概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度.解所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}（2）S= {(x, y)| x2+y2<1}（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10}（4）S= {v |v>0}2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）A发生，B和C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；（4）A、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生.解所求的事件表示如下3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB表示什么？（2）在什么条件下ABC=C成立？⊂是正确的？（3）在什么条件下关系式C B（4）在什么条件下A B=成立？解所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员.（2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立.⊂是正确的.（3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立.4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = ,所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = .5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝14，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)=18求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,⊂=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC)6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：A ＝{两球颜色相同}，B ＝{两球颜色不同}.解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为22ab A A +，有利于B 的事件数为1111112ab b a a b A A A A A A +=, 则 2211222()()a b a b a b a bA A A AP A P B A A +++==7. 若10件产品中有件正品，3件次品,（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设A={取得三件次品} 则333333101016()()120720或者====C A P A P A C A . （2）设B={取到三个次品}, 则33327()101000==P A .8. 某旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：（1）此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率； （2）此人只会讲法语的概率.解 设 A={此人会讲英语}, B={此人会讲日语}, C={此人会讲法语} 根据题意, 可得(1) 32923()()()100100100=-=-=P ABC P AB P ABC(2) ()()()P ABC P AB P ABC =-9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，若从中任取3颗，求：（1） 取到的都是白子的概率； （2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解(1) 设A={取到的都是白子} 则3831214()0.25555===C P A C .(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}2184312()0.509==C C P B C .(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.745=-=P C P A . (4) 设D={取到三颗子颜色相同}3384312()0.273+==C C P D C .10. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？ 解(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则 (2)设所求的概率为P(B)11. 将C ，C ，E ，E ，I ，N ，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成SCIENCE 的概率p.解 由于两个C ，两个E 共有2222A A 种排法，而基本事件总数为77A ，因此有12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率.解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有⋅4452C 中取法. 设A={4只手套都不配对}，则有13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i 只零件是不合格的概率为=+11i p i，i=1，2，3，若以x 表示零件中合格品的个数，则P(x =2)为多少？解 设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则1()1i i P A p i==+所以 ()11i i i P A p i=-=+ 由于零件制造相互独立，有：123123()()()()P A A A P A P A P A =，123123()()()()P A A A P A P A P A =14. 