福建省长泰县第一中学2020-2021学年高二上学期学业水平测试(12月) 数学 Word版含答案
福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)
福建师大附中2020-2021学年上学期期末考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共70分）一、单项选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的. 1.已知空间向量()1,2,31a λμ=+-，()6,2,0b λ=共线，则实数λ的值是（ ） A. -3 B. 2C. -3或2D. 3或-2【答案】C 【解析】 【分析】由向量共线定理求解．【详解】由题意存在实数k ，使得a kb =，即(1,2,31)(6,2,0)k λμλ+-=，∴1622310k k λλμ+=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得21213k λμ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩或31313k λμ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．故选：C.【点睛】本题考查空间向量共线，掌握空间向量共线定理是解题基础． 2.设()f x 是可导函数，且()()000lim 2x f x f x x x∆→--∆=∆，则()0f x '=（ ）A. 2B. -1C. 1D. -2【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义求解． 【详解】()()()0000000[()]lim lim ()2x x f x f x x f x x f x f x x x∆→∆→--∆+-∆-'===∆-∆． 故选：A.【点睛】本题考查导数的定义，()()0000()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，注意极限中形式的一致性．3.正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1DD 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是（ ） A.4π B.3π C.2π D. 与P 点的位置有关 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解．【详解】如图，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则(2,0,0),(0,0,1),(1,1,0)A M O ，设(2,,2)P m ， (2,0,1),(1,1,2)AM OP m =-=-，∴210(1)120AM OP m ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，∴AM OP ⊥，即AM OP ⊥． ∴直线OP 与直线AM 所成的角为2π． 故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成的角，解题关键是建立空间直角坐标系，用空间向量法求解．4.已知正四面体D ABC -的各棱长为1，点E 是AB 的中点，则EC AD ⋅的值为（ ） A.14B. 14-C.3 D. 3-【答案】A 【解析】 【分析】把EC 表示为AC AE -，然后再求数量积．【详解】由题意，四面体D ABC -是正四面体，每个面都是正三角形， ∴EC AD ⋅()AC AE AD AC AD AE AD =-⋅=⋅-⋅1111cos601cos6024=⨯⨯︒-⨯⨯︒=． 故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是把EC 表示为AC AE -，然后计算即可． 5.在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1AB 与平面11ABC D 所成角的正弦值为（ ） A.25B.25C.10 D.12【答案】B 【解析】 【分析】做出线面角，在直角三角形中解角的正弦值.【详解】做11B H BC ⊥于H 点，连接AH ，因为1AB CB ⊥面，1AB B H ∴⊥，又因为111,B H BC BC AB B ⊥⋂=，111B H ABC D ∴⊥面，根据线面角的定义得到1B AH ∠为所求角，在11BB C 中，1111,2,BB B C ==由等面积法得到1,5B H =15AB =，线面角的正弦值为：112.5HB AB = 故答案为B.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的求法．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可． 6.函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8,081f e e =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选D7.若函数()()sin xf x e x a =+在[]0,π上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,+∞B. ()1,+∞C. )2,⎡-+∞⎣D. [)1,+∞ 【答案】D 【解析】 分析】()0f x '≥在[]0,π恒成立，再转化为求函数最值．【详解】()(sin cos ))]4x xf x e x a x e x a π'=++=++，由题意)]04xe x a π++≥在[0,]x π∈恒成立，即)4a x π≥+在[0,]x π∈恒成立，[0,]x π∈时，5[,]444x πππ+∈，sin()[42x π+∈-，所以)14x π≤+≤，所以1a ≥． 故选：D.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，函数在区间[]0,π上单调递增，转化为()f x '≥在区间[]0,π上恒成立，不等式恒成立又可转化为求函数最值．本题对学生的转化与化归能力有一定的要求．8.在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 的顶点坐标分别是()0,0,2A ，()2,2,0B ，()1,2,1C ，()2,2,2D .则点B 到面ACD 的距离是（ ）A.3B.3C.3D.3【答案】A 【解析】 【分析】求出平面ACD 的一个法向量n ，再求出BD 在n 方向上的投影的绝对值即可． 【详解】由题意(2,2,0),(1,0,1),(0,0,2)AD CD BD ===, 设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则220n AD x y n CD x z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，则(1,1,1)n =--，∴233BD n n⋅-==，即B 到平面ACD故选：A.【点睛】本题考查用空间向量法求点到平面的距离．设n 是平面α的一个法向量，Q 是平面α内任一点，则P 到平面α的距离是PQ n n⋅．9.已知函数()22,02,0x x x a x f x ae x a x ⎧++<=⎨--≥⎩恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (][),01,-∞⋃+∞B. (](),01,-∞+∞C. (]{},01-∞D. (],0-∞【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论0x <时，2()2f x x x a =++的零点个数，0x ≥时，()2xf x ae x a =--的零点个数，综合后可得结论．【详解】0x ≥时，()2xf x ae x a =--，()1x f x ae '=-， (0)f a =-，当0a ≤，()0f x '≤，()f x 递减，(0)0f a =-≥，(ln 2)ln 20f =-<，因此()f x 在[0,)+∞上有且只有一个零点．当1a ≥时，()0f x '≥，()f x 递增，(0)0f a =-<，(ln 4)2ln 40f a =->，因此在()f x 在[0,)+∞上有且只有一个零点，01a <<时，，1()1()x xf x ae a e a '=-=-，1(ln )0f a '=，1[0,ln )x a∈时，()f x 递减，1(ln ,)x a ∈+∞时，()f x 递增，(0)0f a =-<， x →+∞时，2x ae x a --→+∞，()f x 在[0,)+∞上有一个零点，∴a R ∈，()f x 在[0,)+∞上有一个零点，0x <时，22()2(1)1f x x x a x a =++=++-，若0a ≤或1a =，()f x 有一个零点，若1a >，()f x 无零点，若01a <<，()f x 有两个零点． 因此满足题意的a 的取值范围是 (,0]{1}-∞ 故选：C.【点睛】本题考查函数的零点个数，对分段函数来讲要分段讨论，对于复杂的函数一般可通过导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在定理确定零点个数． 10.已知()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数，且当02x π<<时，有()()'cos sin 0f x x f x x +>，则不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集为（ ）A. ,0,233πππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ,0,332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ,00,33ππ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】构造新函数()()cos f x g x x =，确定它的单调性后结合偶函数性质可解题中不等式． 【详解】设()()cos f x g x x =，则2()cos ()sin ()cos f x x f x xg x x'+'=，∵当02x π<<时，有()()'cos sin 0f x x f x x +>，∴()0g x '>，∴()g x 在(0,)2π上单调递增．又()f x 是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数，∴()g x 也是定义在,00,22ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的偶函数（因为()()()()cos()cos f x f x g x g x x x--===-），不等式()2cos 3f x f x π⎛⎫< ⎪⎝⎭可化为()()3cos cos 3f f x x ππ<，即()()3g x g π<，()()3g x g π< ∴03x π<<，03x π-<<或03x π<<． 故选：C.【点睛】本题考查用导数解不等式，解题关键是构造新函数()()cos f x g x x=，确定它的奇偶性和单调性．二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.11.定义在R上的可导函数()y f x=的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）A. -3是()f x的一个极小值点；B. -2和-1都是()f x的极大值点；C. ()f x的单调递增区间是()3,-+∞；D. ()f x的单调递减区间是(),3-∞-．【答案】ACD 【解析】【分析】由导函数与单调性、极值的关系判断．【详解】当3x<-时，()0f x'<，(3,)x∈-+∞时()0f x'≥，∴3-是极小值点，无极大值点，增区间是()3,-+∞，减区间是(),3-∞-．故选：ACD.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反．12.定义在R的函数()f x，已知()00x x≠是它的极大值点，则以下结论正确的是（）A. 0x-是()f x-的一个极大值点B. 0x-是()f x-的一个极小值点C.x是()f x-的一个极大值点D. 0x-是()f x--的一个极小值点【答案】AD【解析】【分析】由()f x '确定()f x -的导数的性质，从而可确定()f x -的性质．再根据()y f x =-与()y f x =的图象关于x 轴对称作答．【详解】()000x x ≠是()f x 的极大值点，就是存在正数m ，使得在00(,)x m x -上，()0f x '>，在00(,)x x m +上，()0f x '<． 