概率论与数理统计练习题及答案
概率论与数理统计练习题(附答案)
练习题1、设随机变量)6.0,10(b ~X ，则22[()][(X)]D XE = ； 2、若随机变量X 的分布未知，但2,EX DX μσ==,则X 落在区间(2,2)μσμσ-+内的概率必不小于_________3、设ˆˆ(,......)12X X X n θθ=是未知参数θ的一个估计量，满足条件_________ 则称ˆθθ是的无偏估计。
4. 设X,Y 为随机变量，且D (X +Y )=7, D(X)=4, D(Y)=1，则相关系数XY ρ= 5. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且(1,2,,)=i X i n 都服从区间[0，1]上的均匀分布，则当n 充分大时，∑==ni i nn X Y 11近似服从（写出具体分布与参数）6．设(,)X Y 服从区域222:G x y R +≤上的均匀分布，其概率密度为：222(,)0Cx y R f x y ⎧+≤=⎨⎩其它，则C=（ ）；(A) 2R π ； (B)21R π； (C) R π2； (D) R π21。
7．设,......12X X X n 为相互独立的随机变量，且2(,())E X D X i iμσ==（1,2......i n =），11nX X i i n ∑==，则DX =（ ） (A)2nσ(B)2n σ (C)nσ(D)22n σ8．设一次试验中事件A 不发生的概率为p,独立重复n 次试验，A 发生了X 次则正确的是：（ ）(A) ()()21p p X E -= ； (B)()E X np = ；(C)(1)DX np p =- ； (D) 2DX p p =-。
9．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ）A ． X 与Y 独立； B. ()D X Y DX DY -=+； C ．()D X Y DX DY -=-； D. ()D XY DXDY =. 10. 任何一个连续型随机变量的概率密度)(x ϕ一定满足( )。
概率论与数理统计练习题集及答案
概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为 A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++ C 321321321A A A A A A A A A ++ D 321A A A2．掷两颗均匀的骰子,它们出现的点数之和等于8的概率为 A365 B 364 C 363 D 362 3．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则A )(1)(B P A P -= B )()()(B P A P AB P =C 1)(=+B A PD 1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-000)(2x x ce x f x ,则=EXA 21B1 C2 D 415．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是A +∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 B ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=001)(2x x x x x FC +∞<<∞-=-x e x F x ,)(3D +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为A )2(2y f X -B )2(y f X -C )2(21y f X -- D )2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=h A 81 B 83 C 41 D 318．设随机变量]5,1[~U X ,随机变量)4,2(~N Y ,且X 与Y 相互独立,则=-)2(Y XY EA3 B6 C10 D129．设X 与Y 为任意二个随机变量,方差均存在且为正,若EY EX EXY ⋅=,则下列结论不正确的是A X 与Y 相互独立B X 与Y 不相关C 0),cov(=Y XD DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A 6. D 7. D 8. C 9. A1．某人射击三次,以i A 表示事件“第i 次击中目标”,则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为 C A 321A A A ++ B 323121A A A A A A ++C 321321321A A A A A A A A A ++D 321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中,则未向前两个邮筒中投信的概率为 AA 2242B 2412C C C 24!2AD !4!23．设随机事件A 与B 互不相容,且0)(,0)(>>B P A P ,则 D A )()|(A P B A P = B )()()(B P A P AB P = C )()()|(B P A P B A P = D 0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ,则=EX AA 32B1 C 38 D316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-0)1()(x x e x A x F x,则=A B A0 B1 C2 D36．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ,令X Y 3-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为 DA )3(3y f X -B )3(y f X -C )3(31y f X --D )3(31y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hg p fe d x c b a x p y y y X Y Y j Xi 61818121321,且X 与Y 相互独立,则=e B A 81 B 41 C 83 D 318．设随机变量Y X ,相互独立,且)5.0,16(~b X ,Y 服从参数为9的泊松分布,则=+-)12(Y X D CA-14 B13 C40 D419．设),(Y X 为二维随机向量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D A X 与Y 相互独立 B EY EX Y X E +=+)( C DY DX DXY ⋅= D EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件,5.0)(=A P ,8.0)(=+B A P ,)1(若A 与B 互不相容,则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立,则)(B P = .2.