高中数学复习专题讲座(第33讲)函数的连续及其应用
高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用
高考数学难点突破_难点33__函数的连续及其应用函数的连续及其应用是高考数学中的一个重要难点，对于很多学生来说，理解和掌握这个知识点是比较困难的。
本文将分为三个部分进行讲解，首先是函数连续的概念和定义；其次是连续函数的性质和判断方法；最后是函数连续的应用。
一、函数连续的概念和定义在数学中，函数连续是指函数在一些点上没有突变、断层，即在该点上没有跳跃，也没有突变的现象。
具体来说，对于函数f(x)在点x=a处连续，需要满足以下三个条件：1.函数在点x=a处存在；2.函数在点x=a处的左极限和右极限存在且相等；3.函数在点x=a处的极限等于函数在该点的函数值。
符号化表示如下：f(a-)=f(a+)=f(a)二、连续函数的性质和判断方法1.连续函数的四则运算性质：如果函数f(x)和g(x)在点x=a处连续，则它们的和、差、积、商也在点x=a处连续。
2.连续函数的复合函数性质：如果函数f(x)在点x=a处连续，函数g(x)在点x=b处连续，并且a是g(x)的定义域内特定点的函数值，则复合函数f(g(x))在点x=b处连续。
3.连续函数的初等函数性质：初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，它们在其定义域上都是连续的。
对于函数连续的判断方法，可以通过根据定义依次检查函数是否满足连续的条件，也可以利用函数的性质进行判断。
三、函数连续的应用1.函数连续与导数的关系：对于连续函数f(x)，在其定义域内的每个点上都有导数存在。
2.函数连续与极值的关系：对于连续函数f(x)，在闭区间[a,b]上，如果f(x)在内部点取得最大值或最小值，则必然在[a,b]的边界点或者内部存在极值。
3.函数连续与介值定理的关系：对于连续函数f(x)，如果[a,b]上f(a)和f(b)异号，那么在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。
4.函数连续与零点存在性的关系：对于连续函数f(x)，如果f(a)和f(b)异号，则在(a,b)内必然存在一些点c，使得f(c)=0。
《函数的连续》课件
闭区间上连续函数的零点定理
如果闭区间上的连续函数在区间两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。
03
函数连续性的应用
利用连续性求极限
总结词
利用连续性求极限是函数连续性应用的重要方面之一。
详细描述
在数学分析中，许多函数的极限可以通过利用函数的连续性来求解。例如，利用函数在某点的连续性 ，可以推导出该点的极限值。此外，连续函数的极限定理也是利用连续性求极限的重要工具。
二次函数
二次函数在定义域内也是连续的 。例如，函数$f(x) = x^2$在全 体实数域$mathbf{R}$上是连续 的。
分段函数的连续性
• 分段函数：分段函数在各段定义域的交界处可能不连 续，但在整个定义域内是连续的。例如，函数$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \ x, & x < 0 \end{cases}$在全体实数域$\mathbf{R}$上是连续的 ，但在$x=0$处不连续。
函数连续性的性质
Байду номын сангаас
如果内层函数和外层函数都在 某点连续，则复合函数在该点
也连续。
02
反函数的连续性
01
复合函数的连续性
反函数存在的前提下，如果原函 数在某点连续，则反函数在该点
也连续。
02
函数连续性的判定
函数在某点连续的判定
函数在某点连续的定义
如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则函数在该点连续。
无穷函数的连续性
• 无穷函数：无穷函数在无穷处的值可能不定义，因此不连续。 例如，函数$f(x) = \frac{1}{x}$在$x=0$处不连续。
函数连续_精品文档
函数连续函数是数学中的重要概念，我们常常用函数来描述两个变量之间的关系。
在实际应用中，我们经常遇到需要研究函数是否连续的问题。
本文将从函数连续的定义、连续函数的性质以及连续函数在实际问题中的应用等方面进行探讨。
一、函数连续的定义在数学中，函数连续是指函数在某个区间上的所有点上都满足一定条件的性质。
具体来说，函数连续的定义可以分为两种情况：1. 函数在某个点上连续：如果函数f在点x=a处的极限存在且等于函数在该点的函数值f(a)，那么我们称函数在点x=a处是连续的。
2. 函数在某个区间上连续：如果函数f在区间[a, b]上的每一个点都连续，则我们称函数f在该区间上连续。
二、连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，这些性质在研究函数的连续性质和解决实际问题时非常有用。
1. 极限存在性：函数在点a处连续意味着它的极限在该点处存在。
2. 极限性质：连续函数的极限性质成立，即函数在点a处的极限等于函数在该点的函数值。
3. 间断点性质：连续函数在某个区间上不存在间断点。
4. 连续函数的四则运算：如果函数f和g在某个区间上连续，那么它们的和、差、积和商（除非分母为零）也在该区间上连续。
