概率论与数理统计练习题及答案

概率论与数理统计习题

一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2

3．设随机变量的概率密度2

1()0

1qx

x f x x -?>=?

≤?，则q=＿＿＿＿＿ (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2

4．事件A ，B 为对立事件，则＿＿＿＿＿不成立。

(A) ()0P AB = (B) ()P B A φ= (C) ()1P A B = (D) ()1P A B += 5．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为＿＿＿＿

(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 6．设(|)1P B A = ，则下列命题成立的是＿＿＿＿＿

A ．

B A ? B ． A B ? Ｃ.A B -=Φ Ｄ．0)(=-B A P

7．设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的

是＿＿＿＿＿

A ． 0()1F x ≤≤

B ．0()1f x ≤≤ Ｃ．{}()P X x F x ==

Ｄ．{}()P X

x f x ==

8．设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是

统计量的是＿＿＿＿

Ａ．4114i i X X ==∑ Ｂ．142X X μ+- Ｃ．4

22

1

1

()i

i K X

X σ==-∑

Ｄ．4

2

1

1()3i i S X X ==-∑

9．设,A B 为两随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是＿＿＿＿＿ A ．

()()P A B P A += B ．()()P AB P A =

Ｃ. ()()|P B A P B = Ｄ． ()()()P B A P B P A -=- 10. 设

()2~,,X N μσ那么当σ增大时，{}-P X μσ<=

A ．增大

B ．减少

C ．不变

D ．增减不定

11． 设()()

()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==????分布且则＿＿＿ Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 12．设 ()

2

~,X N

μσ，其中μ已知,2

σ未知,123X , X ,X ,为其样本， 下列各项不是统

计量的是＿＿＿＿

Ａ. 123X X X ++ Ｂ. {}123min X ,X ,X Ｃ.

2

3

i 2

i 1

X σ

=∑ Ｄ．1X μ-

13.对于事件,A B ，下列命题正确的是＿＿＿＿＿ A ．若,A B 互不相容，则.A 与B 也互不相容

B ．若,A B 相容，则.A 与B 也相容

Ｃ．若,A B 互不相容，则.A 与B 也相互独立 Ｄ．若A 与B 相互独立, 那么.A 与B 相互独立

14.假设随机变量Ｘ的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ．若Ｘ与－Ｘ有相同的分布函数，则下列各式中正确的是＿＿＿＿＿

A ．()F x ＝()F x -；

B ．()F x ＝()F x --；

C ．()f x ＝()f x -；

D ．()f x ＝()f x --； 15若()~X t n ，那么2

~X ＿＿＿＿

A . (1,)F n ； Ｂ.(,1)F n ； Ｃ. 2

()n χ； Ｄ. ()t n ．

二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中）

1．设随机变量X 的概率密度??

?≤≤=其它

,

010,

1)(x x f 则{}0.4P X >=

2．设有7件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 3．设AB φ=，()0.3,()0.4,P A P B ==则=?)(B A P

4．设2~(,)X N μσ，则

~X n

μ

σ-

5 .设A 、B 、C 、是三个随机事件。用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 至少有一个发生”

6．已知()

2~2,0.4,X N -则()2

3E X +=

7.设A 、B 、C 、是三个随机事件。用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 恰有一个发生”

8. 设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k

p X k A k == =则A=

9．向指定目标连续射击3枪, 设i A ={第i 枪击中目标}(1,2,3)i =, 则用i A 表示事件 三枪都击中目标

10．某个家庭有两个小孩，至少有一个女孩的概率(设男女出生率相同)是 11.一批产品中有8件正品2件次品, 从中任取两件, 取得一件正品一件次品的概率是 .