一袋中装有10个球,其中4个黑球,6个白球,先后两次从袋中各取一球不放回.已知第一次取出的是黑球,则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==, ,2,1=k ,则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ,}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布,且3)(=X E ,34)(=X D ,则a = ,b = .7.设随机变量X ,Y 相互独立,且都服从参数为6.0的10-分布,则}{Y X P == .8.设X ,Y 是两个随机变量,2)(=X E ,20)(2=X E ,3)(=Y E ,34)(2=Y E ,5.0=XY ρ,则)(Y X D - = .答案：1. 3.0,6.02. 313. 414.41,435.5.46. 1,57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件,3.0)(=A P ,)()(B A P AB P =,则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码,破译成功的概率依次为,,,则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ,则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布,则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立,其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ,Y 是两个随机变量,)3,0(~2N X ,)4,1(~2N Y ,X 与Y 相互独立,则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立,且都服从0,1上的均匀分布,则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0,=)(X E 0)(=Y E ,=)(2X E 2)(2=Y E ,则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72.3.314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子,第一个箱子中有3个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子,再从这个箱子中任取1个球.1求取到的是白球的概率；2若已知取出的球是白球,求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ,事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作,假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中,若三部机器均无故障,则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障,则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障,则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润万元,则X 可能取5.0,1,2-,且512.08.0}2{3===X P ,384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ,104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E 万元四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解： 1 5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；2,,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ,求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数;二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件,他们生产的零件数之比为5:3:2. 已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为%2%,4%,3. 现从三人生产的零件中任取一个. )1(求该零件是次品的概率；)2(若已知该零件为次品,求它是由甲生产的概率.解：设事件321,,A A A 分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产,事件B 表示取到的零件是次品.1 028.0%2105%4103%3102)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P ；2 143028.0%32.0)()|()()()()|(1111=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P .三、设一袋中有6个球,分别编号1,2,3,4,5,6. 现从中任取2个球,用X 表示取到的两个球的最大编号. )1(求随机变量X 的概率分布；)2(求EX .解：X 可能取6,5,4,3,2,且6,5,4,3,2,1511}{26=-=-==k k C k k X P所以X 的概率分布表为3/115/45/115/215/165432P X且31415162=-⨯=∑=k k k EX .四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,020,10,),(y x x y x f .)1(求}1{≤+Y X P ；)2(求Y X ,的边缘密度,并判断X 与Y 的独立性.解：1 31),(}1{1020101====≤+⎰⎰⎰⎰⎰≤+dx x xdy dx dxdy y x f Y X P x y x ； 2,,020,21),()(,,010,2),()(1020⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y xdx dx y x f y f x x xdy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 服从区间]3,0[上的均匀分布,求随机变量13-=X Y 的密度函数.