概率论与数理统计第五章统计检验
《概率论与数理统计答案》第五章
P{ X − 8 > 3} = 0.1336
3．设 X 1 , X 2 , " , X n 为来自总体 X ~ P (λ ) 的一个样本， X 、 S 2 分别为样本均值 和样本方差。求 DX 及 ES 2 。 答案与提示：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体 期望、总体方差的关系，显然应由定理 5-1 来解决这一问题。
2
=(
1
hd a
) e
n 2 − 1
n
为
2σ 2
2πσ 2
w. c
∑ ( xi − µ )2
i =1
om
，
8．设 X 1 , X 2 , " , X n 为来自正态总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) 的一个样本， µ 已知，求 σ 2
第五章 习题参考答案与提示
⎧ ⎪λax a −1e − λx , x > 0, （2） f ( x, λ ) = ⎨ ⎪ x ≤ 0, ⎩ 0,
1 3 1 （3） X 1 + X 2Leabharlann + X 3 。 5 10 2
om
（1）
（2）
第五章 习题参考答案与提示
3，求 θ 的矩估计值和极大似然估计值。
ˆ = 1/ 4 。 答案与提示： θ 的矩估计值为 θ
对于给定的样本值，似然函数为 L(θ ) = 4θ 6 (1 − θ ) 2 (1 − 2θ ) 4 ，解得
其中 θ > −1 为未知参数。
网
9．设 X ~ N ( µ , 1) ， X 1 , X 2 , " , X n 为来自正态总体 X 的一个样本，试求 µ 的极
概率论与数理统计第五章统计检验
第五章统计检验1.学习要求、重点难点本章要求深刻理解统计检验的基本思想，统计检验的基本概念和基本步骤。
重点理解统计检验中常犯的两类错误，小概率原理在统计检验中的应用。
在做参数统计检验的时候合理选择原假设与备择假设。
特别是总体方差已知或者未知的情况下，选择恰当的统计量是统计检验正确与否的关键。
2.内容提要在前一章中，我们介绍了参数估计的方法. 在生产实践和科学研究中，还有另一类重要的统计推断问题——统计检验，又称为假设检验。
其思想有点类似于数学中“反证法”，它是对总体的分布或者参数作出某种假设，然后根据所得样本检验这个假设是否成立。
假设检验根据假设对象不同，分为非参数和参数的假设检验。
非参假设检验针对总体分布假设所做的检验，而参数假设检验是在总体分布已知的情况下，对未知参数假设进行的检验。
本章主要介绍的后者。
后文提到的统计检验（假设检验）如不加说明均指参数的假设检验。
本章要求掌握以下几个基本概念。
（一）统计检验的涵义统计检验是先对总体参数提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程，是利用样本的实际资料检验事先对总体某些数量特征所做的假设是否可信的一种统计分析方法。
该推理方法有两个重要的特点：（1）用了反证法的思想。
（2）利用小概率事件在一次实验中基本不发生的原理。
（二）原假设与备择假设统计检验是从总体参数所做的一个假设开始的，假设一般包括两个部分：原假设H和备择假设1H。
（1）原假设H研究者想要收集证据予以反对的假设，原假设又称虚无假设或零假设，它常是根据已有的资料，或经过周密考虑后确定的。
一般来说，原假设建立的依据都是已有的、具有稳定性的，从经验看，不会被轻易否定的。
统计检验的目的，就在于作出决策：接受原假设还是拒绝原假设。
（2）备择假设H1研究者想要收集证据予以支持的假设，也称研究假设或者择一假设，即原假设被否定之后应选择的、与原假设逻辑对立的假设。
（三）统计检验中的两类错误如果原假设是正确的，由于样本的随机性，这时我们做出了拒绝原假设的决策，从而犯了错误。
第五章《概率论与数理统计教程》课件
试决定常数 3.
X ,Y
C
使得随机变量 cY 服从分布
2
分布。
相互独立，都与 N ( 0 , 9 ) 有相同分布， X 分别是来自总体
X ,Y
1
, X 2 , , X 9和
Y1 ,Y 2 , ,Y 9
的样本，
Z
9
X
i
i1
6 - 23
Y
i1
9
则Z 服从—— ，自由度为——。
2 i
4.
X1, X 2, X 3, X 4
是来自总体
X ~ N ( , )
2
的样本，则随机变
量 Y
X3 X4
服从——分布，其自由度为———。
2
(X i )
i1
2
5.
设
X 1 , X 2 , , X 10
是来自总体 X
~ N ( ,4 )
2
的样本， ( S 2 P
a ) 0 .1
一. 单个正态总体的统计量的分布
X 1 , X 2 , X n是来自正态总体 ~ N ( , 2 )的样本, X
X , S 分别是样本均值和样本 方差
2
定理1
X
n
1
n
X i ~ N ( ,
n
2
);
i1
定理2 U
1
X
/
~ N ( 0 ,1 );
n
定理3
6 - 18
定理7
当 1
2
2 2
2 2 时, 令 S w
( n1 1) S 1 ( n 2 1) S 2
2
《概率论与数理统计》典型例题第五章数理统计初步
第五章 数理统计初步例1．若总体2~(,)X N µσ，其中2σ已知，但µ未知，而为来自总体的一个简单随机样本，试指出下列样本函数中 12,,n X X X …是统计量， 不是统计量：(1)11n i i X n =∑； (2)211(n i i X n )µ=−∑； (3)211()1n i i X X n =−−∑；；X 。
分析：利用统计量的定义即可辨别，特别注意不能含有未知参数。
解：由统计量的定义：设为总体12,,n X X X …X 的一个样本，为连续函数，如果不包含任何未知参数，则称其为一个统计量。
12(,,)n g x x x …12(,,)n g X X X …显然，(1)，(3)，(4)，(6)给出的是统计量；而(2)，(5)给出的量因含有未知参数µ，所以不是统计量。
注：统计量不包含任何未知参数，它具有两重性。
统计量是样本的一个函数，所以是一个随机变量。
若是的一组观察值，则统计量12,,nX X X …12(,,)n g X X X …12,,n x x x …12,,n X X X …12(,,)n g x x x …又是一个确定的数。
例2．设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 。
(A ) X Y +服从正态分布。
(B ) 22X Y +服从2χ分布。
(C ) 2X 和都服从2Y 2χ分布。
() D 22X 服从F 分布。
分析：考察统计中三种常见分布的构成，注意正态分布的性质。
解：由于的联合分布是否为二维正态分布未知，不能确定(,)X Y X Y +服从正态分布，又因X 与Y 是否独立未知，因而不能确定X Y +服从正态分布，也不能确定22X Y +服从2χ分布，也不能确定22X Y 服从F 分布，因而选。
C 注：本例重在强调各分布的构成中，都有独立性的要求。
另外，正态分布的性质中也同样要求独立性。
例3．设2~(,)X N µσ，则样本均值X 与总体期望µ的偏差不超过（n 为样本容量）的概率为 。
《概率论与数理统计》课件 概率学与数理统计 第五章
时，
n
n
X k =BnZn + k
k 1
k 1
n
近似地服从正态分布 N( k，Bn2) 。这说明无论随机变量 Xk (k
i 1
n
=1, 2,…)具有怎样的分布，只要满足定理条件，那么它们的和Xk
k 1
当n很大时就近似地服从正态分布。而在许多实际问题中，所
考虑的随机变量往往可以表示为多个独立的随机变量之和，因
实测值的算术平均值
时,取
作为 a 1 n
n i1 X i
1 n
n i 1
Xi
，根据此定理，当
n
足够大
的近似值，可以认为所发生的误差是
很小的，所以实用上往往用某物体的某一指标值的一系列
实测值的算术平均值来作为该指标值的近似值。
第二节 中心极限定理
在第二章，我们说只要某个随机变量受到许多相互独立 的随机因素的影响，而每个个别因素的影响都不能起决定性 的作用，那么就可以断定这个随机变量服从或近似服从正态 分布。这个结论的理论依据就是所谓的中心极限定理。概率 论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一 系列定理称为中心极限定理( Central limit theorem) 。下面介 绍几个常用的中心极限定理.
P{X 102} P{ X 100 102 100} 1 P{X 100 2}
1
1
1 (2) 1 0.977250 0.022750.
