单纯形法的实际应用案例
图解法应用案例
案例一：线性规划问题 案例三：下料问题
案例二：运输问题 案例四：生产计划问题
单纯形法应用案例
案例一
最小成本问题
案例三
资源分配问题
案例二
最大收益问题
案例四
投资组合优化问题
图解法与单纯形法结合应用案例
案例一
混合整数规划问题
案例二
多目标规划问题
案例三
图解法与单纯形法的未来发展方向
未来发展的方向之一是研究更加高效 、精确的算法，以提高线性规划问题 的求解速度和精度。
另一个发展方向是结合人工智能、机 器学习等技术，探索更加智能化的求 解方法，以解决更加复杂、多变的实 际问题。
THANK YOU
非线性规划问题
案例四
动态规Hale Waihona Puke 问题05总结与展望
图解法与单纯形法的总结
图解法与单纯形法是线性规划中常用的两种方法，它们在解决实际问题中具有广泛 的应用。
图解法是一种直观的方法，通过图形来展示线性规划问题的解，易于理解，但精度 不高。
单纯形法是一种数值方法，通过迭代计算来寻找线性规划问题的最优解，精度高， 但计算量大。
成本最小化问题
在企业的生产和经营过程中，需要最小化成本以获得 最大利润。
• 图解法概述 • 单纯形法概述 • 图解法与单纯形法的比较 • 图解法与单纯形法的实际应用案例 • 总结与展望
01
图解法概述
图解法的定义
• 定义：图解法是一种通过图形和 图像来表达和解决问题的数学方 法。它利用几何图形、函数图像 等手段，将抽象的数学问题转化 为直观的视觉表达，便于理解和 分析。
04
图解法与单纯形法的实际应用案例
图解法应用案例
案例一：线性规划问题 案例三：下料问题
案例二：运输问题 案例四：生产计划问题
单纯形法应用案例
案例一
最小成本问题
案例三
资源分配问题
案例二
最大收益问题
案例四
投资组合优化问题
图解法与单纯形法结合应用案例
案例一
混合整数规划问题
案例二
多目标规划问题
案例三
图解法与单纯形法的未来发展方向
未来发展的方向之一是研究更加高效 、精确的算法，以提高线性规划问题 的求解速度和精度。
另一个发展方向是结合人工智能、机 器学习等技术，探索更加智能化的求 解方法，以解决更加复杂、多变的实 际问题。
THANK YOU
非线性规划问题
案例四
动态规Hale Waihona Puke 问题05总结与展望
图解法与单纯形法的总结
图解法与单纯形法是线性规划中常用的两种方法，它们在解决实际问题中具有广泛 的应用。
图解法是一种直观的方法，通过图形来展示线性规划问题的解，易于理解，但精度 不高。
单纯形法是一种数值方法，通过迭代计算来寻找线性规划问题的最优解，精度高， 但计算量大。
成本最小化问题
在企业的生产和经营过程中，需要最小化成本以获得 最大利润。
《图解法与单纯形法》课件
异同点总结
图解法和单纯形法在求解线 性规划问题时有相似之处， 但也存在差异，了解差异将 有助于选择正确的方法。
问题性质选择
根据问题的性质和要求，选 择合适的方法是解决线性规 划问题的关键。
启示和建议
通过学习图解法和单纯形法， 我们可以深入理解线性规划 问题，并从中总结出一些有 益的启示和建议。
图解法与单纯形法 PPT 课 件
通过本次PPT课件，我们将学习图解法和单纯形法的基本概念、应用场景以及 比较分析，希望能给大家带来全新的启示和建议。
பைடு நூலகம்解法
基本概念
图解法是一种直观的线性规划求解方法，通过在坐标系中绘制约束条件和目标函数的图形， 找出最优解。
应用场景
图解法常用于简单的线性规划问题求解，特别适用于二维平面上的问题。
图解法和单纯形法的比较
优缺点对比
图解法直观易懂，但对于复杂问题效率较低；单纯形法高效准确，但需要数学推导和计算。
适用范围对比
图解法适用于简单问题和二维平面；单纯形法适用于复杂问题和多维空间。
实际案例对比分析
通过比较实际案例应用图解法和单纯形法，我们可以更好地理解两种方法的优劣和适用场景。
总结与讨论
步骤
1. 找出约束条件的交点（解集） 2. 计算目标函数在解集中的取值 3. 找出最优解（最大值或最小值）
单纯形法
基本概念
单纯形法是一种高效的线性 规划求解方法，通过迭代计 算顶点的函数值来逐步接近 最优解。
应用场景
单纯形法适用于复杂的线性 规划问题，尤其是多维空间 中的问题。
步骤
