(完整版)太原理工大学研究生期末考试组合数学答案
太原理工大学数值计算方法题库讲解
数值计算方法试题一一、 填空题1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（)0,22(-22,0(）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =(3)，b =（3），c =（1）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)((1)，∑==nk k jk x lx 0)((j x )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k (324++x x )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 6和=∆07f 25.236494526!77==⨯。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为9，5个节点的求积公式最高代数精度为9。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ0。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足1<a ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是2阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a aa a A ，当∈a （22,22-）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（0>ii l ）条件时，这种分解是唯一的。
最新太原理工大学研究生期末考试组合数学答案
最新太原理⼯⼤学研究⽣期末考试组合数学答案1. 填空(本题共20分，共10空，每空2分)1) 三只⽩⾊棋⼦和两只红⾊棋⼦摆放在5*5的棋盘上，要求每⾏每列只放置⼀个棋⼦，则共有 1200 种不同的摆放⽅法。
答案：1200!525=?C 2) 在(5a 1-2a 2+3a 3)6的展开式中，a 12?a 2?a 33的系数是 -81000 。
答案：810003)2(5!3!1!2!632-=?-3) 有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第⼀组数⾥的最⼩数⼤于第⼆组的最⼤数，共有121+?-n n 种⽅案。
4) 六个引擎分列两排，要求引擎的点⽕的次序两排交错开来，试求从⼀特定引擎开始点⽕有 12 种⽅案。
答案：12121213=??C C C5) 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 320 个。
6) 要举办⼀场晚会，共10个节⽬，其中6个演唱节⽬，4个舞蹈节⽬。
现要编排节⽬单，要求任意两个舞蹈节⽬之间⾄少要安排⼀个演唱节⽬，则共可以写出 604800 种不同的节⽬单。
答案：604800!4!637=??C 7) 把n 男n ⼥排成⼀只男⼥相间的队伍，共有2)!(2n ? 种排列⽅法；若围成⼀圆桌坐下，⼜有)2/()!(22n n ? 种⽅法。
8) n 个变量的布尔函数共有nn2 个互不相同的。
9) 把r 个相异物体放⼊n 个不同的盒⼦⾥，每个盒⼦允许放任意个物体，⽽且要考虑放⼊同⼀盒中的物体的次序，这种分配⽅案数⽬为),1(r r n P -+ 。
答案：),1()!1()!1()1()2)(1(r r n P n r n r n n n n -+=--+=-+++2. (本题10分)核反应堆中有α和β两种粒⼦，每秒钟内⼀个α粒⼦分裂成三个β粒⼦，⽽⼀个β粒⼦分裂成⼀个α粒⼦和两个β粒⼦。
若在时刻t=0时，反应堆中只有⼀个α粒⼦，问t=100秒时反应堆中将有多少个α粒⼦？多少个β粒⼦？解: 设t 秒钟的α粒⼦数位a t ，β粒⼦数为b t , 则==+==---0,12300111b a b a b b a t t t t t)(3,03210211*==+==---b b b b b b a t t t t t（*）式的特征⽅程为0322=--x x ，解得3,121=-=r r ，即tt t A A b 3)1(21?+-?=代⼊初始值3,010==b b ，解得43,4321=-=A A tt t b 343)1(43?+-?-=∴ 111343)1(43---?+-?-==t t t t b a)13(43),13(4310010099100-=+=∴b a3. (本题共10分，共2⼩题，每⼩题5分)①设1212n a a a n n P P P =，12,,n P P P 是互不相同的素数，设求能除尽n 的正整数数⽬为多少？解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数P i 从0到a i ，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数⽬为)1()1)(1(21+++n a a a 个。
线性代数期末考试 及答案
