第十章动载荷
第10章动载荷与交变载荷
4、振动问题： 求解方法很多。
4
工 程 力 学§10-2 构件作等加速直线运动
时的动应力计算
钢索起吊重物，W、a， 求：钢索 d
钢索具有a，不为平衡状态，不能用平
衡方程求内力。
kd
动荷因数
kd
FNd Fst
d st
d st
结论：只要将静载下的应力，变形，乘以动荷系数Kd即得 动载下的应力与变形。
6
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
冲击荷载问题的动响应
方法原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件的接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击持续时间非常短促，接触力随时间的变化难以准确分析， 放弃动静法。工程中通常采用能量法来解决冲击问题，即在若 干假设的基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件的应力与变 形进行偏于安全的简化计算。
7
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用件受冲击载荷作用时
的动应力计算
9
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
10
工 程 力 学§10-3 构件受冲击载荷作用时
的动应力计算
在冲击过程中，运动中的物体称为冲击物。 阻止冲击物运动的构件,称为被冲击物。
（3）、构件在交变应力作用下发生破坏需要经历一定数量的应 力循环，其循环次数与应力的大小有关。应力愈大，循环次数 愈少。
实验表明在静载荷下服从胡克定律的材料,只要应力不超 过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动.
动荷因数：
动响应 Kd 静响应
材料力学 第十章 动载荷
a t
max
m
max 2 m 2 a
min 0
r0
a
t
（3）静应力：如拉压杆
max min m
a 0
r 1
（4）非对称循环：
a 0
max min m t
max min 0 max min a
第二节 交变应力的循环特性和应力幅值
应力循环:一点的应力由某一数值开始，经过一次完整的变 化又回到这一数值的一个过程。
a
m
T
1.最大应力： max
2.最小应力： min
min
max
t 5.循环特性：
3.平均应力：
m
max min
2
4.应力幅：
a
max min
疲劳极限或有限寿命持久极限：
材料在规定的应力循环次数N下，不发生疲劳破环的最大 应力值，记作 rN ( rN ) 。 无限寿命疲劳极限或持久极限 r ： 当 max 不超过某一极限值，材料可以经受“无数次”应力 循环而不发生破坏，此极限值称为无限寿命疲劳极限或持久极限。
疲劳失效特点 a、在交变应力下构件破坏时，最大应力不仅低于材料强 度极限和屈服极限，甚至低于比例极限； b、在交变应力作用下，构件破坏前，总是要经历若干次 应力重复；而且即使是塑性很好的材料，在经历若干次应力 重复后，也会像脆性材料一样突然断裂，断裂前没有明显的 塑性变形。 c、疲劳破坏的断口存在三个区域： 疲劳源区——在光滑区内有以微裂纹 起始点，又称为裂纹源（①区域）为中心 并逐渐扩展的弧形曲线； 疲劳扩展区——又称为光滑区（②区 域），有明显的纹条，类似被海浪冲击后 的海滩，它是由裂纹的传播所形成；
第十章-动载荷
2
2 动载荷问题分类 1) 构件有加速度时旳应力计算; 2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
3
§10. 2 动静法旳应用
1 动静法
即为理论力学中简介旳达朗伯原理。
2 匀加速平动构件中旳动应力分析
例子 设杆以匀加速度a作平动，
b
R
aR
截面积为A，比重为 。
加上惯性力系。
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。 15
3 求解冲击问题旳能量法 线弹性系统
任一线弹性杆件或构造都可简化为线性弹簧。
l Pl EA
P EA l l
等价弹簧旳弹性
系数 k EA
l
16
l Pl EA
等价弹簧旳弹性系数 能量法
P EA l l
k EA l
工程实例 气缸
在满足刚度和强度要求旳前提下
28
冲击问题旳一般解题环节
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击；
2) 求 △st ； 3) 求 Kd ;
4) 计算静应力 st ； 5) 计算动应力 d = Kd st .