1. 确定初始单纯形 2. 计算单纯形的顶点函数值 3. 选择下一个单纯形 4. 判断是否达到最优解
运筹学 (单纯形法原理)
x3 = 6 – 2x1 + 2/5x5 x4 = 16 – 4x1 x2 = 3 –1/5 x5
x3 = 6 – 2 θ ≥0 x4 = 16 – 4 θ ≥0 x2 = 3 ≥0
即：
x1 = θ =min{6/2，16 /4 ，~}=3 相应地有：
x3 = 6 – 2 × 3 =0 x4 = 16 – 4 × 3=4 x2 = 3
xni bi aij x j
j 1
n
（i 1, 2,L , m）
3.代入目标消去基变量，得到非基变量xj的检验数 j
Z c j x j cni xni
j 1 i 1
n Z c j x j cni b a x i ij j j 1 i 1 j 1 n m
b1 M M M 0 .1L bi M M M 0 0L 1 bm
表格单纯形法
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn cn1 xn1 cnm xnm
标准型：
a11 x1 a12 x 2 a1n x n x n 1 b1 a x a x a x x b 21 1 22 2 2n n n2 2 s.t. a x a x a x x m2 2 mn n n m bm m1 1 x1 , x 2 , , x n , x n 1 , , x n m 0
m
cni bi (c j cni aij ) x j
i 1 j 1 i 1
m
n
m
j cj zj
n j 1
Z Z 0 (c j z j ) x j Z 0 j x j
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3X1+2X2 +X4 =60
2X2 X1 … X5 0
+X5=24
12100
A= 3 2 0 1 0
02001
P1 P2 P3 P4 P5
19
AX=b的求解
A=(BN)
X=(XB XN )T
XB
(BN)
=b
XN
BXB +NXN=b
BXB =b-NXN XB = B-1 b - B-1N XN
20
24
B=(P3 P4 P5)=I 可逆 基 N=(P1 P2)
X3=30-( X1+2 X2)
X4=60-(3X1+2 X2)
X5 =24
-2 X2
22
令X1 = X2 =0, X3=30, X4=60, X5=24 0
0
XN
0
X=
=
= 30
XB
B-1 b
60
24
121
又：Ｂ1 =(P1 P2 P3 )= 3 2 0
2x1+x2 50
x1,x2 0
3
x2 50
40
30
由 4x1+3x2 120 x1 0 x2 0 围成的区域
20
10 4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1
4
x2 50
40 2x1+x2 50
30
20
10 4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 5
x2
50
同时满足：
020
|B1|=6≠0, B可逆
23
X1=12-(1/3 X4 -1/3 X5) X2=12-(1/2 X5 ) X3 =-6-(- 1/3 X4 -2/3 X5 )
令X4=X5=0 X=(12, 12, -6, 0, 0)T
基本解， 但不可行
Z=40X1 +50X2
=40[12-(1/3 X4 -1/3 X5)] +50[12- 1/2 X5 ]
17
线性规划问题解的概念
定义1：基(基阵) ——由A中一个子矩阵B是可 逆矩阵，则方阵B称为LP问题的一个基。
…
A= (P1 … Pm Pm+1 … Pn )=(BN) 基向量 非基向量
…
X= (X1 … Xm Xm+1 … Xn )T=(XB XN)T 基变量 非基变量
XB
XN
18
例1、 X1+2X2 +X3 =30
第二节 单纯形法原理 ----图解法
▪ 图解法：是用画图的方式求解线性规 划的一种方法。
▪ 只能用于求解两个变量的LP问题
1
图解法基本步骤：
1）作出可行域 2）作出一条目标函数的等值线 3）平行移动目标函数的等值线，求出最优解
2
例1.数学模型
max Z=50x1+30x2
s.t.