假设目标出现在射程之内的概率为，这时射击命中目标的概率为，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.解 设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B i ={第i 次击中目标}, i=1,2.则 P(A)=, P(B i|A)= 另外 B=B 1+B 2，由全概率公式 另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B 1B 2|A)= P(B 1|A) P(B 2|A) = 由加法公式P((B 1+B 2)|A)= P(B 1|A)+ P(B 2|A)－P(B 1B 2|A)=+ 因此 P(B)= P(A)P((B 1+B 2)|A)=× =15. 设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为，有1，2，3，4件次品的概率分别为, , , ，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.解 设A i ={一批产品中有i 件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品},C={产品中次品不超两件}, 由题意由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式由Bayes公式故16.由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为，，，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.解设B={三件都是好的}，A1={损坏2%}, A2={损坏10%}, A1={损坏90%}，则A1, A2,A 3是两两互斥, 且A1+ A2+A3=Ω, P(A1)=, P(A2)=, P(A2)=.因此有 P(B| A1) = , P(B| A2) = , P(B| A3) = ,由全概率公式由Bayes公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为由于P( A1|B) 远大于P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为.17.验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料表明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；若未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：（1）一次通过验收的概率α；（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β. 解 设H i ={箱中实际有的次品数}, 0,1,2=i , A={通过验收} 则 P(H 0)=, P(H 1)=, P(H 2)=, 那么有： (1)由全概率公式 (2)由Bayes 公式 得18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，每台设备被使用的概率为，问在同一时刻 （1）恰有两台设备被使用的概率是多少？ （2）至少有三台设备被使用的概率是多少？解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=, q=1?p=, 故(1) 223155(2)(0.1)(0.9)0.0729===P P C(2) 2555(3)(4)(5)P P P P =++第二章 随机变量及其分布1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X 的分律.解 X 的分布率如下表所示：2. 进行某种试验，设试验成功的概率为34，失败的概率为14，以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.解 X 的分布律为： X 取偶数的概率：3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数123,,x x x .求：4. X ＝max (123,,x x x )的分布律及P(X ≤4)；5. Y ＝min (123,,x x x )的分布律及P(Y>3).解 基本事件总数为：3510C ，(1)X 的分布律为： P(X ≤4)=P(3)+P(4)= (2)Y 的分布律为P(X>3) =0 函数f(k) =!kC k λ，k ＝1，2，…，λ>06. C 应取何值，成为分布律？解 由题意, 1()1k f x ∞==∑, 即解得：1(1)C e λ=- 7. 已知X的分布律X －112P 162636求：（1）X 的分布函数；（2）12P X ⎛⎫< ⎪⎝⎭；（3）312P X ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭. 解 (1) X 的分布函数为()()k kx xF x P X x p ≤=≤=∑0,11/6,11()1/2,121,2x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩;(2) 11(1)26P X P X ⎛⎫<==-= ⎪⎝⎭(3) 31()02P X P ⎛⎫<≤=∅= ⎪⎝⎭8. 设某运动员投篮投中的概率为P ＝，求一次投篮时投中次数X 的分布函数，并作出其图形.解 X 的分布函数9. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p ，求：10.（1）三次射击中恰好命中两次的概率；11.（2）目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的概率是多少？解 设A={三次射击中恰好命中两次}，B=目标被击毁，则 (1) P(A) =2232233(2)(1)3(1)P C p p p p -=-=-(2) P(B) =22323333233333(2)(3)(1)(1)32P P C p p C p p p p --+=-+-=-12.