线性代数期末考试一. 判断题（正确打√，错误打×）1．若112⨯⨯⨯=n n n n x x A ，则2是n n A ⨯的一个特征值. (×) 解答：因为没有说明01≠⨯n x ，所以错误.2．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. (√) 解答：因为实对称矩阵与对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21相似（n λλλ,,,21 是A 的特征值），而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21的秩等于n λλλ,,,21 中非零数的个数, 又因为相似矩阵秩相同, 所以结论正确.3．二次型Ax x T 的标准形的系数是A 的特征值(×)解答：正确结论是： 用正交变换化二次型Ax x T 为标准形的系数是A 的特征值. 4. 若k ααα,,, 21线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. (×)解答：虽然k ααα,,, 21都是A 的特征向量，但他们不一定属于A 的同一个特征值，所以他们正交化后不一定是特征向量.5．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则 Ax x T不是二次型. (×)解答：对于任意的n 阶矩阵A ，Ax x T都是二次型，只是若不要求A对称，二次型Ax x T中的A 不唯一. 例如取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4421A ，那么21222164x x x x Ax x T ++=，但取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4331A ，仍得到此二次型. 二．单项选择题1. 若n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，则矩阵12)21(-A 有一个特征值为(C ).(A) 22a ； (B)22a - ； (C)22-a ； (D)22--a . 解答：因为n 阶非奇异矩阵A 的各行元素之和均为常数a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111 a A ，从而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111111a A ，所以a 1是1-A 的一个特征值，所以22-a 是12)21(-A 的一个特征值.2. 若λ为四阶矩阵A 的特征多项式的三重根，则A 对应于λ的 特征向量最多有(A )个线性无关.(A) 3个； (B) 1个； (C) 2个； (D) 4个. 解答：A 对应于特征值λ的线性无关特征向量的个数≤λ的重数. 3. 设A 为n 阶非零矩阵，并且O A =3，那么(C ) .(A) A E -不可逆，A E +不可逆； (B) A E -不可逆，A E +可逆；(C) A E -可逆，A E +可逆； (D) A E -可逆，A E +不可逆. 解答：设λ为A 的任意一个特征值，那么3λ是3A 的特征值，但O A =3， 所以0=λ，所以1±=λ不是A 的特征值，所以A E -、A E +都可逆. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1221A ，则在实数域上与A 合同的矩阵为(D ). (A) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112；(B) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112； (C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2112；(D) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221.解答：方法1 合同矩阵的行列式符号相同(BC C A T =,那么B C A 2=)，所以选(D) . 方法2 2122214x x x x Ax x T ++=, 令⎩⎨⎧=-=2211y x y x , 那么2122214y y y y Ax x T -+=,而2122214y y y y Ax x T-+=的矩阵就是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221, 所以选(D) . 方法3 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 的特征值是3,1-, 而⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221的特征值也是3,1-, 所以两个二次型可化为同一个标准型, 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1221A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221合同, 所以选(D) . 三. 填空题1. 若A 为正定矩阵，且E A A T =，则=A E .