实函3.3

i 1 i1
3. 可测集与 G 集和
E O且m(O E) 0
F
集的关系
(1).若E可测，则存在 G 型集 O, 使
可测集可由 G 型集去掉一零集， 或 F 型集添上一零集得到。
(2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E且m( E H ) 0
(1).若E可测，则存在 G 型集 O, 使 E O且m(O E) 0 (2).若E可测，则存在 F 型集H, 使 H E且m( E H ) 0
证 设 E 是可测集，由可测集与开集、闭 集的关系知，分别有分别有 G 型集 G ， F 型 集 F ，使得
G E F且m G \ E m E \ F 0，
E G \ N1 , E F N2
令N1 G \ E, N2 E \ F , 则mN1 =mN2 =0，且

m* E mGn mI ni | I ni | m* E
i 1 i 1



1 n
令O Gn，则O为G 型集，且E O,mO=m E
n 1
定理3.3.5 任何可测集必是一个波雷尔集 与一个测度为零的可测集并集；同时也必是一 个波雷尔集与一个测度为零的可测集的差集.
i 1 i 1 i 1



(1)若E可测，则 0, 开集G， (2)若E可测，则 0, 闭集F， 使得E G且m(G E )
使得F E且m( E F )
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
0, 开集G，使得E G且m(G E )
定义3.3.1若集合F的表示为一列闭集Fi 之并, F Fi则称F为F 型集.
i 1
定义3.3.2若集合G的表示为一列开集Gi 之交 ,
i 1
G Gi ,则称G为G 型集.
凡属可以从开集出发，用取余集、取有限个 或可列个集合的并或交等手续而得到的集合，统 称为波雷尔（Borel）集. 显然 G 型集和 F 型集均为波雷尔集. 定理3.3.4 任何波雷尔集都是可测集.
*
（这与证明 m I | I | 类似）因此
*
m ( J I ) | J | | J I |
c
m * J | J || J I | | J | | J I |
m *(| J I ) m *( J I ). 从而I 可测.
定理3.3.2 任何开集，闭集都是可测集. 证 由定理2.1.2，任何开集可表为至多可列 个开区间的并，而开区间是可测的，再由推 论3.1.9知开集可测. 又因为闭集是开集之补 集，故闭集也可测(定理3.1.3). 例1 康托集为可测集且测度为零.
例：设E*为[0,1]中的无理数全体，试各写出一个与E*只相差一零 测度集的 G 型集或 F 型集。
G 型集： (0,1)
F 型集： H [0,1] ((r n1 i 1 i 2
1 n i1
, ri 2 ))
1 n i1
类似可证：
若E Rn，则存在G 型集O，
以上两个定理揭示了可测集与开集、闭集间的内 在联系. 定理的证明方法也是值得借鉴的，在涉及开集 （闭集）的某些命题得证之后，可通过取补的方法， 将命题的相应结果转移到闭集（开集）上去.这种方法 一般都是行之有效的.
例：设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一小 测度集的开集和闭集。 E {r , r , r , }
于是康托集 P 0 也可测，再由测度的可加性，得
mG 0
1
mP 0 m0,1 mG0
3

2
32

22
33
2 .
n 1
3n1 1ຫໍສະໝຸດ 1 mG0 1 1 0
这个例子又给出康托集的一个重要性质. 这就为我们提供了一个在实轴上没有任何 “长度”的集合能与整个实数轴对等这样一个 典型而又富有启发性的实例.
这里的 G, F 显然是波雷尔集. 定理得证.
开区间
可测集的结构简图
开集逼近
可数并
开集
可数交 取 余 可数并
闭集
G 型集
(1).若E可测，则存在 证明：对任意的1/n，
G O, 使 型集
E O且m(O E) 0
开集Gn，使得E Gn且m(Gn E) 1 n
令O Gn
n 1
, 则O为G 型集，且E O
m(O E) m(Gn E) 1 n , n 1, 2,3,
i 1