三、连续函数的应用连续函数在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们以几个典型的实例来说明连续函数的应用。
1. 物理过程的描述：连续函数常常用来描述物理过程中的变化。
例如，用连续函数表示物体的运动轨迹、温度的变化以及流体的流动速度等。
2. 优化问题的求解：连续函数在优化问题中有着重要的应用。
例如，在求取一元函数的最大值或最小值时，我们可以通过连续函数的极限性质和导数的定义来求解。
3. 工程设计：在工程设计中，连续函数经常用于模拟和优化系统。
例如，用连续函数描述电路中电流和电压的变化，以及用连续函数分析材料的强度和耐久性等。
四、函数连续的判定方法确定一个函数是否连续的方法有很多种，下面介绍几种常用的判定方法。
1. 有界性和单调性判定：如果函数在某个区间上有界且单调，那么它是连续的。
总复习《第33讲 基本不等式》
1 8 ； , ( x 1) 的最小值是___ 变式2. 函数 f ( x) 4 x x 1
2x 1 ； 变式3. 函数 f ( x) 2 , ( x 0) 的最大值是___ x 1
1 9 1,则 x y min 15 ； 变式4.已知x>0,y>0且 x 1 y
总复习 第33讲
基本不等式代数背景几 Nhomakorabea背景A
ab 2
b
a b 2ab
2 2
a0 b0
a 换a b换 b
ab
a b 2 a b
ab 2
B
O E
ab
a
AO AE
ab 2
C
ab
1．基本不等式
ab ab 2 ：
几何平均数 称呼： 算术平均数 前提： a，b是正实数 . 取等： 当且仅当a=b .
2．常用的几个重要不等式 (1) a2＋b2≥ 2ab 2 . (a，b∈R)； ab ≤ (2) ab (a，b∈R)；
22 2 2 a b a b (3) 2 2
(a，b∈R)；
1. 利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 x＝y 时， (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当______
2 p . x＋y有_____ 最小 值是 _____
简记：积定和最小.
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y时， 最大 值是 xy有_____
p2 ______. 4
简记：和定积最大.
题目： 4 ； 函数f(x)＝4x＋1/x,(x>0)的最小值是____
变式1.函数f(x)＝4x＋a/x (x>0，a>0)在x＝3时 36 ； 取得最小值，则a＝________
最新高三教案-第33讲圆锥曲线方程及性质 精品
普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]高三新数学第一轮复习教案（讲座33）—圆锥曲线方程及性质一．课标要求：1．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2．经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质；3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
二．命题走向本讲内容是圆锥曲线的基础内容，也是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。
圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。
对于本讲内容来讲，预测07年：（1）1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题，主要是求值问题； （2）可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用，结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三．要点精讲1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。
椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+bx a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222c a b =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b+=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小。
例如椭圆221x y m n+=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。
高考数学复习考点知识专题讲解课件第33讲 等差数列及其前n项和
1 + 4 = 5,
首项和公差,然后求出通项公式和前n项和即可;
4×3
2
1 = −3,
= 0,
[解析]设等差数列{an}的公差为d,由题意有ቐ
解得ቊ
=
2,
1 + 4 = 5,
41 +
(−1)
课堂考点探究
(2)[2022·福建莆田二检] 已知等差数列{an}满足a3+a6+a8+a11=12,则a4-3a6的
从而求出{an}的通项公式,最终得证.
