最新整理初中数学竞赛专题讲解及练习题分析第2项之判别式——二次方程根的检测器
初中数学知识归纳二次函数与二次方程
初中数学知识归纳二次函数与二次方程初中数学知识归纳：二次函数与二次方程二次函数与二次方程是初中数学中的重要知识点，对于学生的数学素养和问题解决能力培养起到了关键的作用。
本文将对二次函数与二次方程这两个概念进行归纳总结，并探讨其在实际问题中的应用。
一、二次函数1. 定义二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
它的图象是抛物线。
2. 图象特点- 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
- 平移：二次函数的图象可以通过平移得到不同的位置。
- 对称轴：二次函数的图象关于对称轴对称。
- 最值：当a>0时，抛物线的最值为最小值；当a<0时，抛物线的最值为最大值。
3. 性质与公式- 零点：二次函数的零点即为方程ax²+bx+c=0的解，可以使用求根公式计算。
- 判别式：方程ax²+bx+c=0的判别式D=b²-4ac可以判断方程的解的情况。
当D>0时，方程有两个不同的实数根；当D=0时，方程有两个相同的实数根；当D<0时，方程无实数根。
- 零点和系数的关系：方程x₁+x₂=-b/a、x₁x₂=c/a。
二、二次方程1. 定义二次方程是指形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实系数且a≠0。
2. 解的方法- 因式分解法：对二次方程进行因式分解，令每个因式等于0，求得方程的解。
- 公式法：使用求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a求解。
其中，当判别式D=b²-4ac≥0时，方程有实数解；当D<0时，方程无实数解。
- 配方法：对于无法直接使用公式法求解的二次方程，可以通过配方法完成平方使其转化为完全平方法。
3. 应用二次方程在实际生活中有着广泛的应用，如物体自由落体、抛物线轨迹以及金融领域中的财务分析等。
另外，在数学竞赛中也常常涉及二次方程的应用问题，通过解方程解决实际问题是培养学生逻辑思维和问题解决能力的重要途径。
初中数学竞赛专题训练试题及解析(共10套)
初中数学竞赛专项训练（1）（实 数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。
当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为 （ ） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。
则（ ）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （ ） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。
A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（ ）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。
初中数学竞赛：判别式及其应用
初中数学竞赛：判别式及其应用一元二次方程的根的判别式(△)是重要的基础知识，它不仅能用于直接判定根的情况，而且在二次三项式、二次不等式、二次函数等方面有着重要的应用，是初中数学中的一个重要内容，在高中数学中也有许多应用．熟练掌握它的各种用法，可提高解题能力和知识的综合应用能力．1．判定方程根的情况例1 已知方程x2-2x-m=0没有实数根，其中m是实数．试判定方程x2+2mx+m(m+1)=0有无实数根．解因为方程x2-2x-m=0无实数根，所以△1=(-2)2-4×(-m)=4+4m＜0，即 m＜-1．因为△2=(2m)2-4m(m+1)=-4m＞0，所以方程x2+2mx+m(m+1)=0有两个不相等的实根．例2 已知常数a为实数，讨论关于x的方程(a-2)x2+(-2a+1)x+a=0的实数根的个数情况．实根．当a≠2时，原方程为一元二次方程，其判别式△=(-2a+1)2-4(a-2)a=4a+1，说明对于一个二次项系数含参数的方程，要按照二次项系数为零或不为零来讨论根的情况，前者为一次方程，后者为二次方程，不能一上来就用判别式．2．确定方程中系数的值或范围例3 关于x的一元二次方程有实根，其中a是实数，求a99+x99的值．解因为方程有实根，所以即-a2-2a-1≥0．因为-(a+1)2≥0，所以a+1=0，a=-1．当a=-1时，原方程为x2-2x+1=0，x=1，所以a99+x99=(-1)99+199=0．例4 若方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实根，求a，b的值．解因为方程有实根，所以它的判别式△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)≥0，化简后得2a2+4ab+4b2-2a+1≤0，所以(a+2b)2+(a-1)2≤0，说明在本题中，只有一个不等式而要求两个值，通常是通过配方把这个不等式变形为“若干个非负数之和小于等于零”，从而可以得到一个方程组，进而求出要求的值．