解法一：由题意知⎩⎨⎧≤≤=其它,030,3/1)(x x f X . Y 的分布函数为)31(}31{}13{}{)(+=+≤=≤-=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y , 两边对y 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+≤=+=其它即,0813310,91)31(31)(y y y f y f X Y 解法二：因为13-=x y 是30≤≤x 上单调连续函数,所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤+=≤=⨯==其它即,081,331)(0,913131|)(|))(()(y y y h dy y dh y h f y f X Y 注：31)(+==y y h x 为13-=x y 的反函数; 三、已知一批产品中有90%是合格品,检查产品质量时,一个合格品被误判为次品的概率为,一个次品被误判为合格品的概率是．求：1任意抽查一个产品,它被判为合格品的概率； 2一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率． 解：设=1A “确实为合格品”,=2A “确实为次品”, =B “判为合格品”1)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P += 859.004.01.095.09.0=⨯+⨯=29953.0)()|()()|(111==B P A B P A P B A P四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其他0),(yx e y x f y,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}1{<+Y X P ． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==-+∞-∞+∞-⎰⎰000000),()(x x ex x dy e dy y x f x f x x y X⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰00000),()(0y y yey y dx e dx y x f y f y y y Y 2)()(),(y f x f y x f Y X ≠ ∴ X 与Y 不独立 315.0210121}1{----+-==<+⎰⎰e e dxdy e Y X P xxy四、设二维连续型随机向量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<>=-其他10,02),(y x ye y x f x,求：1边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ；2判断X 与Y 是否相互独立,并说明理由； 3}{Y X P <． 解：1⎩⎨⎧≤>=⎪⎩⎪⎨⎧≤>==--∞+∞-⎰⎰0000002),()(10x x ex x dy ye dy y x f x f x x X⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰+∞-∞+∞-其他其他01020102),()(0y y y dx ye dx y x f y f x Y2)()(),(y f x f y x f Y X = ∴ X 与Y 独立 3142}{1101-==<--⎰⎰e dxdy ye Y X P x x一、单项选择题1. 对任何二事件A 和B,有=-)(B A P C .A. )()(B P A P -B. )()()(AB P B P A P +-C. )()(AB P A P -D. )()()(AB P B P A P -+ 2. 设A 、B 是两个随机事件,若当B 发生时A 必发生,则一定有 B . A. )()(A P AB P = B. )()(A P B A P =⋃ C. 1)/(=A B P D. )()/(A P B A P = 3. 甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次,命中率分别为0.5,0.8,则目标被击中的概率为 C 甲乙至少有一个击中A. 0.7B. 0.8C. 0.9D.0.854. 设随机变量X 的概率分布为则a,b 可以是 D 归一性. A. 4161==,b a B. 125121==,b a C. 152121==,b a D.3141==,b a 5. 设函数0.5,()0,a x bf x ≤≤⎧=⎨⎩其它 是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间],[b a 可以是 B 归一性.A. ]1,0[B. ]2,0[C. ]2,0[D. ]2,1[6. 设二维随机变量),(Y X 的分布律为则==}0{XY P D .A. 0.1B. 0.3C.D.7. 设随机变量X 服从二项分布),(p n B ,则有 D 期望和方差的性质.A. 12(-X E np 2)=B. 14)12(-=-np X EC. 1)1(4)12(--=-p np X DD. )1(4)12(p np X D -=- 8．已知随机变量(,)X B n p ,且 4.8, 1.92EX DX ==,则,n p 的值为 AA.8,0.6n p == B.6,0.8n p == C.16,0.3n p ==D.12,0.4n p == 9．设随机变量(1,4)XN ,则下式中不成立的是 BA. 1EX =B. 2DX =C. {1}0P X ==D.{1}0.5P X ≤=10. 设X 为随机变量,1,2=-=DX EX ,则)(2X E 的值为 A 方差的计算公式.A ．5 B. 1- C. 1 D. 311. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其它,010,)(x b ax x f ,且EX=0,则A 归一性和数学期望的定义.A. 6,4a b =-=B. 1,1a b =-=C. 6,1a b ==D.1,5a b ==12. 设随机变量X 服从参数为的指数分布,则下列各项中正确的是 A A. ()0.2,()0.04E X D X == B. ()5,()25E X D X == C. ()0.2,()4E X D X == D. ()2,()0.25E X D X == 13. 设(,)X Y 为二维连续型随机变量,则X 与Y 不相关的充分必要条件是 D .A. X 与Y 相互独立B.()()()E X Y E X E Y +=+C. ()()()E XY E X E Y =D. 221212(,)(,,,0)X Y N μμσσ 二、填空题1. 已知PA=,PA-B=,且A 与B 独立,则PB= .2. 设B A ,是两个事件,8.0)(,5.0)(=⋃=B A P A P ,当A, B 互不相容时,PB=；当A, B 相互独立时,PB=53 .3. 设在试验中事件A 发生的概率为p,现进行n 次重复独立试验,那么事件A 至少发生一次的概率为1(1)n p --.4. 一批产品共有8个正品和2个次品,不放回地抽取2次,则第2次才抽得次品的概率P =845. 5. 随机变量X 的分布函数Fx 是事件 PX )x ≤ 的概率.6. 若随机变量X ~ )0)(,(2>σσμN ,则X 的密度函数为 .7.设随机变量X 服从参数2=θ的指数分布,则X 的密度函数()f x = ； 分布函数Fx= .8. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,三个值,其相应的概率依次为125236,,c c c,则c = 2 归一性 . 9. 设随机变量X 的概率密度函数为2,01()0,x x f x λ⎧<<=⎨⎩其它,则λ＝ 3归一性 .10. 设随机变量X ～2(2,)N σ,且{23}0.3P X <<=,则{1}P X <=.22232{23}{}11()(0)0.3,(0)0.5()=0.821211{1}{}=()=1()=0.2X P X P X P X P σσσσσσσσσ---<<=<<=Φ-Φ=Φ=∴Φ--<=<Φ--Φ又，，11. 设随机变量X ～N1,4,φ=,φ=,则P{|X |﹥2}= .{||>2}1{||2}1{22}2112111{}1{1.50.5}22221((0.5)( 1.5)0.9332),( 1.5)0.06680.69150.06680.31(1.5)=1-{||>2}=1((0.5)( 1.5))=751)3(P X P X P X X X P P P X ==-≤=--≤≤-----=-≤≤=--≤≤=-Φ-Φ-Φ-=-Φ∴-Φ-Φ--=-又 12. 设随机变量X ~ ),(211σμN ,Y ~ ),(222σμN ,且X 与Y 相互独立,则X+Y ~221212(,)N μμσσ++ 分布.13. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差0DX >都存在,令DXEX X Y -=,则____0__=EY ；___1___=DY .14. 若X 服从区间0,2上的均匀分布,则2()E X ＝4/3 . 15. 若X ～(4,0.5)B ,则(23)D X -= 9 . 17. 设随机变量X 的概率密度23,01()0,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它,()_____E X =,()_____D X =.18. 设随机变量X 与Y 相互独立,1,3DX DY ==,则(321)D X Y -+=(3)(2)9()4()D X D Y D X D Y +=+=21 .三、计算题1. 设随机变量X 与Y 独立,X ～(1,1)N ,Y ～)2,2(2N ,且0.2XY ρ=,求随机变量函数23Z X Y =-的数学期望与方差. 四、证明题1. 设随机变量X 服从标准正态分布,即X ～)1,0(N ,2X Y =,证明：Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,21)(2y y e yy f y Y π .五、综合题1.设二维随机变量X,Y 的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,010,10,6),(2y x xy y x f ,求：1关于X,Y 的边缘密度函数；2判断X,Y 是否独立；3求{}P X Y >.。
概率论与数理统计练习题,概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计练习题一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
5. 设随机变量X 的概率密度是：⎩⎨⎧<<=其他103)(2x x x f ，且{}784.0=≥αX P ，则α=0.6 。
6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (Y )= 3/4 。
7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N(2, 13) 。
8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.7，P (A －B)=0.3，则=⋃)(B A P 0.6 。
9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则{}=<2X P 0.6247 。
10. 随机变量X 的概率密度函数1221)(-+-=x xe xf π，则E (X )= 1 。
11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,),(y x xy y x f ，则E (X )= 4/3 。
12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.6, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 0.4 。
13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数644261)(+--=x x ex f π，则μ= 2 。
概率论与数理统计习题（含解答,答案）
概率论与数理统计习题（含解答,答案）概率论与数理统计复习题（1）⼀．填空.1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独⽴，则=-)(B A P ；若已知B A ,中⾄少有⼀个事件发⽣的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σµN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥==>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独⽴，则=-<-<-}12{Y X P （⽤Φ表⽰），=XY ρ。
8．已知X 的期望为5，⽽均⽅差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1?θ和2?θ均是未知参数θ的⽆偏估计量，且)?()?(2221θθE E >，则其中的统计量更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信⽔平愈愈好，⽽置信区间的长度愈愈好。
但当增⼤置信⽔平时，则相应的置信区间长度总是。
⼆．假设某地区位于甲、⼄两河流的汇合处，当任⼀河流泛滥时，该地区即遭受⽔灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；⼄河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，⼄河流泛滥的概率为0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受⽔灾的概率；（2）当⼄河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
三．⾼射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独⽴），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，⼜知若敌机中⼀弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。
概率论与数理统计练习题集及答案