证明:由{ }是等差数列,a2=3a1,得 2 - 1 = 41 - 1 = 1 ,即{ }的公
差为 1 ,所以 = 1 +(n-1) 1 =n
2
2
1 ,所以Sn=n a1.当n≥2时,Sn-1=(n-1) a1,
所以an=Sn-Sn-1=(2n-1)a1=a1+(n-1)·2a1,故{an}是公差为2a1的等差数列.
12a6=36,故a6=3,所以S11=
2
=11a6=33,故选D.
课堂考点探究
角度2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a8-a5=-6,S9-S4=75,则Sn取得最大值
5 − 2
=1,且
5−2
=12,可得a13=12×12=144.故选B.
1 =0,满足题意,则有 13 = 1 +(13-1)d
课堂考点探究
(3)[2020·全国卷Ⅱ] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1=-2,a2+a6=2,则
25
S10=
.
[解析]设等差数列{an}的公差为d,则a2+a6=a1+d+a1+5d=2,∴2a1+6d=2,又a1=-2,
高三数学总复习优秀ppt课件(第33讲)等比数列(46页)
an bn
是等比数列吗？
是
（2）已知数列an,数列{ bn }是项数相同的等比数
列，那么数列an bn是等比数列吗？ 不一定
an bn (n≥ 2)? an1 bn1
回顾反思
（1）思想方法：回到定义去！ （2）基本策略：作商！ aann1（n≥2）为常数. （3）思维误区：作商时不考虑等比数列的特征． （4）解题策略：注重整体思想的应用．
聚焦重点：知三求二的策略
基础知识
1．等比数列的通项公式
如果等比数列an的首项是a1，公比是 q，则等比
数列的通项公式为 an a1qn1.
2．等比数列的前n项和公式
当q=1时， Sn na1
当q≠1时，
Sn
a1(1 qn ) 1 q
a1 anq 1 q
问题研究
对于等比数列{an}中的a1，q，n，an，Sn，如 何由其中已知的三个量求出其余两个量？
是以
1 2
为公比的等比数列，{an}的前
n
项和为
Sn，
试问：S1，S2，S3…，Sn，…能否构成等比数列？
为什么？
1．14 2．2n－1
参考答案
3. 当 n=1 时，S1=a1=1．
当
n≥2
时，an=a2qn-2=-
1 2
(
1 2
)n-2=-(
1 2
)n-1．
1 (n 1),
∴an=
(
1 2
)n1
= 3n－3n-1=3 3n1 3n1=2·3n-1．
纵上，an
1 (n 1),
2
3n1(n
≥
2).
可知a1=1，a2=6，a3=18． ∵a22≠a1 a3，
高考数学复习考点知识与结论专题讲解33 数列的概念和性质
高考数学复习考点知识与结论专题讲解第33讲 数列的概念和性质通关一、数列的概念一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项.数列的一般形式可以写成:123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a ，其中数列的第1项1a ，也称首项;数列的第n 项n a ，也叫数列的通项. 要点诠释:(1){}n a 与n a 的含义完全不同:{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项；(2)数列的项与项数是两个不同的概念:数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号；(3)数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同序排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(4)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出.通关二、数列的分类1,2,3,4,,100 ,,n3,4,5,,n1,,20156,6,6,6,2,3,4,-1,1,1,-1,3,4,4,通关三、数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示成n a ()f n =，那么这个公式就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 要点诠释:(1)并不是所有数列都能写出其通项公式.(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的.如数列:1,0,1,0,1,0，通项公式可以是11(1)2n n a ++-=，也可以是sin 2n n a π=.(3)数列通项公式的作用： ①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.(4)数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通关四、数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 的前n 项和:指数列{}n a 的前n 项逐个相加之和，通常用n S 表示，即12n n S a a a =+++，1*1(1)2(n n n S n a S S n n -=⎧⎪=⎨-∈⎪⎩N ）且….