一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：13.（1）每分钟恰有6次呼唤的概率；14.（2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率.解(1) P(X=6) =6440.104!6!k e e k λλ--==或者P(X=6) =!kek λλ-446744!!k k k k e e k k ∞∞--===-∑∑= – = . (2) P(X ≤10)104401144110.00284!!k k k k e e k k ∞--====-=-∑∑ =15.设随机变量X 服从泊松分布，且P(X ＝1)＝P(X ＝2)，求P(X ＝4)解 由已知可得， 12,1!2!e e λλλλ--=解得λ=2， (λ=0不合题意)422,(4)4!P X e -==因此=16.商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为，求商店收到的玻璃瓶，（1）恰有两只；（2）小于两只；（3）多于两只；（4）至少有一只的概率.解 设X={1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数}，则X 服从参数为n=1000, p=的二项分布，即X~B(1000, , 由于n 比较大，p 比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即X~π(3). 因此(1) P(X=2) 2330.2242!e -==(2)323(2)1(2)110.80080.1992!k k P X P X e k ∞-=<=-≥=-=-=∑(3)333(2)(2)0.5768!k k P X P X e k ∞-=>=>==∑(4)313(1)0.9502!k k P X e k ∞-=≥==∑17.设连续型随机变量X 的分布函数为18.20,0(),011,1x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩19.求：（1）系数k ；（2）P<X<；（3）X 的密度函数；（4）四次独立试验中有三次恰好在区间，内取值的概率. 解 (1) 由于当0≤x ≤1时，有F(x )=P(X ≤x )=P(X<0)+P(0≤X ≤x )=k x 2 又F(1) =1, 所以k ×12=1因此k=1. (2) P<X< = F?F = ?= (3) X 的密度函数为 (4) 由(2)知，P<X< = ， 故P{四次独立试验中有三次在, 内} =334340.5(10.5)0.25C --=.20.设连续型随机变量X 的密度函数为求：（1）系数k ；（2）12P X ⎛⎫< ⎪⎝⎭；（3）X 的分布函数. 解 (1)由题意，()1f x dx +∞-∞=⎰, 因此(2)1/21/1/21111arcsin 1/22663k P x x ππππ--⎛⎫⎛⎫<===-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎰ (3) X 的分布函数21.某城市每天用电量不超过100万千瓦时，以Z 表示每天的耗电率(即用电量除以100万千瓦时)，它具有分布密度为若该城市每天的供电量仅有80万千瓦时，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量为90万千瓦时又是怎样的？ 解 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：P(Z>80/100)=P(Z>=120.812(1)0.0272x x dx -=⎰ 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：P(Z>90/100)=P(Z>=120.912(1)0.0037x x dx -=⎰ 22.某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率.解 设X 表示该型号电子元件的寿命，则X 服从指数分布，设A={X ≤200}，则P(A)=1200600311600x e dx e --=-⎰设Y={三只电子元件在200小时内损坏的数量}，则所求的概率为： 23.设X 为正态随机变量，且X ～N(2，2σ)，又P(2<X<4) = ，求P(X<0) 解 由题意知即20.30.50.8σ⎛⎫Φ=+= ⎪⎝⎭故 20222(0)10.2X P X P σσσσ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=<=Φ=-Φ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭24.设随机变量X 服从正态分布N(10，4)，求a ，使P(|X －10|<a ) = .解 由于()()10|10|10222a X a P X a P a X a P --⎛⎫-<=-<-<=<<⎪⎝⎭所以0.952a ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭查表可得，2a= 即 a =25.设某台机器生产的螺栓的长度X 服从正态分布N ，，规定X 在范围±厘米内为合格品，求螺栓不合格的概率. 解 由题意，设P 为合格的概率，则则不合格的概率=1?P =26.设随机变量X 服从正态分布N(60，9)，求分点x 1，x 2，使X 分别落在(－∞，x 1)、(x 1，x 2)、(x 2，+∞)的概率之比为3:4:5. 解 由题， 查表可得 解得, x 1 =查表可得解得, x2 =.27.已知测量误差X（米）服从正态分布N, 102)，必须进行多少次测量才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于？解设一次测量的误差不超过10米的概率为p, 则由题可知设 Y为n次独立重复测量误差不超过10米出现的次数，则Y~B(n,于是 P(Y≥1)=1?P(X=0)=1?(1?n≥≤, n≥ln/ln解得：n≥取n=5, 即，需要进行5次测量.28.