等腰三角形公开课
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等腰三角形的性质课件
STEP 03
平行线法
若两条平行线被第三条直 线所截，截得的对应线段 相等，则该三角形为等腰 三角形。
若三角形中线两侧的线段 相等，则该三角形为等腰 三角形。
角的证明方法
中垂线定理
等腰三角形顶角的平分线、底边 上的中线、底边上的高互相重合
。
角平分线定理
等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中垂线、底边上的高互相重合。
等腰三角形的特点
等腰三角形的两条相等边 称为“腰”，另一边称为 “底”。
等腰三角形的两腰之间的 角是相等的，这个角称为 “顶角”。
等腰三角形的底角也是相 等的，这是它与一般三角 形不同的地方。
等腰三角形的定义
等腰三角形的定义是：有两边长度相 等的三角形，这两边称为腰，另一边 称为底。
此外，等腰三角形的两腰之间的角是 相等的，这个角称为顶角。底角也是 相等的，这是它与一般三角形不同的 地方。
Part
02
等腰三角形的性质
边的性质
两边相等
等腰三角形有两条边长度 相等。
两边的夹角相等
等腰三角形两边的夹角相 等。
三边关系
等腰三角形的三边满足两 边之和大于第三边，两边 之差小于第三边。
角的性质
两个底角相等
等腰三角形的两个底角相等。
顶角与底角的度数关系
等腰三角形的顶角与底角的度数之和为180度。
Part
04
等腰三角形的应用
在几何学中的应用
证明定理
等腰三角形是几何学中重要的基本图 形之一，它的性质定理和判定定理在 证明各种几何定理和解决几何问题中 有着广泛的应用。
计算角度
证明相等
等腰三角形的两边相等，可以利用这 个性质来证明两个三角形全等，从而 解决一些几何问题。
等腰三角形全国优质课一等奖完美PPT课件
20
直角三角形相关知识回顾
直角三角形的定义
有一个内角为90°的三角形 称为直角三角形。
2024/1/28
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互 余，斜边是直角三角形的 最长边，且满足勾股定理 。
直角三角形的判定
若一个三角形满足有一个 内角为90°或满足勾股定理 ，则该三角形为直角三角 形。
21
相似三角形相关知识拓展
02
若一个三角形中有一个角为90度 ，且这个三角形的两条直角边相 等，则这个三角形是等腰直角三 角形。
13
其他特殊情况下判定方法
若一个三角形的三条边满足勾股定理， 即其中两条边的平方和等于第三条边的 平方，则这个三角形是直角三角形。若 此时直角边相等，则为等腰直角三角形
。
2024/1/28
若一个三角形的三条边满足 a:b:c=1:1:√2的关系（a、b为直角边， c为斜边），则这个三角形是等腰直角
顶角与底角的关系
顶角的度数是底角度数的两倍，即顶角 = 2 × 底 角。
3
高、中线与角平分线的关系
在等腰三角形中，高、中线和顶角的角平分线互 相重合。
2024/1/28
9
等腰三角形性质总结
对称性
等腰三角形是Hale Waihona Puke 对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
2024/1/28
边角关系
在等腰三角形中，两底角相等 ，且顶角的度数是底角度数的 两倍。
3
课程背景与意义
三角形是初中数学的重要内容 ，等腰三角形作为特殊三角形 ，具有独特的性质和广泛的应 用。
2024/1/28
学习等腰三角形有助于学生理 解三角形的基本性质，掌握证 明方法，提高几何推理能力。
直角三角形相关知识回顾
直角三角形的定义
有一个内角为90°的三角形 称为直角三角形。
2024/1/28
直角三角形的性质
直角三角形的两个锐角互 余，斜边是直角三角形的 最长边，且满足勾股定理 。
直角三角形的判定
若一个三角形满足有一个 内角为90°或满足勾股定理 ，则该三角形为直角三角 形。
21
相似三角形相关知识拓展
02
若一个三角形中有一个角为90度 ，且这个三角形的两条直角边相 等，则这个三角形是等腰直角三 角形。
13
其他特殊情况下判定方法
若一个三角形的三条边满足勾股定理， 即其中两条边的平方和等于第三条边的 平方，则这个三角形是直角三角形。若 此时直角边相等，则为等腰直角三角形
。
2024/1/28
若一个三角形的三条边满足 a:b:c=1:1:√2的关系（a、b为直角边， c为斜边），则这个三角形是等腰直角
顶角与底角的关系
顶角的度数是底角度数的两倍，即顶角 = 2 × 底 角。
3
高、中线与角平分线的关系
在等腰三角形中，高、中线和顶角的角平分线互 相重合。
2024/1/28
9
等腰三角形性质总结
对称性
等腰三角形是Hale Waihona Puke 对称图形，对 称轴是底边的垂直平分线。
2024/1/28
边角关系
在等腰三角形中，两底角相等 ，且顶角的度数是底角度数的 两倍。
3
课程背景与意义
三角形是初中数学的重要内容 ，等腰三角形作为特殊三角形 ，具有独特的性质和广泛的应 用。
2024/1/28
学习等腰三角形有助于学生理 解三角形的基本性质，掌握证 明方法，提高几何推理能力。
人教版数学等腰三角形的性质公开课PPT课件
性质2 等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线， 底边上的高互相重合. （简写成“三线合一” ）
几何语言：
A
(1)∵ AB=AC， AD⊥BC，
∴∠ 1 = ∠ 2 ， BD = CD .