12. 若随机变量X 只取数值0和1，其概率分布为：

X 0 1

P

2 p p

则p=

13. 设随机变量X 概率分布为：

X 0 1 2 P

0.1 0.6 0.3

当0

()F x =

14. 设随机变量X 概率分布为：

X 2 4 a P

0.2 0.5 0.3

当() 4.5E X =时，a=

15. 设二维随机变量)(Y X ，的联合分布列为

如果X 与Y 相互独立, 则α= , β= .

三、计算题

1．设连续型随机变量X 的密度为 ???≤>=-.0,

00

,B )(5x x e x f x

(1)确定常数B (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x).

2．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的40％，

35％，25％，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？

3．设连续型随机变量X 的概率密度??

?

??≤≤-<≤-+=其它,01

0,101,1)(x x x x x f ，

求E(x),D(x)

4. 有两个口袋，甲袋中盛有2个白球，1个黑球；乙袋中盛有1个白球，2个黑球。由甲

袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋任取一球，问取得白球的概率是多少?

5.设随机变量X 服从指数分布，其概率密度为-1,(,)0,

x e f x y θ

θ??=???x>0

x 0≤，其中θ>0，

求D(X)，E(X)。

6.设12n X ,X ,X ?,为总体X 的一个样本，X 的密度函数()1x ,0x 1

f x 0,

ββ-?<<=??其他，

0β>.求参数β的矩估计量和极大似然估计量。

7. 设2~(,)X N μσ，2,μσ为未知参数，12,,,n x x x 是来自X 的一个样本值，求2

,μσ的

最大似然估计量。

8. 一袋中有5个红球6个白球,从中任取2球,发现它们是同一种颜色,求这2个球是白球的概率.

9. 一袋中有6个红球,8个白球,采用取后不放回的方式取球,每次取一个,求 (1)

第2次才取到白球的概率；

Y X

1 2 3

41 61

12

1 1

α

6

1

β

(2)如果取到一个白球就停止取球，在2次内取到白球的概率.

10.A系与B系举行篮球、排球、足球比赛，篮球赛A胜B的概率为0.8，排球赛A胜B 的概率为0.4，足球赛A胜B的概率为0.4，若在三项比赛中至少胜两项才算获胜，试计算

哪个系获胜的概率较大．

11. 假设每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 将100人的血清混合在一起，求此中含有肝炎病毒的概率．

12.某车间有5台不同类型的机器, 调查表明每台机器在1小时内平均有6分钟被使用,若各机器工作是相互独立的,问在同一单位时间内:

(1)恰好有2台机器被使用的概率是多少；

(2)至少有1台机器被使用的概率是多少；

(3) 至多有3台机器被使用的概率是多少．

13.一盒子中有5张卡片, 编号为1, 2, 3, 4, 5, 在盒子中任取3张卡片, 设取出的3张卡片中最大的号码为X, 求X的分布列．

14. 设)

(Y

X，的联合分布列为

Y

X

0 1 2

0 0.150.300.35

1 0.050.120.03

求)

(Y

X，关于X, Y的边缘分布列．

15. 盒子里有2个黑球、2个红球、2个白球，在其中任取2个球，以X表示取得的黑球的个数，以Y表示取得的红球的个数．求:

(1)(,)

X Y的联合分布列；

(2)事件

}

{1≤

+Y

X的概率．

概率论与数理统计习题 参考答案

一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

（1）A （2）A （3）B （4）B （5）A

（6）D （7）A （8）C （9）A （10）C （11）A （12）C （13）D （14）C （15）A

二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中）

（1）0.6 （2）1/7 （3）0.7 （4）N(0,1) （5） A B C （6）1.16 （7）ABC

ABC

ABC （8）1/5 （9）1

23A

A A （10）0.75

(11) 0.36 (12) 0.33 (13) 0 (14) 7 (15) 1/4 , 1/12 三、计算题

1、解 (1)0

501

()0B B 15x x dx dx e dx ?+∞

+∞

--∞-∞=+==???