设随机变量X的分布列为X －2 0 2 3P 17173727试求：（1）2X的分布列；（2）x2的分布列.解 (1) 2X的分布列如下x 2的分布列29.设X 服从N(0，1)分布，求Y ＝｜X ｜的密度函数.的反函数为,0h(y)=,x x x x -<⎧⎨≥⎩, 从而可得解Y=|X|的密度函数为：当y>0时，222222()()|()'|()|'|yyy Y X X f y f y y f y y e e e---=--+==当y ≤0时，()Y f y =0因此有22,0()0,0yY e y f y y ->=≤⎩30.若随机变量X 的密度函数为求Y ＝1x的分布函数和密度函数.解 y=1x在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)= 1y , y>1,h ’(y)=21y -因此有 43,1()0,Y y yf y other ⎧>⎪=⎨⎪⎩Y 的分布函数为：433131,1()10,y Y y y dy y y y F y other---⎧=-=->⎪=⎨⎪⎩⎰31.设随机变量X 的密度函数为试求Y ＝lnX 的密度函数.解 由于ln y x =严格单调，其反函数为(),'()y y h y e h y e ==且, 则 32.设随机变量X 服从N(μ,2σ)分布，求Y ＝x e 的分布密度.解 由于x y e =严格单调，其反函数为1()ln ,'(),h y y h y ==且yy>0, 则当0y ≤时()0Y f y =因此221(ln )2,0()0,y Y y f y y μσ--⎧>=≤⎩33.假设随机变量X 服从参数为2的指数分布，证明：Y ＝21x e --在区间(0, 1)上服从均匀分布.解由于21x y e -=-在(0, +∞)上单调增函数，其反函数为：1()ln(1),01,2h y y y =--<<并且1'()2(1)h y y =-，则当01y << 当y ≤0或y ≥1时，()Y f y =0.因此Y在区间(0, 1)上服从均匀分布.34.把一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（X，Y）的联合概率分布.解根据题意可知, (X,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的X,Y的取值及概率分别为P(X=3, Y=3)=18P(X=2, Y=1)=223113228C⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P(X=1, Y=1)=3113113228C-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭P(X=0, Y=3)=31128⎛⎫=⎪⎝⎭于是，（X，Y）的联合分布表如下：35.在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用X表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求：36.（1）X 与Y 的联合概率分布；（2）X 、Y 的边缘概率分布； （3）X 与Y 相互独立吗？解 根据题意，X 只能取0，1，2，Y 可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：(1) 271310(,),i j k ij C C C p P X i Y j C ====其中,3,0,1,2,i j k i ++==0,1,2,3j =0,1k =,可以计算出联合分布表如下(2) X,Y 的边缘分布如上表(3) 由于P(X=0,Y=0)=0, 而P(X=0)P(Y=0)≠0, P(X=0,Y=0)≠P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y不相互独立.37.袋中有9张纸牌，其中两张“2”，三张“3”，四张“4”，任取一张，不放回，再任取一张，前后所取纸牌上的数分别为X和Y，求二维随机变量(X, Y)的联合分布律，以及概率P(X＋Y>6)解 (1) X,Y可取的值都为2,3,4, 则(X,Y)的联合概率分布为：(2) P(X+Y>6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.38.设二维连续型随机变量(X, Y)的联合分布函数为(,)arctan arctan 23x y F x y A B C ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,求：（1）系数A 、B 及C ； （2）(X, Y)的联合概率密度； （3）X ，Y 的边缘分布函数及边缘概率密度；（4）随机变量X 与Y 是否独立？解 (1) 由(X, Y)的性质, F(x, -∞) =0, F(-∞,y) =0, F(-∞, -∞) =0, F(+∞, +∞)=1, 可以得到如下方程组：解得：21,,,22A B C πππ===(2) 2222(,)6(,)(4)(9)F x y f x y x y x y π∂==∂∂++ (3) X 与Y 的边缘分布函数为： X 与Y 的边缘概率密度为：(4) 由(2),(3)可知：(,)()()X Y f x y f x f y =, 所以X ，Y 相互独立. 39.设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为（1）求分布函数F(x, y)；（2）求(X ，Y)落在由x ＝0，y ＝0，x ＋y ＝1所围成的三角形区域G 内的概率. 解 (1) 当x>0, y>0时， ()0(,)(1)(1)yxu v x y F x y e dudv e e -+--==--⎰⎰否则，F (x, y ) = 0.(2) 由题意，所求的概率为 40.设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为求：（1）常数A ；（2）X ，Y 的边缘概率密度；（3）(01,02)P X Y <≤<≤. 解 (1) 由联合概率密度的性质，可得解得 A=12.(2) X, Y 的边缘概率密度分别为： (3) (01,02)P x y <≤<≤ 41.