例
对敌人的防御地进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是 一个随机变量,其期望值是2，方差是。求在100次轰炸中有180颗到 220颗炸弹命中目标的概率。 解 令第 i 次轰炸命中目标的炸弹数为 Xi ，100次轰炸中命中目
概率论与数理统计 第5章
n
n
性质2.（分布可加性）:若X～2(n1)，Y～2(n2)，X与 Y独立，则
X + Y～2(n1+n2 )
3、2分布表及有关计算
(1)构成 P{2(n)>λ}=α，已知n, α可查表求得λ; (2)有关计算P 2 (n) 2 (n) 称为上侧α分位数
例5.1 设 X ~ N ( , 2 ) (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，
求(X1,X2,…,Xn)的密度。 解 (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，故
X i ~ N ( , 2 )
n
i 1,2,, n
f ( x1 , x2 ,, xn ) f ( xi )
16 2
解
i 1,2,,16
2 1 16 2 2 P ( X i ) P 8 2 (16) 16 2 16 i 1
2—分布的密度函数f(y)曲线
n/2 1 f ( y) 2 ( n / 2) y 0,
n y 1 2 2
e , y0 y0
2 例5.4 X ~ N ( , ) (X1,X2,X3)为X的一个样本
X 1 X 2 X 3 的分布。 求
(n)为整体记号
2
2 (n) 2 2 查表得 0 ( 25 ) 34 . 382 10) 18.307 .1 0.05 (
1 当n充分大时，近似有 (n ) (u 2n - 1) 2 2
2
练习1. P(2(n)<s)=1-p ∵P(2(n) < s)=1- P(2(n) s )=1-p ∴ P(2(n) s )=p 2 s p (n) 练习2. P(2(11)>s)=0.05,求s
概率论与数理统计(茆诗松)课后第五章习题参考答案
第五章 统计量及其分布习题5.11． 某地电视台想了解某电视栏目（如：每日九点至九点半的体育节目）在该地区的收视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查． （1）该项研究的总体是什么？ （2）该项研究的样本是什么？ 解：（1）总体是该地区的全体用户；（2）样本是被访查的电话用户．2． 某市要调查成年男子的吸烟率，特聘请50名统计专业本科生作街头随机调查，要求每位学生调查100名成年男子，问该项调查的总体和样本分别是什么，总体用什么分布描述为宜？解：总体是任意100名成年男子中的吸烟人数；样本是这50名学生中每一个人调查所得到的吸烟人数；总体用二项分布描述比较合适．3． 设某厂大量生产某种产品，其不合格品率p 未知，每m 件产品包装为一盒．为了检查产品的质量，任意抽取n 盒，查其中的不合格品数，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布． 解：总体是全体盒装产品中每一盒的不合格品数；样本是被抽取的n 盒产品中每一盒的不合格品数；总体的分布为X ~ b (m , p )，x m x qp x m x X P −⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==}{，x = 0, 1, …, n ， 样本的分布为nn x m x n x m x x m x n n q p x m q p x m q p x m x X x X x X P −−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛====L L 2211212211},,,{ ∑∑⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===−=∏ni tni tx mn x ni i q px m 111．4． 为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个方案如下：从鱼塘中打捞出一网鱼，计有n 条，涂上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有m 条鱼，而涂有红漆的鱼则有k 条，你能估计出鱼塘里大概有多少鱼吗？该问题的总体和样本又分别是什么呢？ 解：设鱼塘里有N 条鱼，有涂有红漆的鱼所占比例为Nn ， 而一天后打捞出的一网鱼中涂有红漆的鱼所占比例为m k，估计mk N n ≈，故估计出鱼塘里大概有kmnN ≈条鱼；总体是鱼塘里的所有鱼；样本是一天后再从鱼塘里打捞出的一网鱼． 5． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了了解其平均寿命，从中抽出n 件产品测其使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布． 解：总体是该厂生产的全体电容器的寿命；样本是被抽取的n 件电容器的寿命；总体的分布为X ~ e (λ )，p (x ) = λ e λ x ，x > 0，样本的分布为11212(,,,)e e e enin i x x x x n n p x x x λλλλλλλλ=∑=⋅=L L ，x i > 0．6． 美国某高校根据毕业生返校情况纪录，宣布该校毕业生的年平均工资为5万美元，你对此有何评论？ 解：返校的毕业生只是毕业生中一部分特殊群体，样本的抽取不具有随机性，不能反应全体毕业生的情况．习题5.21． 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数149 156 160 138 149 153 153 169 156 156 试由这批数据构造经验分布函数并作图． 解：经验分布函数0,138,0.1,138149,0.3,149153,()0.5,153156,0.8,156160,0.9,160169,1,169.n x x x F x x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪≥⎩ 作图略．2． 下表是经过整理后得到的分组样本组序 1 2 3 4 5分组区间 (38,48] (48,58] (58,68] (68,78] (78,88] 频数 3 4 8 3 2试写出此分布样本的经验分布函数．解：经验分布函数0,37.5,0.15,37.547.5,0.35,47.557.5,()0.75,57.567.5,0.9,67.577.5,1,77.5.n x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎪⎩3． 假若某地区30名2000年某专业毕业生实习期满后的月薪数据如下：909 1086 1120 999 1320 1091 1071 1081 1130 1336 967 1572 825 914 992 1232 950 775 1203 1025 1096 808 1224 1044 871 1164 971 950 866 738（1）构造该批数据的频率分布表（分6组）； （2）画出直方图． 解：（1）最大观测值为1572，最小观测值为738，则组距为15727381406d −=≈， 区间端点可取为735，875，1015，1155，1295，1435，1575， 频率分布表为 组序 分组区间 组中值 频数 频率 累计频率 1 (735, 875] 805 6 0.2 0.2 2 (875, 1015] 945 8 0.2667 0.4667 3 (1015, 1155] 1085 9 0.3 0.7667 4 (1155, 1295] 1225 4 0.1333 0.95 (1295,0.96672 0.066671435]13651 0.03333150516 (1435,1575]合计30 1（2）作图略．4．某公司对其250名职工上班所需时间（单位：分钟）进行了调查，下面是其不完整的频率分布表：所需时间频率0~10 0.1010~20 0.2420~3030~40 0.1840~50 0.14 （1）试将频率分布表补充完整．（2）该公司上班所需时间在半小时以内有多少人？解：（1）频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率10] 5 25 0.1 0.11 (0,20] 15 60 0.24 0.342 (10,30] 25 85 0.34 0.683 (20,40] 35 45 0.18 0.864 (30,50] 45 35 0.14 15 (40,合计250 1（2）上班所需时间在半小时以内有25 + 60 + 85 = 170人．5．40种刊物的月发行量（单位：百册）如下：5954 5022 14667 6582 6870 1840 2662 45081208 3852 618 3008 1268 1978 7963 20483077 993 353 14263 1714 11127 6926 2047714 5923 6006 14267 1697 13876 4001 22801223 12579 13588 7315 4538 13304 1615 8612 （1）建立该批数据的频数分布表，取组距为1700（百册）；（2）画出直方图．解：（1）最大观测值为353，最小观测值为14667，则组距为d = 1700，区间端点可取为0，1700，3400，5100，6800，8500，10200，11900，13600，15300，频率分布表为组序分组区间组中值频数频率累计频率1700] 850 9 0.225 0.2251 (0,25509 0.225 0.453400]2 (1700,42505 0.125 0.5755100]3 (3400,59504 0.1 0.6756800]4 (5100,76504 0.1 0.7758500]5 (6800,1 0.025 0.893506 (8500,10200]1 0.025 0.825110507 (10200,11900]3 0.075 0.9127508 (11900,13600]4 0.1 11445015300]9 (13600,合计30 1（2）作图略．6．对下列数据构造茎叶图472 425 447 377 341 369 412 399400 382 366 425 399 398 423 384418 392 372 418 374 385 439 408429 428 430 413 405 381 403 479381 443 441 433 399 379 386 387 解：茎叶图为34 135369, 6377, 2, 4, 9382, 4, 5, 1, 1, 6, 7399, 8, 2400, 5, 3412, 9, 8, 8, 3, 9425, 5, 3, 8, 9, 8439, 0, 3447, 3, 14546472, 97．根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪（单位：千元）数据如下：40.6 39.6 37.8 36.2 38.838.6 39.6 40.0 34.7 41.738.9 37.9 37.0 35.1 36.737.1 37.7 39.2 36.9 38.3试画出茎叶图．