故B=5 。

(2).3679.05)2.0(12

.05≈==>-+∞

-?e dx e P x ξ

(3)当x<0时,F(x)=0; 当0≥x 时，x

x x

x e dx e dx dx x x F 500

515)()(-∞

-∞

---=+==????

故???<≥-=-0

0,,01)(5x x e

x F x

. 2、解 由全概率公式

3

1

255354402()()()100100100100100100i i i P A P B P A B ===

?+?+?

∑ 0.0345=

3、解??--++=0

1

1

)1()1(dx x x dx x x EX =0

??--++=1

01

1

22

2

)1()1(dx x x dx x x EX =

61 6

1)(2

2=-=EX EX DX

4. 解：设取得白球事件为A ，则由全概率公式 P(A)=2/3×2/4+1/3×1/4=5/12

5. 解E(X)=

x

1x e dx θθ

θ

∞

-=?

E(X 2

)=

x

2

2

1

x

e

dx 2θ

θθ

∞

-=?

D(X)= E(Xw2)-[E(X)]2=θ2

6. 解()1

10

1

E X x x dx ββββ-=

=

+?

由()1X E X β

β==

+知矩估计量为?1X X

β

=- ()1

1,01

0,n n i

i i x x L βββ-=?<

∏其它 ()()1ln ln 1ln n

i i L n x βββ==+-∑

()1

ln 0ln n

i i L n x βββ=?==+?∑

故极大似然估计量为 1

ln n

i

i n

X

β=-=

∑

7. 解()2

2/22/22221

111

,exp[()](2)()exp[()]222n

n n i i i L x x μσ

μπσμσσπσ

--==--=--∏

1分

故极大似然估计量为 2

21

1??,()n i i X X X n μ

σ===-∑ 8. 解 设A ={取到2个同颜色的球},B ={取到2个白球}, 则

11

3)(21126==C C B P ,11652116

()1()111C C P A P A C =-=-=,又A B ?,所以求概率为

()()1

(|)()()2

P AB P B P B A P A P A =

== 9. 解 (1)设)2,1( }{==i i A i 次取到白球第,{第2次才取到白球}21A A =,由乘法公

()()22121

2222

21ln ,1[]00ln ln ,1()02()2n

i n

i i n

i i i L x n x L n x μσμμσβμσμσσσ===???=-=??

==+?

??=-+-=???∑∑∑

式得, 91

24138146)|()()(12121=?=

=A A P A P A A P . (2){2次内取到白球}=2

11A A A ,由于1A 与21A A 互不相容,所以

91

769124148)()()(211211=+=

+=A A P A P A A A P .

10. 设=A {A 系获胜 }，=1A {A 系篮球获胜}，=2A {A 系排球获胜}，=3A {A 系足球获胜}，可以认为1A ,2A ,3A 相互独立，则A 系获胜的概率为

)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P A P +++=

)

()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++= 544.0=.

而456.0)(1)(=-=A P B P ，故A 系获胜的概率较大.

11. 解 设i A ={第i 个人的血清中含有肝炎病毒})100,,2,1( =i ,显然,

n A A A ,,,21 相互独立,所求事件的概率为

=)(21n A A A P )()()(110021A P A P A P -

.3302.0)996.0(1100=-=

12. 解 设同一单位时间内被使用机器的台数为X , 由题意得, 在同一单位时间内每台机器被使用的概率是0.1, 显然)1.0 ,5(~B X , 则

(1)0729.0)9.0()1.0(}2{3225===C X P ．

(2)40951.0)9.0(1)9.0()1.0(1)1(1}1{55005=-=-=<-=≥C X P X P ．

(3) 99954.0)9.0()1.0(}3{3

55

==

≤∑=-k k k k

C

X P ．

13. 解 随机变量X 的可能取值为3, 4, 5, 且

1011}3{35===C X P , 103}4{3523===C C X P , 106}5{35

2

4===C C X P 因此分布列为

X 3 4 5

P

10

1

10

3

10

6