设随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 求 P(X ＋Y ≥1).解 由题意，所求的概率就是(X,Y)落入由直线x=0 ,x=1, y=0, y=2, x+y=1围的区域G 中, 则42.设二维随机变量(X, Y)在图所示的区域G 上服从均匀分布，试求(X, Y)的联合概率密度及边缘概率密度.解 由于(X, Y)服从均匀分布，则G 的面积A 为：211201(,)()6x xGA f x y dxdy dx dy x x dx ===-=⎰⎰⎰⎰⎰, (X, Y)的联合概率密度为：6,01(,)0,x f x y other ≤<⎧=⎨⎩.X,Y 的边缘概率密度为：43.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0, 上服从均匀分布，Y 的概率密度是求：（1）X 和Y 和联合概率密度； （2）P(Y ≤X). 解 由于X 在(0, 上服从均匀分布，所以()1/0.25X f x == (1) 由于X ，Y 相互独立，因此X, Y 的联合密度函数为：(2) 由题意，所求的概率是由直线x=0, x=, y=0, y=x 如右图所示， 因此44.设（X ，Y ）的联合概率密度为求X 与Y 中至少有一个小于12的概率. 解 所求的概率为45.设随机变量X 与Y 相互独立，且X －113Y －31P1215 310P 1434求二维随机变量（X，Y）的联合分布律.解由独立性，计算如下表46.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为X 1 2 3Y1 16191182 a b c（1）求常数a，b，c应满足的条件；（2）设随机变量X与Y相互独立，求常数a，b，c.解 由联合分布律的性质，有：11116918a b c +++++=, 即 a + b + c =12133-=又，X, Y 相互独立，可得 111::::6918a b c =从而可以得到： 121,,399a b c ===47.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为求边缘分布函数()x F x 与()y F y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立. 解 由题意, 边缘分布函数 下面计算F Y (y )可以看出，F(x,y)= F x (x ) F Y (y ), 因此，X ，Y 相互独立. 48.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立. 解 先计算()X f x , 当x <1时, ()0X f x =当x ≥1时, 113331222()1y y X f x e dy e x x x+∞--+∞-===⎰再计算()Y f y , 当y <1时, ()0Y f y =当y ≥1时, 11132121()1y y y Y f y e dx e e x x+∞---+∞-===⎰可见, (,)()()X Y f x y f x f y =, 所以随机变量X, Y 相互独立 49.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为求边缘概率密度()X f x 与()Y f y ，并判断随机变量X 与Y 是否相互独立. 解 先计算()X f x , 当x <0或者x >1时, ()0X f x =当1≥x ≥0时, 1212011()02X f x x y dy xy yx =+=+=+⎰ 再计算()Y f y , 当y <0或者y >1时, ()0Y f y =当1≥y ≥0时, 120111()022Y f y x ydx xy x y =+=+=+⎰ 由于11(,)()()22X Y f x y x y f x f y x y ⎛⎫⎛⎫=+≠=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 所以随机变量X,Y 不独立50.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为求随机变量Z ＝X －2Y 的分布密度. 解 先求Z 的分布函数F(z ):2()()(2)(,)D X Y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy -≤=≤=-≤=⎰⎰当z<0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x?2y ≤z}求得2220()2z z yx y F z dy e dx +∞+---=⎰⎰当z ≥0时，积分区域为：D={(x,y)|x>0, y>0, x?2y ≤220()2z yx y F z dy e dx +∞+--=⎰⎰由此, 随机变量Z 的分布函数为 因此, 得Z 的密度函数为：51.设随机变量X 和Y 独立，X ～2()N μ,σ，Y 服从［－b ，b ］(b>0)上的均匀分布，求随机变量Z ＝X ＋Y 的分布密度. 解 解法一 由题意，令)/,,[,],z y a t dy dt y b b σσ--==-∈-(则 解法二52.设X 服从参数为12的指数分布，Y 服从参数为13的指数分布，且X 与Y 独立，求Z ＝X ＋Y 的密度函数.解 由题设，X ~12120,0(),0X x x f x e x -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩, Y ~13130,0(),0Y x x f y e x -≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ 并且，X ，Y 相互独立，则()()()Z X Y F z f x f z x dx +∞-∞=-⎰由于()X f x 仅在x>0时有非零值，()Y f z x 仅当z?x >0，即z>x 时有非零值，所以当z<0时，()X f x =0, 因此()Z f z =0. 当z>0时，有0>z>x, 因此 53.设（X ，Y ）的联合分布律为X 0 1 2 3Y0 012求：（1）Z ＝X ＋Y 的分布律；（2）U ＝max （X ，Y ）的分布律；（3）V ＝min （X ，Y ）的分布律.