解答：因为A 为正定矩阵, 所以A A T =, 并且E A +可逆，从而E A =2,即O E A E A =-+))((, 所以E A =.2.设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，01=αA ，2122ααα+=A ，则A 的非零特征值为=λ 1 .解答：方法1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==1020),()2,0(),(),(21212121ααααααααA A A , 而 21,αα线性无关，所以矩阵),(21αα可逆，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020),(),(21121ααααA ， 即A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020相似，所以A 的非零特征值为1. 方法2 因为01=αA ，01≠α，所以0是A 的一个特征值. 因为02212≠+=αααA ，而22122)(ααααA A A A A =+=，所以1是A 的一个特征值, 而A 为2阶矩阵, 所以A 的非零特征值为1.3. 设3阶方阵A 的特征值互不相同，0=A ，则A 的秩= 2 . 解答：因为A 的特征值互不相同，所以A 与对角矩阵相似，所以)(A R 等于A 的非零特征值的个数, 因为A 为3阶方阵, 0=A , 所以A 的特征值 是01=λ，2λ、03≠λ，所以2)(=A R .4. （2011年考研题）若二次曲面的方程4=2+2+2++3+222yz xz axy z y x 经正交变换化为4=4+2121z y ，则=a 1 .解答：由题知二次型的系数矩阵的特征值为4=1=0=321λλλ,, ，于是有0==1111311=321λλλaa A ||，解得1=a . 5. （2011年考研题）设二次型Ax x x x x f T=321),,(的秩为1，A 的各行元素之和为3，则f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y解答：因为二次型Ax x x x x f T=321),,(的秩为1，所以非零特征值只有一个，由A 的各行元素之和为3，知3是A 的特征值，故f 在正交变换Qy x =下的标准型为213y . 6. （2011年考研题）二次型3231212322213212+2+2++3+=x x x x x x x x x x x x f ),,(，则f 的正惯性指数为 2 .解答：方法1 配方得2223213212+++=x x x x x x x f )(),,(，故正惯性指数为2.方法2 求⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111131111=A 的特征值也可得正惯性指数为2. 7. 设3阶矩阵A 的特征值为2,2,1，则=--E A 14 3 .解答：因为A 的特征值为2,2,1, 所以-1A 的特征值为2121,1，, 所以E A --14的特征值为11,3，, 所以341=--E A四. 计算题 1.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=735946524A 的特征值与特征向量. 解答：λλλλλλλλλ--------------=-731941521132735946524||列列加到、E A)1(210420521)1(731941521)1(2λλλλλλλλ-=------=------=,所以特征值为11=λ，=2λ03=λ.对于11=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111k x ,对于=2λ03=λ,求得特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2312k x , 其中21,k k 是不为零的任意常数.2．求()n n A ⨯=1的特征值与特征向量. 解答：因为1))(---=-n n EA λλλ（行和相等, 所以0121====-n λλλ ,n n =λ.对应于0121====-n λλλ : 方程组0=Ax 即为021=+++n x x x ,所以特征向量为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--1111n n k k k k x , 其中121,,,-n k k k 不全为零. 对应于n n =λ:因为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-n n n nn n n n nE A00111111111111行 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−101011000101011111行行n, 所以方程组nx Ax =即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-111312x x x x x x n , 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a x , 其中0≠a .3.