概率论与数理统计第一章48677共25页

例7 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则 击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落， 就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲 机未被击落，再次向乙机进攻，击落乙机
的概率为0.4，在这几个回合中，分别计算 甲、乙被击落的概率。
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六、 全概公式与贝叶斯公式
§1.4 条件概率
全概率公式和贝叶斯公式主要用于 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 是加法公式和乘法公式的综合运用.
五、 乘法公式
由条件概率的定义： P(A| B) P(AB) P(B)
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
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§1.4 条件概率
即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
将A、B的位置对调，有
若 P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) 而 P(AB)=P(BA)
并且前面对概率所证明的一些重要性质
都适用于条件概率.
概率论与数理统计
§1.4 条件概率
课前练习
1. 设A、B、C是三个随机事件，且P(A)=P(B) =P(C)=1/4，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=1/8，求 A、B、C至少有一个发生的概率。
2. 一批产品20件，其中16件正品，4件废品，从 中任取两次，每次取一件，采取回置式抽样，求 在第一次取得次品的条件下，第二次取到正品的 概率。
设 A={掷出2点}，B={掷出偶数点}
P(A|B）= 1 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减样本空间 中A所含样本点
个数
掷骰子
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§1.4 条件概率
例 3 已知 P (A )0.3,P (B )0.4,P (A |B ) 0 .5 , 试求 P(B|A),P(B|AB),P (A B |A B ).
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四、 条件概率的计算 1) 用定义计算:
P(A|
B)
P(AB) ,
P(B)
§1.4 条件概率
P(B)>0
2）条件概率计算公式：
P(BA)B在 缩缩 减减 样样 本本 空空 间 的 样间 中 样 本中 所 本 点所 含 点 的含 的 的 个
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§1.4 条件概率
例2 掷一颗均匀骰子，
P(A| B) P(AB) P(B)
(1)
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.
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§1.4 条件概率
三、 条件概率的性质(自行验证) 设B是一事件，且P(B)>0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1;
2. P ( S | B) =1 ； 3.设A1,…,An互不相容，则 P[(A1∪…∪An )| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)
有5%的不合格，求该批产品被认为不合格的 概率。
例6 设某种动物由出生算起活到20年以上的概 率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现 年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的 概率是多少？
P(B| A) P(AB) P(B) 0.40.5 P(A) P(A) 0.8
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§1.4 条件概率
综合运用
加法公式
P(A∪B)=P(A)+P(B)
A、B互不相容
乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
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§1.4 条件概率
例8 设在某次世界女子排球赛中，中俄日古巴 四队取得半决赛权，形势如下：
中国队 古巴队
中国队
日本队
胜队
冠军
俄罗斯队
现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队、
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§1.4 条件概率
例1 考察有两个孩子的家庭，事件A表示至少 有一个男孩，事件B表示恰好有一个女孩。 求P（A）及P（B）。
记g表示女孩，b表示男孩，则
={(g, g), (b, b), (b, g), (g, b)}
A={（b, b）,（b, g）,（g, b）};
B={（b, g）,（g, b）}
一般地古典概型有 P(B| A) P(AB) P(A)
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§1.4 条件概率
计算P(A|B)时，这个前提条件未变，
只是加上“事件B已发生”这个新的条件. 这好象给了我们一个“情报”，使我
们 得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.
二、 条件概率的定义
定义1 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称
俄罗斯队的概率分别为0.9与0.6，而日本队战
胜俄罗斯队的概率为0.4，试问中国队取得冠
军的可能性是多少？
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§1.4 条件概率
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 得到在概率计算中常用的全概率公式.
定理1（全概率公式）
设随机试验 E的样本空间 ， A1,A2,…,An 为一完备事件组，且P(Ai)>0， i =1,2,…,n, 则 对于任一事件B, 有
设B={零件是乙厂生产} 300个
乙厂生产
A={是标准件}
所求为P(AB).
189个是
标准件
甲、乙共生产
1000 个
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§1.4 条件概率
设B={零件是乙厂生产}乙3厂00生个产 A={是标准件}
189个是
标准件
பைடு நூலகம்所求为P(AB) .
若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”
P（A）=
3 4
P(B) 2 1 42
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§1.4 条件概率
若已知某家庭至少有一个男孩，求恰好有
一个女孩的概率。
由于信息增加了，样本空间发生了变化，此 时样本空间为:
={（b，b）,（b，g）,（g，b）};
则在这种情况下事件B的概率为：
p
2 3
称这种概率为条件概率。记作 P(B| A)
故 P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
注意P(AB)与P(A | B)的区别！
(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率
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§1.4 条件概率
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189 个是标准件，现从这1000个零件中任取一个， 问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
甲、乙共生产
1000 个
B发生,
求的是 P(A|B) .
在P(AB)中作为结果;
在P(A|B)中作为条件.
P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件
不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也
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§1.4 条件概率
例5 一批产品共100件，对其进行抽样检查，如 果在抽查的5件产品中至少有一件不合格品， 就认为整批产品不合格，如果在该批产品中