结论一、数列通项公式给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系； (2)若第n 项和第1n +项正负交错，那么符号用(1)n-或1(1)n +-或1(1)n --来调控；(3)熟悉一些常见数列的通项公式；(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式进行变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.【例1】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)4142,,,,52117；(2)1925,2,,8,,222；(3)7,77,777,； (4)0,3,8,15,24,.【答案】(1)432n a n =+(2)22n n a =(3)()71019n n a =-(4)21n a n =-【解析】(1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为4444,,,581114，，它们的分母相差3，因而有432n a n =+. (2)把分母统一为2，则有1491625,,,,,22222，因而有22n n a =.(3)把各项除以7，得到1,11,111,，再乘以9，得到9,99,999,，因而有()71019n n a =-. (4)观察数列递增速度较快，用平方数列对照看一看，即222221,2,3,4,5,，则有21n a n =-.【变式】根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)23451,,,,,3579；(2)3143984,,,,251017；(3)392565,,,,24816；(4)5791,,,,81524--.【答案】(1)21n n -(2)221n n n ++(3)12n n +(4)1221(1)2n n n n ++-+【解析】(1)先将数列23451,,,,,3579，第1项也化为分数，数列变为12345,,,,13579，此时可以看出分子是按正整数顺序排列，分母是按奇数排列，因此此数列的通项公式为21n na n =-. (2)将数列各项化为带分数，即149161,2,3,4,251017，可以发线正整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为2n ，分母都比分子大1，所以分数部分的通项公式为221n n +.两部分合成为221n n a n n =++.(3)将数列各项化为带分数，即11111,2,3,4,24816，可以发现整数部分是按正整数顺序排列的，分数部分各分子均为1，分母是2n，所以两部分合成为12nn +. (4)先将数列各项取为正数，即为5791,,,,81524，再将第1项也化为分数(注意第1项化为分子符合各项分子变化规律的分数)即为3579,,,,381524，可以观察出各项分子是3开始的奇数，通项公式可以写为21n +，分母排成的数列后项与前项的差呈现出等差数列规律，求出分母的通项公式是22n n +，合起来为2212n n n ++，再考虑正负号变化规律，即可得出通项公式为1221(1)2n n n n++-+. 结论二、数列的周期性对于数列{}n a ，如果存在一个常数()*T T ∈N，使得对任意的正整数0n n >，恒有n Tn aa +=成立，则称数列{}n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列.若01n =，则称数列{}n a 为纯周期数列，若02n …，则称数列{}n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期. 【例2】设数列{}n a 满足1112,1n na a a +==-，记数列{}n a 前n 项之积为n T ，则2020T 的值为（）. A.2 B 1 C.1-D.2-【答案】D 【解析】因为12a =，111n n a a +=-，所以211112a a =-=，32111a a =-=-，43112a a =-=，即数列{}n a 是周期为3的周期数列，且1231a a a ⋅⋅=-，故673202067331(1)22T T ⨯+==-⨯=-.故选D.【变式】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，若167a =，则20a 的值为（）.A.67B57C.37D.17【答案】B【解析】因为数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧<⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩……，167a =，所以215217a a =-=，323217a a =-=，43627a a ==，所以数列{}n a 是周期为3的循环数列，所以20257a a ==.故选B.结论三、已知n S 求n a 的一般步骤任意数列{}n a 的前n 项和1121(1);(2)n n n nn S n S a a a a S S n -=⎧=+++=⎨-⎩….