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011100y xA 与对角阵相似，求x 和y 应满足的条件. 解答：容易求得A 的特征值为11-=λ，132==λλ，因为A 与对角阵相似当且仅当A 有3个线性无关的特征向量，所以对应于132==λλ，应该有两个线性无关的特征向量，所以2)(3=--E A R ，即1)(=-E A R ,而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-00000101-1010101y x y xE A 行, 所以0=+y x .4.（2011年考研题）设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛110011-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11-0011A . （1） 求A 的特征值与特征向量;（2） 求矩阵A .解答：（1）由于A 的秩为2，故0是A 的一个特征值.由题设可得 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1-01-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01A A ,, 所以，1-是A 的一个特征值，且属于1-的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-011k ，1k 为任意非零常数； 1也是A 的一个特征值，且属于1的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1012k ，2k 为任意非零常数.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 是A 的属于0的特征向量，由于A 为实对称矩阵，则 ()()0=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1010=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1-01321321x x x x x x ,， 即 ⎩⎨⎧0=+0=-3131,,x x x x于是属于0的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0103k ，3k 为任意非零常数.（2）令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011-100011=P ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000010001-=1-AP P ， 于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001000100=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0102102121-021⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011-100011=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001-=1-P P A 5．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2,（1）求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值； （2）指出方程1),,(321=x x x f 表示何种曲面. 解答：二次型),,(321x x x f 的矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=91203512c 60091203511224033351315c c c A 行行, 因为 2)(=A R ，所以3=c （或者由0=A 得c ）. 于是)9)(4(363361001)4(33335111)4(333351044333351315||--=------=------=-------=-------=-λλλλλλλλλλλλλλλλλE A所以A 的特征值为9,4,0, 于是二次型),,(321x x x f 通过正交变换化为232221094y y y ++,所以1),,(321=x x x f 表示椭圆柱面. 五．证明题1. 若矩阵A 满足O E A A =+-232，证明A 的特征值只能是1或2.证明: 设λ为A 的任意一个特征值，那么232+-λλ是E A A 232+-的特征值, 所以0232=+-λλ, 所以21或=λ.2. 证明⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010100002A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=260010001B 相似. 证明: 容易求得A 、B 的特征值都是2,1,1-, 所以A 、B 都与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-200010001相似, 所以A 与B 相似.3. 