解 (1) X +Y 的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(X=0,Y=0) = 0P(Z=1)=P(X=1,Y=0) + P(X=0,Y=1) =P(Z=2)=P(X=2,Y=0) + P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = P(Z=3)=P(X=3,Y=0) + P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=1) = P(Z=4)=P(X=2,Y=2) + P(X=3,Y=1) =P(Z=5)=P(X=3,Y=2) =Z=X+Y的分布如下同理，U=max(X,Y)的分布如下 U∈{0,1,2,3}同理，V=min(X,Y)的分布分别如下 V∈{0,1,2}第三章 随机变量的数字特征1. 随机变量X 的分布列为X －11212P 13161611214求E(X)，E(－X ＋1)，E(X 2)解 111111136261243()1012E X =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=111111236261243(1)((1)1)(01)(1)(11)(21)E X -+=--+⨯+-+⨯+-+⨯+-+⨯+-+⨯=或者1233(1)()(1)()11E X E X E E X -+=-+=-+=-+=2. 一批零件中有9件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望.解 设取得合格品之前已经取出的废品数为X, X 的取值为0, 1, 2, 3, A k 表示取出废品数为k 的事件， 则有：3. 已知离散型随机变量X 的可能取值为－1、0、1，E(X)＝，E(X 2)＝，求P(X=?1)，P(X ＝0)，P(X ＝1).解 根据题意得：可以解得 P(X??1)=, P(X=1)=,P(X=0) = 1? P(X??1)?? P(X=1) = 1??=4. 设随机变量X 的密度函数为求E(X).解 由题意, 101()()2(1)3E X xf x dx x xdx ∞-∞==-=⎰⎰, 5. 设随机变量X 的密度函数为求E(2X)，E(2x e -).解 0(2)2()2x E X xf x dx xe dx ∞∞--∞==⎰⎰6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间［a ，b ］上，求球的体积的数学期望.解 由题意，球的直接D~U(a,b), 球的体积V=()3432D π因此，341()()32bax E V Vf x dx dx b aπ∞-∞⎛⎫== ⎪-⎝⎭⎰⎰7. 设随机变量X ，Y 的密度函数分别为求E(X ＋Y)，E(2X －3Y 2). 解 ()()()E X Y E X E Y +=+8. 设随机函数X 和Y 相互独立，其密度函数为求E(XY).解 由于XY 相互独立, 因此有9. 设随机函数X 的密度为 求E(X), D(X).解 11()()0E X x f x dx +∞-∞-===⎰⎰π 10.设随机函数X 服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为其中σ>0是常数，求E(X)，D(X).解 22222222()()x x x E X x f x dx edx xdeσσσ--+∞+∞+∞-∞===-⎰⎰⎰11.抛掷12颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差. 解 掷1颗骰子，点数的期望和方差分别为： E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2 E(X 2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6 因此 D(X) = E(X 2)?(E(X)) 2 = 35/12掷12颗骰子, 每一颗骰子都是相互独立的, 因此有： E(X 1+X 2+…+X 12)=12E(X) = 42D(X 1+X 2+…+X 12) =D(X 1)+D(X 2)+…+D(X 12)=12D(X)=3512.将n 只球（1～n 号）随机地放进n 只盒子（1～n 号）中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同号码的盒子中，称为一个配对，记X 为配对的个数，求E(X), D(X).解 （1）直接求X 的分布律有些困难，我们引进新的随机变量X k1,0,k k X k ⎧=⎨⎩第只球装入第k 号盒子第只球没装入第k 号盒子, 则有：1nk k X X ==∑，X k 服0-1分布因此：11(0)11,(1),k k P X p P X p n n==-=-===（2）k j X X 服从0-1分布，则有 故，E(X)=D(X)=1.我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，X 服从参数为1的泊松分布.13.在长为l 的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望及方差. 解 设所取的两点为X,Y, 则X,Y 为独立同分布的随机变量, 其密度函数为依题意有D(X?Y) = E((X?Y)2)?(E(X?Y))2 = 2221116918l l l -=14.设随机变量X 服从均匀分布，其密度函数为求E(2X 2)，D(2X 2).解 12222201(2)2()2()226E X E X x f x dx x dx +∞-∞====⎰⎰ 15.设随机变量X 的方差为，试利用切比雪夫不等式估计概率的值.解 由切比雪夫不等式, 取27.5, 2.5==εσ, 得22.52(()7.5)7.545P X E X -≥≤=. 16.在每次试验中，事件A 发生的概率为，如果作100次独立试验，设事件A 发生的次数为X ，试利用切比雪夫不等式估计X 在40到60之间取值的概率 解 由题意，X~B(100，, 则E(X) = np = 50, D(X) = npq = 25 根据切比雪夫不等式, 有25311004=-=. 