太原理工大学研究生期末考试组合数学2012年答案
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析
2 0 0 1
2
故选（B）。 二、填空题：9−14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上.
（9）设 y = y(x) 是由方程 x2 − y +1 =ey 所确定的隐函数，则
【答案】：1
________。
更多考研资料分享+qq810958634
更多考研资料分享+qq810958634
（10）计算
lim
x→∞
n
1
1 + n2
+
22
1 +
n2
+…+
n2
1 +
n2
= ________。
π
【答案】：
4
【解析= 】：原式
∑ lim
n→∞
1 n
n i=1
1+= 1ni 2
∫= 1 dx
0 1+ x2
arc= tan x 1 0
（A）
2
1
1
（B）
1
2
2
（C）
1
2
2
（D）
2
1
【答案】：（B）
1 0 0
1 0 0
【解析】：
Q
=
P
1
1
0
，则
Q
−1
=
−1
1
0
P
−1
，
0 0 1
2012年考研数学真题及参考答案(数学二)
⎜⎝ c1 ⎟⎠
⎜⎝ c2 ⎟⎠
⎜⎝ c3 ⎟⎠
⎜⎝ c4 ⎟⎠
的是（ ）
（A）α1,α2 ,α3
（B）α1,α2 ,α4
（C） α1 , α 3 , α 4
（D）α2 ,α3,α4
【答案】：（C）
0 1 −1
【解析】：由于 (α1,α3,α4 ) = 0
−1
1 −1 1 = c1 −1 1 = 0 ，可知α1,α3,α4 线性相关。故选（C）
又因为,当 x → 0 时， x − sin x 与 1 x3 等价，故 f (x) − a ~ 1 x ，即 k = 1
6
6
（16）（本题满分 10 分）
求 f ( x, y) = xe − x2 + y2 的极值。
2
【解析】： f ( x, y) = xe − x2 + y2 ，
2
您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
⎜⎝
2 ⎟⎠
⎛2
⎞
（D）
⎜ ⎜
2
⎟ ⎟
⎜⎝
1 ⎟⎠
【答案】：（B）
⎛1 0 0⎞
⎛ 1 0 0⎞
【解析】：
Q
=
P
⎜ ⎜
1
1
0
⎟ ⎟
，则
Q −1
=
⎜ ⎜
−1
1
0
⎟ ⎟
P
−1
，
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎛ 1 0 0⎞
⎛1 0 0⎞ ⎛ 1 0 0⎞⎛1
⎞⎛1 0 0⎞ ⎛1
=
(
y3
2012考研数学真题+答案
x2 y 2 2
1 x x2 cos x 1 1 x 2
……10 分
的极值.
x2 y2 2
f y xye
x2 y2 2
， ……3 分
令
f x 0, 得驻点（1,0）和（-1,0）. f 0 , y
2 x2 y2 2
x( x 3)e 记 A f xx
（C）
2
(D)
3Байду номын сангаас
（A）
n (D) ( 1) n !
(2) 设函数 f ( x) (e x 1)(e2 x 2) (en x n) ，其中 n 为正整数，则 f (0)
n 1 (A) ( 1) ( n 1)! n (B) ( 1) ( n 1)! n 1 (C) ( 1) n !
1 a 0 0
解： （I） A
0 1 a 0 0 0 1 a a 0 0 1
1 a4.
……3 分
（II）若方程组 Ax 有无穷多解，则 A 0. 由（I）可得 a 1 或 a 1 .