概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题：1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为（ ）（A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ （C ）321321321A A A A A A A A A ++ （D ）321A A A2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为（ ） （A ）365 （B ）364 （C ）363 （D ）3623．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则（ ）（A ）)(1)(B P A P -= （B ）)()()(B P A P AB P = （C ）1)(=+B A P （D ）1)(=AB P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=-00)(2x x ce x f x ，则=EX （ ）（A ）21（B ）1 （C ）2 （D ）41 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（ ）（A ）+∞<<∞-+=x x x F ,11)(21 （B ）⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0001)(2x x x x x F（C ）+∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 （D ）+∞<<∞-+=x x x F ,arctan 2143)(4π6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ ）（A ）)2(2y f X - （B ）)2(y f X - （C ）)2(21y f X -- （D ）)2(21y f X -7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hgp fe d x c b a x p y y y X Y Y jXi 61818121321，且X 与Y 相互独立，则=h （ ） （A ）81（B ）83 （C ）41 （D ）31 8．设随机变量]5,1[~U X ，随机变量)4,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则=-)2(Y XY E （ ）（A ）3 （B ）6 （C ）10 （D ）129．设X 与Y 为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若EY EX EXY ⋅=，则下列结论不正确的是（ ）（A ）X 与Y 相互独立 （B ）X 与Y 不相关 （C ）0),cov(=Y X （D ）DY DX Y X D +=+)(答案：1. B2. A3.D4.A5.B6. D7. D8. C9. A1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（ C ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++（C ）321321321A A A A A A A A A ++ （D ）321A A A2．将两封信随机地投入4个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率为（ A ）（A ）2242 （B ）2412C C （C ）24!2A （D ）!4!23．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则（ D ） （A ）)()|(A P B A P = （B ）)()()(B P A P AB P = （C ）)()()|(B P A P B A P = （D ）0)|(=B A P4．随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其他),0(2)(a x x x f ，则=EX （ A ）（A ）32（B ）1 （C ）38 （D ）316 5．随机变量X 的分布函数⎩⎨⎧≤>+-=-00)1()(x x e x A x F x，则=A （ B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 3-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为（ D ）（A ）)3(3y f X - （B ）)3(y f X - （C ）)3(31y f X -- （D ）)3(31y f X - 7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表hgp f e d x c b a x p y y y X Y Y jXi 61818121321，且X 与Y 相互独立，则=e （ B ） （A ）81（B ）41 （C ）83 （D ）31 8．设随机变量Y X ,相互独立，且)5.0,16(~b X ，Y 服从参数为9的泊松分布，则=+-)12(Y X D （ C ）（A ）-14 （B ）13 （C ）40 （D ）41 9．设),(Y X 为二维随机向量，则X 与Y 不相关的充分必要条件是（ D ） （A ）X 与Y 相互独立 （B ）EY EX Y X E +=+)( （C ）DY DX DXY ⋅= （D ）EY EX EXY ⋅= 一、填空题1.设A ,B 是两个随机事件，5.0)(=A P ，8.0)(=+B A P ，)1(若A 与B 互不相容，则)(B P = ；)2(若A 与B 相互独立，则)(B P = .2.一袋中装有10个球，其中4个黑球，6个白球，先后两次从袋中各取一球（不放回）.已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的仍是黑球的概率为 .3.设离散型随机变量X 的概率分布为}{k a k X P 3==，Λ,2,1=k ，则常数=a .4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,0,0)(2x x ax x x F则常数=a ，}31{<<X P = . 5.设随机变量X 的概率分布为则)33(2+X E = .6.如果随机变量X 服从],[b a 上的均匀分布，且3)(=X E ，34)(=X D ，则a = ，b = .7.设随机变量X ，Y 相互独立，且都服从参数为6.0的10-分布，则}{Y X P == .8.设X ，Y 是两个随机变量，2)(=X E ，20)(2=X E ， 3)(=Y E ，34)(2=Y E ，5.0=XY ρ，则)(Y X D - = . 答案：1. 3.0，6.02. 313. 414.41，435.5.46. 1，57. 0.52 8. 211.设A ,B 是两个随机事件，3.0)(=A P ，)()(B A P AB P =，则)(B P = .2.甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某一个密码，破译成功的概率依次为0.8，0.7，0.6，则密码能译出的概率为 .3.设随机变量X 的概率分布为,5,4,3,2,1,15}{===k kk X P 则}31123{<<X P = . 4.设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x x x F ，则=<}6{πX P .5.设随机变量X 服从]3,1[上的均匀分布，则X1的数学期望为 .6.设随机变量21,X X 相互独立，其概率分布分别为则}{21X X P == .7.设X ，Y 是两个随机变量，)3,0(~2N X ，)4,1(~2N Y ，X 与Y 相互独立，则~Y X + .8.设随机变量21,X X 相互独立，且都服从[0,1]上的均匀分布，则=-)3(21X X D .9.设随机变量X 和Y 的相关系数为5.0，=)(X E 0)(=Y E ，=)(2X E 2)(2=Y E ，则2)(Y X E + = . 答案：1. 0.72. 0.9763. 314. 0.55. 3ln 216. 957. )5,1(2N8. 659. 6二、有三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球. 现随机地选取一个箱子，再从这个箱子中任取1个球.（1）求取到的是白球的概率；（2）若已知取出的球是白球，求它属于第二个箱子的概率.解：设事件i A 表示该球取自第i 个箱子)3,2,1(=i ，事件B 表示取到白球.2411853163314131)|()()(31=⨯+⨯+⨯==∑=i i i A B P A P B P114)()|()()()()|(241163312222=⨯===B P A B P A P B P B A P B A P三、某厂现有三部机器在独立地工作，假设每部机器在一天内发生故障的概率都是2.0. 在一天中，若三部机器均无故障，则该厂可获取利润2万元；若只有一部机器发生故障，则该厂仍可获取利润1万元；若有两部或三部机器发生故障，则该厂就要亏损5.0万元. 求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X 表示该厂一天所获的利润（万元），则X 可能取5.0,1,2-，且512.08.0}2{3===X P ，384.08.02.0}1{213=⨯⨯==C X P ，104.0384.0512.01}5.0{=--=-=X P .所以356.1104.0)5.0(384.01512.02)(=⨯-+⨯+⨯=X E （万元）四、设随机向量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,10,4),(y x xy y x f .)1(求}{Y X P <；)2(求Y X ,的边缘密度，并判断X 与Y 的独立性.解： (1)5.0)1(24),(}{102110=-===<⎰⎰⎰⎰⎰<dx x x xydy dx dxdy y x f Y X P x yx ；(2),,010,24),()(,,010,24),()(1010⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎪⎩⎪⎨⎧≤≤===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-其它其它y y xydx dx y x f y f x x xydy dy y x f x f Y X由),()()(y x f y f x f Y X =知随机变量Y X ,相互独立.五、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤=其它,010,3)(2x x x f X ，求随机变量12+=X Y 的密度函数.解法一：Y 的分布函数为)21(}21{}12{}{)(-=-≤=≤+=≤=y F y X P y X P y Y P y F X Y ，两边对y 求导，得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≤-=-=-=其它即,0311210,)1(83)21(23)21(21)(22y y y y y f y f X Y解法二：因为12+=x y 是10≤≤x 上单调连续函数，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-=≤-=⨯-==其它即,031121)(0,)21(2321)21(3|)(|))(()(22y y y h y y dy y dh y h f y f X Y注：21)(-==y y h x 为12+=x y 的反函数。
(完整版)概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率论与数理统计总习题及答案
试题一、填空1、设P(A)=0.4,P(AUB)=0.7,A与B不相容，则P(B)=0.3 解：由公式,P(AUB)= P(A)+ P(B)所以P(B)= 0.7-0.4=0.32、若X~B(n,p),则X的数学期望E(X)= n*p解：定义：二项分布E(X)= n*p D(X)=n*p(1-p)3、甲盒中有红球4个，黑球2个，白球2个；乙盒中有红球5个，黑球3个；丙盒中有黑球2个，白球2个。
从这3个盒子中任取1个盒子，再从中任取1球，他是红球的概率0.375解：设甲为A1,乙为A2，丙为A3，红球为B则P(B)=P(A1)P(B| A1)+P(A2)P(B| A2)+P(A3)P(B| A3)=1/3*1/2+1/3*5/8+1/3*0=0.3754、若随机变量X的分布函数为f(x)={0,x<0√x,0≤x<1 1, x≥1则P{0.25<X≤1}=0.5解：分布函数求其区间概率即右端点函数值减去左端点函数值F (1)-F (0.25) = 1-0.5=0.55、设（X1,X2,…X n）为取自正态分布，总体X~N(μ,σ2),的样本，则X的分布为N(μ,σ2n )解：定义6、设ABC表示三个随机变量事件，ABC至少有一个发生，可表示为AUBUC解：至少；如果是一切发生为A∩B∩C7、设X为连续随机变量，C是一个常数，则P{X=C}=0 解：取常数，取一个点时，恒定为08、一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中1次的概率为80/81，则该射击的命中率为2/3解:射击，即伯努利试验。
求P(X=0)=Cn0p0(1−p)4=1−80/81(1−p)4=181,1−p=13,p=239、设X~N(−1，2)，Y~N(1,3)且X与Y相互独立，则X+ 2Y~N(1,14)解：因为X与Y相互独立，再由正态分布得E(X)=-1,D(X)=2;E(Y)=1,D（Y）=3;所以E(X+2Y)=E(X)+2E(Y)=-1+2*1=1D(x+2Y)=D(X)+4D(Y)=2+4*3=14所以X+2Y~N(1,14)10、设随机变量X的方差为2.5，利用切比雪夫不等式估计概率得P{|X−E(X)|≥7.5}≤ 2.57.52解：由切比雪夫不等式P{|X−μ|≥ε}≤σ2ε2≤ 2.57.52二、 计算1、 从0，1，2，…9中任意取出3个不同的数字，求下列的概率。