解：茎叶图为34.735. 136.2, 7, 937.0, 1, 738. 639.6, 6, 240.6, 8, 041.742.43.844.9, 545. 4习题5.31．在一本书上我们随机的检查了10页，发现每页上的错误数为：4 5 6 0 3 1 4 2 1 4试计算其样本均值、样本方差和样本标准差．解：样本均值3)41654(101=+++++=L x ； 样本方差7778.3])34()31()36()35()34[(91222222≈−+−++−+−+−=L s ；样本标准差9437.17778.3≈=s ．2． 证明：对任意常数c , d ，有11()()()()()()n niiiii i x c y d x x y y n x c y d ==−−=−−+−−∑∑．证：∑∑==−+−−+−=−−ni i i n i i i d y y y c x x x d y c x 11)]())][(()[())((∑=−−+−−+−−+−−=ni i i i i d y c x d y x x y y c x y y x x 1)])(())(())(())([())(()()()()())((111d y c x n x x d y y y c x y y x x ni i ni i ni i i −−+−−+−−+−−=∑∑∑===))(())(())((00))((11d y c x n y y x x d y c x n y y x x ni i i ni i i −−+−−=−−+++−−=∑∑==．3． 设x 1 , …, x n 和y 1 , …, y n 是两组样本观测值，且有如下关系：y i = 3 x i − 4，i = 1, …, n ，试求样本均值x和y 间的关系以及样本方差2x s 和2y s 间的关系．解：4343431)43(111111−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−==∑∑∑∑====x x n n x n x n y n y ni i n i i n i i n i i ； 212121229(19)]43()43[(11)(11x n i i n i i n i i ys x x n x x n y y n s =−−=−−−−=−−=∑∑∑===． 4． 记∑==n i i n x n x 11，∑=−−=n i i n x x n s 122)(11，n = 1, 2, …，证明 )(1111n n n n x x n x x −++=++，21221)(111n n nn x x n s n n s −++−=++． 证：)(111111111111111111n n n n n n n i i n i i n x x n x x n x n n x n x n n n x n x −++=+++=++⋅+=+=+++=+=+∑∑； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−=−=++=+=++∑∑21112112121))(1()(1)(1n n n i n i n i n i n x x n x x n x x n s ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+⋅+−−+−=++=∑2122112)()1(1)1()()(1n n n n n i n i x x n n x x x x n 2122112)(111)(1)(11)1(1n n n n n n i n i x x n s n n x x n n x x n n n −++−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++−−−=++=∑．5． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，样本均值分别为1x , 2x ，样本方差分别为21s , 22s ，将两组样本合并，其均值、方差分别为x , s 2，证明：12nx mx x n m+=+，)1)(()(1)1()1(22122212−++−+−+−+−=m n m n x x nm m n s m s n s ． 证：m n x m x n x x m n x x m n x m j j n i i m j j n i i ++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=∑∑∑∑====211211121111； ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−−+=∑∑==m j jn i i x x x x m n s 1221212()(11 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−+−+−−+=∑∑==221222211211)()()()(11x x m x x x x n x x m n m j j n i i ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−+−−+=221222221121)1()1(11m n x m x n x m s m m n x m x n x n s n m n 2212222122221)()()(111)1()1(m n x x mn x x nm m n m n s m s n +−+−⋅−++−+−+−=)1)(()(1)1()1(2212221−++−+−+−+−=m n m n x x nm m n s m s n ． 6． 设有容量为n 的样本A ，它的样本均值为A x ，样本标准差为s A ，样本极差为R A ，样本中位数为m A ．现对样本中每一个观测值施行如下变换：y = ax + b ，如此得到样本B ，试写出样本B 的均值、标准差、极差和中位数．解：b x a b x n a nb x a n b ax n y n y A ni i n i i n i i n i i B +=+⋅=+=+==∑∑∑∑====11111)(1)(11；A n i A i n i A i n iB i B s a x x n a b x a b ax n y y n s ||)(11||)(11)(11121212=−−⋅=−−+−=−−=∑∑∑===； R B = y (n ) − y (1) = a x (n ) + b − a x (1) − b = a [x (n ) − x (1)] = a R A ； 当n 为奇数时，b am b ax y m A n n B +=+==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+5.021215.0，当n 为偶数时，b am b x x ab ax b ax y y m A n n n n n n B +=++=+++=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛5.01221221225.0][2][21][21，故m B 0.5 = a m A 0.5 + b ．7． 证明：容量为2的样本x 1 , x 2的方差为2212)(21x x s −=． 证：221212221221222112)(214)(4)(])2()2[(121x x x x x x x x x x x x s −=−+−=+−++−−=． 8． 设x 1 , …, x n 是来自U (−1, 1) 的样本，试求)(X E 和Var(X ．解：因X i ~ U (−1, 1)，有0211)(=+−=i X E ，3112)11()(Var 2=+=i X ，故0)(1)1()(11===∑∑==ni i n i i X E n X n E X E ，n n nXnX n X ni in i i 31311)(Var 11Var )(Var 2121=⋅⋅==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑∑==． 9． 设总体二阶矩存在，X 1 , …, X n 是样本，证明X X i −与)(j i X X j ≠−的相关系数为 − (n − 1) − 1．证：因X 1 , X 2 , …, X n 相互独立，有Cov (X l , X k ) = 0，（l ≠ k ）， 则),(Cov ),(Cov ),(Cov ),(Cov ),(Cov X X X X X X X X X X X X j i j i j i +−−=−−)(Var ),1(Cov )1,(Cov 0X X X nX n X j j i i +−−= 22221111)(Var )(Var 1)(Var 1σσσσnn n n X X n X n j i −=+−−=+−−=，且)1,(Cov 21),(Cov 2)(Var )(Var )(Var 22i i i i i X nX n X X X X X X −+=−+=−σσ)(Var 1212222X X nn n n j −=−=−+=σσσσ，故11111)(Var )(Var ),(Cov ),(Corr 222−−=−⋅−−=−⋅−−−=−−n nn n n n X X X X X X X X X X X X j i j i j i σσσ． 10．设x 1 , x 2 ,…, x n 为一个样本，∑=−−=ni i x x n s 122)(11是样本方差，试证： 22)()1(1s x x n n ji j i =−−∑<． 证：因⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−=∑∑==21212211)(11x n x n x x n s n i i n i i ， 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=−+=−=−∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==========<n i n j j i n i n j j n i n j i n i n j j i j i n i n j j i j i j i x x x x x x x x x x x x 1111211211221122221)2(21)(21)( 221212111212)1(2221221s n n x n x n x n x n x n x x x n x n n i i n i i n i n j j i n j j n i i −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=∑∑∑∑∑∑======， 故22)()1(1s x x n n ji j i =−−∑<． 11．设总体4阶中心矩ν4 = E [X − E (X )]4存在，试对样本方差∑=−−=ni i X X n S 122(11，有 2442442442)1(3)1()2(2)1()()Var(−−+−−−−−=n n n n n S σνσνσν，其中σ 2为总体X 的方差．