已知A 、B 都是n 阶正交矩阵, 且0=+B A , 证明0=+B A .证明 因为TTTTTB A A B B B A A )()(+=+=+, 所以||||||||B A B B A A +=+， 而A B -=，12=A , 所以||||B A B A +=+-, 所以0=+B A . 4. 若矩阵A 正定，证明A 可逆并且1-A 也正定.证明 因为A 正定，所以A A T=且 ||A >0，于是A 可逆.由1-1-1-==A A A T T )()(知1-A 为对称矩阵，由于A 正定，所以A 的特征值n λλλ ,,21全为正，于是1-A 的特征值nλλλ11121,,,. 也全为正，故1-A 正定.5.设A 为n m ⨯实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ,试证：当0>λ时，矩阵B 为正定矩阵.证明 由于B A A E A A E B T T T T =+=+=λλ)(, 所以B 为n 阶实对称矩阵.于是，对于任意的非零列向量x ，有 Ax A x x x x A A E x Bx x T T T T T T +=+=λλ)( )()(Ax Ax x x T T +=λ， 而当0≠x 时，有0>x x T ， 0≥)()(Ax Ax T ， 从而，0>λ时，0>+=)()(Ax Ax x x Bx x TTTλ，即矩阵B 为正定矩阵.。
太原理工大学高等数学习题册下册答案
sin t dt t
sin z 2 sin z 2sin z 2 − sin z 2 z ⋅ − = z2 z z x2 Fy F ∂z − ze ∂z −2 zy 5 , 那么 = − x = = − = ∂x Fz 2sin z 2 − sin z ∂y Fz 2sin z 2 − sin z 而Fx = e x , Fy = 2 y 5 , Fz =
⎧3x − y − 2 z − 9 = 0 从而投影直线为 ⎨ ⎩x + y + z −1 = 0 9． 解 要证四点共面， 只需证过四点的三向量共面， 即证三向量混合积为 0，
而这里 AB = {1, −1, 0} , AC = {0, −2,1} , AD = {1,1, −1} ,
1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0
a 的模 | a |= 132 + 7 2 + 152 = 443 ，方向余弦为：
cos α = 13 7 15 ， cos β = ， cos γ = 443 443 443 13 7 15 , , } 443 443 443
a 0 = ±{
| AC |= (1 − 0) 2 + (0 − 3) 2 + (2 − 1) 2 = 11
成的旋转曲面的方程为 x 2 + y 2 = (1 − z ) 2 + z 2 ，截面 Dz 为一圆域，半 径为 R = (1 − z ) 2 + z 2 ， Dz 的面积 A( z ) = π R 2 = π [(1 − z ) 2 + z 2 ] ，那么 所求立体的体积为
V = π ∫ [(1 − z ) 2 + z 2 ]dz = π (−
[ AB, AC , AD] = 0 − 2 1 = 0 − 2 1 = 0 − 2 1 = 0 ,故四点共面， 1 1 −1 0 2 −1 0 0 0
太原理工大学研究生期2014年末考试组合数学答案
A 第 2 页 共 4 页证明：设该同学从第1天至第k 天共做了k a 道数学题，则6013721≤<<≤a a a ， 令13+=k k a b ，则 73143721≤<<≤b b b记},,,{3721a a a A =，},,,{3721b b b B =，则}73,,3,2,1{ =⊂S A ，S B ⊂，从而存在B A x ⋂∈，即13+==j j k a b a ，这表明该同学从第1+j 天到第k 天共做了13道数学题。
四．（10分）设abcd 是一个4位的十进制数，如果21=+++d c b a ，试求满足条件的数的数目。
解：因为21=+++d c b a ，且满足条件91≤≤a ，90≤≤b ，90≤≤c ，90≤≤d 的整数解向量的个数。
令11-=a a ，则201=+++d c b a ，801≤≤a ，满足条件的解有 )33()3(310103203109320310320393203320--+--+-+-+++++-C C C C C564)33()3(3334313314323=+++-=C C C C C五．（10分）设有1对夫妻邀请另外4对夫妻到家做客，围圈而坐，如果随意而坐,问有多少种入座方式？如果每对客人夫妻相邻而坐,有多少种入座方式？如果所有夫妻都不相邻，问有多少种可能的入座方案？解：如果随意而坐,属10个人的圆周排列，则入座方式有9！种。
如果每对客人夫妻相邻而坐，此时主人随意，属6个人的圆周排列与4对夫妻的对换，所以入座方式有5！24种。