12
(2) ∵ AB=AC， BD=CD，
∴ AD ⊥ BC ，∠ 1 =∠ 2 .
∟
(3) ∵ AB=AC， ∠1= ∠ 2，
谢 谢 指 导！
如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢
架更加坚固，需在其内部添一些钢管EF、FG、 GH……，添加的钢管长度都与OE相等，则∠Ｍ
ＨA = 50 °，最多能添加这样的钢管8 根。
Ｂ
G
M
40° 60°
60°808°0°
Ｅ
20° 40°
20°
10°
10° 30°
30° 50° 50°70°70°90°
13.3.1 等腰三角形（第1课时）
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，然 后画出一条裁剪线，并剪去阴影部分，再把它展开，得 到的△ABC 有什么特点？
底角 腰
B
A
D
底 边
顶角
C
腰
底角
定义：有两边相等的三角形,叫做等腰三角形.ຫໍສະໝຸດ 在△ABC 中，AB=AC
把剪出的等腰三角形ABC 沿折痕对折，找出其中相等
体验了什么数学思想？ 分类思想 方程思想
想进一步研究的问题是
A
.................
B
C
等边三角形
如图，点B,D,E,C在同一直线上，AB=AC , AD=AE. 求证:BD=CE.
A
方法：求有关等腰三角 形的问题，作顶角平分 线、底边中线，底边的 高是常用的辅助线
等腰三角形复习公开课课件
2023
PART 02
等腰三角形周长与面积计 算
REPORTING
周长计算公式
等腰三角形周长的计算公式为：周长 = 2 × 腰长 + 底边长。
若仅知道等腰三角形的一条腰长和底 边长，以及一个角度（如顶角或底 角），则需要通过三角函数计算出另 一条腰长，再套用周长公式。
在已知等腰三角形两条腰长和底边长 的情况下，可以直接套用此公式计算 周长。
工程测量应用
角度测量
等腰三角形可用于工程测量中的角度测量，通过观测和计算等腰三角形的顶角 和底角，可以推算出其他相关角度。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况下，可以利用等腰三角形的性质，通过测量 其他相关距离间接求得目标距离。
其他领域应用
航海与航空
在航海和航空领域，等腰三角形可用于定位和导航，如通过观测两个已知位置的夹 角来确定自身位置。
解析
设腰长为x，底边长为y，根据题意列 方程组求解，注意分两种情况讨论。
填空题选讲
题目一
等腰三角形的一个外角等于100°， 则它的顶角等于____。
解析
外角与相邻内角互补，故内角为 80°，若80°为顶角则不合题意， 故80°为底角，顶角为180°2×80°=20°。
题目二
已知等腰三角形的周长为21cm， 若有一边长为9cm，则其他两边 长为____。
2023
PART 03
等腰三角形在生活中的应 用
REPORTING
建筑领域应用
建筑设计
等腰三角形在建筑设计中经常出现，如尖顶建筑、拱门等，其 对称性和稳定性为建筑物增添了美感和结构强度。
结构工程
在桥梁、塔楼等建筑结构中，等腰三角形可用于构建稳定的支 撑结构，如斜拉桥的主塔和拉索构成的等腰三角形。
等腰三角形性质公开课课件
等腰三角形性质公开课课件一、等腰三角形的定义•等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
•等腰三角形的两个底角（底边的两个对角）也是相等的。
二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
2.等腰三角形的高也是中线、角平分线和垂直平分线。
3.等腰三角形的高也是底边的中线。
4.等腰三角形的对角也是顶角的平分线。
三、等腰三角形的性质证明1. 等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，底边中点为 M，顶点到底边的垂直平分线为 BM。
因为 AM = CM（等腰三角形的性质），且 BM 也是 AM 的垂直平分线，所以BM = AM = CM。
又因为 BM 的定义是顶点到底边的垂直平分线，所以 BM 也是 AC 的垂直平分线。
所以，等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
2. 等腰三角形的高也是中线、角平分线和垂直平分线证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，高为 BH，中点为 M，角平分线为BK。
由于等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合（性质1），所以BH 是 AC 的垂直平分线。
又因为 BM 是 AC 的中线（三角形中线的性质），所以 BH 也是 BM 的垂直平分线。
又因为 BK 是角 B 的平分线，所以 BH 也是 BK 的垂直平分线。
综上所述，等腰三角形的高 BH 同时是 AC 的中线、角平分线和垂直平分线。
3. 等腰三角形的高也是底边的中线证明：设等腰三角形 ABC 的底边为 AC，顶点为 B，高为 BH，底边的中点为 M。
由等腰三角形的性质可知，等腰三角形的底边中点与顶点连线的垂直平分线重合。