要点诠释:由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用1,2n n n a S S n -=-…便求出当2n …时n a 的表达式；(3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n …时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n …两段来写. 【例3】已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =-，则其通项公式na =__________.【答案】0,121,2n n n =⎧⎨-⎩…【解析】因为已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，所以当1n =时，110a S ==，当2n …时，1n n n a S S -=-22221(1)1(1)21n n n n n ⎡⎤=----=--=-⎣⎦，经检验，1n =时，1a 不满足上述式子，故数列{}n a 的通项公式0,1.21,2n n a n n =⎧=⎨-⎩…【变式】已知数列{}n a 的前n 项和31nn S =+，则其通项公式na =__________.【答案】14,123,2n n n -=⎧⎨⋅⎩… 【解析】当1n =时，11314a S ==+=；当2n …时，()()111131312323nnnnn n na S S ----=-=+-+=⋅=⋅.当1n =时，111232a -⨯=≠，所以14,1.23,2n n na n -=⎧=⎨⋅⎩…结论四、n a 与n S 混合在一起的处理方法数列{}n a 的前n 项和n S 与通项n a 的关系为11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩…，通过纽带:1(2)n n n a S S n -=-…，根据题目已知条件，消掉n a 或n S ，再通过构造成等差数列或者等比数列进行求解. 要点诠释：(1)若消掉n S ,应利.用已知递推式,把n 换成1n -得到另一个式子,两式相减即可求得通项. (2)若消掉n a ,只需把1n n n a S S -=-代入递推式得到n S ，1n S -的关系,求出n S 后再利用n a 与n S 的关系求通项.【例4】若数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =+,则1a =数列{}n a 的通项公式n a =__________.【答案】11(2)n --【解析】由已知条件得,当1n =时,112133a a =+,故11a =.当2n …时,2133n n S a =+,112133n n S a --=+,所以12233n n n a a a -=-,即12n n a a -=-.所以{}n a 是以1为首项,2-为公比的等比数列,所以1(2)n n a -=-.【变式】已知数列{}n a 的前n 项和n S ,若1111,3n n a S a +==,则7a =（）.A.74B. 534⨯C. 634⨯D. 641+【答案】B【解析】由113n n S a +=,可得11,23n n S a n -=…,两式相减可得:111,233n n n a a a n +=-…,即14,2n n a a n +=….数列{}n a 是从第二项起的等比数列,公比为4, 因为113n n S a +=,11a =.所以23a =.所以72572434a a -==⨯.故选B.结论五、数列单调性的判断方法①作差法:10n n a a +->⇔数列{}n a 是递增数列; 10n n a a +-<⇔数列{}n a 是递减数列; 10n n a a +-=⇔数列{}n a 是常数列.②作商法:当0n a >时,11n n a a +>⇔数列{}n a 是递增数列; 11n na a +<⇔数列{}n a 是递减数列; 11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列. 当0n a <时,11n na a +>⇔数列{}n a 是递减数列; 11n na a +<⇔数列{}n a 是递增数列; 11n na a +=⇔数列{}n a 是常数列. 【例5】已知{}n a 是递增数列,且对于任意的*2,n n a n n λ∈=+N 恒成立,则实数λ的取值范围是__________. 【答案】3λ>-【解析】解法一（定义法）因为{}n a 是递增数列,所以对任意的*n ∈N ,都有1n a +>n a ,即22(1)(1)n n n n λλ+++>+,整理得210n λ++>,即(21)(*)n λ>-+. 因为1n …,所以(21)3n -+-…,要使不等式(*)恒成立,只需3λ>-.解法二（函数法）设2()n f n a n n λ==+,其图像的对称轴为直线2n λ=-,要使数列{}n a 为递增数列,只需使定义在正整数上的函数()f n 为增函数,故只需满足(1)(2)f f <,即3λ>-. 【变式】已知数列{}n a 的通项公式为(37)0.9n n a n =+⨯,则数列{}n a 的最大项是（）.A.5aB. 6aC. 7aD. 8a 【答案】C 【解析】由1310913710n n a n a n ++=⨯>+,解得203n <,又*n ∈N ,所以6n ….于是12a a <<7a <,当7n …时,11n na a +<, 故78a a >>, 因此最大项为7a .故选C .。