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2012 年数学试题答案和评分参考
1 x2 1 1 x ln , 又 S ( 0) 3 ， 所以和函数 S ( x ) (1 x 2 ) 2 x 1 x 3,
(18)（本题满分 10 分） 已知曲线 L:
0 x 1,
(3) 如果函数 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处连续，那么下列命题正确的是 (A) 若极限 lim
x 0 y 0
（B）
f ( x, y ) 存在，则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微 x y
2012考研数二真题答案
2012考研数二真题答案第一题：解析：本题考查的是集合的基本概念和运算。
给出的条件是集合A={2,3,4,5,6}，集合B={1,3,5,7,9}，我们需要求出(A∪B)∩(A-B)的结果。
首先，求并集A∪B，即将A和B中的元素合并，并去除重复的元素。
得到A∪B={1,2,3,4,5,6,7,9}。
其次，求差集A-B，即是在A中去掉与B中重复的元素。
得到A-B={2,4,6}。
最后，求交集(A∪B)∩(A-B)，即将A∪B和A-B的结果中相同的元素找出来。
得到(A∪B)∩(A-B)={2,4,6}。
因此，答案为{2,4,6}。
第二题：解析：本题考查的是概率基本知识。
已知事件A发生的概率P(A)=0.8，事件B发生的概率P(B)=0.5，需要求事件A和B同时发生的概率P(A∩B)。
根据概率的定义，事件A和B同时发生的概率为事件A和B的交集的概率。
即，P(A∩B)=P(A)×P(B)。
代入已知条件，P(A∩B)=0.8×0.5=0.4。
因此，答案为0.4。
第三题：解析：本题考查的是函数的性质和零点的概念。
已知函数f(x)满足f(x+f(x))=1，我们需要求函数f(x)的零点。
零点即是函数在该点的取值为0的点。
即，求解方程f(x)=0。
由已知条件得f(x+f(x))=1，代入f(x)=0，得f(x+0)=1。
因此，f(x+0)=1，即f(x)=1。
所以，函数f(x)的零点为x=1。
第四题：解析：本题考查的是极限的计算。
已知数列{an}的通项公式为an=(n+1)^2/n^2，需要求该数列的极限lim(n→∞)an。
要求数列的极限lim(n→∞)an，即是当n趋于无穷大时，数列的通项an的极限值。
计算：lim(n→∞)an=lim(n→∞)((n+1)^2/n^2)=lim(n→∞)(n^2+2n+1)/n^2=lim(n→∞)(1+2/n+1/n^2)=1+0+0=1因此，数列{an}的极限为1。
2012全国研究生考试数学(一)(二)(三)真题合集及答案解析-免积分
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）曲线221x x y x +=-渐近线的条数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】：C 【解析】：221lim1x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直的22l i m 11x x x x →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n --（D ）(1)!nn - 【答案】：C【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()xxnxx xnxx xnxf x e e en e een e enen =--+---+---所以'(0)f =1(1)!n n --（3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限0(,)limx y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（B ）若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)limx y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)lim x y f x y x y→→+存在【答案】：【解析】：由于(,)f x y 在()0,0处连续，可知如果22(,)limx y f x y x y→→+存在，则必有00(0,0)lim (,)0x y f f x y →→==这样，2200(,)limx y f x y x y→→+就可以写成2200(,)(0,0)limx y f x y f x y∆→∆→∆∆-∆+∆，也即极限2200(,)(0,0)limx y f x y f x y∆→∆→∆∆-∆+∆存在，可知00lim0x y ∆→∆→=，也即(,)(0,0)00f x y f x y o∆∆-=∆+∆+。
2012数二考研真题答案
2012数二考研真题答案2012年的数学二真题是考研数学复习中的重要一环，对于考生来说，掌握这些真题的答案是非常重要的。
在本文中，我们将深入探讨2012年数学二真题的答案，为考生提供一些参考和指导。
首先，我们来看一道选择题。
题目如下：已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，对于任意x∈[0,1]，均有0≤f(x)≤1，那么函数f(x)在区间[0,1]上至少有几个不动点？要解答这道题，我们可以通过分析函数图像来得到答案。
根据题目中给出的条件，我们可以确定函数f(x)在区间[0,1]上是递增的，且在x=0和x=1处取得最小值和最大值。
因此，函数f(x)至少有两个不动点，即x=0和x=1。
接下来，我们来看一道填空题。
题目如下：设A是3阶方阵，且满足A^2-3A+2I=0，其中I为3阶单位矩阵，则A的特征值为______。
要解答这道题，我们需要运用矩阵的特征值和特征向量的概念。
根据题目中给出的条件，我们可以得到A^2-3A+2I=0。
将该方程进行化简，得到A^2-3A=-2I。
根据矩阵的特征值和特征向量的定义，我们知道特征值是使得矩阵与特征向量相乘等于特征向量的常数。
因此，我们可以得到特征值为2和1。
最后，我们来看一道计算题。
题目如下：已知函数f(x)=x^3-3x^2+3x-1，求f(x)的极值点。
要解答这道题，我们需要求出函数f(x)的导数，并令导数等于0，求出其极值点。
首先，对函数f(x)求导，得到f'(x)=3x^2-6x+3。
然后，令f'(x)=0，解方程得到x=1。
将x=1带入函数f(x)，得到f(1)=0。
因此，函数f(x)在x=1处取得极小值。
通过以上三道题目的解答，我们可以看出，解题的关键在于理解题目的要求，灵活运用所学的数学知识和方法。
在考研数学复习中，做真题是非常重要的，通过做真题可以提高解题能力和应试技巧。
因此，考生在备考过程中，应该多做一些真题，并对答案进行仔细分析和总结。
2012年考研数学真题及参考答案(数学二)
(B) I2< I2< I3.
