第三章 正交多项式3.2

b
（1）
的正交函数族。 则称函数族 {ϕ k (x)} 是 [a, b] 上带权 ρ (x ) 的正交函数族。
1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,L x ∈ [−π , π ], ρ ( x) = 1 如果函数族Φ1 ϕ0x ∈ [−1,1], ρ ( x) ,=ϕn(x), … }是首项系数不为 是首项系数不为 1, x, x 2 − ={ (x), ϕ1(x), … 1 3 零的多项式，且满足（ ） 零的多项式，且满足（1）式，则称多项式序列{ϕk (x)} 为在 [a, b]
x
0 1 − x Un ( x)Um ( x)dx = π 2
2
m≠n n=m
d (x e ) dx
n
n
n −x
,
0 m≠ n (1) ∫ e Ln (x)Lm(x)dx = 2 (n!) n = m 0
−x
∞
(2) Ln+1( x) = (1+ 2n − x)Ln ( x) − n2 Ln−1( x)
3
定义
正交， 次正交多项式。 ϕ 上带权 ρ(x) 正交， n (x) 为 [a, b] 上带权 ρ(x)的n次正交多项式。 次正交多项式
§2 Orthogonal Polynomials & L-S Approximation
(ϕ i ( x ), ϕ j ( x )) = ∫ ρ ( xWh x )ϕ j ( x )dx )ϕ i ( n y? {ϕ k ( x )}0 可以由区间、权函数唯一决定 可以由区间、权函数唯一决定! a i≠ j 0 (ϕi ( x),ϕ j ( x)) = 1, x , x 2 , x 3 , L , x n , L 在任何区间上都线性无关，0 i = j 在任何区间上都线性无关，给定 因为从任何一组线性无关的向量组出发，都可以得 Ai > n [a, b]，ρ(x)，确定 { k ( x )}0 的过程如下： 的过程如下： ， ， 到一组正交的向量组（施密特正交化定理） ϕ
( 2) if k ≠ j , (ϕ j ( x ), ϕ k ( x )) = 0 and that ∀j < k , ( p j ( x ), ϕ k ( x )) = 0
i =0
(3) ϕ n +1 ( x ) = ( x − α n ) ϕ n ( x ) − β n −1ϕ n −1 ( x ) = 0,1,L where
3.2.2 Legendre多项式 定义
k −1 k
Legendre1785年给出
[a, b] = [−1,1], ρ( x) = 1, 由 1, x , L x n , L 经过正交化
k
( x , Li ( x) Lk ( x) = x − ∑ Li ( x), L0 ( x) = 1 i =0 ( Li ( x), Li ( x))
3、Hermite多项式 [a, b] = (−∞, ∞), ρ( x) = e
H n( x) = (−1) e
∞ −x2
n − x2
− x2
,
d (e
n
− x2
)
dxn
,
0 m≠ n (1) ∫ e Hn (x)Hm(x)dx = n 2 n! π n = m −∞
(2) Hn+1( x) = 2xHn ( x) − 2nHn−1( x) H0 ( x) = 1, H1( x) = 2x
T n( x) = cos(n arccosx), an = 2n−1
Chebyshev多项式性质 (1) Tn+1( x) = 2xTn ( x) − Tn−1( x),
m≠n 0 1 π Tn ( x)Tm ( x) n = m ≠ 0 T ( x)中只有x的偶次幂 (2) ∫ dx = 2n 2 2 1− x −1 π n = m = 0 T2n −1 ( x)中只有x的奇次幂
2
Un ( x) =
sin[(n +1) arccosx] 1− x 2
(1) Un+1(x) = 2xUn (x) −Un−1(x), U0 (x) = 1,U1(x) = 2x
(2)
−1
∫
1
2、Laguerre多项式 [a, b] = [0, ∞], ρ( x) = e− x ,
Ln ( x) = e
Ak = 1 §3.2 正交多项式 /* Orthogonal Polynomials */
称作标准正交函数族
3.2.1 正交函数族与正交多项式
满足关系 定义 如果函数族Φ={ ϕ0(x), ϕ1(x), … , ϕn(x), … }满足关系
0 j ≠ k (ϕ j ( x),ϕk ( x)) = ∫ ρ( x)ϕ j ( x)ϕk ( x)dx = 2 1 Ak j = k ax ∈[−1,1], ρ( x) = 1 eg 1, x, x −
要求掌握两种正交多项 式 chebyshev, legrendre
{
}
Rodrigul 1814年给出
(3) (n +1)Ln+1( x) = (2n +1)xLn ( x) − nLn−1( x)
3.2.3 Chebyshev多项式 定义 [a, b] = [−1,1], ρ( x) =
1 1− x2 得到的多项式就称为Chebyshev多项式。 ,由 1, x , L x n , L 经正交化
ϕ 0 ( x ) = 1, ϕ −1 ( x ) = 0 ( x ϕ n ( x ), ϕ n ( x )) ( ϕ n ( x ), ϕ n ( x )) , βn = αn = ( ϕ n ( x ), ϕ n ( x )) ( ϕ n −1 ( x ), ϕ n −1 ( x ))
( 4) ϕ n ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 )L( x − xn ) xi ∈ [a, b], xi ≠ x j , i = 1,2,L , n
得到的多项式就成为Legendre多项式。 1 dn 2 (2n)! n Ln ( x) = n ( x −1) , an = n ,L0 ( x) = 1 2 n! dxn 2 (n! )2 1 0 m≠n Legendre多项式性质 (1) L ( x)L ( x)dx = 2 ∫ n m n=m 2n +1 −1 n (2) Ln (−x) = (−1) Ln ( x)
T0 ( x) = 1,T1( x) = x,T2 ( x) = 2x2 −1,L
(3) Tn (−x) = (−1)n Tn ( x)
3.2.4 其他常用的正交多项式 1、第二类Chebyshev多项式
1, x , L x n , L 正交化 [a, b] = [−1,1], ρ( x) = 1− x ,
1 . Let ϕ 0 ( x ) = 1 2 . f or k = 1, 2 , L n
表示首项系数为1的 次正交多项式 依然用 ϕ k ( x ) 表示首项系数为 的k次正交多项式
b
ϕ k ( x ) = x k − λ k 0 ϕ 0 ( x ) − λ k 1ϕ 1 ( x ) − L λ kk −1ϕ k −1 ( x )
= x − ∑ λ ki ϕ i Βιβλιοθήκη x )k i=0 k −1
for
i = 0 ,1, L , k − 1, λ ki
( x k , ϕ i ( x )) = (ϕ i ( x ), ϕ i ( x ))
n {ϕi ( x)}0
具有以下性质
n
k −1 (1) ∀pn ( x ) ∈ Pn , pn ( x ) = ∑ λiϕ i ( x ) 证明留作业 ϕ k ( x) = xk − ∑λkiϕi ( x) i =0