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题目高中数学复习专题讲座函数的连续及其应用
高考要求
函数的连续性是新增加的内容之一 它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起 在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点 本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系 重难点归纳
1 深刻理解函数f (x )在x 0处连续的概念 等式lim 0
x x →f (x )=f (x 0)的涵义是
(1)f (x 0)在x =x 0处有定义，即f (x 0)存在；
(2)lim 0
x x →f (x )存在，这里隐含着f (x )在点x =x 0附近有定义；
(3)f (x )在点x 0处的极限值等于这一点的函数值，即lim 0
x x →f (x )=f (x 0) 函数
f (x )在x 0处连续，反映在图象上是f (x )的图象在点x =x 0处是不间断的
2 函数f (x )在点x 0不连续，就是f (x )的图象在点x =x 0处是间断的 其情形 (1)lim 0x x →f (x )存在；f (x 0)存在，但lim 0
x x →f (x )≠f (x 0); (2)lim 0x x →f (x )存在，但f (x 0)不存在 (3) lim 0
x x →f (x )不存在 3 由连续函数的定义，可以得到计算函数极限的一种方法 如果函数f (x )在其定义区间内是连续的，点x 0是定义区间内的一点，那么求x →x 0时函数f (x )的极限，只要求出f (x )在点x 0处的函数值f (x 0)就可以了，即lim 0x x →f (x )=f (x 0) 典型题例示范讲解 例1已知函数f (x )=2
42+-x x , (1)求f (x )的定义域，并作出函数的图象；
(2)求f (x )的不连续点x 0; (3)对f (x )补充定义，使其是R 上的连续函数
命题意图 函数的连续性，尤其是在某定点处的连续性在函数图象上有最直观的反映 因而画函数图象去直观反映题目中的连续性问题也就成为一种最重要的方法
知识依托 本题是分式函数，所以解答本题的闪光点是能准确画出它的图象
错解分析 第(3)问是本题的难点，考生通过自己对所学连续函数定义
的了解 应明确知道第(3)问是求的分数函数解析式 技巧与方法 对分式化简变形，注意等价性，观察图象进行解答 解 (1)当x +2≠0时，有x ≠－2
因此，函数的定义域是(－∞,－2)∪(－2,+∞)
当x ≠－2时，f (x )=2
42+-x x =x －2, 其图象如上图
(2)由定义域知，函数f (x )的不连续点是x 0=－2
(3)因为当x ≠－2时，f (x )=x －2,
所以)2(lim )(lim 2
2-=-→-→x x f x x =－4
因此，将f (x )的表达式改写为f (x )=⎪⎩
⎪⎨⎧-=--≠+-2)( 4)2( 242x x x x
则函数f (x )在R 上是连续函数
例2求证 方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个正根，且它不大于a +b 命题意图 要判定方程f (x )=0是否有实根 即判定对应的连续函数y =f (x )的图象是否与x 轴有交点，因此根据连续函数的性质，只要找到图象上的两点，满足一点在x 轴上方，另一点在x 轴下方即可 本题主要考查这种解题方法 知识依托 解答本题的闪光点要找到合适的两点，使函数值其一为负，另一为正 错解分析 因为本题为超越方程，因而考生最易想到画图象观察，而忽视连续性的性质在解这类题目中的简便作用 证明 设f (x )=a sin x +b －x ,
则f (0)=b ＞0,f (a +b )=a ·sin(a +b )+b －(a +b )=a ［sin(a +b )－1］≤0,
又f (x )在(0,a +b ］内是连续函数，所以存在一个x 0∈(0,a +b ］，使f (x 0)=0,即x 0是方程f (x )=0的根，也就是方程x =a ·sin x +b 的根
因此，方程x =a sin x +b 至少存在一个正根，且它不大于a +b
例3已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+-<)51( )1(log )11( )1()1( 32
x x x x x x
(1)讨论f (x )在点x =－1,0,1处的连续性；
(2)求f (x )的连续区间 解 (1)lim 1--→x f (x )=3, lim 1+-→x f (x )=－1,所以lim 1
-→x f (x )不存在，
所以f (x )在x =－1处不连续，
但lim 1-→x f (x )=f (－1)=－1, lim 1
--→x f (x )≠f (－1), 所以f (x )在x =－1处右连续，左不连续
lim 1-→x f (x )=3=f (1), lim 1+→x f (x )不存在，所以lim 1