注意
1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，或不满 足条件（冲击前无应力和变形），则需要应
a g
)
记： 若忽视自重，则
对线性系统
a
Kd Kd
1 a
g
g
动荷系数
内力、应力、应变和变形都与外力成线性关系。
动载荷问题旳求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得成果乘以动荷系数 Kd 即可。 6
动载荷问题旳求解
1) 求出动荷系数；
材料力学第10章(动载荷)
Kd 2
二、水平冲击 mg v
d
Fd d ， Pst st
Pst mg 其中： mgl st EA
Fd
st
Pst
mv2 冲击前：动 T1 能 2
冲击后： 应变能Vε 2 Fd d 2
2 F 2 st mv d mg
h
P
h
解：
st
Pl 1.7 102 (mm) EA
2h K d 1 1 st
2 500 1 1 243 2 1.7 10
l
l
d 2 A 4
P 2 103 0.028(MPa) st 4 A 7.1 10 d Kd st
假设： (1)冲击物为刚体； (2)不计冲击过程中的声、光、热等能量损耗（能量守恒）；
(3)冲击过程中被冲击物的变形为线弹性变形过程。(保守计算)
一、自由落体冲击
P
冲击前： T 0
V P(h d )
B
h
A
冲击后：
1 Vε d Fd d 2
A
Δd
能量守恒： T V Vd
B
2h st
l
4 Pl 3 22mm st 3 EI
K d 1 1 2 50 3.35 22
40 C 30
d Kd st
M max Pl 50(MPa) st W W
d Kd st 161 MPa) (
A
Δd
Fd
B
1 P (h d ) Fd d 2 Fd d P st
2 Fd 1 Fd P (h st ) st P 2 P
动载荷
2. 求解冲击问题的能量法
冲击问题极其复杂,难以精确求解.工程中常采用一种 冲击问题极其复杂,难以精确求解. 较为简略但偏于安全的估算方法--能量法, --能量法 较为简略但偏于安全的估算方法--能量法,来近似估算构件 内的冲击载荷和冲击应力. 内的冲击载荷和冲击应力. 在冲击应力估算中作如下基本假定: 在冲击应力估算中作如下基本假定: ①不计冲击物的变形: 不计冲击物的变形: ②冲击物与构件接触后无回弹,二者合为一个运动系统; 冲击物与构件接触后无回弹,二者合为一个运动系统; ③构件的质量与冲击物相比很小,可略去不计,冲击应 构件的质量与冲击物相比很小,可略去不计, 力瞬时传遍整个构件 ④材料服从虎克定律; 材料服从虎克定律; ⑤冲击过程中,声,热等能量损耗很小,可略去不计. 冲击过程中, 热等能量损耗很小,可略去不计.
1. 工程中的冲击问题
锻锤与锻件的撞击,重锤打桩,用铆钉枪进行铆接, 锻锤与锻件的撞击,重锤打桩,用铆钉枪进行铆接, 高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题,其特点是冲击 高速转动的飞轮突然刹车等均为冲击问题, 物在极短瞬间速度剧变为零, 物在极短瞬间速度剧变为零,被冲击物在此瞬间经受很大 的应力变化. 的应力变化.
Fd sd Dd = = P s st D st
可得: 可得:
Dd
2
2T D st - 2D stD d = 0 P
解得: 解得:
骣 1 + 1 + 2T ÷ ÷ D d = D st ÷ PD st ÷ 桫
引入冲击动荷系数K 引入冲击动荷系数Kd
Dd 2T Kd = = 1+ 1+ D st PD st
要保证圆环的强度,只能限制圆环的转速,增大横截面 要保证圆环的强度,只能限制圆环的转速, 积并不能提高圆环的强度. 积并不能提高圆环的强度.