mE mG mI i | I i | mE
i 1 i 1


从而（这里用到mE<+∞ ）
m(G E ) mG mE
当mE=+∞时， 这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：
E Ei (m E i )
i 1
对每个Ei应用上述结果
证明：对任意的1/n，
开集Gn，使得E Gn且m (Gn E) 1 n
令O Gn，则O为G 型集，E O且
n 1

m (O E) m (Gn E) 1 ,2,3, n , n 1
故m (O E) 0
从而E O (O E)为可测集
使得E O且mO m E（称O为E的等测包） 证明:由外测度定义知
* 1 , 开区间列 { I }, 使得 E I 且 m E ni ni n i 1


i 1

| I ni | m* E
1 n
令Gn I ni , 则Gn为开集，E Gn，且
i 1
证明由 : Cantor集的构造可知，Cantor集P 0 0,1 G0
1 2 1 2 7 8 其中 G0 , , , 3 3 9 9 9 9
为开集.由定理3.2.2知, 0,1, G0皆可测,
§3.3可测集类与不可测集
• 目的：熟悉一些常见的可测集，了解Borel • 集类与Lebesgue集类的差别。 • 重点与难点：可测集的结构
在前一节中，我们引入了可测集的概念， 并讨论了可测集的基本性质. 但到现在为止还 不知道一般常见的集合中究竟有哪些是可测的？ 可测集的结构如何？本节就来回答上述问题. • 1．常见的可测集、Borel集 • 问题 1 ：按 Lebesgue 可测集的定义，我们 所熟悉的哪些集合是可测的？ 问题2：由Lebesgue测度的性质以及上面所 熟悉的可测集，还能构造出哪些可测集？所 有这些可测集构成什么样的集类？
证 由波雷尔集的定义及定理3.2.2，结合可测集的运算 性质即得此定理结论.
注：零集、区间、开集、闭集、 G 型集（可数个开集的交）、 F 型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发 通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。 注：开集、闭集既是 G 型集也是 F 型集； 有理数集是 F 型集，但不是 G 型集； 无理数集是 G 型集，但不是 F 型集。
有理数集可看成可数个单点集的并，而单点集是闭集； 通过取余 G 型集与 F 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）
引理 3.3.3 R 中任何可测集都可表为至 多可列个互不相交的有界可测集的并.
引理3.3.3的意义在于：当我们讨论无界 可测集的性质时，可将其分解而转化为有界可 测集的情形来讨论. n E R 证明 设 为 中任一可测集. 令
(1)若E可测，则 0, 开集G， 使得E G且m(G E )
即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集 （可测集“差不多”就是开集或闭集）， 从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。
(2)若E可测，则 0, 闭集F， 使得F E且m( E F )
(1).若E可测，则
0, 开集G，使得E G且m(G E)
证明:(1)当mE<+∞时，由外测度定义知
0, 开区间列{I i }, 使得E I i 且m* E
i 1

i 1

| I i | m* E
令G I i , 则G为开集，E G，且
故m(O E ) 0
例： 设E为[0,1]中的有理数全体， 试各写出一个与E只相差一 零测度集的 G 型集或 F 型集。
O ((ri 2 , ri 2 )) G 型集： n 1 i 1


1 n i 1
1 n i 1
F 型集： 空集
注：上面的交与并不可交换次序
开集Gi，使得Ei Gi且m(Gi Ei ) 2 i
令G Gi , 则G为开集，E G，且
i 1

m(G E ) m( Gi Ei )
i 1 i 1


m((Gi Ei )) m((Gi Ei ) 2 i
Sn x x R n , n 1 d ( x,0) n , n 1, 2,
n



其中0表示Rn中的坐标原点.则Sn (n 1,2,)可测.
令En E S n , 则En是有界可测集且彼此互不相交, 而且E En .
n 1
2. 可测集与开集、闭集的关系
证明：若(1)已证明，由Ec可测可知
G 型O，使得E O且m(O E ) 0
c c
HE且 取H=O c，则H为 F 型集 ，
m( E H ) m( E H )
c
m((E ) H ) m( H E ) m(O E ) 0
c c c c c c