设()()g x f x =-，()()g x f x ''=--，当00x x x m -<<-+时，00x m x x -<-<，()0f x '->，()0g x '<，同理00x m x x --<<-时，()0g x '>，∴0x -是()f x -的一个极大值点，从而0x -是()f x --的一个极小值点，0x 是()f x -的一个极小值点．不能判定0x -是不是()f x -的极值点． 故选：AD.【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反． 13.设()30,x ax b a b R ++=∈，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（ ）A. 3a =-，2b =B. 3a =-，3b =-C. 3a =-，2b >D. 1a =，2b =【答案】BCD 【解析】 【分析】把各选项代入函数式检验，能求出实根的解出实根，不能求出实根的用函数的性质判断． 详解】记3()f x x ax b =++，3a =-，2b =时，32()32(1)(2)0f x x x x x =-+=-+=，1x =或2x =-，不满足题意；3a =-，3b =-时，3()33f x x x =--，2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞是递增，在(1,1)-上递减，而()(1)10f x f =-=-<极大值，()f x 只有一个零点，即()0f x =只有一个实根，同理3a =-，2b >时，()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞是递增，在(1,1)-上递减，而()(1)20f x f b ==->极小值，()f x 只有一个零点，即()0f x =只有一个实根，1a =，2b =时，32()2(1)(2)0f x x x x x x =++=+-+=，只有一个实根1-，故选：BCD.【点睛】本题考查方程实根个数问题，对于方程根无法解出的情况可以通过研究函数的极值与单调性确定函数零点即方程根的个数．14.如图，矩形ABCD 中，22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆（点1A 不落在底面BCDE 内).若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，以下命题正确的是（ ）A. 四棱锥1A BCDE -体积最大值为24B. 线段BM 长度是定值；C. //MB 平面1A DE 一定成立；D. 存在某个位置，使1DE A C ⊥； 【答案】ABC 【解析】 【分析】平面1A DE ⊥平面BCDE 时，1A 到平面BCDE 的距离最大，求出这个最大值，即能求出最大体积知A 是否正确，取CD 中点N ，连接,MN BN ，可得145MNB A DE ∠=∠=︒，平面//BMN 平面1A DE ，从而可得B 、C 是否正确，对D ，假设有1DE A C ⊥，推导出矛盾结论，说明D 错误．【详解】ADE ∆是等腰直角三角形，A 到DE 的距离是22，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，1A 到平面BCDE 的距离最大为22，又13211122BCDE S =⨯-⨯⨯=，∴132232V =⨯⨯=最大．A 正确； 取CD 中点N ，连接,MN BN ，∵M 是1A C 的中点，∴1//MN A D ，而MN ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，∴//MN 平面1A DE ，由DN 与EB 平行且相等得DNBE 是平行四边形，//BN DE ，同理得//BN 平面1A DE ， 而BN MN N ⋂=，∴平面//BMN 平面1A DE ，BM ⊂平面BMN ，∴//MB 平面1A DE ，C 正确，在上述过程中得145MNB A DE ∠=∠=︒，又1112,22BN DE MN A D ====，∴22115(2)()22cos 45222BM =+-⨯⨯︒=为定值，B 正确；假设存在某个位置，使1DE A C ⊥，取DE 中点O ，连接1,A O CO ，显然1AO DE ⊥，而111A OA C A =，∴DE ⊥平面1A OC ，OC ⊂平面1A OC ，∴ DE OC ⊥，则CE CD =，但2CE =2CD =，不可能相等，所以不可能有1DE A C ⊥．D 错． 故选：ABC.【点睛】本题考查空间折叠问题，考查空间线面的位置关系，解题时对体积，平行、垂直都要有充分的认识．对一个命题说明它为假时可以通过反证法证明．第Ⅱ卷（非选择题，共80分）三、填空题：每小题5分，共20分.15.已知函数()()2'35f x f x x =+，则()'1f =______.【答案】3 【解析】 【分析】先求出导函数()f x '，令3x =，求出(3)f '后再求'(1)f ．【详解】由题意()2(3)5f x f x ''=+，(3)2(3)35f f ''=⨯+，(3)1f '=-，即()25f x x '=-+， ∴(1)253f '=-+=． 故答案为：3.【点睛】本题考查导数的运算，属于基础题． 16.过原点与曲线2xy e =相切的直线方程为______. 【答案】2y ex = 【解析】 【分析】设切点坐标，写出切线方程，由切线过原点，再求出切点坐标，从而得切线方程 【详解】设切点为00(,)P x y ，由于2xy e '=，∴ 切线斜率为02x k e =， 切线方程为00022()x x y ee x x -=-，∵切线过原点，∴00022x x e x e -=-．01x =，所以切线方程为22(1)y e e x -=-，即2y ex =． 故答案为：2y ex =．【点睛】本题考查导数的几何意义．求过某点的切线，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点坐标，从而得出切线方程．17.若函数()33=-f x x x 在区间()1,a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是______.【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】先求()f x 的极小值点，()f x 的极小值点在区间(1,)a a -上，由此可得a 的范围．【详解】2()333(1)(1)f x x x x '=-=--+，当1x <-或1x >时，()0f x '<，当11x -<<时，()0f x '>，∴1x =-是函数()f x 的极小值点．∵函数()33=-f x x x 在区间()1,a a -上有最小值，即为极小值．∴11a a -<-<，解得10a -<<． 故答案为：(1,0)-．【点睛】本题考查导数与最值的关系．连续函数在(,)a b 的最小值就是极小值，最大值就是极大值．但在[,]a b 是的最值不一定是极值．18.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是______，该几何体的外接球半径为______.【答案】 (1). 335【解析】 【分析】由正视图知三棱锥两个面垂直，如图平面ABD ⊥平面CBD ，H 是BD 中点，则1AH =，3BH DH ==ABD ∆和CBD ∆的外心，由三角形的外心找到三棱锥外接球球心．【详解】由正视图，知平面ABD ⊥平面CBD ，如图，H 是BD 中点，则1AH =为三棱锥A BCD -的高，3BH DH ==1CH AH ==，123132CBD S ∆=⨯=13313ABCD V ==分别延长,CH AH 至,M N ，使1HM HN ==，则可得,M N 分别是,ABD CBD ∆∆的外心，作OM ⊥平面ABD ，作ON ⊥平面CBD ，,OM ON 交于点O （这两条直线都在平面ACH 内，因此它们相交，也可作//,//OM CH ON AH 得结论），则O 为三棱锥A BCD -外接球球心．OMHN 是正方形，1OM HN ==，2222215OA AM OM =+=+=．35 【点睛】本题考查三视图，考查棱锥的体积及棱锥的外接球．解题关键是由正视图得出三棱锥中的线面间的位置关系及线段长度．难点是寻找外接球球心．掌握如下结论就容易找到球心：多面体的外接球球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上． 四、解答题：5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19.已知函数()2f x ax blnx =+在1x =处有极值12． （1）求a,b 的值； （2）求()f x 的单调区间．【答案】(1)12a =,1b =-．(2) 单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+∞． 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，得到()2bf x ax x'=+，再由题意，列出方程组，求解，即可得出结果； （2）由（1）的结果，得到()212f x x lnx =-，对其求导，解对应的不等式，即可得出单调区间.【详解】解：（1）()'2.b f x ax x =+又()f x 在1x =处有极值12,()()112'10ff⎧=⎪∴⎨⎪=⎩即1220aa b⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得12a=,1b=-．（2）由（1）可知()212f x x lnx=-,其定义域是()0,∞+,()()()111'x xf x xx x+-=-=．由()'0f x<,得01x<<；由()'0f x>,得1x>．∴函数()y f x=的单调减区间是()0,1,单调增区间是()1,+∞．【点睛】本题主要考查由函数极值求参数，以及导数的方法求单调区间的问题，通常需要对函数求导，利用导数的方法求解即可，属于常考题型.20.如图，三棱柱ADE BCG-中，四边形ABCD是矩形，F是EG的中点，EA AB⊥，1AD AE EF===，平面ABGE⊥平面ABCD．（1）求证：AF⊥平面FBC；（2）求锐二面角B FC D--的平面角的大小．【答案】（1）见解析（2）3π【解析】【分析】（1）先由已知面面垂直证明BC⊥平面ABGE，得BC AF⊥，再在矩形ABGE中由勾股定理逆定理证明AF BF⊥，从而可得线面垂直；（2）由（1）知AD，AB，AE两两垂直，以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，用向量法求二面角．【详解】解：（1）证明：∵平面ABGE⊥平面ABCD，平面ABGE平面ABCD AB=，又由四边形ABCD是矩形知，BC AB⊥，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面ABGE，∵AF ⊂平面ABGE ， ∴BC AF ⊥．在AFB ∆中，2AF BF ==，2AB =，∴222AF BF AB +=，即AF BF ⊥，又BF BC B ⋂=， ∴AF ⊥平面FBC ．（2）由（1）知AD ，AB ，AE 两两垂直，分别以AD ，AB ，AE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0D ，()1,2,0C，()0,0,1E ，()0,2,0B ，()0,1,1F ，∴()1,0,1DE =-，()0,2,0DC =，设()1,,n x y z =为平面CDEF 的法向量，则1100n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200y x z =⎧⎨-+=⎩，令1x =，得1z =，即()11,0,1n =，取()20,1,1n AF ==为平面BCF 的一个法向量， ∴1212121cos ,2n n n n n n ⋅==， ∴锐二面角B FC D --的平面角的大小是3π．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求二面角．掌握证明线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理是解答本题的关键．在求空间角时，一般都是建立空间直角坐标系，用空间向量法求角．21.如图，有一块半径为20米，圆心角23AOB π∠=的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形OCD ，弓形CMD ，扇形AOC 和扇形BOD （其中AOC BOD ∠=∠）.某次菊花展依次在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2.（1）设COD θ∠=，试建立日效益总量y 关于θ的函数关系式； （2）试探求θ为何值时，日效益总量达到最大值. 【答案】（1）y 160004000sin 20003πθθ=+⋅-，其中，203πθ<<.