《材料力学》第十章 动载荷
基本要求: 基本要求: 了解构件作变速运动时和冲击时应力与变形的计 算。 重点: 重点: 1.构件有加速度时应力计算； 2.冲击时的应力计算。 难点： 难点： 动荷因数的计算。 学时： 学时： 4学时
第十章
§lO.1 概述
动 载 荷
§10.2 动静法的应用 §10.4 杆件受冲击时的应力和变形 §10.5 冲击韧性
( 2 )突然荷载 h = 0 : K
d
=2
△st--冲击物落点的静位移
五、不计重力的轴向冲击问题
冲击前∶
动能T1 = Pv 2 / 2 g 势能V1 = 0 变形能V1εd = 0
冲击后：
动能T2 = 0 势能V 2 = 0 变形能V 2εd = Pd ∆ d / 2
ห้องสมุดไป่ตู้
v P
冲击前后能量守恒，且
Pd = K d P
补例10-1 起重机钢丝绳的有效横截面面积为A , 已知[σ], 补例 物体单位体积重为γ , 以加速度a上升，试建立钢丝绳(不计自 重)的强度条件。 外力分析。 解：1.外力分析。包括惯性力 外力分析
惯性力：q a
x a L x m m a Nd qg +qa
=
γA
g
a
2.内力分析。 内力分析。 内力分析 3.求动应力。 求动应力。 求动应力
任何冲击系统都 可简化弹簧系统
能量法（机械能守恒） 三、能量法（机械能守恒）
冲击过程中机械能守恒。即动能 ，势能V，变形能V 冲击过程中机械能守恒。即动能T，势能 ，变形能 εd守恒 冲击前：系统动能为T， 势能为V=Q∆d， 变形能Vεd=0 冲击后：系统动能为0， 势能为V=0， 变形能Vεd
第十章 动载荷
在计算时作如下假设:
d
1.冲击物视为刚体，不考虑其变形;
2.被冲击物的质量可忽略不计;
3.冲击后冲击物与被冲击物附着在 一起运动;
4.不考虑冲击时热能的损失，即认为只有系
统动能与势能的转化。
a b
设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为 T P
根据机械能守恒定律，冲击物的动能T和势能
V的变化应等于弹簧的变形能 ,即 Vd
FNd
➢ 按牛顿第二定律
或者说，按达朗伯原理（动静法）：质点上
所有外力同惯性力形成平衡力系。
a
惯性力大小为ma，方向与加速度a相反
F
FNd
F
F g
a
0
FNd
F (1
a) g
kd F
其中
kd
(1
a) g
——动荷系数
动应力
➢ 绳子动应力(动载荷下应力)为： d
FNd A
kd
F A
kd st
强度条件可以写成
d Kd st
由于在动荷系数Kd中已经包含了动载荷的影 响，所以[σ]即为静载许用应力。
[例1] 已知F1=20 kN，F2=40 kN，梁由2 根22 b的工字钢组成， a =2.5 m/s2，d =20 mm，[σ]=170 MPa ，试校核钢索与梁的强
度（不计钢索与梁的自重）。
F1
Kd
v2 g st
h
P
d
[例2] 等截面刚架的抗弯刚度为 EI，抗弯截面系数为 W，重物P
自由下落时，求刚架内的最大正应力（不计轴力）。
解：
Δst
4Pa3 3EI
t
在动载荷作用下，构件内部各点均有加速度。
第十章动载荷
L
材料力学
动载荷/动静法的应用
完成课本320页例10.1
思路：
计算惯性力
将惯性力以虚拟外力的形式作用于飞轮上 转变为平衡问题求解
材料力学
难点：计算惯性力 分析：
飞轮绕轴旋转，使轴产生扭转变形，因此飞
轮的惯性力实际上是一个惯性力偶M。
计算：
Md I x
I x为转动惯量；为角加速度。
qd
an D / 2
2
o
沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度为：
材料力学
A AD 2 qd an g 2g
动载荷/动静法的应用
(2)根据平衡问题求解 圆环横截面上的内力为：
qd
y
2 N d qd D
x
Nd
o
AD 2 2 Nd 4g
Nd
圆环横截面上的应力为：
Nd D 2 2 v 2 d A 4g g
动载荷/概述
§10.1 概述
一.基本概念
静载荷：
大小不变或变化缓慢的载荷。
动载荷： 使构件产生明显加速度的载荷或者 随时间变化的载荷。
材料力学
动载荷/概述
本章讨论的两类问题：
作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件； 冲击载荷作用下构件的应力和变形计算。