例5 △ABC的一边长为5，另两边长恰是方程2x2-12x+m=0的两个根，求m的取值范围．解设△ABC的三边分别为a，b，c，且a=5，由△=122-4·2·m=144-8m≥0并且不等式25=a2＞(b-c)2=(b+c)2-4bc=36-2m，3．求某些方程或方程组的解例6 求方程5x2+5y2+8xy+2y-2x+2=0的实数解．解先把y看作是常数，把原方程看成是关于x的一元二次方程，即5x2+(8y-2)x+(5y2+2y+2)=0．因为x是实数，所以判别式△=(8y-2)2-4·5·(5y2+2y+2)≥0，化简后整理得y2+2y+1≤0，即(y+1)2≤0，从而y=-1．将y=-1代入原方程，得5x2-10x+5=0，故x=1．所以，原方程的实数解为x=1，y=-1．说明 (1)本题也可以把x看作常数，把方程写成关于y的一元二次方程，再用判别式来求解．(2)本题还可以用配方的方法，把原方程变形为4(x+y)2+(x-1)2+(y+1)2=0，从而x=1，y=-1．例7 解方程组解引入待定系数k，由k·①+②得或写成△=(k+4)2-4(k+7)(k-1)=0．即4．证明不等式，求最大值和最小值用判别式证明不等式，常常把要证明的内容通过韦达定理以及其他代数变形手段，放到某个一元二次方程的系数中去．是多少？(x-3)2+(kx-3)2=6，即(k2+1)x2-6(k+1)x+12=0，将它看成关于x的一元二次方程．因x是实数，所以△=36(k+1)2-48(k2+1)≥0，即k2-6k+1≤0．①解由于所以 yx2+(y-2)x+y=0，上式可以看成关于x的一元二次方程．因x为实数，所以△=(y-2)2-4y2≥0，即3y2+4y-4≤0，(3y-2)(y+2)≤0．当y=-2时，代入yx2+(y-2)x+y=0中，得x=-1，即x=-1时，y=例10 实数a，b，c满足a+b+c=2，且对任何实数t，都有不等式-t2+2t≤ab+bc+ca≤9t2-18t+10，证因为对任何实数t，有-t2+2t=-(t-1)2+1≤1，9t2-18t+10=9(t-1)2+1≥1，当t=1时，便有1≤ab+bc+ca≤1，所以ab+bc+ca=1．由于a+b=2-c，于是ab=1-c(a+b)=1-c(2-c)=(c-1)2，于是a，b是一元二次方程t2-(2-c)t+(c-1)2=0的两个实数根．所以△=(2-c)2-4(c-1)2≥0，即 3c2-4c≤0，练习九1．选择：(1)某一元二次方程根的判别式△=2m2-6m+5，此方程根的情况是[ ](A)有两个不相等的实根(B)有两个相等的实根(C)没有实根(D)由实数m的值而定(2)关于x的方程2kx2+(8k+1)x=-8k有两个实根，则k的取值范围是[ ](3)如果关于x的方程mx2-2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的实根个数为 [ ](A)2个(B)1个(C)0个(D)不确定(4)方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有 [ ](A)1组(B)2组(C)4组(D)无数组(5)若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根，则判别式△=b2-4ac与平方式M=(2ax0+b)2的关系是 [ ](A)△＞M (B)△=M(C)△＜M (D)不确定2．填空：(1)关于x的方程(a2-4)x2-2(a+2)x+1=0恰有一个实根，则a=____．(2)设m是不为0的整数，二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，则m=____．(3)当m=____时，二次方程(m2-2)x2-2(m+1)x+1=0有两个不等的实数根．(4)p，q是正数，如果方程x2+px+q=0的两个根之差是1，那么p=____．(5)若x为实数，且有4y2+4xy+x+6=0，则使y取实数值的所有x值的范围是____．3．求方程5x2-12xy+10y2-6x-4y+13=0的实数解．4．解方程组5．已知a，b是整数，x2-ax+3-b=0有两个不相等的实根，x2+(6-a)x+7-b=0有两个相等的实根，x2+(4-a)x+5-b=0没有实根，求a，b的值．6．已知a是实数，且关于x的方程x2-ax+a=0有两个实根u，v，求证：u2+v2≥2(u+v)．。
中学数学冲刺九年级初三之中考赢在起跑线一元二次方程的根的判别式---
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式一、知识要点1．一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，△=ac b 42−称为此方程根的判别式. △＞ 0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根. △= 0 ⇔ 方程有两个相等的实数根. △＜ 0 ⇔ 方程没有实数根. △≥ 0 ⇔ 方程有两个实数根.判别一元二次方程的根的情况的步骤：（1）将方程化为一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，找出a 、b 、c 的值； （2）求根的判别式△=ac b 42−的值，并判定其是正数、负数还是零. （3）由△，判别方程的根的情况，即：△＞ 0，方程有两个不相等的实数根； △= 0，方程有两个相等的实数根； △＜ 0，方程没有实数根； △≥ 0，方程有两个实数根.