（2）当3πθ=时，日效益总量可取得最大值. 【解析】 【分析】（1）利用扇形面积公式可求出四个区域的面积，从而可计算出日收益． （2）利用导数可求得日收益的最大值．【详解】（1）依题意得，23232AOC πθπθ-∠==-，则22112040220sin 502322y πθθ⎛⎫=⋅-⋅⋅+⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭22112020sin 3022θθ⎛⎫+⋅⋅-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭1600010000sin 60006000sin 32πθθθθ⎛⎫=⋅-+⋅+- ⎪⎝⎭160004000sin 20003πθθ=+⋅-，其中，203πθ<<. （2）'4000cos 2000y θ=⋅-， 令'0y =，得3πθ=，当π0θ3，'0y >，当233ππθ<<时，'0y <，所以，3πθ=是函数的极大值点，且唯一；从而当3πθ=时，日效益总量可取得最大值.【点睛】本题考查三角函数模型的应用，考查导数在实际问题中的应用．解题关键是根据题意列式，求出函数表达式，然后再利用导数知识可求得最大值．22.在如图所示的六面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，面ABEF 是直角梯形，90FAB ∠=，//AF BE ，24BE AF ==.（Ⅰ）求证：AC //平面DEF ；（Ⅱ）若二面角E AB D --为60，求直线CE 和平面DEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析. 7. 【解析】试题分析：（1）连接,AC BD 相交于点O ,取DE 的中点为G ,连接,FG OG ，易证四边形AOGF 是平行四边形，从而可得结论；（2）以C 为坐标原点,CB 为x 轴、CD 为y 轴、CE 为z 轴建立空间直角坐标系.则()()((0,0.0,0,2,0,3,3C D E F ,计算法向量，根据公式sin cos ,CE n θ=即可求出. 试题解析：(1):连接,AC BD 相交于点O ,取DE 的中点为G ,连接,FG OG .ABCD 是正方形,O ∴是BD 的中点,1,2OG BE OG BE ∴=, 又因为1//,2AF BE AF BE =,所以OG AF 且OG AF =, 所以四边形AOGF 是平行四边形,//AC FG ∴,又因为FG ⊂平面,DEF AC ⊄平面DEF AC//∴平面DEF(2)ABCD ∴是正方形,ABEF 是直角梯形,FAB 90∠=︒,DA AB,FA AB ∴⊥⊥4AD AF ∴⋂=,AB ⊥平面AFD ,同理可得AB ⊥平面EBC .又AB ⊂平面ABCD ,所以平面AFD ⊥平面ABCD,又因为二面角E AB D --为60°，所以60,2 4.2FAD EBC BE AF BC ∠=∠=︒===,由余弦定理得EC 23=, 所以EC BC ⊥，因为AB ⊥半面EBC ，EC AB ∴⊥,所以EC ⊥平面ABCD ,以C 为坐标原点,CB 为x 轴、CD 为y 轴、CE 为z 轴建立空间直角坐标系. 则()()()()0,0.0,0,2,0,0,0,23,1,2,3C D E F , 所以()()()0,0,23,1,0,3,1,2,3CE DF F ==,设平面DEF 的一个法向量为(),,n x y z =,则00n DF n EF ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩即30230x z x y z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩令3z =，则33x y =-⎧⎨=⎩，所以()3,3,3n =-设直线CE 和平面DEF 所成角为θ， 则7sin cos ,2321CE n θ===⨯23.已知函数()()1ln 1f x a x =+，()32g x x x =-+.（1）当1a =时，试讨论方程()()21f x k k R =-∈的解的个数；（2）若曲线()()211y f x e x e =-<<-和()()0y g x x =<上分别存在点A ，B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点在y 轴上，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）2 ,2ee⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求出导函数()f x'，由导函数确定函数的单调性，作出函数的大致图象，通过图象确定方程()()21f x k k R=-∈解的个数；（2）设()11,A x y，()22,B x y，由1202x x+=，21x x=-，32211y x x=+，题意说明1212OA OB x x y y⋅=+=，代入得()()()32111111ln1x x x xa x-+⋅+=+，化简后有()11110ln1xa x+-=+，从而()111ln1xax+=+，只要求得()()1ln1xh xx+=+（211e x e-<<-）的值域即得a的范围．【详解】（1）当1a=，()()1ln1f xx=+，()()()()()221111ln1ln'1x xxx xf--++==++；又()f x的定义域为()()1,00,-+∞；当1x>-时，()'0f x<恒成立.所以，()f x在()1,0-上单调递减，在()0,∞+也单调递减，图象如图所示.因此，当210k-=即1k=±时，方程无解；当210k-≠即1k≠±时，方程有唯一解.（2）设()11,A x y ，()()1111ln 1f x a y x ==+，()22,B x y ，()()3222220y g x x x x ==-+<， 则1202x x +=，21x x =-，∴32211y x x =+. ()11,OA x y =，()22,OB x y =，由题意，12120OA OB x x y y ⋅=+=，即()()()321111110ln 1x x x x a x -+⋅+=+， ∴()2111110ln 1x x a x ⎡⎤+-+=⎢⎥+⎣⎦， ∵2111e x e -<<-，∴()11110ln 1x a x +-=+， 则()111ln 1x a x +=+. 设()()1ln 1x h x x +=+，则()()()2ln 11'ln 1x h x x +-=+， ∵211e x e -<<-，∴()'0h x >，即函数()()1ln 1x h x x +=+在()211e x e -<<-上为增函数， 则()()221111ln 11ln 11e e a e e -+-+<<-+-+， 即22e e a <<. ∴实数a 的取值范围是2,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查用导数研究方程根的个数，求函数值域问题．解题关键是问题的转化．方程根的个数可通过函数图象与直线的交点个数来研究，而题中第（2）个问题，通过,A B 两点的关系，转化为()()()321111110ln 1x x x x a x -+⋅+=+，即()11110ln 1x a x +-=+有解，然后再转化为求函数值域．本题对学生的转化与化归能力要求较高，对运算求解能力要求较高．。
2020-2021学年广东省深圳实验学校高中部高二下学期第一阶段考试数学试题 word版
深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟 满分：150分 命题人：曾玉泉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．用数字1,2,3组成允许有重复数字的两位数，其个数为( )A ．9B ．8C ．6D ．5 2．从3名男生与2名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为( )A ．6B ．7C ．8D ．14 3．右图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若,a b 是某行的前两个数，当7a =时，b =( )A. 20B. 21C. 22D. 234．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X < 等于( ) A ．115 B ．715 C ．815 D ．14155．如右图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有( ) A ．36种 B ．24种 C ．12种 D ．9种6．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思 不变，而且颇具趣味.相传清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联： “客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒 读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44,585,2662等；那么用数1,2,3,4,5,6可以组成4位“回文数”的个数为( )A ． 30B ．36C ．360D ．1296 7．在561819(1)(1)(1)(1)x x x x -+-++-+-…的展开式中，含3x 的项的系数是( ) A ．3871 B ．3871- C ．4840 D ．4840- 8．224x y +≤表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为( )A ．256B ． 258C ．260D ．264二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市嘉定区第一中学2020-2021高二上学期第一阶段考试数学试卷(word版,含答案)
嘉定区第一中学2021-2021高二上学期第一阶段考试数学试卷〔期中〕考试时间: 120分钟总分值: 150分一､填空题(本大题共有12题,总分值54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.2213lim x n n →∞+=____. 2.(1,),(2,3),a k b ==假设a b 与平行，那么k=_____.3.方程组2130x y x y +=⎧⎨-=⎩对应的增广矩阵为____.4.在等差数列{}n a 中,己知那么该数列前11项和11S = ___. 5.假设1312,2433A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，B 那么2A-B=___. 6.11111()1,234212f n n n=++++++-那么f(n+1)-f(n)= ___. 7.△ABC 是边长为1的等边三角形, p 为边BC 上一点,满足2,PC BP =那么BA AP ⋅=___.8.数列n a 的前n 项和为2*,4,.n n S S n n N =+∈且那么n a =___.9.设无穷等比数列n a 的公比是q ，假设1a =34lim(),n x a a a →∞+++那么q =___.10.点12(1,1),(7,4),P P ==点P 分向量12PP 的比是1,2那么向量1PP 在向量方向上的投影为____.11.在△ABC 中, , CB a CA b == , ∠ACB=120°.假设点D 为△ABC 所在平面内一点,且满足条件:①(1)(),(),CD CB CA R CD bCB CA λλλ=+-∈+②那么||CD =____.(用a, b 表示)12. 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 假设存在实数A,使得对任意的*1,n N ∈都有||n S A <,那么称数列{}n a 为“T 数列〞,那么以下{}n a 为“T 数列〞的是_______.①{}n a 是等差数列,且10,a >公差d<0;②假设{}n a 是等比数列, 且公比q 满足|q|<1;③假设2(1)2n nn a n n +=+； ④假设120,(1)0n n n a a a +=+-=. 二､选择题(本大题共有4题,每题5分,总分值20分)13.a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭为单位矩阵,那么向量(,)m a b =的模为()A.0B.1C.2D 14. ,a b 为两个非零向量,命题甲: ||||||a b a b -=+,命题乙:向量a 和b 共线,那么甲是乙的()A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件15.