证：因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=−−−−=∑∑==212122)()(11)]()[(11µµµµX n X n X X n S n i i n i i ，其中µ = E (X )， 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=∑=21222)()(Var )1(1)Var(µµX n X n S n i i⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=∑∑==])(Var[)(,)(Cov 2)(Var )1(12212122µµµµX n X n X X n n i i n i i ⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−−−−−=∑∑==22122122)Var())(,)Cov((2)Var()1(1µµµµX n X X n X n n i i n i i ， 因E (X i − µ)2 = σ 2，E (X i − µ)4 = ν4，则)(})({}])([)({)Var(441224122412σνσνµµµ−=−=−−−=−∑∑∑===n X E X E X ni ni i i ni i ，因E (X i − µ) = 0，221)Var()(σµnX X E ==−，且当i ≠ j 时，X i − µ 与X j − µ 相互独立， 则∑∑==−−−−−=−−ni i i ni i X E X E X X E X X 12222122})()(])()[({))(,)Cov((µµµµµµ∑∑==⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅−=ni nk k i n X n X E 1222121)(1)(σσµµ∑∑=≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⋅−+−=n i i k k i i n X E X E X E n1422421)()()(1σµµµ)(11])1([144142242σνσσσν−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅+=∑=n n n nni ，且224122421)(1])([)()Var(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−=−∑=σµµµµn X n E X E X E X n i i42221441)()(24)(1σµµµn X X X E n j i j i n i i −⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=∑∑<= 42221441)()(6)(1σµµµn X E X E X E n j i j i ni i −⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+−=∑∑<= 42443424444222442)3(11])1(3[11261σσνσσνσσσνn n n n n n n n n n n +−=−−+=−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+=， 故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+−⋅−−−=4244324444222)3(1)(12)()1(1)Var(σσνσνσνn n n n n n n S⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−+−−−−=444444422)3(1)(2)()1(1σσνσνσνn n n 2442442444444442)1(3)1()2(2)1()()3(1)2(2)()1(1−−+−−−−−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−−−−=n n n n n n n n σνσνσνσνσνσν． 12．设总体X 的3阶矩存在，设X 1 , X 2 ,…, X n 是取自该总体的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，试证：nS X 32),Cov(ν=，其中ν3 = E [X − E (X )]3．证：因⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−=−−−−=∑∑==212122)()(11)]()[(11µµµµX n X n X X n S n i i n i i ，其中µ = E (X )， 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−=−=∑=21222)()(11,Cov ),Cov(),Cov(µµµµX n X n X S X S X n i i ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=∑=))(,Cov())(,Cov(11212µµµµX X n X X n n i i ， 因0)()(=−=−µµi X E X E ，E (X i − µ)2 = σ 2，E (X i − µ)3 = ν3，且当i ≠ j 时，X i − µ 与X j − µ 相互独立，则∑∑∑∑====−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−n i i i ni i n k k ni i X X n X X n X X 1212112))(,Cov(1)(,)(1Cov ))(,Cov(µµµµµµ331231])()()([1ννµµµ=⋅=−−−−=∑=n nX E X E X E n n i i i i ， 且31232)(1)()()())(,Cov(⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−−−=−−∑=n i i X n E X E X E X E X X µµµµµµ323313313311)(1)(1ννµµn n n X E n X E n n i i n i i =⋅=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=∑∑==，故n nn n n n n S X 333232111111),Cov(νννν=−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅−−=． 13．设1X 与2X 是从同一正态总体N (µ, σ 2)独立抽取的容量相同的两个样本均值．试确定样本容量n ，使得两样本均值的距离超过σ 的概率不超过0.01． 解：因µ==)()(21X E X E ，nX X 221)Var()Var(σ==，1X 与2X 相互独立，且总体分布为N (µ, σ 2)，则0)(21=−=−µµX X E ，n n n X X 222212)Var(σσσ=+=−，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−n N X X 2212,0~σ， 因01.0222212}|{|21≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φ−=>−n n X X P σσσ，有995.02≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛Φn ，5758.22≥n ，故n ≥ 13.2698，即n 至少14个．14．利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在 (0.4, 0.6) 间的概率至少为0.9．如何才能更精确的计算这个次数？是多少？解：设⎩⎨⎧=,,0,,1次反面朝上第次正面朝上第i i X i 有X i ~ B (1, 0.5)，且正面朝上的频率为∑==ni i X n X 11，则E (X i ) = 0.5，Var (X i ) = 0.25，且5.0(=X E ，n X 25.0)(Var =， 由切比雪夫不等式得n nX P X P 2511.025.01}1.0|5.0{|}6.04.0{2−=−≥<−=<<，故当9.0251≥−n时，即n ≥ 250时，9.0}6.04.0{≥<<X P ；利用中心极限定理更精确地计算，当n 很大时∑==ni i X n X 11的渐近分布为正态分布25.0,5.0(n N ， 则)2.0()2.0()25.05.04.0(25.05.06.0()4.0()6.0(}6.04.0{n n nnF F X P −Φ−Φ=−Φ−−Φ=−=<<9.01)2.0(2≥−Φ=n ，即95.0)2.0(≥Φn ，64.12.0≥n ，故当n ≥ 67.24时，即n ≥ 68时，9.0}6.04.0{≥<<X P ．15．从指数总体Exp (1/θ ) 抽取了40个样品，试求X 的渐近分布．解：因θ==)((X E X E ，2401)(Var )(Var θ==n X X ，故X 的渐近分布为)401,(2θθN ．16．设X 1 , …, X 25是从均匀分布U (0, 5) 抽取的样本，试求样本均值X 的渐近分布．解：因25)()(==X E X E ，1211225)05()(Var )(Var 2=×−==n X X ，故X 的渐近分布为)121,25(N ． 17．设X 1 , …, X 20是从二点分布b (1, p ) 抽取的样本，试求样本均值X 的渐近分布．解：因p X E X E ==)((，20)1()(Var )(Var p p n X X −==，故X 的渐近分布为20)1(,(p p p N −．18．设X 1 , …, X 8是从正态分布N (10, 9) 中抽取的样本，试求样本均值X 的标准差．解：因89)(Var )(Var ==n X X ，故X 的标准差为423)(Var =X ． 19．切尾均值也是一个常用的反映样本数据的特征量，其想法是将数据的两端的值舍去，而用剩下的当中的值为计算样本均值，其计算公式是][2])[()2]([)1]([αααααn n X X X X n n n n −+++=−++L ，其中0 < α < 1/2是切尾系数，X (1) ≤ X (2) ≤ … ≤ X (n ) 是有序样本．现我们在高校采访了16名大学生，了解他们平时的学习情况，以下数据是大学生每周用于看电视的时间：15 14 12 9 20 4 17 26 15 18 6 10 16 15 5 8 取α = 1/16，试计算其切尾均值．解：因n α = 1，且有序样本为4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 15, 15, 16, 17, 18, 20, 26，故切尾均值8571.12)20865(216116/1=++++−=L x ． 20．有一个分组样本如下：区间 组中值 频数 (145,155) 150 4 (155,165) 160 8 (165,175) 170 6 (175,185) 180 2试求该分组样本的样本均值、样本标准差、样本偏度和样本峰度．