一元二次方程的根的判别式反映了其系数与实数解之间的关系. 2．一元二次方程根的判别式在解题中的应用一般地，根的判别式常见的应用有以下三种： （1）不解方程，判别一元二次方程根的情况.只需把方程化为一般形式，由a 、b 、c 的值计算出△=ac b 42−的值（其实只需明确△的正、负还是零），就可确定方程根的情况，这是根的判别式最简单和直接的应用. （2）已知方程根的情况，求方程中待定系数的取值或取值范围.首先求出△的表达式，再根据题目的条件，令△＞ 0（或△= 0、△＜ 0、△≥ 0），解所得的方程或不等式，求出结果.如果方程的二次项系数中含有待定系数，则应注意二次项系数不等于0（a ≠ 0）这一隐含条件，求未知数的取值或取值范围时，一定不要忽略这一点.（3）证明含有字母系数的一元二次方程的根的情况（即方程有实数根，无实数根，有相等或不等两个实数根）.首先确定方程中的a 、b 、c ，求出△的表达式，然后对这个表达式进行恒等变形，明确其是正数、负数、零还是非负数，从而证得方程对应的根的情况.在恒等变形时经常要用到配方和因式分解.二、典型例题例1：不解方程，判定下列方程的根的情况： （1）x x 21122=+ （2）0422=−++m mx x （m 是常数）例2：已知关于x 的方程0542=−+−k kx kx 有两个相等的实数根，求k 的值并求此方程的解.例3 ：求证：对于任意实数k ，关于x 的方程1)2(22++=+x k k x 都有两个不相等的实数根.例4 ：已知方程122−=+a x x 没有实数根，求证方程a ax x 212−=+一定有两个不相等的实数根.例5：已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程0)1(2)1(22=++−−x c bx x a 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状.三、强化训练 （一）填空题1．方程4x 2－x =0的根的判别式△=____________，其根的情况是______________. 2．若方程0322=−+m x x 有两个相等的实数根，则k 的值是_________________.3．若关于x 的二次方程0)2()52()2(2=++−+−m x m x m 有两个实数根，则m 的取值范围是_______________________.4．若方程01432=++−k x x 无实根，则k ______，化简代数式=−++−|231|91322k k k ________. 5．若221m n <，关于x 的方程0222=−+mx n x 的根的情况是_________________. （二）选择题6．一元二次方程01)12()1(22=+−+−x k x k 有实数根，则k 值为（ ）A ．45≤k B ．45<k 且k ≠ 1 C ．45≥k D ．45≤k 且k ≠ ±1 7．设m 是实数，则方程01)3(2=+++−m x m x 的根的情况是（ ）A ．必有两不等实根B ．必有两相等实根C ．必有两实根D ．一定没有实数根8．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，那么方程0)(222222=+−++c x a c b x b 的根的情况是（ ）A ．有实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根9．在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中a 与c 异号，则方程（ ）A ．有两个不等实根B ．有两个等实根C ．无实根D ．无法确定10．若分式mx x +−212不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥ 1B ．m ＞ 1C ．m ≤ 1D ．m ＜ 1（三）解答题11．当m 为何值时，关于x 的一元二次方程12)1(2−=++mx m x m . （1）有两个不等实根 （2）有两个相等实根 （3）无实根？12．已知关于x 的方程x 2＋4x －m ＋4=0没有实根，求证x 的方程1122=++m mx x 一定有两个不相等的实数根.13．当m 是什么实数时，关于x 的二次方程0442=+−x mx 与0544422=−−+−m m mx x 都有实数根？14．已知a 、b 、c 是三角形的三边，若方程0)()(2)(2=−+−+−b a x a b x b c 有两个相等的实数根，试判定三角形的形状，并说明理由.15．已知关于x 的方程01)1(2=++−mx x n 有两个相等的实数根.求证：关于y 的方程03222222=+−−−n m my y m 必有两个不相等的实数根.。
九年级数学中考典型及竞赛训练专题03 根的检测器(附答案解析)
专题 03 根的检测器
例 1. 9 提示: 原方程化为 (x2 3x p)(x2 3x 2 p) 0 ,因为两方程中一个有两个相等实根, 而 4
另一个无实根. 例 2. B 提示: 从反面考虑, 即考虑三个方程都无实数根时 m 的取值范围.