标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法〞是我国独创的视力记录方式,标准对数远视力表各行为正方形“E 〞形视标,且从视力5.2的视标所在行开始往上,每一行“E 〞的边长都是下方一行“E 〞边长的1010倍,假设视力4.1的视标边长为a,那么视力4.9的视标边长为()16.在△ABC 中, H 是边AB 上一定点,满足AB= 4HB,且对于边AB 上任一点P ,恒有 PB PC HB HC ⋅≥⋅,那么()A ∠ABC= 90°B.∠BAC= 90°C.AB= ACD.AC= BC三､解答题(本大题共有5题,总分值76分)解答时必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.(此题14分,第1小题6分,第2小题8分)A(2,1), B=(3,2), D=(-1,4)(1)假设四边形A BCD 是矩形,试确定点C 的坐标;(2)O 为坐标原点,求.OA OB OC ⋅-18.(此题14分,第1小题6分,第2小题8分)向量x ,y 满||1x =,||2y =,且()()225x x y f v --=.(1)求x 与y 的夹角θ；(2)假设()x my y -⊥,求实数m 的值. 19.(此题14分,第1小题6分,第2小题8分)根据预测,疫情期间,某医院第n 〔n ∈N*〕天口罩供给量和消耗量分别为n a 和n b (单位:个),其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩,5n b n =+,第n 天末的口罩保有量是前n 天的累计供给量与消耗量的差. (1)求该医院第4天末的口罩保有量;(2)该医院口罩仓库在第n 天末的口罩容纳量()24468800n S p -+=-(单位:个). 设在某天末,口罩保有量到达最大,问该保有量是否超出了此时仓库的口罩容纳量?20.(此题16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分)在直角坐标平面xOy 上的一列点()111,A α ,22(1,)A a ,,,()1,n n A a ,,,,简记为n {}A .假设由1n n n b A A j +=⋅构成的数列{}n b 满足1n n b b +>,1,2,...n =,其()0,1j =,那么称{}n A 为“M 点列〞(1)判断()11,1A ,()22,1A ,()33,1A ,,,(),1n A n ,…是否为“M 点列〞,并说明理由;(2)判断()11,1A ,212,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,313,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,,,1,n A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭,是否为“M 点列〞,请说明理由,并求出此时列{}n b 的前n 项和n T . (3)假设n A 为“M 点列〞,且点2A 在A 1的右上方,任取其中连续三点k A ,k l A +,24k +,判断12k k k A A A ++的形状(锐角三角形､直角三角形､钝角三角形),并予以证明.21.(此题18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)数列{}n a 中,11a =,2a d =,()12n n n a k a a ++=+对任意n N *∈都成立,数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)假设{}n a 是等差数列,求k 的值;(2)假设1a =,12k =-,求n S ;(3)是否存在实数k,使数列{}n a 是公比个为1的等比数列,且任意相邻三项m a ,1m x +,2m a +按某顺序排列后成等差数列?假设存在,求出所有k 的值;假设不存在,请说明理由.。
山东省潍坊市临朐县实验中学2021-2022学年高二上学期12月月考历史试题(Word版含答案)
高二（2020级）12月份月结学情检测历史试题考试时间：90分钟；命题人：第I卷（选择题）共15题，每题3分一、单选题1．明朝万历皇帝因太子之事与内阁争执长达十余年，最后索性三十年不再上朝，内阁出现了“人滞于官”“曹署多空”的现象，部、寺大官十缺七、六，史称“万历怠政”。
这实质上说明A．内阁的政治地位上升B．君臣之争引起官场混乱C．君主专制在不断弱化D．政治体制存在严重弊端2．下图是近代英国某部法案的部分条款，对此解读恰当的是A．国王处于“统而不治”B．内阁的权力高于王权C．议会取得行政监督权D．维护了光荣革命成果3．据《史记》记载：西周初定天下时，周公怕诸侯背叛周，便摄政主持国家大事。
武王的弟弟管叔、蔡叔联合纣王的儿子武庚发动叛乱。
周公奉命讨伐武庚、管叔，流放蔡叔。
用商纣王的哥哥微子启，代替武庚为殷的后代，建国于宋。
这一记载反映了A．宋国建立强化了中央的垂直管理B．诸侯国间出现强国兼并弱国现象C．安抚商朝余部是巩固西周统治重要方式D．平定武庚叛乱有利于确立官僚政治体制4．据考订，殷商时代的人认为天命将永远不离子孙；周人由殷商覆亡的教训中体会出天命靡常，恒无一定的道理，认为上苍鬼神是否佑助周王朝，并非上苍自己的决定，应该凭恃百姓的意志决定。
据此可知，周人A．萌生尊重祖先的意识B．具有敬德保民的观念C．否定崇拜先王的行为D．传承天命靡常的思想5．唐代公议、公论使用频率大大超过前代。
唐代各类文献中，公议一词共有约106处、114例，该词大量的用例常常出现于授官、贬黜的文书中，显示出朝廷对某位官员公共意见的重视。
这一现象反映出唐代A．专制皇权受到制约B．实现决策民主化C．监察体制日益成熟D．政府行政理性化6．1776年美国《弗吉尼亚州宪法》规定“所有权力来自人民；政府官员是他们的受托人和公仆，且时时向他们负责”；“立法、执法和司法部门应当分立与不同；任何一个部门皆不得行使正当属于其它部门的权力，且任何人不得同时行使一项以上的权力”。
安徽省肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(理)试题含答案
安徽省肥东县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（理）试题含答案2020—2021学年度第一学期高二第二次考试数学（理）试题 ★祝考试顺利★注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第I 卷(选择题60分）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
） 1.若直线l 与直线1,7y x ==分别交于点,P Q ，且线段PQ 的中点坐标为()1,1-，则直线l 的斜率为（ ）A. 13 B 。
13- C 。
32- D.232。
直线l 经过()2,1A ， 11,2B m m⎛⎫+-⎪⎝⎭两点()0m >，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A. ,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭C.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.0,,42πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭3。
直线2130x my m -+-=,当m变化时,所有直线都过定点( ）A. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B 。
1,32⎛⎫⎪⎝⎭C. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ D 。
1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭4。
下列说法的正确的是（ ）A ．经过定点()P x y 000，的直线都可以用方程()y y k x x -=-00表示B ．经过定点()b A ，0的直线都可以用方程y kx b =+表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x ay b+=1表示D 经过任意两个不同的点()()222111y x P y x P ，、，的直线都可以用方程()()()()y y x x x x y y --=--121121来表示5。
已知直线1l :70x my ++=和2l ：()2320m x y m -++=互相平行,则实数m = （ ）A. 1m =-或 3 B 。
2020-2021学年浙江省北斗星盟高二上学期12月阶段性联考数学试题(解析版)
2020-2021学年浙江省北斗星盟高二上学期12月阶段性联考数学试题一、单选题1．椭圆22123x y +=的离心率为（ ）A ．12B．2C．3D【答案】C【分析】利用椭圆的标准方程求出1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩.【详解】因为椭圆的标准方程为22123x y +=，所以椭圆的焦点在y 轴上，可得22321a abc ⎧=⎧=⎪⇒⎨⎨===⎩⎪⎩，所以椭圆22123x y +=的离心率为3c e a ===， 故选：C.2．已知空间向量()1,2,3a =-，()3,2,x b =-，若a b ⊥，则x 的值为（ ） A ．43B ．73C ．103D ．113【答案】B【分析】根据a b ⊥，则0a b ⋅=求解【详解】因为向量()1,2,3a =-，()3,2,x b =-， 又因为a b ⊥，所以3430⋅=--+=a b x . 解得x =73. 故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．已知a 为实数，“1a >”是“23a a <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】解不等式23a a <，可得1a >即可得解. 【详解】()232101aa a a a ⇔-⇔<.所以“1a >”是“23a a <”的充要条件.【点睛】本题主要考查了解不等式及充要条件的判断，属于基础题.4．已知直线1:2l y =+，直线2l 与1l 关于直线1y x =-+对称，则直线2l 的斜率为（ ） A． BC．D【答案】D【分析】由直线1l 与直线1y x =-+的交点在直线2l上可设直线()2:1l y k x -=，在直线1y x =-+上取一点()0,1，由该点到直线2l 与1l 的距离相等列方程即可得解.【详解】联立21y y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以直线1l 与直线1y x =-+的交点为(，所以点(在直线2l 上，所以可设直线()2:1l y k x =即)10kx y k -+=，在直线1y x =-+上取一点()0,1，则该点到直线2l 与1l 的距离相等，=，解得2k =或k =. 所以直线2l 的斜率为2. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解.5．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.则该多面体的体积为（ ）A ．8B ．6C ．283D ．163【答案】D【分析】由三视图还有出原几何体，确定其结构，然后根据体积公式计算出体积． 【详解】由三视图知原几何体是下面一个直三棱柱上面一个三棱锥组合而成，尺寸见三视图， 其体积为111162222222323V =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=． 故选：D ．【点睛】本题考查三视图，考查组合体的体积，解题关键是由三视图确定的几何体的结构．6．已知双曲线C ：22221y x a b-=(a >0，b >0)，斜率为1的直线l 与双曲线C 交于不同的,A B两点，且线段AB 的中点为P (2，4)，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C ．2y x =±D ．2y x = 【答案】C【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入双曲线方程相减后可求得ba，从而得渐近线方程．【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则22112222222211y x a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，相减得()()()()12121212220y y y y x x x x a b +--+-=，∴()()2121221212a x x y y x x b y y +-=-+，又线段AB 的中点为P (2，4)，AB 的斜率为1， ∴22418a b =，a b =∴渐近线方程为y =．故选：C ．