进一步，至少有一对夫妻相邻而坐的入座方式有：2!815⋅⋅C 种； 至少有两对夫妻相邻而坐的入座方式有：2252!7⋅⋅C 种；至少有三对夫妻相邻而坐的入座方式有：3352!6⋅⋅C 种；至少有四对夫妻相邻而坐的入座方式有：4452!5⋅⋅C 种；五对夫妻相邻而坐的入座方式有：52!4⋅种；所以每对夫妻都不相邻而坐的入座方式有1125122!42!52!62!72!8!9555445335225115=⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅-C C C C CA 第 3 页 共 4 页六．（10分）用红、白两种颜色给正四方体的6条棱着色，在空间转动能重合为同一着色方案。
太原理工大学材料科学基础习题及参考答案(全)
太原理工大学材料科学基础习题及参考答案(全)第一章原子结构与结合键习题1-1计算下列粒子的德布罗意波长：(1)质量为10-10kg，运动速度为0.01m?s-1的尘埃；(2)速度为103m/s的氢原子；(3)能量为300eV的自由电子。
1-2怎样理解波函数ψ的物理意义？1-3在原子结构中，ψ2和ψ2dτ代表什么？1-4写出决定原子轨道的量子数取值规定，并说明其物理意义。
1-5试绘出s、p、d轨道的二维角度分布平面图。
1-6多电子原子中，屏蔽效应和钻穿效应是怎样影响电子的能级的？1-7写出下列原子的基态电子组态（括号内为原子序号）：C(6)，P(15)，Cl(17)，Cr(24)。
1-8形成离子键有哪些条件？其本质是什么？1-9试述共价键的本质。
共价键理论包括哪些理论？各有什么缺点？1-10何谓金属键？金属的性能与金属键关系如何?1-11范德华键与氢键有何特点和区别？参考答案：1-1利用公式λ=h/p=h/mv、E=hν计算德布罗意波长λ。
1-8离子键是由电离能很小、易失去电子的金属原子与电子亲合能大的非金属原子相互作用时，产生电子得失而形成的离子固体的结合方式。
1-9共价键是由相邻原子共有其价电子来获得稳态电子结构的结合方式。
共价键理论包括价键理论、分子轨道理论和杂化轨道理论。
1-10当大量金属原子的价电子脱离所属原子而形成自由电子时，由金属的正离子与自由电子间的静电引力使金属原子结合起来的方式为金属建。
由于存在自由电子，金属具有高导电性和导热性；自由电子能吸收光波能量产生跃迁，表现出有金属光泽、不透明；金属正离子以球星密堆方式组成，晶体原子间可滑动，表现出有延展性。
第二章材料的结构习题2-1定义下述术语，并注意它们之间的联系和区别。
晶系，空间群，平移群，空间点阵。
2-2名词解释：晶胞与空间格子的平行六面体，并比较它们的不同点。
2-3(1)一晶面在x、y、z轴上的截距分别为2a、3b和6c，求出该晶面的米勒指数。
太原理工大学2021年攻读硕士研究生入学试题
太原理工大学2021年攻读硕士研究生入学试题太原理工大学____年攻读硕士研究生入学试题考试科目: 数字电子技术科目代码： 831 分值： 150 考生注意：请标明题号答案做在答题纸上，在试卷上不计分一、（30分）试回答如下问题：（1）试写出3位格雷码，并叙述其特点。
（2）ASCII码包含几位二进制数？（3）对于与非门来说，什么逻辑信号是禁止信号？（4）对于或门来说，什么逻辑信号是使能信号？（5）与CMOS系列数字电路比较，TTL系列的最大缺点是什么？（6）对于TTL 系列电路来说，悬空代表什么逻辑电平？（7）一个或非门输出一直保持为低电平，可能发生了什么故障？（8）试近似画出CMOS门电路输出低电平时输出电流与电压关系的曲线（横坐标为电压，纵坐标为电流）。
（9）三态门输出处于高阻状态时，对于输出端外接的电路来说，意味着什么？（10）一个电源电压为5V的两输入端CMOS与门，当输入电压A=1.2V、B=3.6V 时，其输出的逻辑电平是什么？（11）一个三态非门的控制端为低电平有效，若该控制端为低电平，其输出为什么逻辑电平？（12）试画出一个两输入端二极管与门电路。
（13）什么是数字电路的扇出系数？（14）TTL数字电路的噪声容限是多少？（15）若是用TTL系列电路驱动同电源电压的HC系列电路，可以吗？二、（10分）用卡诺图化简如下逻辑函数，要求化简成最简与或表达式。
（1）Y(A、B、C)=∑m（0，1，2，5，6，7）（2） Y（A、B、C）=∑m(0,1,2,4)+d(5,6) 三、（15分）用3-8线译码器74HC138和门电路设计1位二进制全减电路，输出为两数之差和向高位的借位信号。
（要求真值表、逻辑式和逻辑图），74HC138逻辑图如下图所示。
四、（15分）用4选1数据选择器产生如下逻辑函数，要求画出逻辑图。
Y=ABC+AC+BC五、（15分）试用JK触发器设计一个同步分频器。
要求分频比为16。
太原理工大学研究生组合数学2012年期末考试
B 第 1 页 共 6 页 考试方式： 闭卷 太原理工大学 《组合数学》试卷（B ） 适用班级 硕士研究生 考试日期 2012.07.02 时间 120 分钟 共 6 页 一．填空题(每个空3分，共30分) 1． 序列},1,1,1{ 的指母函数是 。
2 有2个相同的红球，3个相同的白球排成一圈不同的排列方式有 种。
3． n 个变量的布尔函数共有 个互不相同。
4． 将6个不同的球放入4个相同的盒子里，并且无空盒，则不同的方案数有 种。
5．在边长为1的正三角形内任意10点必有两点，其距离不超过 。
6． 从1到300整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 个。
7． 把n 男n 女排成一行男女相间的队伍，共有 种排列方法。
8． 3只白色棋子和2只红色棋子摆放在5*5的棋盘上，要求每行每列只放置一个棋子，则共有 种不同的摆放方法。
9． 83)1(x x 的展开式中，x 的一次项的系数是 。