例 3.(1) 直线 x 2 或 y 3 或 y 3 x 6 2
为
．
4．已知实数 a,b, c 满足 a b c 0 ， abc 2，那么 a b c 的最小值是
．
5．已知实数 a, b, c 是不全为零的三个数，那么关于 x 的方程
x2 (a b c)x a2 b2 c2 0 的根的情况是（ ）
A．有两个负根
B．有两个正根
C．有两个异号的实根
x, y 可看作关于 t 的方程 t2 k(a b)t kab 0 的两根
11. ① 当 k 0 时, x 1, 方程有有理根;
② 当 k 0 时, 因为方程有有理根, 所以若 k 是整数, 则判别式 必为完全平方数. 即存在非负
整
数 m ,使 m2 ,即 k2 6k 1 m2, 配方得 (k 3)2 m2 8 ,即 (k 3 m)(k 3 m) 8.
x
x
公共点，且与 x 轴， y 轴分别交于 C，D 两点，设（1）中求得的一直线与 x 轴， y 轴分别交与 A，B 两
点，试判断 AD，BC 的位置关系．
【例 4】已知 a,b, c 满足 a b c 0, abc 8,且c 0 ，求证 c 33 4 ．
【例 5】 已知关于 x 的方程 x2 (3k 1)x 2k 2 2k 0 . （1）求证：无论 k 取何实数值，该方程总有实数根； （2）若等腰三角形 ABC 的一边长 a 6 ，另两边长 b, c 恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长.
初中数学竞赛专题选讲-一元二次方程的根(含答案)
初中数学竞赛专题选讲(初三.1)一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ； 方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－； 或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝； 或⎩⎨⎧==24b a . 又解： 设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++-- ②（ ①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1） 得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得 （a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1； 或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时， 得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即 假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k ab cdb a dc ==++.∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1). 例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k .由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221 ∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1, 2, －2， 分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11+＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1 18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解参考答案1. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,m>1） 15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C。
初中数学：根的判别式与含参问题压轴题专项讲练
根的判别式与含参问题分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。
分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：1. 不重（互斥性）不漏（完备性）；2. 按同一标准划分（同一性）；3. 逐级分类（逐级性）。
一、一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：∆=b2―4ac．①当∆=b2―4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；②当∆=b2―4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；③当∆=b2―4ac<0时，原方程没有实数根.【典例1】若关于x的方程|x2―4x+3|=x+t恰有三个根，则t的值为（）A．―1B．―1或―34C．―1或―12D．―34或―12先化简绝对值方程为两个一元二次方程①x2―5x+3―t=0和②x2―3x+3+t=0，再分三种情况讨论：（1）方程①有两个不相等的实根，方程②有等根；（2）方程②有两个不相等的实根，方程①有等根；（3）两个方程均有两个不相等的实根，且两个方程恰有一个相同的根．针对每种情况分别利用根的判别式列出方程或不等式求解并验证，即可得到答案．解：∵|x2―4x+3|=x+t，∴x2―4x+3=x+t或x2―4x+3=―x―t，整理得x 2―5x +3―t =0①或x 2―3x +3+t =0②，设方程①的判别式为Δ1，方程②的判别式为Δ2，若原方程恰有三个根，则有三种可能：（1）Δ1=25―4(3―t)>0Δ2=9―4(3+t)=0，∴t >―134t =―34，∴t =―34，此时，|x 2―4x +3|=x ―34，∴x 2―4x +3=x ―34或x 2―4x +3=―x +34，解得x =x 1=x 2=32，∴满足题意的t 的值是t =―34；（2）Δ1=25―4(3―t)=0Δ2=9―4(3+t)>0，∴t =―134t <―34，∴t =―134，当t =―134时，|x 2―4x +3|=x ―134，∴x 2―4x +3=x ―134或x 2―4x +3=―x +134，解得x 1=x 2=52，或x =∵x ―134≥0，∴x ≥134，但x =<134，不满足题意，舍去；（3）Δ1=25―4(3―t)>0Δ2=9―4(3+t)>0，且两方程恰有一个相同的根，∴t >―134t <―3，∴―134<t <―34，设相同的根为m ，则m 2―5m +3―t =0m 2―3m +3+t =0，解得m 1=1t 1=―1，m 2=3t 2=―3，当t =―1时，|x 2―4x +3|=x ―1，解得x =1或2或4，符合题意；当t =―3时，|x 2―4x +3|=x ―3，解得x =0或2或3，但此时x ―3>0，三个解均不合题意，舍去；综上所述，t 的值为―1或―34．