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的渐近线方程，已知弦的中点（或涉及到中点），可设弦两端点的坐标，代入双曲线方程后作差，作差后式子中有直线的斜率，弦中点坐标，有,a b ．这种方法叫点差法． 7．下列命题中，正确的是（ ）A ．若A ，B 是平面α上的点，1A ，1B 是平面β上的点，11//AA BB 且11AA BB =，则//αβ B ．若a ，b 是两条直线，且//a b ，则直线a 平行于经过直线b 的所有平面 C ．若直线//a 平面α，点P α∈，则平面α内经过点P 且与直线a 平行的直线有且只有一条D ．若直线a 与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行 【答案】C【分析】根据线面位置关系依次判断各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，若A ，B 是平面α上的点，1A ，1B 是平面β上的点，11//AA BB 且11AA BB =，则//αβ或相交，故A 选项错误；对于B 选项，当a ，b 两条直线共面时，显然不成立，故B 选项错误； 对于C 选项，由线面平行的性质定理易知该命题正确，故C 选项正确；对于D 选项，直线a 与平面α不平行，则直线a 与平面α的关系可以是直线a 在平面α内，此时不满足条件，故D 选项错误. 故选：C.8．若直线0x y m +-=与曲线2y =则实数m 所的取值范围是（ ） A ．[12,2]- B ．(,12)(2,)-∞-⋃+∞ C ．[12,12]-+ D ．(,12)(12,)-∞-⋃++∞【答案】B【分析】曲线2(2)y x x =--+是下半圆，先求出直线与曲线2(2)y x x =--+有公共点时m 的范围，然后可得题设结论．【详解】如图，是曲线2(2)y x x =-+(1,2)-为圆心，1为半径的圆的下半部分， 当直线0x y m +-=过(0,2)A 时，2m =，当直线0x y m +-=与曲线2(2)y x x =-+相切时，1212m-+-=，12m =-（12m =，由直线方程知m 是直线0x y m +-=的纵截距，所以直线0x y m +-=与曲线2(2)y x x =-+12m <或2m >．故选B ．【点睛】本题考查直线与圆的关系，解题时注意曲线只是半圆，因此直线与半圆有公共点不仅要考虑切线，还要考虑直线过半圆弧的端点，然后结合图形得解．9．已知抛物线2:4C x y =，过点()2,1P 引抛物线的两条弦PA 、PB ，分别交抛物线于,A B 两点，且AP BP ⊥，则直线AB 恒过定点坐标为（ ） A ．()2,5- B ．()2,2-C ．()3,3-D ．()3,5-【答案】A【分析】设出A ，B 的坐标，利用AP BP ⊥垂直建立等式关系，然后再利用点A ，B 的坐标，表示出直线AB 的方程即可求解.【详解】设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，由AP BP ⊥可得：2212121144122x x x x --⨯=---，化简可得：()1212220x x x x ++=-，直线AB 斜率为22121212444x x x x k x x -+==-， 所以()2112144x x x y x x +-=-，即121244x x x x y x +=-， ()()12121222025444x x x x x x y x x ++++=+=++， 令2x =-可得5y =，所以直线直线AB 恒过定点()2,5-， 故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用AP BP ⊥，得出斜率乘积为1-，可得()1212220x x x x ++=-，表示出直线AB 的方程即可求出定点.10．直三棱柱111ABC A B C -中，若22BC AB ==，1AA AC ==M 是11B C 中点，过AM 作这个三棱柱的截面，当截面与平面ABC 所成的锐二面角最小时，这个截面的面积为（ ）A ．2B 15C 53D 3【答案】C【分析】建立坐标系，设截面的法向量为(),,m x y z →=，设截面与平面ABC 所成的锐二面角为θ，平面ABC 的法向量为()0,0,1n →=，则由0AM m →→⋅=得3230x z ++=，进而21cos cos ,41213m n y yz zθ→→==⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭故cos θ取最大值，锐二面角为θ取最小，此时()3,3,2m →=--，进而过AM 截面与yAz 平面内的直线11A C 的交点为230,33E ⎛ ⎝，过AM 截面与xAz 平面内的直线1BB 的交点为31,0,2N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，进而截面即为四边形ANME ，再求四边形ANME 的面积即可得答案.【详解】解：因为22BC AB ==，3AC =所以222AC AB BC +=，即AB AC ⊥. 所以根据题意，以A 点为坐标原点，1,,AB AC AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()3,0C ，13322M ⎛ ⎝，13,322AM →⎛= ⎝易知平面ABC 的法向量为()0,0,1n →=， 设截面的法向量为(),,m x y z →=， 则0AM m →→⋅=，即3230x z ++=， 设截面与平面ABC 所成的锐二面角为θ， 则cos cos,m nθ→→====所以当32yz=-时，cosθ取最大值，锐二面角为θ取最小，不妨设2z=，则3y=-，x=()3,2m→=-，此时，过AM截面与xAz平面内的直线1BB的交点为()1,0,N a，则()1,0,AN a→=，所以0AN m→→⋅=，即20a=，解得a=过AM截面与yAz平面内的直线11A C的交点为(0,Eb，则(0,AE b→=，所以0AE m→→⋅=，即30b-+=，解得b=，所以N⎛⎝⎭，E⎛⎝，所以此时截面即为四边形ANME，其中AN NM==，2AM=，AE=，EM=，则在四边形ANME中，222cos2AE EM AMAEMAE EM+-∠==⋅⋅，所以sin AEM∠=，所以四边形ANME的面积为11222AEM ANMS S S=+=⨯==△△. 故选：C.【点睛】本题解题的关键在于寻找截面ANME ，通过建系研究截面与平面ABC 所成的锐二面角为θ满足的21cos cos ,41213m n y yz zθ→→==⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭得到截面的一个法向量，再根据法向量求得截面与直线11A C 的交点为230,33E ⎛ ⎝，与直线1BB 的交点为31,0,2N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，再根据四边形的面积求解即可.二、填空题11．已知m R ∈，命题:p 双曲线2214x ym-=的离心率2)e ∈；命题:q 方程222145x y m m+=+表示焦点在x 轴上的椭圆,若命题p 和命题q 有且只有一个为真命题，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】1m 且4m ≠【分析】分别求得p ，q 为真命题时，m 的范围，结合离心率公式和二次不等式的解法，再由p ，q 一真一假，可得m 的不等式组，解不等式可得所求范围．【详解】已知m R ∈，若命题p ：双曲线2214x y m-=的离心率2)e ∈，为真命题，可得4(1,2)m+∈，解得(0,4)m∈，若命题q：方程222145x ym m+=+表示焦点在x轴上的椭圆为真命题，可得2450m m+>>，解得4m>或01m<<，由题意可得p，q中一真一假，可得04014mm m<<⎧⎨⎩或或40401m mm m⎧⎨><<⎩或或，解得14m<或4m>，即1m且4m≠，故答案为：1m且4m≠．12．四棱锥P ABCD-中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且1PD=，3AB=，G是ABC的重心，则PG与面PAB所成角θ的正弦值为________.【答案】1030【分析】建立空间直角坐标系，求出平面P AB的一个法向量m及PG，由sin cos,m PGm PGm PGθ⋅=<>=⋅即可得解.【详解】因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以,,PD DA DC两两垂直，以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =-，()3,0,1PA =-，()3,3,1PB =-， 设平面P AB 的一个法向量为(),,m x y z =，则30330m PA x z m PB x y z ⎧⋅=-=⎨⋅=+-=⎩，令1x =则()1,0,3m =， 则10sincos ,103m PG m PG m PGθ⋅=<>===⨯⋅. 故答案为：10. 13．如图，两个离心率相等的椭圆1Γ与椭圆2Γ，焦点均在x 轴上A ，B 分别为椭圆2Γ的右顶点和上顶点，过A ，B 分别作椭圆1Γ的切线AC ，BD ，若AC 与BD 的斜率之积为57-，则椭圆1Γ的离心率为__________.14 【分析】由已知设圆1Γ的方程为()()2222+1x y ma mb =，椭圆2Γ的方程为2222+1x y a b =，再设出直线AC 的方程为()1y k x ma =-，直线BD 的方程为2+y k x mb =，分别与椭圆2Γ的方程为2222+1x y a b =联立整理，由直线与椭圆相切的条件0∆=，求得斜率，再由已知得2257b a =，由此可求得椭圆的离心率.【详解】因为两个椭圆1Γ与椭圆2Γ的离心率相等，所以设椭圆1Γ的方程为()()2222+1x y ma mb =，椭圆2Γ的方程为2222+1x y a b=， 设直线AC 的方程为()1y k x ma =-，与椭圆2Γ的方程为2222+1x y a b=联立整理得：()()23422212222211+2+0b mk a x a k xm a a k b --=，因为直线AC 与椭圆2Γ相切，则()()()2222222213241142+0a k m m a a k b a b k --=-=∆，整理化简得()212221k a m b =-，设直线BD 的方程为2+y k x mb =，与椭圆2Γ的方程为2222+1x y a b=联立整理得：()()222222222222+2+0b mk a b a k xm a a x b b --=，因为直线BD 与椭圆2Γ相切，则()()()22222222222242+0a k mk a b m a a b b b -=--=∆，整理化简得()222221m k ab -=，又AC 与BD 的斜率之积为57-，所以()()222212222221571mk k a b b a m -⎛⎫⋅=⋅=- ⎪-⎝⎭，整理得2257b a =，所以22222521177c b e a a ==-=-=，所以椭圆1Γ故答案为：7. 【点睛】关键点点睛：解决直线与椭圆的位置关系的问题，关键在于联立直线与椭圆的方程，运用方程的根的判别式的正负，满足直线与椭圆相交，相切，相离.三、双空题14．已知直线l 过点()2,1A ，()3,0B ，则直线l 的倾斜角为__________，直线l 的方程为__________.【答案】135︒ 30x y +-=【分析】先根据斜率公式得1AB k =-，进而根据斜率与倾斜角的关系得倾斜角为135︒，由点斜式方程并整理得l 的方程为30x y +-=. 【详解】由题意知斜率存在，且由斜率公式得：212110123AB y y k x x --===---，由于tan 1k α==-，且[)0,πα∈ 所以直线l 的倾斜角为135︒；由点斜式方程得直线l 的方程为：()013y x -=--，整理得：30x y +-=. 故答案为：135︒；30x y +-=15．在空间直角坐标系中，点()4,2,3P -到原点的距离为___________，关于z 轴对称的点的坐标为_________.(4,2,3)-【分析】在空间直角坐标系中，利用两点距离公式可得结果；点(P a ，b ，)c 关于z 轴对称的点的坐标为(a -，b -，)c ．【详解】点(4P ，2-，3)=在空间直角坐标系中，点(4P ，2-，3)关于z 轴对称的点的坐标为：(4-，2，3)．；(4-，2，3)．16．已知正方体1111ABCD A B C D -中，11113A AC E =，若1AE xAA yAB zAD =++，则x =__________，y z +=__________. 【答案】123【分析】根据空间向量的运算法则，结合空间向量基本定理，直接计算，即可得出结果. 【详解】因为在正方体1111ABCD A B C D -中，11AC AC =，AC AB AD =+， 所以()111111333A AC AC AB AD E ===+，则()1111111333AA AA AB AD AA AB AD AE A E =+=++=++， 又1AE xAA yAB zAD =++， 所以1x =，13y z ==，则23y z +=.