10．按照字典序，排列4517632的下一个排列是 。
B 第 2 页 共 6 页二．(10分) 求解非齐次递推关系⎩⎨⎧==≥=+---1,02,3961021a a n a a a n n n nB 第 3 页 共 6 页三．（10分）用母函数求下式之和：n n n n n C n C C C 113121210+++++ ．并给出组合意义。
四．（10分）正四面体每个面均为正三角形，现用红、蓝、黄，绿四种颜色为四个面着色，在空间转动能重合为同一着色方案。
问不同着色方案数为多少？五．（10分）求1，3，5，7，9这五个数可以组成多少个不同的n位数，其中要求3和7出现次数为偶数。
B第4 页共6 页B 第 5 页 共 6 页六．（10分）求正整数n=18900的因子个数。
并证明一整数是另一整数的平方的必要条件是它的因子数目为奇数。
七．（10分）求满足条件204321=+++x x x x ，511≤≤x ，702≤≤x ，623≤≤x ，844≤≤x 的整数解向量的个数。
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1. 填空(本题共20分，共10空，每空2分)1) 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在5*5的棋盘上，要求每行每列只放置一个棋子，则共有 1200 种不同的摆放方法。
答案：1200!525=⨯C 2) 在(5a 1-2a 2+3a 3)6的展开式中，a 12•a 2•a 33的系数是 -81000 。
答案：810003)2(5!3!1!2!632-=⋅-⋅⋅⋅⋅3) 有n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数，共有121+⋅-n n 种方案。
4) 六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有 12 种方案。
答案：12121213=⋅⋅C C C5) 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有 320 个。
6) 要举办一场晚会，共10个节目，其中6个演唱节目，4个舞蹈节目。
现要编排节目单，要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目，则共可以写出 604800 种不同的节目单。
答案：604800!4!637=⨯⨯C 7) 把n 男n 女排成一只男女相间的队伍，共有2)!(2n ⋅ 种排列方法；若围成一圆桌坐下，又有)2/()!(22n n ⋅ 种方法。
8) n 个变量的布尔函数共有nn2 个互不相同的。
9) 把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里，每个盒子允许放任意个物体，而且要考虑放入同一盒中的物体的次序，这种分配方案数目为),1(r r n P -+ 。
答案：),1()!1()!1()1()2)(1(r r n P n r n r n n n n -+=--+=-+⋅⋅⋅++2. (本题10分)核反应堆中有α和β两种粒子，每秒钟内一个α粒子分裂成三个β粒子，而一个β粒子分裂成一个α粒子和两个β粒子。
若在时刻t=0时，反应堆中只有一个α粒子，问t=100秒时反应堆中将有多少个α粒子？多少个β粒子？ 解: 设t 秒钟的α粒子数位a t ，β粒子数为b t , 则⎪⎩⎪⎨⎧==+==---0,12300111b a b a b b a t t t t t⇔)(3,03210211*⎪⎩⎪⎨⎧==+==---b b b b b b a t t t t t（*）式的特征方程为0322=--x x ，解得3,121=-=r r ，即tt t A A b 3)1(21⋅+-⋅=代入初始值3,010==b b ，解得43,4321=-=A A tt t b 343)1(43⋅+-⋅-=∴ 111343)1(43---⋅+-⋅-==t t t t b a)13(43),13(4310010099100-=+=∴b a3. (本题共10分，共2小题，每小题5分)①设1212n a a a n n P P P =⋅⋅⋅，12,,n P P P ⋅⋅⋅是互不相同的素数，设求能除尽n 的正整数数目为多少？解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数P i 从0到a i ，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为)1()1)(1(21+⋅⋅⋅++n a a a 个。
②试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。
证明：根据题①中结论，na naa P P P n ⋅⋅⋅=2121，能被)1()1)(1(21+⋅⋅⋅++n a a a 个数整除，而na na aP P P n 22221221⋅⋅⋅=能被)12()12)(12(21+⋅⋅⋅++n a a a 个数整除，2a i +1为奇数)10(≤≤i ，所以乘积为奇数，证毕。
4. (本题10分) 证明等式22222012n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭求(1+x 4+x 8)100中x 20项的系数。