(C) I1< I3 <I1,
(D) I1< I2< I3.
【答案】：(D)
∫ 【 解 析 】：：
Ik =
k ex2 sin xdx
e
看为以
k
为自变量的函数，则可知
∫ Ik ' = ek2 sin k ≥ 0, k ∈(0,π ) ，即可知 Ik =
k ex2 sin xdx 关于 k 在(0,π ) 上为单调增
=
(
y3
+
C
)
1 y
又因为 y = 1时 x = 1，解得 C = 0 ，故 x = y2 .
（13）曲线 y = x2 + x(x < 0) 上曲率为
2
的点的坐标是________。
2
您所下载的资料来源于 考研资料下载中心
获取更多考研资料，请访问
又因为,当 x → 0 时， x − sin x 与 1 x3 等价，故 f (x) − a ~ 1 x ，即 k = 1
6
6
（16）（本题满分 10 分）
求 f ( x, y) = xe − x2 + y2 的极值。
2
【解析】： f ( x, y) = xe − x2 + y2 ，
2
您所下载的资料来源于 考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问
(C) x1< x2, y1< y2.
(D) x1< x2, y1> y2.
【答案】：(D)
【解析】： ∂f (x, y) > 0 ， ∂f (x, y) < 0 表示函数 f (x, y) 关于变量 x 是单调递增的，关于变
2012考研数学三真题及答案解析
2012年研究生入学考试数学三真题解析（纯word ）版一、 1. 解析：C 由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线 由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线由11lim ,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）2. 解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ） 3. 解析：B原式=2220()dx f x y dy+⎰4. 解析：D1211~,n n αα-且11(1)nn n α∞--∑绝对收敛.131.22α-α∴>>即又21(1)n n n α∞-=-∑条件收敛.02112αα∴<-≤⇒≤<322α∴<<，选D5. 解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例.1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C或134134011,,0110c c c ααα-=-=134,,ααα∴线性相关，选C6. 解析：B111100100100110110110000001001Q P Q AQ P AP , ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100110011011100012001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110110010002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选B.7. 解析：D1,0,1)()()0,x y x y f x y f x f y <<⎧==⎨⎩（，其他22{1}(,)4D DS P X Y f x y d D S πΩ+≤=σ==⎰⎰，选8. 解析：B212~(0,2)~(0,1)X X X X N N --σ⇒23422~(0,2)~(0,1)X X X X N N +-+-σ⇒~(1)X X t -即1234~(1),2X X t X X -+-选B二、 9.解析：e解：原式=tan 11cos sin tan 14lim (1(tan 1))x x xx x x π---→⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=41sin cos limcos cos sin x x x x x ee π→-⋅-=10. 解析： 40[()]()(1)(0)x dyf f x f x dx dyf f dx ''''===-而1()2x f x '<=时，(1)(0) 2. 4.x dyf f dx=∴-===于是11. 解析：2x dzdx dy==-解：令ρ=则(,)220(),(0,1)1f x y x y f ρ-+-==(,)12(1)0()f x y x y ρ-=--+(0,1)(0,1)2,(0,1)1,2.x y f f dzdx dy ''==-∴=-12. 解析：4 ln2 解：12014(4)S x x dx x dxx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰1324ln 24ln 222=-+-=13. 解析：-27 解：|||| 3.B A =-=-**2||||||3||27.BA B A A =⋅=-⋅=-14.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==- AC φ= ，ABC φ∴=.1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、 15.解析：原式222cos 22cos 41lim x xx x ee x -+-→-=⋅2430022cos 2(sin )lim lim 4x x x x x x x x →→-+-==2011cos 1lim .2312x x x →-==16.