解：163)2180617081604150(201=×+×+×+×=x ；2338.9]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(1912222=×−+×−+×−+×−=s ； 因81]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20122222=×−+×−+×−+×−=b ， 144]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20133333=×−+×−+×−+×−=b ，14817]2)163180(6)163170(8)163160(4)163150[(20144444=×−+×−+×−+×−=b ，故样本偏度1975.02/3231==b b γ，样本峰度7417.032242−=−=b b γ．21．检查四批产品，其批次与不合格品率如下：批号批量不合格品率1 100 0.052 300 0.063 250 0.04 4 150 0.03试求这四批产品的总不合格品率．解：046875.0)03.015004.025006.030005.0100(8001=×+×+×+×=p ． 22．设总体以等概率取1, 2, 3, 4, 5，现从中抽取一个容量为4的样本，试分别求X (1) 和X (4) 的分布． 解：因总体分布函数为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,54,43,53,32,52,21,51,1,0)(x x x x x x x F则F (1) (x ) = P {X (1) ≤ x } = 1 − P {X (1) > x } = 1 − P {X 1 > x , X 2 > x , X 3 > x , X 4 > x } = 1 − [1 − F (x )]4⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,625624,43,625609,32,625544,21,625369,1,0x x x x x x且F (4) (x ) = P {X (4) ≤ x } = P {X 1 ≤ x , X 2 ≤ x , X 3 ≤ x , X 4 ≤ x } = [F (x )]4⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=,5,1,54,625256,43,62581,32,62516,21,6251,1,0x x x x x x故X (1) 和X (4) 的分布为6251625156256562517562536954321)1(P X ； 6253696251756256562515625154321)4(PX ． 23．设总体X 服从几何分布，即P {X = k } = pq k − 1，k = 1, 2, …，其中0 < p < 1，q = 1 − p ，X 1, X 2, …, X n 为该总体的样本．求X (n ) , X (1)的概率分布．解：因k k kj j q qq p pqk X P −=−−==≤∑=−11)1(}{11，k = 1, 2, …，故n k n k ni i ni i n n n q q k X P k X P k X P k X P k X P )1()1(}1{}{}1{}{}{111)()()(−==−−−=−≤−≤=−≤−≤==∏∏；且nk k n ni i ni i q q k X P k X P k X P k X P k X P −=>−−>=>−−>==−==∏∏)1(11)1()1()1(}{}1{}{}1{}{．24．设X 1 , …, X 16是来自N (8, 4) 的样本，试求下列概率（1）P {X (16) > 10}； （2）P {X (1) > 5}．解：（1）1616161)16()16()]2810([1)]10([1}10{1}10{1}10{−Φ−=−=≤−=≤−=>∏=F X P X P X P i i = 1 − [Φ(1)]16 = 1 − 0.841316 = 0.9370；（2）3308.09332.0)]5.1([285(1[)]5(1[}5{}5{16161616161)1(==Φ=−Φ−=−=>=>∏=F X P X P i i ． 25．设总体为韦布尔分布，其密度函数为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−mmm x mx m x p ηηηexp ),;(1，x > 0, m > 0, η > 0． 现从中得到样本X 1 , …, X n ，证明X (1) 仍服从韦布尔分布，并指出其参数． 解：总体分布函数mm mmx xt xmt xt mm xt t mtt t p x F ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛===∫∫∫ηηηηηηe1e d ed ed )()(00010，x > 0，则X (1) 的密度函数为111(1)11()[1()]()eeemmmmx x x m m m n n n mmmxmnxp x n F x p x n ηηηηη⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−−−−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠⎝⎠=−=⋅==，故X (1) 服从参数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛m n m η,的韦布尔分布． 26．设总体密度函数为p (x ) = 6 x (1 − x ), 0 < x < 1，X 1 , …, X 9是来自该总体的样本，试求样本中位数的分布． 解：总体分布函数3203223)23(d )1(6d )()(x x t t t t t t t p x F xxx−=−=−==∫∫，0 < x < 1，因样本容量n = 9，有样本中位数)5(215.0x x m n ==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+，其密度函数为)1(6)231()23(!4!4!9)()](1[)]([!4!4!9)(432432445x x x x x x x p x F x F x p −⋅+−−⋅=−⋅=． 27．证明公式∫∑−−=−−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛110)1()!1(!!)1(p r n r rk k n k dx x x r n r n p p k n ，其中0 ≤ p ≤ 1． 证：设总体X 服从区间(0, 1)上的均匀分布，X 1, X 2, …, X n 为样本，X (1), X (2), …, X (n )是顺序统计量，则样本观测值中不超过p 的样品个数服从二项分布b (n , p )，即最多有r 个样品不超过p 的概率为∑=−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=>rk kn k r p p k n p X P 0)1()1(}{，因总体X 的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他x x p ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(x x x x x F则X (r + 1)的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−−=−−−−+.,0,10,)1()!1(!!)()](1[)]([)!1(!!)(111其他x x x r n r n x p x F x F r n r n x p r n r r n r r 故∫∑−−+=−−−−=>=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)1(0)1()!1(!!}{)1(p r n r r rk kn k dx x x r n r n p X P p p k n ． 28．设总体X 的分布函数F (x )是连续的，X (1), …, X (n )为取自此总体的次序统计量，设ηi = F (X (i ))，试证： （1）η1 ≤ η2 ≤ … ≤ ηn ，且ηi 是来自均匀分布U (0, 1)总体的次序统计量；（2）1)(+=n iE i η，)2()1()1()Var(2++−+=n n i n i i η，1 ≤ i ≤ n ； （3）ηi 和ηj 的协方差矩阵为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+−+−+−2)1(2)1(2)1(2)1(22212111n a a n a a n a a n a a 其中11+=n i a ，12+=n j a ． 注：第（3）问应要求i < j ． 解：（1）首先证明Y = F (X )的分布是均匀分布U (0, 1)，因分布函数F (x )连续，对于任意的y ∈ (0, 1)，存在x ，使得F (x ) = y ， 则F Y ( y ) = P {Y = F (X ) ≤ y } = P {F (X ) ≤ F (x )} = P {X ≤ x } = F (x ) = y ， 即Y = F (X )的分布函数是⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(y y y y y F Y可得Y = F (X )的分布是均匀分布U (0, 1)，即F (X 1), F (X 2), …, F (X n )是均匀分布总体U (0, 1)的样本， 因分布函数F (x )单调不减，ηi = F (X (i ))，且X (1) ≤ X (2) ≤ … ≤ X (n )是总体X 的次序统计量， 故η1 ≤ η2 ≤ … ≤ ηn ，且ηi 是来自均匀分布U (0, 1)总体的次序统计量； （2）因均匀分布U (0, 1) 的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,1)(其他y y p Y ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(y y y y y F Y则ηi = F (X (i ))的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<−−−=−−−=−−−−.,0,10,)1()!()!1(!)()](1[)]([)!()!1(!)(11其他y y y i n i n y p y F y F i n i n y p i n i Y in Y i Y i即ηi 服从贝塔分布Be (i , n − i + 1)，即Be (a , b )，其中a = i ，b = n − i + 1，故1)(+=+=n i b a a E i η，)2()1()1()1()()Var(22++−+=+++=n n i n i b a b a ab i η，1 ≤ i ≤ n ； （3）当i < j 时，(ηi , ηj )的联合密度函数为z y Y Y j n Y i j Y Y i Y ij z p y p z F y F z F y F j n i j i n z y p <−−−−−−−−−−=I )()()](1[)]()([)]([)!