故答案为：1；23. 17．已知抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为__________；准线方程为___________. 【答案】(2,0) 2x =-；【分析】计算双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步可得准线方程.【详解】由题可知：双曲线2214x y -=的右顶点坐标为()2,0所以可知抛物线的焦点坐标为()2,0，准线方程为2x =- 故答案为：(2,0)；2x =-【点睛】本题主要考查抛物线的方程的应用，审清题意，注意细节，属基础题.四、解答题18．已知圆22:4210C x y x y +--+=，动直线:(1)(21) 710l m x m y m -++-+= （1）判断直线l 是否过定点？若过定点，请求出该定点；（2）动直线l 与圆C 所成的弦中，求以最长弦和最短弦为对角线的四边形ABCD 的面积.【答案】（1）过定点，定点()3,2；（2）【分析】（1）将直线的方程化为(27)(1)0m x y x y +-+-++=，然后可得答案； （2）最长弦为直径，最短弦过P 点且与直径AC 垂直，然后求出答案即可. 【详解】（1）:(27)(1)0l m x y x y +-+-++=2703102x y x x y y ⎧+-==⎧⇒⇒⎨⎨-++==⎩⎩ 直线恒过定点()3,2P （2）22:(2)(1)4C x y -+-=，∴(2,1)C ，2r∴最长弦为直径，即||4AC =， 最短弦过P 点且与直径AC 垂直，∴2222||2||22(2)22BD r PC =-=-=， ∴1||||422ABCD S AC BD =⋅=. 19．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2AB BC ==，14AA =，D 为11A C 中点，M 为棱1CC 上一个动点.（1）若1A M ⊥面1AB D ，求CM 的长；（2）当M 为线段1CC 的中点时，求直线1AB 与平面1A BM 所成角的正弦值. 【答案】（1）3；（2）3015. 【分析】（1）由条件以B 为原点，以1,,BA BC BB 分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建系，求出面1AB D 的一个法向量1(2,2,1)n =-，由1//AM n ，可得答案.(2)求出面1A BM 的一个法向量2(2,1,1)n =--，由12sin cos ,AB n θ=可得答案. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒以B 为原点，以1,,BA BC BB 分别为x 轴，y 轴，z 轴如图建系，设()0,2,M m ，则()()()()112,0,0,0,2,0,0,0,4,2,0,2A C B A ,()1,1,4D设面1AB D 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1(2,0,4)AB =-，(1,1,4)AD =-111(,,)(2,0,4)0(,,)(1,1,4)0n AB x y z n AD x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅-=⎪⎩，则24040x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩ 取2x =，则1(2,2,1)n =-，而(2,2,4)AM m =--，由1//AM n 可得，221224m -==--，解得3m =， 所以3CM =.（2）()0,2,2M ，设面1A BM 的一个法向量为()2,,n x y z =1(2,0,4)BA =，(0,2,2)BM =212(,,)(2,0,4)0(,,)(0,2,2)0n BA x y z n BM x y z ⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩，则240220x z y z +=⎧⎨+=⎩ 取2x =-，则2(2,1,1)n =--，而1(2,0,4)AB =-，所以12230sin cos ,30AB n θ===【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.20．如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，90ADC ∠=︒，3AD =，22SD CD AB ===，点E ，F 分别是BC ，SD 的中点.（1）求证：//EF 平面SAB ；（2）若SB SC =，2EF =，求二面角B SC D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（27【分析】（1）取AD 中点I ，推出//FI SA ，//IE AB ，证明//FI 平面SAB ，//IE 平面SAB ，推出平面//EFI 平面SAB ，然后证明//EF 平面SAB ；（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，通过2SD =，SB SC =2EF =，求出()0,0,2S ，得出(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-，求出平面SBC 的法向量，然后利用空间向量的数量积可求出答案.【详解】（1）取AD 中点I ，∵E ，F 分别是BC ，SD 的中点， ∴//FI SA ，//IE AB ，且FIEI I =，∵SA ⊂平面SAB ， FI ⊄平面SAB ，∴//FI 平面SAB ， 同理AB 平面SAB ，IE ⊄平面SAB ，//IE ∴平面SAB ，又∵FIEI I =， ∴平面//EFI 平面SAB ，又∵FI ，IE ⊂平面FIE ，FI IE I =，∴平面//EFI 平面SAB ，∵EF ⊂平面EFI ，∴//EF 平面SAB .（2）以D 为原点，DA ，DC 所在直线为x ，y 轴，过D 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，设(, , )S x y z ，则,,222x y z F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为2SD =，SB SC =，2EF =，所以2222222222224(3)(1)(2)33422x y z x y z x y z x y z ⎧⎪++=⎪⎪+-+=+-+⎨⎪--⎛⎫⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求得0x y ==，24z =，不妨取()0,0,2S ， ∴(3,1,2)SB =-，(0,2,2)SC =-， 设(,,)n x y z =⊥平面SBC ，∴320220n SB x y z n SC y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1y =，则31,z x ==，所以3,1,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，因为AD ⊥平面SCD ，所以取(1,0,0)m =为平面SCD 的法向量，∴cos |cos ,|1m n m n mnθ⋅=〈〉===⋅+， 所以二面角B SC D --.【点睛】方法点睛：本题考查直线与平面平行的判定定理、二面角平面角的求法，第二问关键点是建立空间直角坐标系，求出S 点坐标，考查了空间想象力及计算能力.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，焦距为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0, )P m 作两条直线1l ，2l 且12l l ⊥，1l 切椭圆C 于M ，2l 交椭圆C 于A ，B 不同两点，求OA OB ⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）51,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）首先得到椭圆的焦点坐标，再根据椭圆的定义求2a ，得到椭圆的标准方程；（2）分两种情况讨论，当直线1l 的斜率为0时，得到OA OB ⋅的值，当直线1l 的斜率不为0时，设1:l y kx m =+，与椭圆方程联立得到0∆=，再和直线21:l y x m k=-+与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示OA OB ⋅，并求范围.【详解】（1）221c c =⇒=，焦点坐标()11,0F -,()21,0F,根据椭圆定义可知 2a == 所以a =2221b a c =-=所以椭圆方程是：2212x y +=（2）当1l 的斜率为0时，1OA OB ⋅=-，当2l 的斜率不为0时，设1:l y kx m =+，代入椭圆C 的方程可得()()222214210kx kmx m +++-=由0∆=得2221m k =+ 又21:l y x m k=-+代入椭圆C 的方程可得()()222224210k x kmx k m +-+-= 设()11,A x y ，()22,B x y ，则0∆>得2(0,1)k ∈()1222212242212km x x k k m x x k ⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩∴1212121211OA OB x x y y x x x m x m k k ⎛⎫⎛⎫⋅=+=+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()21212211m x x x x m k k ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭422622k k k +-=+ 令22k t +=，(2,3)t ∈∴2623202056231,3t t OA OB t t t -+⎛⎫⋅==+-∈- ⎪⎝⎭ 综上∴51,3OA OB ⎡⎫⋅∈-⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查利用韦达定理，解决范围问题，首先讨论直线1l 的斜率为0，这种情况容易忽略，代入韦达定理解决问题，注意计算，当出现次数较高时，需观察式子，合理利用换元，解决问题.22．如图所示，O 为坐标原点，点(2,2)M 到抛物线2:2(0)C y px p =>的准线的距离为3.作圆2224:5O x y +=的斜率小于0的切线l ，l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且AMO BMO ∠=∠.（1）求p 的值；（2）求直线l 的方程.【答案】（1）2；（2）1260x y +-=.【分析】（1）根据题意，结合焦半径公式得12p =，故2p =； （2）设直线:AB x ty m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由l 与圆相切得()222415t m +=①，设直线1:(2)2AM y k x =-+，2:(2)2BM y k x =-+，由角平分线上的点O 到直线的距离相等得121k k =，进而联立方程24y x x ty m⎧=⎨=+⎩得121224416160y y t y y m t m +=⎧⎪=-⎨⎪∆=+>⎩，进而得121222122y y x x --⋅=--，整理得()228t t m -=②，由①②得12t =-，6m =【详解】解：（1）准线方程2p x =-，点(2,2)M 到抛物线2:2(0)C y px p =>的准线的距离为3， 所以由焦半径公式得：232p +=，得2p =. （2）设直线:AB x ty m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 22451t =+，故()222415t m +=. 联立24y x x ty m⎧=⎨=+⎩，得2440y ty m --=，所以121224416160y y t y y mt m +=⎧⎪=-⎨⎪∆=+>⎩. 设直线1:(2)2AM y k x =-+，2:(2)2BM y k x =-+，=两边平方，化简得()121212k k k k k k -=-，而12k k ≠，所以121k k =， 因此有121222122y y x x --⋅=--， 化简得()()()2121212122424416y y y y y y t y y m -++=-++-， 代入得()228t t m -=， 所以有()()2224185t t t +=-，解得12t =-或3(舍去) 12t =-时，m =m =0∆>) 所以直线l的方程为12x y =-+即120x y +-=.【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意，将AMO BMO ∠=∠转化为点O 到直线的距离相等进而得121k k =，考查运算求解能力，是中档题.。