次方系数即可证。
比较证明：n ,11,010221202)1()1()1(222∴⋅⋅⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴+⋅+=+n n n n n n x n n x n n x n n x n n x x x n nn n n ΘΘ[]。
三个系数相加即为所求时，系数时，系数时，系数项时有，的结构可知仅当分析）（解：,5,4,35,43k )(1)()(1105510034410023310020841000100841001008410084C C k C C k C C k x x x x x C x xx x k k kk k ⋅==⋅==⋅===+⋅+=++=++∑=-Θ5. (本题10分)求1，3，5，7，9这五个数可以组成多少个不同的n 位数，其中要求3和7出现次数为偶数。
位数。
）个不同的（所以可以组成解：n r x e e e e e e e e e x x x x x G n n rr r r x x x x xx x x x 532141!)5321(41)2(4142)2()!4!21()!2!11()(e 0532232324232+⋅++⋅+=++=++⋅=+⋅=⋅+⋅⋅+++⋅⋅+⋅⋅+++=∑∞=--6. (本题10分)6个人参加一会议，入场时将帽子随意挂在衣架上，走时匆匆忙忙顺手带一顶走了，试问没有一人拿对的概率是多少？7. (本题10分)求满足下列条件的整数解数目x1+x2++x3+x4=20，其中1≤x1≤5，0≤x2≤7，4≤x3≤8，2≤x4≤6。
.36788 . 0 1! n 368. 0 720 / 265 720 / ) 1 6 30 120 360 720 720 ( 720 / ) 1 6 2 15 6 20 24 15 120 6 720 ( 720/ ) 1 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 720 ( ! 6 1! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 1 ! 6 56 4 6 3 6 2 6 1 6 6 ≈ ≈ ≈ = + - + - + - = + - ⨯ + ⨯ - ⨯ + ⨯ - = + - + - + - = + - + - + - = =en D C C C C C D P n 比较大时， 可以证明，当 解：.84396961-4660,0,0,0-4-4-7-4.5603161316131-413,40,40,70,40,13,2,4,,143214321,44,33,22,114321432144332211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++≥≥≥≥=====⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤≤≤≤≤≤≤≤=+++-=-==-=整数解数目为于是问题转为变换对于有上届的问题要作根据公式应为若不附加有上届条件的解：设εεεεεεεεεεεεy y y y y y y y y y y y x y x y x y x y8. (本题10分)长为5米的木棒用红，蓝两色染色，每米染一色，问有多少种不同的染色方案？(刚体运动使之吻合算一种方案).202/)22(211,1132415),5)(4)(3)(2)(1(35215211=+=∴==l P OO P P ，个个置换格式：），）（）（（翻转绕第二类置换：解：第一类置换：试问若要求其中有3米为红色，2米为蓝色的方案数是多少？.64323,5214,5313,4512.1025同方案数为为同一种方案，此时不为蓝色分别和和和和但木棒可翻转，使得为个对象染蓝色，方案数个对象任取解：若木棒不可动，则P9. (本题共10分，共2小题，每小题5分)①给出120110n m m m m m m n m n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的组合意义。
等于右边。
所有的方案数相加应该个，个，另一个盒子放放项的意义是一个盒子中左边：第方案数。
两种方法，得到可能的个球中每个球都有个放入两个盒子，个球，从中取出解：右边：i -n i i n n m②证明222223(1)2123n n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
222212222211211121322)1(33221,133221)1()1()1(33221)1(233221,133221)1(3210)1(---------+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+n n n n n n n n n nnn n n n n n n n x xn n n x n x n n x x n n x n x xn n n x n x n n x n n n n n n n n x xn n n x n x n n x n x xn n x n x n x n n x 即得式：也令后并求导得：两端同乘以再给式子：即得式：令求导可得：的两端对在二项式证明：。