()!1()!1(!),(111011I )1()()!()!1()!1(!<<<−−−−−−−−−−=z y j n i j i z y z y j n i j i n ， 则∫∫∫∫−−−+∞∞−+∞∞−−⋅−−−−−=⋅=1001)1()()!()!1()!1(!),()(z j n i j i ij j i dy z z y z y dz j n i j i n dydz z y p yz E ηη， 令y = zu ，有dy = zdu ，且当y = 0时，u = 0；当y = z 时，u = 1，则∫∫⋅−−=−⋅−−−−−−−1101)()()1()1()(zdu zu z zu z z dy z z y z y i j i j n zj n i j ij n j j n j i j i j j n z z j i j i i j i B z z du u u z z z −+−+−−−−−−=−+⋅−=−⋅−=∫)1(!)!1(!),1()1()1()1(1111，即∫−+−−−−−−−=101)1(!)!1(!)!()!1()!1(!)(dz z z j i j i j n i j i n E jn j j i ηη )1,2(!)!1(!)!()!1()!1(!+−+−−⋅−−−−=j n j B j i j i j n i j i n)2)(1()1()!2()!()!1(!)!1(!)!()!1()!1(!+++=+−+⋅−−⋅−−−−=n n j i n j n j j i j i j n i j i n ， 可得)2()1()1(11)2)(1()1()()()(),Cov(2++−+=+⋅+−+++=−=n n j n i n j n i n n j i E E E j i j i j i ηηηηηη， 因11+=n i a ，12+=n j a ， 则2)1()2()1()1(),Cov(212+−=++−+=n a a n n j n i j i ηη， 且2)1()2()1()1()Var(112+−=++−+=n a a n n i n i i η，2)1()2()1()1()Var(222+−=++−+=n a a n n j n j jη， 故ηi 和ηj 的协方差矩阵为⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+−+−+−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛2)1(2)1(2)1(2)1()Var(),Cov(),Cov()Var(22212111n a a n a a n a a n a a j j i j i i ηηηηηη． 29．设总体X 服从N (0, 1)，从此总体获得一组样本观测值x 1 = 0, x 2 = 0.2, x 3 = 0.25, x 4 = −0.3, x 5 = −0.1, x 6 = 2, x 7 = 0.15, x 8 = 1, x 9 = −0.7, x 10 = −1．（1）计算x = 0.15（即x (6)）处的E [F (X (6))]，Var[F (X (6))]； （2）计算F (X (6))在x = 0.15的分布函数值．解：（1）根据第28题的结论知1)]([)(+=n iX F E i ，)2()1()1()](Var[2)(++−+=n n i n i X F i ，且n = 10， 故116)]([)6(=X F E ，2425121156)](Var[2)6(=××=X F ； （2）因F (X (i ))服从贝塔分布Be (i , n − i + 1)，即这里的F (X (6))服从贝塔分布Be (6, 5)，则F (X (6))在x = 0.15的分布函数值为∫−⋅=15.00456)1(!4!5!10)15.0(dx x x F ， 故根据第27题的结论知0014.085.015.0101)1(!4!5!10)15.0(501015.00456=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−⋅=∑∫=−k k k k dx x x F ． 30．在下列密度函数下分别寻求容量为n 的样本中位数m 0.5的渐近分布．（1）p (x ) = 6x (1 − x )，0 < x < 1；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−=222)(exp π21)(σµσx x p ； （3）⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p （4）||e 2)(x x p λλ−=．解：样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅)(41,5.025.0x p n x N ，其中p (x )是总体密度函数，x 0.5是总体中位数， （1）因p (x ) = 6x (1 − x )，0 < x < 1，有35.025.003205.023)23()1(6)(5.05.05.0x x x x dx x x x F x x −=−=−==∫，则x 0.5 = 0.5，有nn p n 91)5.05.06(41)5.0(4122=×××=⋅， 故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎠⎞⎜⎝⎛n N 91,5.0；（2）因⎭⎫⎩⎨⎧−−=222)(exp π21)(σµσx x p ，有0.5 = F (x 0.5) = F (µ)， 则x 0.5 = µ ，有n n p n 2ππ2141)(41222σσµ=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=⋅， 故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2π,2σµ；（3）因⎩⎨⎧<<=.,0;10,2)(其他x x x p 有25.00205.05.05.02)(5.0x x xdx x F x x ====∫， 则215.0=x ，有n n p n 8121241214122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛××=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅， 故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎠⎞⎜⎝⎛n N 81,21； （4）因||e 2)(x x p λλ−=，有0.5 = F (x 0.5) = F (0)，则x 0.5 = 0，有2221241)0(41λλn n p n =⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=⋅， 故样本中位数m 0.5的渐近分布为⎟⎠⎞⎜⎝⎛21,0λn N ．31．设总体X 服从双参数指数分布，其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=.,0;,exp 1)(µµσµx x x x F其中，−∞ < µ < +∞，σ > 0，X (1) ≤ … ≤ X (n )为样本的次序统计量．试证明)(2)1()1()(−−−−i i X X i n σ服从自由度为2的χ 2分布（i = 2, …, n ）． 注：此题有误，讨论的随机变量应为)(2)1()1()(−−+−i i X X i n σ．证：因(X (i − 1), X (i ))的联合密度函数为z y i n i i i z p y p z F y F i n i n z y p <−−−−−−=I )()()](1[)]([)!()!2(!),(2)1( z y in i z y z y i n i n <<−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−−=µσµσσµσσµσµI exp 1exp 1exp exp 1)!()!2(!2z y i n i z y y i n i n <<+−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−=µσµσµσµσI exp exp 1exp )!()!2(!122，则T = X (i ) − X (i − 1)的密度函数为∫+∞∞−−⋅⋅+=dy t y y p t p i i T 1),()()1(∫∞++−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−−=µσµσµσµσdy t y y y i n i n i n i 122exp exp 1exp )!()!2(!∫∞+−+−+−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎫⎩⎨⎧−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=µσµσσµσµσσy d y y t i n i n i i n i n exp )(exp 1exp exp )!()!2(!2112∫−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧−−−=−+−+−012112)()1(exp )!()!2(!du u ut i n i n i i n i n σσσ∫−+−−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−−=1021)1()1(exp )!()!2(!du u ut i n i n i n i i n σσ )1,2()1(exp )!()!2(!−+−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−−=i i n B t i n i n i n σσ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−+−=−+−⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧+−−−−=σσσσt i n i n n i i n t i n i n i n )1(exp 1!)!2()!1()1(exp )!()!2(!，t > 0，可得T i n X X i n S i i σσ2)1()(2)1()1()(+−=−+−=−的密度函数为⎭⎬⎫⎩⎨⎧−=+−⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+−=+−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=2exp 21)1(22exp 1)1(2)1(2)(s i n s i n i n s i n p s p T S σσσσ，s > 0， 故)(2)1()1()(−−+−=i i X X i n S σ服从参数为21的指数分布，也就是服从自由度为2的χ 2分布． 32．