所以，BH 是 AC 的垂直平分线，而 M 是 AC 的中点，所以 BH 也是 AM 的垂直平分线。
所以，BH 也是所有从顶点到底边的线段的垂直平分线。
又因为 BH 与 AC 重合（等腰三角形的性质），所以 BH 也是 AC 的中线。
17.1 等腰三角形 - 第1课时课件(共23张PPT)
等边三角形的性质定理
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（ ）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于６０°．
例题解析
例１已知：如图，在△ABC中，AB=BC，BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线．求证：BD＝CE．
证明：∵BD，CE分别为∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠ABD＝½∠ABC，∠ACE＝½∠ACB．∵∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∴∠ABD＝∠ACE（等量代换）．∵AB＝AC（已知），∠A＝∠A（公共角），∴△ABD≌△ACE（ ASA ）.∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝５０°，则∠C的度数为（ ）．A．８０° B．６０°C．５０° D．４０°
C
3.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为（ ）A.25° B.60° C.85° D.95°
（1）证明：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC =BC，CD =CE，∠ACB =∠DCE=60°，又∵∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DBC，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC =BC，∠ACD=∠BCE，CD =CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD=BE.
三边都相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是等腰三角形的特例.
定义
知识点3 等边三角形的定义及性质定理
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C＝６０°．
证明：∵在△ABC中，AB=BC=AC，∴∠A=∠B=∠C（等边对等角）．∵∠A＋∠B＋∠C＝１８０°，∴∠A=∠B=∠C＝６０°．
（2）解：在等边△ECD中，∠CDE=∠CED=60°，∴∠ADC=120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC=120°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=120°-60°=60°.
等腰三角形(公开课)
已知：如图，△ABC 中，AB =AC，AD 是底边BC 的中线．求证：∠BAD =∠CAD，AD⊥BC．
A 证明：∴ ∠BAD =∠CAD，
∠ADB =∠ADC． ∵ ∠ADB +∠ADC =180°， ∴ ∠ADB =90°． ∴ AD⊥BC．
Ｂ
C
D
巩固练习
抢答 填空：
（1）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠A =36°, 则∠B
等腰三角形的特征: （1）等腰三角形的两个底角相等； （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
边上的高互相重合．
活动2 探究等腰三角形的性质
（小组讨论）同学们剪下的等腰三角形纸片大小
不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？
活动2 探究等腰三角形的性质
等腰三角形的性质: 性质1 等腰三角形的两个底角相等； 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底
AD=AE.求证：BD=CE.（用两种方法）
课堂小结
（1）等腰三角形有哪些性质？ （2）等腰三角形的对称轴是什么？ （3）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的
方法？
布置作业
《勤学早》48——49页。
八年级 上册
13.3 等腰三角形 （第1课时）
探索并证明等腰三角形的性质
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并 剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
B
A
D
C
探索并证明等腰三角形的性质
仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这 个等腰三角形有什么特征吗？