故选B ．1．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于x 的方程mx 2―(m +2)x +2=0有且只有一个根（相同的两个根视为一个根），则m 的值为（ ）A ．m =0B ．m =2C ．m =1D ．m =0或m =22．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）对于一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，下列说法正确的（ ）①若a +b +c =0，则b 2―4ac ≥0；②若方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，则方程ax 2++c =0必有两个不相等的实根；③若c 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，则一定有ac +b +1=0成立；④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根，则b 2―4ac =(2ax 0+b )2．A ．只有①②B ．只有①②④C ．①②③④D ．只有①②③3．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（ ）①方程x 2―x ―2=0是倍根方程；②(x ―2)(mx +n )=0是倍根方程，则4m 2+5mn +n 2=0；③若p ，q 满足pq =2，则关于x 的方程px 2+3x +q =0是倍根方程；④若方程ax +bx +c =0是倍根方程，则必有2b2=9ac．A．①②③B．②③④C．③④D．②③4．（2024九年级·全国·竞赛）若关于x的一元二次方程ax2+(2a―1)x+a―13=0至少有一个整数根，且a为正整数，则满足条件的a共有个．5．（23-24九年级上·重庆北碚·期末）已知关于x的方程(m―3)x2+(m―11)x―8=0的根都是整数，且m=m的值之和是．6．（23-24九年级上·重庆南川·期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+a―1=0有实数根，且关于y的分式方程a+y1―y +3=1y―1的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是．7．（23-24九年级上·重庆巴南·阶段练习）若关于x的不等式组4x+3<3x+71―5x+a2<x+12有且仅有4个整数解，且关于x的方程(a―2)x2+(1―2a)x+a+2=0有解，则满足条件的所有整数a的和为．8．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）若关于x的方程|x2―2x―8|=m有三个解，则实数m的值是．9．（23-24九年级上·重庆潼南·阶段练习）如果一个三位数，十位数字等于百位数字与个位数字的平均数，我们称这个三位数为“勤劳数”．例如：630，123．最大的“勤劳数”是若三位数abc是“勤劳数”，且各位数字之和大于7小于10，且百位数字a使得关于x的一元二次方程(a―5)x2+2ax+a―8=0有实数根，则满足条件的所有“勤劳数”的和是．10．（22-23九年级上·山东聊城·m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2―4x+4=0与x2―4mx+4m2―4m―5=0的解都是整数？=3―2k有四个不同的实数11．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）已知关于x的方程x2―2x+3k2―9kx2―2x―2k根，求k的取值范围．12．（2023九年级上·江苏·专题练习）已知关于x的一元二次方程x2―(2m+1)x+m2+m=0．（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；为整数，求整数m所有可能的值．（2）如果方程的两个实数根为x1,x2(x1>x2)，且x1+3x113．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，若满足|x1―x2|=|x1⋅x2|，则称此类方程为“差积方程”．例如：x x―1)=0是差积方程．（1）判断：方程x2―4x=0______“差积方程”（填“是”或“不是”）；（2）已知关于x的方程x2―(m+2)x+2m=0，①证明：不论m取何值，方程总有实数根；②若该方程是“差积方程”，求m的值．14．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程：x2―(2k+1)x+4k―=0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．15．（22-23八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+4m(m>0)的图象经过点B(p,2m)，与y轴交于点D．（1）若关于x的一元二次方程x2―2(m―1)x―k2―2k=1有两个相等实数根，求点B的坐标；（2）已知点A(m,0)，若直线y=kx+4m与x轴交于点C(n,0)，n+2p=4m，原点O到直线CD的距离为△ABC的面积．16．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0．那么我们称这个方程为“凤凰”方程．（1）已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系；（2）已知关于x的方程m(x2+1)―3x2+nx=0是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值．17．（22-23八年级下·湖南·阶段练习）在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“整根点”，若一元二次方程的两个实数根都是整数，我们就称这个一元二次方程为“整根方程”．（1）求函数y=+2的图象上所有“整根点”的坐标；（2）若一元二次方程x2―2(k+1)x+k2=0(k<5)为“整根方程”，求整数k的值；（3）若一元二次方程(k2―3k+2)x2+(2k2―4k+1)x+k2―k=0有两个不相等的实数根且为“整根方程”，求k的值．18．（23-24八年级上·上海静安·期中）阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任意一个“快乐方程”的判别式Δ=b2―4ac一定为完全平方数．现规定F a，b，c=4ac―b24a为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”x2―3x―4=0，的两根均为整数，其“快乐数”F1，―3，―4=4×1×(―4)―(―3)24×1=―254，若有另一个“快乐方程”px2+qx+r=0(p≠0)的“快乐数”F p，q，r，且满足|r⋅F a，b，c―c⋅F p，q，r|=0，则称F a，b，c与Fp，q，r互为“开心数”．（1）“快乐方程”x2―2x―3=0的“快乐数”为；（2）若关于x的一元二次方程x2―(2m―1)x+m2―2m―3=0（m为整数，且1<m<6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；（3）若关于x的一元二次方程x2―mx+m+1=0与x2―(n+2)x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值．。