17.设连续型随机变量X 的一切可能值在区间［a ，b ］内，其密度函数为()f x ，证明：（1）a ≤E(X)≤b ；（2）D(X ≤2(b-a))4.解 (1) 由题意，a ≤X ≤b , 那么()(),E X xf x dxa xb +∞-∞=≤≤⎰则由于()1f x dx +∞-∞=⎰所以a E(X)b ≤≤ (2) 解法(一)即 2()0x a b x ab -++≤,又 ()22()()()D X E X E X =-解法(二), 由于18.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为X 01Y12求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)，XY ρ及协方差矩阵. 解 由题设，E(XY) = 0×0×+0×1×+1×0×+1×1× = cov(X,Y) = E(XY)?E(X)E(Y) = ?× = ? 协方差矩阵为19.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为X－1 01Y－11818 18180 1811818 18试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 解 由于111111(1)(1)(1)0(1)10(1)(1)10110888888=-⨯-⨯+-⨯⨯+-⨯⨯++⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯=因此0XY =ρ, 即X 和Y 是不相关的.但由于111(0)(0)0(0,0)8816P X P Y P X Y ===⨯=≠===,因此X,Y 不是相互独立的.20.设二维随机变量（X ，Y ）的密度函数为求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，cov(X, Y)，XY ρ及协方差矩阵.解 211()(,)()(1)84X f x f x y dy x y dy x +∞-∞==+=+⎰⎰又2222015()()(1)43X E X x f x dy x x dy +∞-∞==+=⎰⎰同理可得 711(),()636E Y D Y ==, 协方差矩阵为21.已知随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)＝E(Y)=0，D(X)=16，D(Y)=25，cov(X,Y)＝12，求(X, Y)的密度函数.解 由题意, 123205===ρ则密度函数为22.设随机变量X 和Y 相互独立，且E(X)＝E(Y)＝0，D(X)＝D(Y)＝1，试求E((X ＋Y)2).解 ()()22222()2()()(2)E X Y E X Y XY E X E Y E XY +=++=++由于()()222222D(X)=E(X )E(X)E(X )=1,D(Y)=E(Y )E(Y)E(Y )=1-=-=因此有23.设随机变量X和Y的方差分别为25，36，相关系数为，试求D(X＋Y)，D(X－Y).解由题意，D(X+Y)=2(cov(X,Y))+D(X)+D(Y) = 24+25+36=85因为 cov(X, ?Y) = ?cov(X,Y) = ?12因此D(X?Y) = 2(cov(X,??Y))+D(X)+D(?Y) = ?24 + 25 + 36 = 37.24.设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布N(0, ?2)，令U＝aX＋bY，V＝aX?bY，试求U和V的相关系数.解由于X，Y相互独立，则都服从N(0, ?2)第四章 大数定律与中心极限定理1. 设X i ，i ＝1，2，…，50是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为?＝的泊松分布. 记X ＝X 1＋X 2＋…+X 50，试利用中心限定理计算P(X ≥2).解 由题意，E(X i ) = D(X i ) = ，501ii X X ==∑由中心极限定理1X ==-近似服从标准正态分布所以有?2. 某计算机系统有100个终端，每个终端有2％的时间在使用，若各个终端使用与否是相互独立的，试分别用二项分布、泊松分布、中心极限定理，计算至少一个终端被使用的概率.解 设X 为被使用的终端数, 由题意, X~B(100, (1) 用二项分布计算 (2) 用泊松分布近似计算因为 np = 100× = 2, 查表得 (1)1(0)1P X P X ≥=-==- = . (3) 中心极限定近似计算3. 一个部件包括10个部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为2mm ，均方差不0.05mm ，规定部件总长度为20±0.1mm 时为合格品，求该部件为合格产品的概率.解 设X i 表示一部分的长度, i=1, 2, …, 10. 由于X 1, X 2, …, X 10相互独立, 且E(X i ) =2, D(X i )=, 根据独立同分布中心极限定理，随机变量1011(2)(20)0.158kk X X =-=- 近似地服从标准正态分布. 于是 4. 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在, 上服从均匀分布.(1)若将1500个数相加，试求误差总和的绝对值超过15的概率； (2)多少个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为的概率. 解 设X i 表示一个加数的误差，则X i ~U, , E(X i ) =0, D(X i )=1/12 (1) 根据独立同分布中心极限定理，随机变量近似地服从标准正态分布. 于是因此所求的概率为：1-P(-15<X<15) = =(2) 由题意，设有n 个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为,X = nX i.1(())ni i i X E X X =-近似地服从标准正态分布. 