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=.,0;10,3)(2其他x x x p X (1) ≤ X (2) ≤ … ≤ X (5)为容量为5的取自此总体的次序统计量，试证)4()2(X X 与X (4)相互独立．z −证：因总体X 的密度函数和分布函数分别为⎩⎨⎧<<=.,0;10,3)(2其他x x x p ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(3x x x x x F 则(X (2), X (4))的联合密度函数为)4()2(I )()()](1[)]()([)]([!1!1!1!5),()4()2(1)4(1)2()4(1)2()4()2(24x x x p x p x F x F x F x F x x p <−−⋅⋅=103)4(3)2(3)4(2)4(5)2(102)4(2)2(3)4(3)2(3)4(3)2()4()2()4()2(I )1)((1080I 33)1)((120<<<<<<−−=⋅⋅−−=x x x x x x x x x x x x x x x ，设)4()2(1X X Y =，Y 2 = X (4)，有X (2) = Y 1Y 2，X (4) = Y 2，则(X (2), X (4))关于( Y 1 , Y 2 )的雅可比行列式为21221)4()2(1),(),(y y y y y x x J ==∂∂=，且0 < X (2) ≤ X (4) < 1对应于0 < Y 1 < 1, 0 < Y 2 < 1，可得(Y 1 , Y 2 )的联合密度函数为210,10323213222521221242121I )1]()([)(1080||),(),(y y y y y y y y J y y y p y y p y y ⋅−−=⋅=<<<<103211210315121I )1(I )1(1080<<<<−⋅−=y y y y y y ，由于(Y 1 , Y 2 , …, Y n )的联合密度函数p ( y 1 , y 2)可分离变量， 故)4()2(1X X Y =与Y 2 = X (4)相互独立．33．（1）设X (1)和X (n )分别为容量n 的最小和最大次序统计量，证明极差R n = X (n ) − X (1)的分布函数∫+∞∞−−−+=dy y p y F x y F n x F n R n )()]()([)(1其中F ( y )与p ( y )分别为总体的分布函数与密度函数；（2）利用（1）的结论，求总体为指数分布Exp (λ)时，样本极差R n 的分布． 注：第（1）问应添上x > 0的要求． 解：（1）方法一：增补变量法因(X (1), X (n ))的联合密度函数为z y n z y n n z p y p y F z F n n z p y p y F z F n n z y p <−<−−−=−−=I )()()]()()[1(I )()()]()([)!2(!),(221， 对于其函数R n = X (n ) − X (1)，增补变量W = X (1)，⎩⎨⎧−==.;y z r y w 反函数为⎩⎨⎧+==.;r w z w y 其雅可比行列式为11101==J ，则R n 的密度函数为∫+∞∞−>−+−+−=dw r w p w p w F r w F n n r p r n R n 02I )()()]()()[1()(，故R n = X (n ) − X (1)的分布函数为∫∫∫∞−+∞∞−>−∞−+−+−==x r n x R R dw r w p w p w F r w F n n dr dr r p x F n n 02I )()()]()()[1()()(∫∫+∞∞−∞−>−+−+−=xr n dr r w p w p w F r w F n n dw 02I )()()]()()[1(∫∫+∞∞−−+−+−=xn dr r w p w F r w F dw w p n n 02)()]()([)()1(∫∫+∞∞−−+−+−=xn r w dF w F r w F dw w p n n 02)()]()([)()1(∫+∞∞−−−+−⋅−=x n w F r w F n dw w p n n 01)]()([11)()1(∫+∞∞−−−+=dw w p w F x w F n n )()]()([1 ∫+∞∞−−−+=dy y p y F x y F n n )()]()([1，x > 0；方法二：分布函数法因(X (1), X (n ))的联合密度函数为z y n z y n n z p y p y F z F n n z p y p y F z F n n z y p <−<−−−=−−=I )()()]()()[1(I )()()]()([)!2(!),(221， 故R n = X (n ) − X (1)的分布函数为∫∫+∞∞−+∞−=≤−==xy n n n R dz z y p dy x X X R P x F n ),(}{)(1)1()(∫∫+∞∞−+−−−=xy yn dz z p y p y F z F dy n n )()()]()([)1(2∫∫+∞∞−+−−⋅−=xy yn z F d y F z F y p dy n n )]([)]()([)()1(2∫∫+∞∞−−+∞∞−+−−+=−−⋅⋅−=dy y p y F x y F n y F z F n y p dy n n n x y y n )()]()([)]()([11)()1(11，x > 0；（2）因指数分布Exp (λ)的密度函数与分布函数分别为⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x λλ ⎩⎨⎧≤>−=−.0,0;0,e 1)(x x x F x λ故R n = X (n ) − X (1)的分布函数为∫∫+∞−−−+−+∞∞−−⋅−−−=−+=01)(1e )]e 1()e 1[()()]()([)(dy n dy y p y F x y F n x F y n y x y n R n λλλλ101011)e 1()(e 1)e 1(e )1()e 1()(e −−+∞−−−+∞−−−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=−⋅−=∫n x n y n x y n x n y n n d n λλλλλλ，x > 0．34．设X 1 , …, X n 是来自U (0, θ ) 的样本，X (1) ≤ … ≤ X (n ) 为次序统计量，令)1()(+=i i i X X Y ，i = 1, …, n − 1，Y n = X (n ) ，证明Y 1 , …, Y n 相互独立．。
概率论与数理统计第五章数理统计的基础知识
习题5-17、设总体X 的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，12,,,n X X X 为来自总体X 的样本，记(1)1min()i i nX X ≤≤=，()1max()n i i nX X ≤≤=，求(1)(),n X X 各自的分布函数与密度函数。
解：记(1)X 的分布函数和密度函数分别为(1)(1)(),()F x f x ，()n X 的分布函数和密度函数分别为()()(),()n n F x f x ，则(1)12(){min()}1{min()}1{,,...}i i n F x P X x P X x P X x X x X x =≤=->=->>>1[1()]n F x =--，所以1(1)(1)()[()][1()]()n f x F x n F x f x -'==-。
()12(){max()}{,,...}[()]n n i n F x P X x P X x X x X x F x =≤=≤≤≤=，所以1()()()[()][()]()n n n f x F x n F x f x -'==。
8、设总体X 服从指数分布()E λ，12,X X 是容量为2的样本，求(1)X ，(2)X 的概率密度。
解：由于总体X 服从指数分布()E λ，故X 的概率密度函数与分布函数分别为,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，1,0()0,0x e x F x x λ-⎧->=⎨≤⎩ 所以，(1)X 的概率密度为2121(1)2[1(1)],02,0()[1()]()0,00,0x x x n e e x e x f x n F x f x x x λλλλλ-----⎧⎧-->>=-==⎨⎨≤≤⎩⎩， (2)X 的概率密度为211(2)2(1),02(1),0()[()]()0,00,0x x x x n e e x e e x f x n F x f x x x λλλλλλ------⎧⎧->->===⎨⎨≤≤⎩⎩。
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第五章统计检验1.学习要求、重点难点本章要求深刻理解统计检验的基本思想，统计检验的基本概念和基本步骤。
重点理解统计检验中常犯的两类错误，小概率原理在统计检验中的应用。
在做参数统计检验的时候合理选择原假设与备择假设。
特别是总体方差已知或者未知的情况下，选择恰当的统计量是统计检验正确与否的关键。
2.内容提要在前一章中，我们介绍了参数估计的方法. 在生产实践和科学研究中，还有另一类重要的统计推断问题——统计检验，又称为假设检验。
其思想有点类似于数学中“反证法”，它是对总体的分布或者参数作出某种假设，然后根据所得样本检验这个假设是否成立。
假设检验根据假设对象不同，分为非参数和参数的假设检验。
非参假设检验针对总体分布假设所做的检验，而参数假设检验是在总体分布已知的情况下，对未知参数假设进行的检验。
本章主要介绍的后者。
后文提到的统计检验（假设检验）如不加说明均指参数的假设检验。
本章要求掌握以下几个基本概念。
（一）统计检验的涵义统计检验是先对总体参数提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程，是利用样本的实际资料检验事先对总体某些数量特征所做的假设是否可信的一种统计分析方法。
该推理方法有两个重要的特点：（1）用了反证法的思想。
（2）利用小概率事件在一次实验中基本不发生的原理。
（二）原假设与备择假设统计检验是从总体参数所做的一个假设开始的，假设一般包括两个部分：原假设H和备择假设1H。
（1）原假设H研究者想要收集证据予以反对的假设，原假设又称虚无假设或零假设，它常是根据已有的资料，或经过周密考虑后确定的。
一般来说，原假设建立的依据都是已有的、具有稳定性的，从经验看，不会被轻易否定的。
统计检验的目的，就在于作出决策：接受原假设还是拒绝原假设。
（2）备择假设H1研究者想要收集证据予以支持的假设，也称研究假设或者择一假设，即原假设被否定之后应选择的、与原假设逻辑对立的假设。
（三）统计检验中的两类错误如果原假设是正确的，由于样本的随机性，这时我们做出了拒绝原假设的决策，从而犯了错误。
这类错误称为第一类错误，也称弃真的错误。
犯第一类错误的概率就是显著性水平 。
如果原假设不正确时，同样由于样本随机性，使我们作出接受原假设的错误决策。
这类错误为第二类错误。
犯第二类错误的概率为β。