解析：xDe xydxdy⎰⎰1xxe dx ydy=⎰1122001111(1)0222xx x x e dx e x e dx =-=-⎰⎰ 2111121(22)022222x e e e x x e ---=--+=-=.17.解析：1）设成本函数为(,),C x y 则(,)202,x x C x y '=+对x 积分得，2(,)20(),4x C x y x y +ϕ=+再对y 求导有，(,)()6y C x y y y'ϕ'==+，再对y 积分有，21()62y y y c ϕ=++所以，221(,)20642x C x y x y y c=++++ (0,0)10000,10000,C c =∴= 于是221(,)2061000042x C x y x y y =++++2）若50x y +=，则50(250)y x x =-≤≤，代入到成本函数得221()206(50)(50)1000042x C x x x x =++-+-+=2336115504x x -+所以，令3()360,24,26,2C x x x y '=-===得总成本最小为(24,26)11118C =3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32,x C '=即在要求总产量为50件时，在甲产品为24件时，改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1. 填空(本题共20分，共10空，每空2分)1) 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在5*5的棋盘上，要求每行每列只放置一个棋子，则共有 1200 种不同的摆放方法。
答案：1200!525=⨯C 2) 在(5a 1-2a 2+3a 3)6的展开式中，a 12•a 2•a 33的系数是 -81000 。
答案：810003)2(5!3!1!2!632-=⋅-⋅⋅⋅⋅3) 有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数，共有121+⋅-n n 种方案。
4) 六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有 12 种方案。
答案：12121213=⋅⋅C C C 5) 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 320 个。
6) 要举办一场晚会，共10个节目，其中6个演唱节目，4个舞蹈节目。
现要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目，则共可以写出 604800 种不同的节目单。
答案：604800!4!637=⨯⨯C 7)把n 男n 女排成一只男女相间的队伍，共有 2)!(2n ⋅ 种排列方法；若围成一圆桌坐下，又有 )2/()!(22n n ⋅ 种方法。
8) n 个变量的布尔函数共有nn2 个互不相同的。
9) 把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体，而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为),1(r r n P -+ 。
答案：),1()!1()!1()1()2)(1(r r n P n r n r n n n n -+=--+=-+⋅⋅⋅++2. (本题10分)核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子，而一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子。
若在时刻t=0时，反应堆中只有一个α粒子，问t=100秒时反应堆中将有多少个α粒子？多少个β粒子？ 解: 设t 秒钟的α粒子数位a t ，β粒子数为b t , 则⎪⎩⎪⎨⎧==+==---0,12300111b a b a b b a t t t t t⇔)(3,03210211*⎪⎩⎪⎨⎧==+==---b b b b b b a t t t t t（*）式的特征方程为0322=--x x ，解得3,121=-=r r ，即t t t A A b 3)1(21⋅+-⋅=代入初始值3,010==b b ，解得43,4321=-=A A tt t b 343)1(43⋅+-⋅-=∴ 111343)1(43---⋅+-⋅-==t t t t b a)13(43),13(4310010099100-=+=∴b a3. (本题共10分，共2小题，每小题5分)①设1212n a a a n n P P P =⋅⋅⋅，12,,n P P P ⋅⋅⋅是互不相同的素数，设求能除尽n 的正整数数目为多少？解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数P i 从0到a i ，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为)1()1)(1(21+⋅⋅⋅++n a a a 个。
②试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。
证明：根据题①中结论，na n aa P P P n ⋅⋅⋅=2121，能被)1()1)(1(21+⋅⋅⋅++n a a a 个数整除，而na na aP P P n 22221221⋅⋅⋅=能被)12()12)(12(21+⋅⋅⋅++n a a a 个数整除，2a i +1为奇数)10(≤≤i ，所以乘积为奇数，证毕。