则(10)(1010)P X P X P ≤=-≤≤=≤≤ = 查表得=, 解得：n=443即443个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为的概率5. 为了确定事件A 的概率，进行了一系列试验. 在100次试验中，事件A 发生了36次，如果取频率作为事件A 的概率p 的近似值，求误差小于的概率.解 (删除)6. 一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成，在系统运行期间，每个部件损坏的概率为，又知为使系统正常运行，至少有89％的部件工作.（1） 求系统的可靠度（系统正常运行的概率）；（2） 上述系统由n 个相互独立的部件组成，而且要求至少有87％的部件工作，才能使系统正常运行，问n 至少为多在时，才能保证系统的可靠度达到％？解 设X 表示正常工作的部件数，X~B(10000, ,(1) 所求的概率为(0.8910000)P X ≥⨯, 由于n 比较大，可以使用中心极限定理，由于()9000,()(1)900E X np D X np p ===-=，近似地有，X~N(9000, 900), 则(2) 根据题意, 设X 为正常工作的部件数，则()0.9,E X np n ==()(1)0.09D X np p n =-= 根据中心极限定理, 近似地有X~N,查表得 2.0=, n=400, 即, n 至少为400时, 才能保证系统的可靠度达到%.7. 某单位有200台电话分机，每台分机有5％的时间要使用外线通话，假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线才能以90％以上的概率保证分机使用外线时不等待？解 设X 为某时刻需要使用外线的户数（分机数），显然X~(200, ， E(X) = np = 10, D(X) = np(n-p) = .设k 是为要设置的外线的条数，要保证每个要使用外线的用户能够使用上外线，必须有k ≥X. 根据题意应有：这里n=200，较大，可使用中心极限定理，近似地有X~N(10, ：1.29,13.97k ≥≥， 取k = 14 即至少14条外线时，才能保证要使用外线的用户都能使用外线的概率大于95%.8. 设μn 为n 重伯努利试验中成功的次数，p 为每次成功的概率，当n 充分大时，试用棣莫弗－拉普拉斯定律证明(||)21n P p n ⎛μ-<ε=Φ- ⎝. 式中，p ＋q ＝1；()x Φ是标准正态分布的分布函数.证明 由题意，~(,)n B n p μ, (),()n n E np D npq μμ==, 当n 很大时，n μ近似服从正态分布，即~(,)n N np npq μ, 或者使用标准化的随机变量：~(0,1)N, 1q p =-因此，由棣莫弗-拉普拉斯定理，有=()n P np n P με⎫-<=< 9. 现有一大批种子，其中良种占14，今在其中任选4000粒，试问在这些种子中，良种所占比例与14之差小于1％的概率是多少？ 解 设X 为4000粒种子中良种粒数，则所求的概率为： 因为，X ~ B(4000, , 由棣莫弗-拉普拉斯定理，有10.一批种子中良种占16，从中任取6000粒，问能以的概率保证其中良种的比例与16相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个范围？解 设X 为6000粒种子中良种粒数，设所求的差异为p, 则所求的概率为：因为，X ~ B(6000, 1/6), E(X) = np = 1000, D(X) = np(1-p)= 2500/3, 由棣莫弗-拉普拉斯定理，有因此0.995Φ=查表可得 2.575,=p==解得0.0124由于0.0124600074⨯=所以, 良种的粒数大约落在区间(926, 1074)之间.第五章数理统计的基本概念1.在总体N(52，632)中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X落在到之间的概率.解由题意，由定理~(0,1) X XN=2.在总体N(80，202)中随机抽取一容量为100的样本，求样本均值与总体均值的绝对值大于3的概率是多少？解这里总体均值为?=80, ?=20, n=100, 由定理1(1)由题意得：3.求总体N(20，3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于的概率.解由定理()0.8165~(0,1) X YX Y N==-由题意，所求的概率为4.设总体X的容量为10的样本观测值为，，0，，，，，，，0，，. 试分别计算样本均值X与样本方差S2的值.解1(4.5 2.0 1.0 1.5 3.4 4.5 6.5 5.0 3.5 4.0) 3.5910X=+++++++++=5.样本均值与样本方差的简化计算如下：设样本值x1，x2，…，xn的平均值为x和样本方差为2x S ，作变换i i x ay c-=，得到12,,n y y y ⋯，它的平均值为y ，方差为2y S ，试证：x a cy =+，222x yS c S =. 证明 ()1,i i i i y x a x cy a c =-=+由所以, ()221111,1n n i yii i y y S y y n n ====--∑∑6. 对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的样本值为1936，1697，3030，2424，2020，2909，1815，2020，2310．采用下面简化计算法计算样本均值和样本方差. 即先作变换2000i i y x =-，再计算y 与2y S ，然后利用第5题中的公式获得x 和2x S 的数值.解 做变换后，得到的样本值为：-61，-303，1030，424，20，-91，-185，20，3107. 某地抽样调查了1995年6月30个工人月工资的数据，试画出它们的直方图，然后利用组中间值给出经验分布函数.440 444 556 430 380 420 500 430 420 384420 404 424 340 424 412 388 472 360 476376 396 428 444 366 436 364 440 330 426解 最小值*1330x =,最大值*100556x =, 故(a, b ]可取为(329, 559], 将(a, b ]分为长度为23的10个区间, 列出频数与频率表如下：。