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概率论与数理统计习题一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2<x<4}=＿＿＿ (A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.2543 2．设)4,1(~N X ，且6179.0)3.0(=Φ，6915.0)5.0(=Φ，则P{0<x<1.6}=＿＿＿＿ (A)0.3094 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.25433．设随机变量的概率密度21()01qxx f x x -⎧>=⎨≤⎩，则q=＿＿＿＿＿ (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/24．事件A ，B 为对立事件，则＿＿＿＿＿不成立。
(A) ()0P AB = (B) ()P B A φ= (C) ()1P A B = (D) ()1P A B += 5．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为＿＿＿＿(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 6．设(|)1P B A = ，则下列命题成立的是＿＿＿＿＿A ．B A ⊂ B ． A B ⊂ Ｃ.A B -=Φ Ｄ．0)(=-B A P7．设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的是＿＿＿＿＿A ． 0()1F x ≤≤B ．0()1f x ≤≤ Ｃ．{}()P X x F x ==Ｄ．{}()P Xx f x ==8．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿Ａ．4114i i X X ==∑ Ｂ．142X X μ+- Ｃ．42211()ii K XX σ==-∑Ｄ．4211()3i i S X X ==-∑9．设,A B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是＿＿＿＿＿ A ．()()P A B P A += B ．()()P AB P A =Ｃ. ()()|P B A P B = Ｄ． ()()()P B A P B P A -=- 10. 设()2~,,X N μσ那么当σ增大时，{}-P X μσ<=A ．增大B ．减少C ．不变D ．增减不定11． 设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==⎡⎤⎣⎦分布且则＿＿＿ Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 12．设 ()2~,X Nμσ，其中μ已知,2σ未知,123X , X ,X ,为其样本， 下列各项不是统计量的是＿＿＿＿Ａ. 123X X X ++ Ｂ. {}123min X ,X ,X Ｃ.23i 2i 1X σ=∑ Ｄ．1X μ-13.对于事件,A B ，下列命题正确的是＿＿＿＿＿ A ．若,A B 互不相容，则.A 与B 也互不相容B ．若,A B 相容，则.A 与B 也相容Ｃ．若,A B 互不相容，则.A 与B 也相互独立 Ｄ．若A 与B 相互独立, 那么.A 与B 相互独立14.假设随机变量Ｘ的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ．若Ｘ与－Ｘ有相同的分布函数，则下列各式中正确的是＿＿＿＿＿A ．()F x ＝()F x -；B ．()F x ＝()F x --；C ．()f x ＝()f x -；D ．()f x ＝()f x --； 15若()~X t n ，那么2~X ＿＿＿＿A . (1,)F n ； Ｂ.(,1)F n ； Ｃ. 2()n χ； Ｄ. ()t n ．二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中）1．设随机变量X 的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f 则{}0.4P X >=2．设有7件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 3．设AB φ=，()0.3,()0.4,P A P B ==则=⋃)(B A P4．设2~(,)X N μσ~X5 .设A 、B 、C 、是三个随机事件。
用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 至少有一个发生”6．已知()2~2,0.4,X N -则()23E X +=7.设A 、B 、C 、是三个随机事件。
用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 恰有一个发生”8. 设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)kp X k A k == =则A=9．向指定目标连续射击3枪, 设i A ={第i 枪击中目标}(1,2,3)i =, 则用i A 表示事件 三枪都击中目标10．某个家庭有两个小孩，至少有一个女孩的概率(设男女出生率相同)是 11.一批产品中有8件正品2件次品, 从中任取两件, 取得一件正品一件次品的概率是 .12. 若随机变量X 只取数值0和1，其概率分布为：则p=13. 设随机变量X 概率分布为：当0<x 时，()F x =14. 设随机变量X 概率分布为：当() 4.5E X =时，a=15. 设二维随机变量)(Y X ，的联合分布列为如果X 与Y 相互独立, 则α= , β= .三、计算题1．设连续型随机变量X 的密度为 ⎩⎨⎧≤>=-.0,00,B )(5x x e x f x(1)确定常数B (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x).2．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的40％，35％，25％，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。
现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？3．设连续型随机变量X 的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=其它,010,101,1)(x x x x x f ，求E(x),D(x)4. 有两个口袋，甲袋中盛有2个白球，1个黑球；乙袋中盛有1个白球，2个黑球。
由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球，问取得白球的概率是多少?5.设随机变量X 服从指数分布，其概率密度为-1,(,)0,x e f x y θθ⎧⎪=⎨⎪⎩x>0x 0≤，其中θ>0，求D(X)，E(X)。