4. (本题10分) 证明等式22222012n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求(1+x 4+x 8)100中x 20项的系数。
次方系数即可证。
比较证明：n ,11,010221202)1()1()1(222∴⋅⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴+⋅+=+n n n n n n x n n x n n x n n x n n x x x n nn n n ΘΘ[]。
三个系数相加即为所求时，系数时，系数时，系数项时有，的结构可知仅当分析）（解：,5,4,35,43k )(1)()(110551003441002331002084100010*********8410084C C k C C k C C k x x x x x C x x x x k k k k k ⋅==⋅==⋅===+⋅+=++=++∑=-Θ5. (本题10分)求1，3，5，7，9这五个数可以组成多少个不同的n 位数，其中要求3和7出现次数为偶数。
位数。
）个不同的（所以可以组成解：n r x e e e e e e e e e x x x x x G n n rr r r x x x x xx x x x 532141!)5321(41)2(4142)2()!4!21()!2!11()(e 0532232324232+⋅++⋅+=++=++⋅=+⋅=⋅+⋅⋅+++⋅⋅+⋅⋅+++=∑∞=-- 6. (本题10分)6个人参加一会议，入场时将帽子随意挂在衣架上，走时匆匆忙忙顺手带一顶走了，试问没有一人拿对的概率是多少？7. (本题10分)求满足下列条件的整数解数目x1+x2++x3+x4=20，其中1≤x1≤5，0≤x2≤7，4≤x3≤8，2≤x4≤6。
.84396961-4660,0,0,0-4-4-7-4.5603161316131-413,40,40,70,40,13,2,4,,143214321,44,33,22,114321432144332211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++≥≥≥≥=====⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤≤≤≤≤≤≤≤=+++-=-==-=整数解数目为于是问题转为变换对于有上届的问题要作根据公式应为若不附加有上届条件的解：设εεεεεεεεεεεεy y y y y y y y y y y y x y x y x y x y8. (本题10分)长为5米的木棒用红，蓝两色染色，每米染一色，问有多少种不同的染色方案？(刚体运动使之吻合算一种方案). 36788 . 0 1! n 368. 0 720 / 265 720 / ) 1 6 30 120 360 720 720 ( 720 / ) 1 6 2 15 6 20 24 15 120 6 720 ( 720 / ) 1 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 720 ( ! 6 1! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! 6 56 4 6 3 6 2 6 1 6 6 ≈ ≈ ≈ = + - + - + - = + - ⨯ + ⨯ - ⨯ + ⨯ - = + - + - + - = + - + - + - = = en D C C C C C D P n 比较大时， 可以证明，当 解：.202/)22(211,1132415),5)(4)(3)(2)(1(35215211=+=∴==l P OO P P ，个个置换格式：），）（）（（翻转绕第二类置换：解：第一类置换：试问若要求其中有3米为红色，2米为蓝色的方案数是多少？.64323,5214,5313,4512.1025同方案数为为同一种方案，此时不为蓝色分别和和和和但木棒可翻转，使得为个对象染蓝色，方案数个对象任取解：若木棒不可动，则9. (本题共10分，共2小题，每小题5分)①给出120110n m m m m m m n m n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的组合意义。
等于右边。
所有的方案数相加应该个，个，另一个盒子放放项的意义是一个盒子中左边：第方案数。
两种方法，得到可能的个球中每个球都有个放入两个盒子，个球，从中取出解：右边：i -n i i n n m②证明222223(1)2123n n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
P222212222211211121322)1(33221,133221)1()1()1(33221)1(233221,133221)1(3210)1(---------+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n n n n n nnn n n n n n n n x xn n n x n x n n x x n n x n x xn n n x n x n n x n n n n n n n n x xn n n x n x n n x n x xn n x n x n x n n x 即得式：也令后并求导得：两端同乘以再给式子：即得式：令求导可得：的两端对在二项式证明：。