材料力学
动载荷/动静法的应用
§10.2 动静法的应用 一.惯性力
Q a
冲击物
3.冲击物受冲击力的作用得到一
个很大的负加速度a。
材料力学
受冲击 的构件
思考： 能否用动静法求冲击时的动应力和
动变形？ 冲击时的加速度接近无限大，因此无
法使用动静法。只能采用能量法近似的计
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§10-1
§10-2
(The application for method of dynamic §
§一、基本概念
§一、基本概念
二、动响应
构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移等）,称为
三、动荷因数
（The application for method of dynamic equilibrium
达朗伯原理
惯性力与加速度a 的乘积,方向与
一、直线运动构件的动应力Dynamic stress of the body in the straight-line motion
例题1一起重机绳索以加速度
重为P 的物体
m
αa
P
1(Nd
F +=P F =Nst m
Nd
F
绳索中的动应力为
Nd d σA F ==m
Nd
F
当材料中的应力不超过比例极限时荷载与变形成正比
△d 表示动 △st 表示静Nd
F
例题2起重机丝绳的有效横截面面积为] =300MPa, 物体单位体积的质量试校核钢丝绳的强度.
a +
例题3起重机钢丝绳长有效横截面面积A=2. 9cm2,单位长重量的加速度提起重50kN
二、转动构件的动应力
（Dynamic stress of the rotating member
例题4 一平均直径为绕通过其圆心且垂于环平面的轴作等速转动
解：
可认为圆环上各
等于圆环中r
d
ϕd (d 2
D q ϕ1(d A q ⋅=π
0d d q F =∫
圆环轴线上点的线速度
强度条件
[]
=
≤2
d
v g
ρσσ 环内应力与横截面面积无关.要保证强度,应限制圆环的转速.
F d
o
q d
y
ϕ
d ϕF Nd
F Nd
4
2
2d d D A F ρωσ=
==2
d v
σρ)d 2
(d ϕD q =2
D v ω
例题5重为以等角速度在光滑水平面上绕求转臂的截面面积
例题6轮机叶片在工作时通常要发生拉伸扭转和弯曲的组合变形.本题只计算在匀速转动时叶片的拉伸应力和轴向变形. 设叶片可近似地简化为变截面直杆
解:设距叶根为
m-m的面积为
A=
)
(x
在距叶根为n ω=a
m -m 以上部分的d F
x
d F F
=∫l
ρω=∫
最大的惯性力发生在叶根截面上
在叶根截面上的拉应力为
d x
Nmax
F =ωρ
在距叶根为其伸长应为
d P
x
)d(N F l =
∆
§10-3
（Stress and deformation by impact loading)原理（
冲击时冲击物在极短的时间间隔内速度发生很大的变化,其加速度a很难测出
算中,一般采用能量法
一、自由落体冲击问题Impact problem about the free falling body
假设(Assumption)
1.冲击物视为刚体
一、自由落体冲击问题Impact problem about the free falling body
假设(Assumption)
3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动
重物P从高度为
h 冲击到弹簧顶面上
起向下运动
h
根据能量守恒定律可知所减少的动能为弹簧的变形能即
所以
P
h
d ∆
∆
2 =
例题7一重量为与一块和直杆AB 相连的平板发生冲击求杆的冲击应力.
A 重物是冲击物
A
A A
P
A P
（1）当载荷突然全部加到被冲击物上
K
d
（2）若已知冲击开始瞬间冲击物与被冲击物接触时的速度为
（（33）若已知冲击物自高度）若已知冲击物自高度=2v
例题8等截面刚架的抗弯刚度为W,重物P自由下落时求刚架内的最大正应力（不计轴力）.
解：
P 34=
st ∆P
§
一、质量、弹簧系统
弹簧的运动
x+̇̇
二、质量、弹簧、阻尼系统
从静止平衡位置开始，建立运动微分方程：
弹簧的运动xδ2 +̇̇
弹簧的强迫运动
随着时间的增加，系统的受迫运动。