6.设12n X ,X ,X ⋯,为总体X 的一个样本，X 的密度函数()1x ,0x 1f x 0,ββ-⎧<<=⎨⎩其他，0β>.求参数β的矩估计量和极大似然估计量。
7. 设2~(,)X N μσ，2,μσ为未知参数，12,,,n x x x 是来自X 的一个样本值，求2,μσ的最大似然估计量。
8. 一袋中有5个红球6个白球,从中任取2球,发现它们是同一种颜色,求这2个球是白球的概率.9. 一袋中有6个红球,8个白球,采用取后不放回的方式取球,每次取一个,求 (1)第2次才取到白球的概率；(2)如果取到一个白球就停止取球，在2次内取到白球的概率.10.A系与B系举行篮球、排球、足球比赛，篮球赛A胜B的概率为0.8，排球赛A胜B的概率为0.4，足球赛A胜B的概率为0.4，若在三项比赛中至少胜两项才算获胜，试计算哪个系获胜的概率较大．11. 假设每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 将100人的血清混合在一起，求此中含有肝炎病毒的概率．12.某车间有5台不同类型的机器, 调查表明每台机器在1小时内平均有6分钟被使用,若各机器工作是相互独立的,问在同一单位时间内:(1)恰好有2台机器被使用的概率是多少；(2)至少有1台机器被使用的概率是多少；(3) 至多有3台机器被使用的概率是多少．13.一盒子中有5张卡片, 编号为1, 2, 3, 4, 5, 在盒子中任取3张卡片, 设取出的3张卡片中最大的号码为X, 求X的分布列．14. 设)(YX，的联合分布列为求)(YX，关于X, Y的边缘分布列．15. 盒子里有2个黑球、2个红球、2个白球，在其中任取2个球，以X表示取得的黑球的个数，以Y表示取得的红球的个数．求:(1)(,)X Y的联合分布列；(2)事件}{1≤+YX的概率．概率论与数理统计习题 参考答案一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）（1）A （2）A （3）B （4）B （5）A（6）D （7）A （8）C （9）A （10）C （11）A （12）C （13）D （14）C （15）A二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中）（1）0.6 （2）1/7 （3）0.7 （4）N(0,1) （5） A B C （6）1.16 （7）ABCABCABC （8）1/5 （9）123AA A （10）0.75(11) 0.36 (12) 0.33 (13) 0 (14) 7 (15) 1/4 , 1/12 三、计算题1、解 (1)0501()0B B 15x x dx dx e dx ϕ+∞+∞--∞-∞=+==⎰⎰⎰故B=5 。
(2).3679.05)2.0(12.05≈==>-+∞-⎰e dx e P x ξ(3)当x<0时,F(x)=0; 当0≥x 时，xx xx e dx e dx dx x x F 500515)()(-∞-∞---=+==⎰⎰⎰ϕ故⎩⎨⎧<≥-=-00,,01)(5x x ex F x. 2、解 由全概率公式31255354402()()()100100100100100100i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯∑ 0.0345=3、解⎰⎰--++=011)1()1(dx x x dx x x EX =0⎰⎰--++=1011222)1()1(dx x x dx x x EX =61 61)(22=-=EX EX DX4. 解：设取得白球事件为A ，则由全概率公式 P(A)=2/3×2/4+1/3×1/4=5/125. 解E(X)=x1x e dx θθθ∞-=⎰E(X 2)=x221xedx 2θθθ∞-=⎰D(X)= E(Xw2)-[E(X)]2=θ26. 解()1101E X x x dx ββββ-==+⎰由()1X E X ββ==+知矩估计量为ˆ1X Xβ=- ()11,010,n n ii i x x L βββ-=⎧<<⎪=⎨⎪⎩∏其它 ()()1ln ln 1ln ni i L n x βββ==+-∑()1ln 0ln ni i L n x βββ=∂==+∂∑故极大似然估计量为 1ln nii nXβ=-=∑7. 解()22/22/2222111,()](2)()exp[()]22nn n i i i L x x μσμπσμσσ--==--=--1分故极大似然估计量为 2211ˆˆ,()n i i X X X n μσ===-∑ 8. 解 设A ={取到2个同颜色的球},B ={取到2个白球}, 则113)(21126==C C B P ,11652116()1()111C C P A P A C =-=-=,又A B ⊂,所以求概率为()()1(|)()()2P AB P B P B A P A P A === 9. 解 (1)设)2,1( }{==i i A i 次取到白球第,{第2次才取到白球}21A A =,由乘法公()()22121222221ln ,1[]00ln ln ,1()02()2ni ni i ni i i L x n x L n x μσμμσβμσμσσσ===⎧∂⎪=-=∂⎪==+⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑∑式得, 9124138146)|()()(12121=⨯==A A P A P A A P . (2){2次内取到白球}=211A A A ,由于1A 与21A A 互不相容,所以91769124148)()()(211211=+=+=A A P A P A A A P .10. 设=A {A 系获胜 }，=1A {A 系篮球获胜}，=2A {A 系排球获胜}，=3A {A 系足球获胜}，可以认为1A ,2A ,3A 相互独立，则A 系获胜的概率为)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P A P +++=)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++= 544.0=.而456.0)(1)(=-=A P B P ，故A 系获胜的概率较大.11. 解 设i A ={第i 个人的血清中含有肝炎病毒})100,,2,1( =i ,显然,n A A A ,,,21 相互独立,所求事件的概率为=)(21n A A A P )()()(110021A P A P A P -.3302.0)996.0(1100=-=12. 解 设同一单位时间内被使用机器的台数为X , 由题意得, 在同一单位时间内每台机器被使用的概率是0.1, 显然)1.0 ,5(~B X , 则(1)0729.0)9.0()1.0(}2{3225===C X P ．(2)40951.0)9.0(1)9.0()1.0(1)1(1}1{55005=-=-=<-=≥C X P X P ．(3) 99954.0)9.0()1.0(}3{355==≤∑=-k k k kCX P ．13. 解 随机变量X 的可能取值为3, 4, 5, 且1011}3{35===C X P , 103}4{3523===C C X P , 106}5{3524===C C X P因此分布列为。