→x f (x )不存在， 所以f (x )在x =1不连续，但左连续，右不连续
又lim 0
→x f (x )=f (0)=0,所以f (x )在x =0处连续
(2)f (x )中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f (x )除不连续点x =±1外，再也无不连续点，
所以f (x )的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5] 学生巩固练习 1 若f (x )=1
11
13-+-+x x 在点x =0处连续，则f (0)等于( ) A 23 B 32 C 1 D 0 2 设f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<<21
11 2
110 x x x x 则f (x )的连续区间为( ) A (0，2) B (0，1) C (0，1)∪(1，2) D (1，2) 3 x x x x arctan 4)2ln(lim 21--→ =_________ 4 若f (x )=⎪⎩
⎪⎨⎧≥+<--0 0 11x bx a x x x 处处连续，则a 的值为_________ 5 已知函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-)0(
1)0( 1
21211
x x x x (1)f (x )在x =0处是否连续？说明理由；
(2)讨论f (x )在闭区间［－1,0］和［0,1］上的连续性
6 已知f (x )=⎪⎩
⎪⎨⎧≥+<--)0()0(11x bx a x x x (1)求f (－x );
(2)求常数a 的值，使f (x )在区间(－∞,+∞)内处处连续 7 求证任何一个实系数一元三次方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0(a 0,a 1,a 2,a 3∈R ,a 0≠0)至少有一个实数根 8 求函数f (x )=⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤)1( )21(log )1( 2x x x x 的不连续点和连续区间 参考答案 1 解析 ]11][11)1()[11(]
11)1()[11)(11()(3332332-+++++++++++-+++=x x x x x x x x x f
2
311111)0(1
11
1)1(323=+++=++++++=f x x x 答案 A 2 解析 11lim )(lim 1
1==++→→x x x f 21)1(1)(lim ,1lim )(lim 11
1=≠===→→→-
-f x f x x f x x x 即f (x )在x =1点不连续，显知f (x )在(0,1)和(1,2)连续 答案 C 3 解析 利用函数的连续性，即)()(lim 00
x f x f x x =→, π
=--=--∴→11arctan 4)12sin(11arctan 4)2sin(lim 221x x x 答案 π1
21,0)(lim )(lim 21111lim 11lim )(lim :.400000=∴=+==-+=--=++---→→→→→a bx a x f x x x x f x x x x x 解析 答案 2
1 5 解 f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-)0(
1)0(12111x x x
(1) lim 10-→x f (x )=－1, lim 0+→x f (x )=1,所以lim 0
→x f (x )不存在， 故f (x )在x =0处不连续
(2)f (x )在(－∞,+∞)上除x =0外，再无间断点，
由(1)知f (x )在x =0处右连续，
所以f (x )在［－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数 6 解 (1)f (－x )=⎪⎩
⎪⎨⎧≥-<-+)0( )0( 11x bx a x x x (2)要使f (x )在(－∞,+∞)内处处连续，只要f (x )在x =0连续，
lim 0-→x f (x )= lim 0-→x x x --11=21111lim )11(lim 00=-+=-+--→→x
x x x x x lim 0+→x f (x )=lim 0
+→x (a +bx )=a , 因为要f (x )在x =0处连续，
只要lim 0
+→x f (x )= lim 0+→x f (x )= lim 0+→x f (x )=f (0),所以a =2
1 7 证明 设f (x )=a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3,函数f (x )在(－∞,+∞)连续， 且x →+∞时，f (x )→+∞;x →－∞时，f (x )→－∞,
所以必存在a ∈(－∞,+∞),b ∈(－∞, +∞),使f (a )·f (b )＜0,
所以f (x )的图象至少在(a ,b )上穿过x 轴一次，即f (x )=0至少有一实根 8 解 不连续点是x =1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞) 课前后备注。