福建省福州市八县(市)一中2020-2021学年高二上学期期中联考(含听力)英语试题(解析版)
2020—2021学年度第一学期八县（市）一中期中联考高中二年英语科试卷时间：120分钟满分：150分第一部分：听力（共两节；每小题1.5分，满分30分）第一节：听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What will the woman do this Friday?A. Go to a concert.B. Visi t the man’s sister.C. Look after some kids.【答案】C【解析】【原文】M: Would you like to go to the concert this Friday? My sister gave me two tickets for free.W: Thank you, but I promised my friend that I’d look after her kids.2. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】According to the woman, who should paint the house?A. Larry.B. The man.C. Brandon.【答案】B【解析】【原文】M: I can’t make up my mind whether to ask Larry or Brandon to paint my house.W: What difference does it make? Neither of them are excellent painters. Just do it yourself.3. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What does the man want to be?A. A computer programmer.B. A newspaper editor.C. A sales manager.【答案】C【解析】【原文】M: Excuse me, madam. I’m interested in the sales manager position you advertised in yesterday’s newspaper. I’m badly in need of employment.W: Sorry, sir. The position has been filled. We need a computer programmer now.4. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What will the man do next?A. See a movie.B. Do an experiment.C. Have some physical exercise.【答案】A【解析】【原文】W: What are you doi ng here, Jim? You should be in chemistry class, shouldn’t you?M: I changed my schedule. I need to relax for both my body and my mind. Movies are a good change of pace from all the boring experiments.5. 【此处可播放相关音频，请去附件查看】What are the speakers mainly talking about?A. A photo.B. A pet store.C. A dog.【答案】C【解析】 【原文】M: Honey, how is our baby doing?W: I got a “babysitter” to keep him company. She offers perfect service. Here is a lovely photo of the two of them. M: You mean a pet dog?!第二节：听下面5段对话或独白。
2020-2021学年上饶市高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年上饶市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知−π6<α<β<2π3，则α−β的范围是()A. (−5π6,5π6) B. (−π3,0) C. (−5π6,0) D. (−5π6,π2)2.电影《你好，李焕英》于2021年2月12日在中国内地上映，创造了连续多日的单日票房冠军.某新闻机构想了解全国人民对《你好，李焕英》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本.若3个区人口数之比为2：3：4，且人口最少的一个区抽出100人，则这个样本的容量等于()A. 400B. 450C. 500D. 5503.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样之间的共同点是()A. 都是从总体中逐个抽取B. 将总体分成几部分，按事先预定的规则在各部分抽取C. 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等D. 抽样过程中，将总体分成几层，按比例分层抽取4.“若x>0，y>0且x+y>2，求证1+xy <2，1+yx<2中至少有一个成立．”用反证法证明这个命题时，下列假设正确的是()A. 假设1+xy >2，1+yx>2B. 假设1+xy ≥2，1+yx≥2C. 假设1+xy 和1+yx中至多有一个不小于2D. 假设1+xy 和1+yx中至少有一个不小于25.某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,n)，用最小二乘法建立的回归方程为ŷ=−10x+200，则下列结论正确的是()A. y与x成正线性相关关系B. 当商品销售价格提高1元时，商品的销售量减少200件C. 当销售价格为10元/件时，销售量为100件D. 当销售价格为10元/件时，销售量为100件左右6. 有一段演绎推理是这样的：“对数函数都是减函数，因为y =lnx 是对数函数，所以y =lnx 是减函数”，结论显然是错误的，这是因为( )A. 推理形式错误B. 小前提错误C. 大前提错误D. 非以上错误7.设x ，y 满足线性约束条件{2x −y +2≥0x −3y +1≤0x +y −2≤0，若z =ax −y(a >0)取得最大值的最优解有无数多个，则实数a 的值为( )A. 2B. 13C. 12D. 38.已知A ={1,2,4,5}，a ，b ∈A 则方程x 2a2+y 2b 2=1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为( )A. 34B. 38C. 316 D. 129.“<1”是“x >1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 下面程序运行时，从键盘输入4，则输出结果为A. 4B. 8C. 15D. 211. 命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A. 所有不能被2整除的整数都是偶数B. 所有能被2整除的整数都不是偶数C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数12. 用随机模拟方法，近似计算由曲线y =x 2及直线y =1所围成部分的面积S.利用计算机产生N 组数，每组数由区间[0,1]上的两个均匀随机数a 1=RAND ，b =RAND 组成，然后对a 1进行变换a =2(a 1−0.5)，由此得到N 个点(x i ,y i )(i =1,2,…,N).再数出其中满足x i 2≤y i ≤1(i =1,2,…,N)的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为( )A.2N 1NB. N1NC. N12ND.4N 1N二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某次体检测得6位同学的身高分别为172、178、175、180、169、177(单位：厘米)，则他们身高的中位数是______ (厘米)． 14. 通过观察所给两等式的规律： ①sin30°+sin60°cos30°+cos60°=1②sin30°+sin90°cos30°+cos90°=√3请你写出一个一般性的命题：______ ．15. 设x ，y 满足约束条件{3x −y −2≤0x −y ≥0x ≥0,y ≥0，若目标函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为2，则1a+1b 的最小值为______． 16. 如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的______ 条件． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知关于x 的不等式kx 2−2x +6k <0，(k >0)，若不等式的解集为{x|2<x <3}，求实数k 的值．18. 已知命题p ：∃x 0∈R ，−x 02+2x 0−2m >0，q ：∀x ∈R ，x 2−2mx +1≥0．(1)若命题￢q 为真命题，求实数m 的取值范围； (2)若p ∨(￢q)为真命题，求实数m 的取值范围．19. 某汽车租赁公司为了调查A ，B 两种车型的出租情况，现随机抽取这两种车型各50辆，分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数，统计数据如下表： A 型车B 型车(I)试根据上面的统计数据，判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系(只需写出结果)；(Ⅱ)现从出租天数为3天的汽车(仅限A，B两种车型)中随机抽取一辆，试估计这辆汽车是A型车的概率；(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要购买一辆汽车，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．20. 设命题p：关于x的不等式1−a⋅2x≥0在x∈(−∞,0]上恒成立；命题q：函数y=lg(ax2−x+a)的定义域是实数集R.如果命题p和q有且仅有一个正确，求实数a的取值范围．21. 已知函数f(x)=(xa −1)2+(bx−1)2,x∈D，其中0<a<b．(1)当D=(0,+∞)时，设t=xa +bx，f(x)=g(t)，求y=g(t)的解析式及定义域；(2)当D=(0,+∞)，a=1，b=2时，求f(x)的最小值；(3)设k>0，当a=k2，b=(k+1)2时，1≤f(x)≤9对任意x∈[a,b]恒成立，求k的取值范围．22. 2016年3月31日贵州省第十二届人民代表大会常务委员会第二十一次会议通过的《贵州省人口与计划生育条例》全面开放二孩政策．为了了解人们对于贵州省新颁布的“生育二孩放开”政策的热度，现在某市进行调查，对[5,65]岁的人群随机抽取了n人，得到如下统计表和各年龄段抽取人数频率分布直方图：(1)求n，p的值；(2)根据以上统计数据填下面2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，能否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二孩放开”政策的支持度有关系？参考数据：P(K2≥k)0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计支持______ ______ ______不支持______ ______ ______合计______ ______ ______参考答案及解析1.答案：C解析：解：∵−π6<α<β<2π3，∴−2π3<−β<π6，α−β<0，∴−5π6<α−β<0，故选：C．由−π6<α<β<2π3，可得−2π3<−β<π6，α−β<0，即可得出．本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．2.答案：B解析：解：从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．3个区人口数之比为2：3：4，且人口最少的一个区抽出100人，设这个样本的容量为n，则2100=2+3+4n，解得n=450．