4x1+3x2 120
该问题的可行域是由O， Q1，Q2，Q3作为顶点的
凸多边形
10
4x1+3x2 120
O（0，0） 10
Q1（25，0）
20
30 40
x1
7
x2 50
40 2x1+x2 50
30
20 可行域
10
目标函数是以Z作为 参数的一组平行线
x2 = Z/30-（5/3）x1
4x1+3x2 120
10 20
有唯一最优解
2x1 x2 2
x2
z 3 x 1,4T
z 1.5
A2
z0
A1
D
0
x1 x2 5
x1 2 x2 2 A3
A4
x1
11
对于线性规划问题，我们定义： 可行解：满足全部约束条件的决策向量 XRn。 可行域：全部可行解构成的集合。（它是 n 维 欧
氏空间Rn 中的点集，而且是一个“凸 多面体”) 最优解：使目标函数达到最优值（最大值或最 小 值，并且有界）的可行解。 无界解：若求极大化则目标函数在可行域中无
13
例4 解线性规划 x2
z 2 x1 x2
min z 2x1 x2
s.t
.
x1 x1
x2 1 3x2
3
x1 0, x2 0
x1 3x2 3
A
D
有无界解
0B
x1 x1 x2 1
14
例5： MaxZ=3X1-2X2
X1 + X2 <=1 2X1 + 2X2 >=8
X1,X2 >=0
x2
2x1 2x2 8
无可行解
x1 x2 1
0
x1
15
结论：
1、线性规划问题的可行域为凸集 2、若有最优解一定可以在其可行域的顶点上得到
线性规划问题解的几种情况：
1、有唯一最优解 2、有无穷多最优解 3、无可行解 4、无最优解
16
第三节 单纯形法 ----原理
▪ 单纯形法：单纯形法是求解线性规划的主要 算法，1947年由美国斯坦福大学教授丹捷格 （G.B.Danzig）提出。尽管在其后的几十年 中，又有一些算法问世，但单纯形法以其简 单实用的特色始终保持着绝对 的“市场” 占有率。
mmaixn z z 4 x1x1 2 xx22
A2
z 4 Z=-2 Z=0
A1, A2
2x1 x2 2
s.t
.
x1 x1
2
x2 x2
2 5
A1
D
x1 0, x2 0
x1 x2 5
x1 2 x2 2 A3
0
有无穷多最优解
A4
x1
40 2x1+x2 50
4x1+3x2 120 2x1+x2 50
30
x1 0 x2 0
的区域——可行域
20 可行域
10
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 6
50 x2
Q3（0，40） 40
2x1+x2 50 30
Q2（15，20） 20
可行域
可行域是由约束条件围成 的区域，该区域内的每一 点都是可行解，它的全体 组成问题的解集合。
Max Z=50*15+30*20=1350
30
此时最优解（x1，x2 ） =（15，20）
20
Q2（15，20）
可行域
有唯一最优解
10 4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1
10
例2 解线性规划
max z x1 x2
2x1 x2 2
s
.t
.
x1 x1
2
x2 x2
2 5
x1 0, x2 0
定义2：基本解——对应于基B，X= B-1 b
为AX=b的一个解。
0
定义3：基本可行解——基B，基本解X= B-1 b
若B-1 b0，称基B为可行基。
0
最优解、最优基
※ 基本解中最多有m个非零分量。
※ 基本解的数目不超过Cnm =
n! 个。
m!(n-m)!
21
例1：
X1
X2
X= X3
X4
X5
30 b= 60
30 40
x1 8
x2
50
当Z值不断增加时，该直线
40 2x1+x2 50 x2 = Z/30-（5/3）x1
沿着其法线方向向右上方移
30
动。
20 可行域
10
4x1+3x2 120
10 20
30 40
x1 9
x2 50
当该直线移到Q2点时，Z（目标 40 2x1+x2 50 函数）值达到最大：