通常在检验一个假设H时，希望犯两类错误的概率都尽可能小，但当样本容量n固定时，这两者的要求往往是矛盾的. 因此需要建立适当的准则以权衡与协调二者的利害得失. 一般的做法是：先固定犯“第一类错误”的概率，再考虑如何减小犯“第二类错误”的概率.（四）显著性水平统计检验中运用的概率反证法原理，其理论依据是“小概率原理”，即小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的推断原理。
在进行统计检验时事先确定一个可允许的作为判断界限的小概率标准非常重要。
这个小概率标准就是统计检验中的显著性水平α（五）双尾检验与单尾检验（1）双尾检验备择假设没有特定的方向性，并含有符号“≠”的统计检验，称为双侧检验或双尾检验(double-tailed test) 。
样本统计量(检验统计量)的值过大或过小，都将导致拒绝原假设。
双尾检验中原假设的特点是，总体参数的假设值只取某一个数值。
（2）单尾检验备择假设具有特定的方向性，并含有符号“>”或“<”的统计检验，称为单侧检验或单尾检验(one-tailed test)。
备择假设的方向为“<”，称为左侧检验。
备择假设的方向为“>”，称为右侧检验。
双尾检验与单尾检验（六）统计检验的基本步骤（1）提出统计假设：原假设H和备择假设1H（2）选取检验统计量（3）规定显著性水平α（4）在显著性水平α下，构造拒绝域（5）根据样本观测值x1,x2,…,x n,计算检验统计量的观测值（6）做出判断：若检验统计的观测值落在拒绝域，则拒绝原假设H，反之，则接受原假设H。
了解以上关于统计检验的基本概念及统计检验步骤之后，本章分别从单总体和双总体的角度介绍了关于总体参数即均值和方差的假设检验以及总体比率p 的假设检验（一）单总体均值和方差的假设检验表5-1 单个正态总体均值的统计检验表5-2 单个正态总体方差的统计检验（1）22212σσσ==未知，统计检验H 0：21μμ=构造统计量为： )22(~n Sn Syx T 222121-+-=n t 如果两个总体的抽样数目不一致时，用上述类似方法可进行检验，只不过此时的统计量应为：)2(~)11(2)1()1(yx T 212221222111-++-+-+--=n n t n n n n Sn S n（二）未知期望21,μμ，统计检验H 0：2221σσ=构造统计量为：)1,1(~//2122222121--=n n F S S Y σσ表5-4 两个总体方差比的检验（1）单个总体比率p 的检验假定条件：总体服从二项分布可用正态分布来近似(大样本)检验的z 统计量：其中：π 0为假设的总体比率 检验方法总结如下：)10(~)1(000N np z πππ--=)1,0(~)1(000N n p z πππ--=（2）两个总体比率之差的检验假定条件：– 两个总体都服从二项分布– 可以用正态分布来近似检验统计量：检验H 0：π1-π2=0，检验H0：π1-π2=d 0，检验方法的总结如下：表5-8 两个总体比率的统计检验3.例题分析⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=212111)1(n n p p p p z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=212111)1(n n p p p p z 222111021)1()1()(n p p n p p d p p z -+---=222111021)1()1()(n p p n p p d p p z -+---=（1）某知名咖啡馆要求其下属所有连锁分店对咖啡浓度的区分度作统一规定，每杯咖啡的浓度值服从正态分布2(40,2)N .现在用新方法提高每杯咖啡的浓度,从中随机地抽取25杯,测得其浓度均值为41.25,x =问新方法是否显著提高了每杯咖啡的浓度值(取0.05α=)? 解:本题为单个正态总体方差已知时,对总体均值的检验问题,故采用Z 检验法. 依题意可设,总体均值为μ,我们所关心的是40μ>是否成立,故待检验假设为:0:40,H μ≤ 1:40.H μ> 选取检验统计量为: 40X Z -=当0H 为真时, (0,1).Z N对给定的0.05,α=由{}P Z z αα≥=查标准正态分布表可确定临界值为0.05 1.645,z z α==故拒绝域为 1.645.z ≥ 因为222,41.25,25,x n σ===故Z 的观察值为:3.125 1.645.z -==>得出结论:因为z 落在拒绝域内,故应拒绝0H ,从而接受1H , 即认为该方法对咖啡的浓度值有显著提高. （2）某批矿砂的5个样品中的镍含量,经测定未(%)3.25 3.27 3.24 3.26 3.24设测定总体服从正态分布,但参数未知.问在0.01α=下能否接受假设:这批矿的镍含量的均值为3.25.解:提出原假设和备择假设0: 3.25,H μ= 1: 3.25.H μ≠ 因为总体方差未知,故选取检验统计量为:t =当0H 为真时, (1).t t n - 对给定的0.01,α=5,n =由/2{||(1)}P t t n αα≥-=查标t 分布表可确定临界值为/20.005(1)(4) 4.6041,t n t α-==故拒绝域为|| 4.6041.t ≥ 再由样本观察值计算可得,5111(3.25 3.27 3.24 3.26 3.24) 3.252,55i i x x ===++++=∑0.013.s ==从而有||0.344.t ==得出结论:因为||0.344 4.6041,t =<t 未落在拒绝域内,故应接受0H ,即认为这批矿的镍含量的均值为3.25.（3）苹果公司在生产新款电脑时，对其中一个重要部件进行抽查，在正常条件下该部件的直径服从正态分布)048.0,(2μN . 某日在该批部件中抽取5个样品，测得其长度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 . （mm ）问这批部件的方差是否正常？试用%10=α作假设检验.（488.9)4(205.0=χ，711.0)4(295.0=χ，071.11)5(205.0=χ，145.1)5(295.0=χ） 解：要检验的假设为 221220048.0:,048.0:≠=σσH H检验用的统计量 )1(~)(2202512--=∑=n X Xi iχσχ，拒绝域为 222/20.05(1)(4)9.488n αχχχ>-== 或711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn41.1=x ， 488.9739.150023.0/0362.020>==χ, 落在拒绝域内，故拒绝原假设0H ，即认为这批部件方差不正常 .4.练习题 （一）填空题（1）、当原假设H 0为假而接受H 0时，假设检验所犯的错误称为_______。
（2）、当原假设H 0为真而拒绝H 0时，假设检验所犯的错误称为_______。
（3）、通常在检验一个假设0H 时，希望犯两类错误的概率都尽可能小，但当样本容量n 固定时，不能同时_______两类错误的犯错概率。
（4）、当样本容量n 固定时，在降低第一类错误的犯错概率的同时，_______降低第二类错误的犯错概率。
（5）、进行假设检验时，选取的统计量是_______的函数。
（6）、进行假设检验时，选取的统计量可以包含总体分布中的_______。
（7）、进行假设检验时，选取的统计量，其值可以由取定的_______计算出来。
（二）单项选择题（1）在假设检验中，设1H 为备择假设，犯第一类错误的情况为( ). A. 0H 为真，接受0H B. 0H 不真，接受0H C. 0H 为真，拒绝0H D.0H 不真，拒绝0H（2）在假设检验中，设1H 为备择假设，犯第二类错误的情况为( ). A.1H 为真，接受1H B.1H 不真，接受1H C.1H 为真，拒绝1H D.1H 不真，拒绝1H（3）对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设00μμ=：H ，则在显著水平a=0.01下，（ ） A. 必接受0H B. 可能接受，也可能拒绝0H C. 必拒绝0H D. 不接受，也不拒绝0H（4）对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，接受假设00μμ=：H ，则在显著水平a=0.01下，（ ）A. 必接受0HB. 可能接受，也可能拒绝0HC. 必拒绝0HD. 不接受，也不拒绝0H（5）对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.01下，接受假设00μμ=：H ，则在显著水平a=0.05下，（ ）A. 必接受0HB. 可能接受，也可能拒绝0HC. 必拒绝0HD. 不接受，也不拒绝0H（6）对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.01下，拒绝假设00μμ=：H ，则在显著水平a=0.05下，（ ）A. 必接受0HB. 可能接受，也可能拒绝0HC. 必拒绝0HD. 不接受，也不拒绝0H（7）在假设检验问题中，检验水平a的意义是（）A. 原假设H成立，经检验被拒绝的概率B. 原假设H成立，经检验不能拒绝的概率C.原假设H不成立，经检验被拒绝的概率D. 原假设H不成立，经检验不能拒绝的概率（8）小概率原理指小概率事件在一次实验中（）A. 基本不发生B. 一定不发生C. 一定发生D. 不一定发生（9）通常在检验一个假设H时，希望犯两类错误的概率都尽可能小，当样本容量n固定时，基本原则是（）A. 力求在控制第二类错误的犯错概率的前提下减少第一类错误的犯错概率B. 力求在控制第一类错误的犯错概率的前提下减少第二类错误的犯错概率C. 同时降低两类错误的犯错概率D. 同时增加两类错误的犯错概率（10）对一个正态总体均值作假设检验的时候，如果是大样本或者总体方差已知的情况下，构造统计量为（）A. u统计量B. t统计量C. F统计量D. 2 统计量（11）对一个正态总体均值作假设检验的时候，如果是小样本或者总体方差未知的情况下，构造统计量为（）A. u统计量B. t统计量C. F统计量D. 2 统计量（三）多项选择题（1 ）进行假设检验时，选取的统计量（）A. 是样本的函数B. 不能包含总体分布中的任何参数C. 可以包含总体分布中的已知参数D. 其值可以由取定的样本值计算出来（2）通常在检验一个假设H时，希望犯两类错误的概率都尽可能小，当样本容量n固定时，（）A. 不能同时降低两类错误的犯错概率B. 可以同时降低两类错误的犯错概率C. 在力求控制第一类错误的犯错概率的前提下，减少第二类错误的犯错概率D. 在力求控制第二类错误的犯错概率的前提下，减少第一类错误的犯错概率（3）统计检验的推理方法有两个特点，（）A. 运用了反证法的思想B. 运用了数学归纳法的思想C. 利用小概率事件在一次实验中基本不发生的原理D. 利用小概率事件在一次实验中一定发生的原理（4）构造一个适合的统计量，（）A.它必须与统计假设有关B.在原假设H成立的情况下，统计量的分布是已知的C. 它可以与统计假设无关D. 在原假设H成立的情况下，统计量的分布是未知的（5）做单个总体比率p的检验时，有哪些假定条件（）A.总体服从二项分布B.总体服从卡方分布C. 可用正态分布来近似（大样本）D. 可用F分布在近似（小样本）（6）统计检验的基本步骤包括（ ） A.提出假设 B.选取检验统计量 C. 规定显著性水平D. 在显著性水平下构造拒绝域E.根据样本观测值计算检验统计量的观测值F.做出判断（四）判断题（1）对任一假设检验，犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率之和为1。