∴这个样本的容量等于450．故选：B．这个样本的容量为n，则2100=2+3+4n，由此能求出这个样本的容量．本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．3.答案：C解析：本题考查简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的相同点，属于基础题．解：三种抽样方法有共同点也有不同点，它们的共同点就是抽样过程中每个个体被抽取的机会相同．故选C．4.答案：B解析：本题主要考查用命题的否定，用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证． 而“1+x y<2，1+y x<2中至少有一个成立”的否定为“1+x y≥2，1+y x≥2”，故选：B ．5.答案：D解析：解：x 的系数为−10<0，故y 与x 具有负相关关系，故A 错误； 商品销售价格提高1元时，商品的销售量增加200件，故B 错误； 由相关关系的特点可知，把x =10代入回归方程所得的y 值， 不是准确值，而是一个估计值，故C 错误，D 正确． 故选D ．x 的系数为−10，y 与x 具有负相关关系；商品销售价格提高1元时，商品的销售量增加200件；由相关关系的特点可知，把x =10代入回归方程所得的y 值，不是准确值，而是一个估计值，综合可得答案．本题考查线性回归方程，涉及相关关系的理解和回归方程的应用，属基础题．6.答案：C解析：当a >1时，对数函数y =log a x 是增函数，当0<a <1时，对数函数y =log a x 是减函数，故可得结论．本题考查演绎推理，考查三段论，属于基础题．解：当a >1时，对数函数y =log a x 是增函数，当0<a <1时，对数函数y =log a x 是减函数， 故推理的大前提是错误的． 故选C ．7.答案：B解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)：由z=ax−y(a>0)得y=ax−z，∵a>0，∴目标函数的斜率k=a>0，平移直线y=ax−z，由图象可知当直线y=ax−z和直线2x−y+2=0平行时，当直线经过B时，此时目标函数取得最大值时最优解只有一个，不满足条件，当直线y=ax−z和直线x−3y+1=0平行时，此时目标函数取得最大值时最优解有无数多个，满足条件．此时a=13．故选：B．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的取值范围得到目标斜率的取值关系是解决本题的关键，要注意使用数形结合的数学思想．8.答案：D解析：解：A={1,2,4,5}，a，b∈A则方程x2a2+y2b2=1表示椭圆，可分以下几种情况①当a=1时，b=2、4、5，②a=2时，b=1、4、5，③a=4时，b=1、2、5，④a=5时，b=1、2、4，所以表示椭圆的基本事件为：12；焦点在y轴上的椭圆，①当a=1时，b=2、4、5；②a=2时，b=4、5；③a=4时，b=5；表示焦点在y轴上椭圆的基本事件为：6，则表示焦点在y轴上的椭圆的概率为：P(A)=12；故选：D．首先求出构成椭圆的基本事件，进一步求出表示焦点在y轴上的椭圆的基本事件数，最后求出概率的值．本题考查的知识要点：古典概型问题，求古典概率的步骤．9.答案：B解析：试题分析：由可得或，所以若可得，反之不成立，是的必要不充分条件考点：充分条件与必要条件点评：命题：若则是真命题，则是的充分条件，是的必要条件10.答案：C解析：试题分析：该程序按条件分支执行。
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长泰一中2020-2021学年第一学期 高二年学业水平测试数学试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分） 第Ⅰ卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若过点)4,(),,2(mNmM的直线的斜率等于3，则m的值为 ( )
A．21 B．2 C．1 D．1或4
2.命题P17,0:则xxP是 ( ) A.17,0:00xxPB.17,0:00xxP C.17,0:00xxPD.17,0:00xxP 3.“042xx”是“4x”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4．圆4)2(22yx与圆9)2(22yx位置关系为 ( )
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 5．直线04)1(2ymx与直线023ymx平行，则m等于 ( ) A．2 B．－2或－3 C．－3 D．2或－3 6．若数据nxxx...,21的平均数为x，方差为2S，则23...23,2321nxxx的平均数和方差分别为 ( ) A.x和2S B．2S23和x C．2S923和x D．2S423和x 7．从装有两个红球和两个黄球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件( ) A．“至少有一个黄球”与“都是黄球” B．“至少有一个黄球”与“至少有一个红球” C．“恰有一个黄球”与“恰有两个黄球” D．“至少有一个黄球”与“都是红球” 8．若直线01yx与圆2)(22yax有公共点，则实数a的取值范围是( ) A．[－3,1] B．[－1,3] C．[－3，－1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9.下列为真命题的是 （ ） A.babcacRcba则若设,,,,22 B.22,,,,bcacbaRcba则若设 C.22,,,,bcacbaRcba则若设 D.babcacRcba则若设,,,,22 10.命题“0],2,1[3axx是真命题的一个充分不必要条件可以是 ( ) A.8a B.8a C9a D.10a 11．已知直线02ayx与圆O：222yx相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为 ( ) A．－5 B． －6 C.6 D.5 12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，
称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，B(4,0)，点P满足|PA||PB|
＝12，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是 ( ) A．C的方程为9)4(22yx B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得|PD||PE|＝12 C．在C上存在点M，使得||2||MAMO D．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.长为4宽为2的长方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它
落在阴影区域内的概率为43，则阴影区域的面积为__________. 14．已知直线0543yx与圆4)1()2(22yx相交于A，B两点，||AB的值为______________. 15.已知直线0343yx与直线0146myx平行，则它们之间的距离为________________． 16.已知点)0,1()0,1(mBmA，若圆C：0318822yxyx上存在一点P使得
0PBPA，则圆C的半径为_____________；实数m的最大值为_____________．
四、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)已知两条直线1:240lxy 与2:20lxy的交点为P，直线3
l
的方程为：3450xy求： （1）求过点P且与3l平行的直线方程；（2）求过点P且与3l垂直的直线方程．
18. ．(本小题满分12分)设圆C的方程为22450xyx求： 19. 求该圆的圆心C坐标及半径. 20. 若此圆的一条弦AB的中点为(3,1)P，求直线AB的方程. (3)若D（4,2）求以CD为直径的圆的标准方程.
21. (本小题满分12分)已知命题04)2(:2xmxp有实根，
上递增在12:2mxxyq,若“q或p”为真命题，“qp且”为假命题，求m的范
围.
20.(本小题满分12分)长泰一中为了了解高三复习效果,从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取 50 名考生的数学成绩,分成6组制成频率分布直方图,如图所示.
(1)求 m的值及这 50 名同学数学成绩的平均数 x . (2)该学校为制定下阶段的复习计划,从成绩在[130,140]的同学中选出3名作为代表进行座谈,若已知成绩在[130,140]的同学中男女比例为 2:1,求至少有一名女生参加座谈的概率. 21.(本小题满分12分)新型冠状病毒肺炎COVID-19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在
全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，小王同学发现，每个国家在疫情发生的初期，由于认识不足和措施不到位，感染人数都会出现快速的增长．下表是小王同学记录的某国连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．
日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8
累计确诊人数y 4 8 16 31 51 71 97 122
为了分析该国累计感染人数的变化趋势，小王同学打算从①2ˆ
ybxa
，②ˆydxc中选
择一种模型对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程，经过计算得81()()728iiixxyy，218()42iixx，18()()6868iiizzyy，
218()3570iizz
，其中2iizx，8118iizz．
（1）比较模型①，②的拟合效果，小王应该选择哪个模型？(只写答案即可). （2）根据（1）问选定的模型求出相应的回归方程（系数均保留一位小数）； （3）由于时差，该国截止第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数尚未公布．小王同学认为，如果防疫形势没有得到明显改善，在数据公布之前可以根据他在（2）问求出的回归方程来对感染人数作出预测，那么估计该地区第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数是多少． 附：回归直线的最小二乘估计参考公式为：88112()()ˆ()iiiiixxyybxx，ˆˆaybx．
22..（本小题满分12分） 已知点|QE|2|QF|QF(4,0),)0,1(满足动点，E. （1）求动点Q的轨迹方程C； （2）若曲线C与y轴的交点为BA、（A在B上方），且过点)4,0(P的直线l交曲线C于NM、两点．若NM、、都不BA、与重合时，是否存在定直线m，使得直线AN与BM的
交点G恒在直线m上，若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．
23.附加题(本小题满分20分) 已知动直线l过点)21,0(P,且与圆1:22yxO交于点BA、两点．
（1）若直线l的倾斜角为00,点C是圆O上的任意一点,求22||||CBCA的取值范围； （2）对于任意不与坐标轴平行的直线l,在y轴上是否存在定点Q（不同于点P）,使得y轴平分AQB？若存在,求出Q点的坐标；若不存在,请说明理由．
参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，1-8题单选，9-12题多选，多选题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分． 1—5：ABBBD；6—8：CCA 9.AC 10.CD 11.AD 12.BD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.6 14.7.5或2.5 15. 2 16. （1）1；（2）6 （本小题第一空2分，第二空3分)
16.【解析】圆22:441Cxy,圆心4,4C,半径1r,设00,Pxy,则 222
0000001,,1,,10PAmxyPBmxyPAPBxmy
,
故222001mxy,即m为点P与点1,0M之间的距离,当PM最大时, m取得最大值,
因为PM的最大值为22141416MC,所以m的最大值为6. 三．解答题
17（1）3480xy；（2）4360xy．
【解析】
解：（1）由24020xyxy得02xy, ∴(0,2)P，......2分 ∵334lk，∴过点P且与3l平行的直线方程为：32(0)4yx，........4分