活动2 探究等腰三角形的性质
= 72
°； A
B
C
巩固练习
抢答 填空： （2）如图，△ABC 中, AB =AC, ∠B =36°, 则∠A
《等腰三角形的性质》优秀课件
面积计算公式
等腰三角形的面积可以通过以下公式计算
面积 = (底边长度 × 高) / 2。其中，底边长度是两个等腰边所夹的底边的长度，高 是从顶点到底边的垂直距离。
对于等边三角形，其面积计算公式为
面积 = (边长^2 × √3) / 4。其中，边长是等边三角形的任意一边的长度。
03
等腰三角形在生活中的应用
性质
等腰三角形的两底角相等；等边对等角； 三线合一（顶角的角平分线、底边的中 线、底边的高重合）。
判定方法
1 2
SSS全等判定
若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形 全等。
SAS全等判定
若两个三角形两边和夹角分别相等，则这两个三 角形全等。
3
HL全等判定（直角三角形） 在直角三角形中，若斜边和一条直角边分别相等， 则这两个三角形全等。
04
等腰三角形相关定理证明
等边对等角定理证明过程及思路解析
已知条件：在等腰三角形中，两条边相等。
证明过程
第一步，根据等腰三角形的定义，标记相等的两边和对应 的两个角。
第三步，根据直角三角形的性质，证明两个锐角相等。
第二步，利用三角形的内角和性质，将等腰三角形划分 为两个直角三角形。
思路解析：通过利用等腰三角形的定义和三角形的内角 和性质，将问题转化为证明两个直角三角形中的锐角相 等，从而简化了证明过程。
三线合一性质证明方法论述
• 已知条件：在等腰三角形中，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的 高互相重合。
• 综合法：通过综合应用等腰三角形的性质、角的平分线性质、中线的性 质以及高的性质，逐步推导出三线合一的结论。
• 向量法：利用向量的概念和运算，通过证明相关向量共线或相等，从而 证明三线合一的性质。
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A
D
E
P
B
C
F
(六)挑战自我
(1).如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点， 点A的坐标为（2,2），在数轴上取一点P，使得△OAP 为等腰三角形，求符合条件的P点的坐标。
y
2A
O 2B
x
变式训练
(2).如图，若把第1题的点A的坐标改为（3,1），其它条 件不变，求符合条件的P点的坐标。
y
A
如图是一张等腰三角形的纸片， 根据图形你能得到哪些结论？
∟
B
C
D
这张纸片，被撕去了一部分，恰巧从顶点A撕开，剩下 部分如下图所示，你能把这个等腰三角形补全吗？
A
B
定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.
A
B
C
这张纸片，被撕去了一部分，恰巧从顶点C撕开，剩下 部分如下图所示，你还能把这个等腰三角形补全吗？
等腰三角形
例1:如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和转∠化AC思B的想角平分线
交于点P，过P作BC的平行线，交其它两边于DE，①找出图中的
等腰三角形，并选择其中之一说明理由；②试探求图中线段BD、
CE、DE的数量关系；
D B
A
P
E
C
变式训练 ★基本图形：角平分线+平行线
等腰三角形
如图，若P为∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线的交点， （2）中结论是否还成立；若成立，请说明理由；若不成立，请 探求新的数量关系.
注意：
底边
根据三角形的三边关系判断三边是否能构成三角形
2.等腰三角形的一个角是50°，则它的顶角
为 50°或80°. 变式：等腰三角形的一个角是150°，则它 的顶角为 150°.
顶角
分类讨论思想 当角的身份不明确时
底角
注意：钝角和直角在等腰三角形中只能作顶角.
3.已知等腰△ABC一腰上的高与另一腰的夹角为30、
A(3,1)
1
a1
O a P 3-a D
x
我们回顾了……
我们体会到…… 我们能从复杂图形中寻找……
B
C
①
②
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 即：在同一个三角形中，等角对等边。A
B
C
性质：等腰三角形是轴对称图形.
A
B
C
1、等腰三角形有两边长分别为2cm、3cm，
则其周长为__7_或__8____cm.
变式:若两边长为2cm、5cm,则其周长为___1_2_____cm.
腰
分类讨论思想 当边的身份不明确时
则顶角为___6_0_或__1_2__0__度.
A
D
A
ABBC来自分类讨论思想 三角形状不明确
D
C 30°
等腰锐角三角形 C 等腰直角三角形 等腰钝角三角形
如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，请 找出图中的等腰三角形.
1
3 2
★基本图形：角平分线+平行线
等腰三角形
(五)例题精练
★基本图形：角平分线+平行线