初中数学竞赛-- 第2讲 判别式——二次方程根的检测器
第二讲 判别式——二次方程根的检测器为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。
我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。
【例题求解】【例1】 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 。
(广西中考题)思路点拨：利用判别式建立关于的不等式组，注意、的隐含制约。
注：运用判别式解题，需要注意的是：(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识。
【例2】 已知三个关于的方程：，和，若其中至少有两个方程有实根，则实数的取值范围是( ) （山东省竞赛题）A 、B 、或C 、D 、 思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于的不等式组，综合判断选择。
【例3】 已知关于的方程，(1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形△ABC 的一边长＝1，另两边长、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长。
(湖北省荆门市中考题)思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分或、中有一个与c 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出、的值。
x 0112)21(2=-+--x k x k k k k 21-1+k y 02=+-a y y 012)1(2=++-y y a 012)2(2=-+-y y a a 2≤a 41≤a 21≤≤x 1≥a 141≤≤a a x 02)2(2=++-k x k x k a b c b =b c b c注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。
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第二讲 判别式——二次方程根的检测器
为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等。
我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；
通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题。
【例题求解】
【例1】 已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 。
(广西中考题)
思路点拨：利用判别式建立关于k 的不等式组，注意k 21-、1+k 的隐含制约。
注：运用判别式解题，需要注意的是：
(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；
(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识。
【例2】 已知三个关于y 的方程：02=+-a y y ，012)1(2=++-y y a 和012)2(2=-+-y y a ，若其中至少有两个方程有实根，则实数a 的取值范围是( ) （山东省竞赛题）
A 、2≤a
B 、41≤a 或21≤≤x
C 、1≥a
D 、14
1≤≤a
思路点拨：“至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a 的不等式组，综合判断选择。
【例3】 已知关于x 的方程02)2(2=++-k x k x ，
(1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰三角形△ABC 的一边长a ＝1，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长。
(湖北省荆门市中考题)
思路点拨：对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分c b =或b 、c 中有一个与c 相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b 、c 的值。
注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍。
（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法。
【例4】 设方程42=+ax x ，只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根。
(重庆市竞赛题)
思路点拨：去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零。
【例5】已知：如图，矩形ABCD 中，AD ＝a ，DC ＝b ，在 AB 上找一点E ，使E 点与C 、D 的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE ＝x ，问：这样的点E 是否存在?若存在， 这样的点E 有几个?请说明理由。
(云南省中考题)
思路点拨：要使Rt △ADE 、Rt △BEC 、Rt △ECD 彼此相似，点E 必须满足∠AED+∠BEC ＝90°，为此，可设在AE 上存在满足条件的点E 使得Rt △ADE ∽Rt △BEC ，建立一元二次方程的数
学模型，通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数。
注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：
(1)利用根的定义构造；
(2)利用根与系数关系构造；
(3)确定主元构造。