谓词逻辑练习及答案讲课稿
谓词逻辑习题及答案
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
(完整word版)第二章 谓词逻辑
第二章谓词逻辑1.什么叫做客体和客体变元？如何表示客体和客体变元？2.么叫做谓词？3.什么叫做论域?我们定义一个“最大”的论域叫做什么?4.填空题：1．存在量词：记作（），表示( ）或者（）或者（ )。
2．全称量词:记作（ ),表示( ）或者（）或者( )。
5。
什么叫做量词的作用域？指出下面两个谓词公式中各个量词的作用域。
”x(F（x，y)→$yP(y)）∧Q(z）∧＄xA（x）”x$y”z(A（x，y)→B(x,y,z))∧C(t)6。
什么叫做约束变元？什么叫做自由变元？指出下面公式中哪些客体变元是约束变元？哪些客体变元是自由变元?”x(F(x,y）→＄yP(y）)∧Q(z）∧$xA（x)7.填空：一个谓词公式如果无自由变元，它就表示一个（ )。
8.给出的谓词 J（x)：x是教练员， L（x） :x是运动员, S（x) ：x是大学生，O(x) ：x是年老的，V(x） :x是健壮的,C(x）：x是国家选手，W（x) ：x是女同志, H（x）：x是家庭妇女,A （x，y）：x钦佩y。
客体 j：金某人.用上面给出的符号将下面命题符号化。
1．所有教练员是运动员。
2．某些运动员是大学生.3．某些教练是年老的，但是健壮的.4．金教练既不老，但也不是健壮的。
5．不是所有运动员都是教练。
6．某些大学生运动员是国家选手。
7．没有一个国家选手不是健壮的。
8．所有老的国家选手都是运动员。
9．没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女。
10．有些女同志既是教练又是国家选手。
11．所有运动员都钦佩某些教练。
12．有些大学生不钦佩运动员.9。
将下面命题符号化1．金子闪光,但闪光的不一定都是金子.2．没有大学生不懂外语.3．有些液体可以溶解所有固体.4．每个大学生都爱好一些文体活动。
5．每个自然数都有唯一的后继数。
10.令P表示天气好.Q表示考试准时进行。
A（x)表示x是考生.B(x)表示x提前进入考场。
C（x）表示x取得良好成绩.E(x，y）表示x=y.利用上述符号，分别写出下面各个命题的符号表达式。
离散数学习题课-谓词逻辑
求下述在I下的解释及其真值 求下述在 下的解释及其真值: 下的解释及其真值 ∀x∃y(F(f(x))∧G(y,f(a))) ∃ ∧ ⇔∀xF(f(x))∧∃ ∧∃yG(y,f(a)) 解 ⇔∀ ∧∃ ⇔F(f(2))∧F(f(3))∧(G(2,f(2))∨G(3,f(2))) ∧ ∧ ∨ ⇔1∧0∧(1∨0)⇔0 ∧ ∧ ∨ ⇔
7
练习3 练习
(1)∀xF(g(x,a),x) ∀ ∀x(2x=x) (2) ∀x∀y(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)) ∀ → ∀x∀y(x+2=y→y+2=x) ∀ → (3) ∀x∀y∃zF(f(x,y),z) ∀ ∃ ∀x∀y∃z(x+y=z) ∀ ∃ (4) ∃x∀y∀zF(f(y,z),x) ∀ ∀ ∃x∀y∀z(y+z=x) ∀ ∀ (5) ∃xF(f(x,x),g(x,x)) ∃x(x+x=x⋅x) ⋅ 假 假 真 假 真
习题课-谓词逻辑 习题课 谓词逻辑(1) 谓词逻辑
主要内容 个体词、谓词、 个体词、谓词、量词 一阶逻辑命题符号化 一阶语言L： 原子公式、 一阶语言 ：项、原子公式、合式公式 公式的解释
量词的辖域、指导变元、 量词的辖域、指导变元、个体变项的自由出现与约 束出现、闭式、 束出现、闭式、解释
公式的类型
19
练习4（ 练习 （续）
证明： 证明：用归谬法 (1) ¬∃ ¬∃x(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ∧ ∧¬ (2) ∀x¬(F(x)∧G(x)∧¬ ∧¬H(x)) ¬ ∧ ∧¬ (3) ¬(F(y)∧G(y)∧¬ ∧ ∧¬H(y)) ∧¬ (4) G(y)→ ¬F(y)∨H(y) → ∨ (5) ∀x(F(x)→G(x)) → (6) F(y)→G(y) → (7) F(y) → ¬F(y)∨H(y) ∨ 论 结论否定引入 (1)置换 置换 (2)∀− ∀− (3)置换 置换 前提引入 (5)∀− ∀− (4)(6)假言三段 假言三段
谓词逻辑(一)PPT上习题及答案
谓词逻辑（一）PPT上习题及答案1、所有的企业家都是MBA.所以，并非所有的企业家都不是MBA。
SAP→﹁SEP2、所有的客观规律都不是以人的意志为转移的，所以，并非所有的客观规律都是以人的意志为转移的。
SEP→﹁SAP3、并非有的有限责任公司是上市公司，所以，有的有限责任公司不是上市公司。
﹁SIP→SOP4、在库存的产品中，并非有的产品不是劣质产品，所以，在库存的产品中，有的产品是劣质产品。
﹁SOP→SIP5、所有的人都有保护环境的义务，所以，并非有些人没有保护环境的义务。
SAP→﹁SOP6、凡放火罪都不是过失犯罪，所以，并非有的放火罪是过失犯罪。
SEP→﹁SIP7、有的兼职律师是教师，所以，并非所有的兼职律师都不是教师。
SIP→﹁SEP8、有的克里特岛人不说谎，所以，并非所有的克里特岛人都说谎。
SOP→﹁SAP9、并非所有的公民都偷税漏税，所以，有的公民不偷税漏税。
﹁SAP→SIP10、并非所有国家都没有发生疯牛病，所以，有些国家发生了疯牛病。
﹁SEP→SIP11、并非有的正当防卫是负刑事责任的，所以，所有的正当防卫都不是负刑事责任的。
﹁SIP→SEP12、并非有的醉酒的人犯罪不负刑事责任，所以，所有醉酒的人犯罪都要负刑事责任。
﹁SOP→SAP13、所有作案者都有作案时间，所以，有的作案者有作案时间。
SAP→SIP14、并非有些未满18 岁的青少年有选举权，所以，并非所有未满18 岁的青少年都有选举权。
﹁SIP→﹁SAP15、凡不能正确表达意志的人不能作证，所以，有些不能正确表达意志的人不能作。
SEP→SOP16、并非有些花朵不是美丽的，所以，并非所有花朵都不是美丽的。
﹁SOP→﹁SEP通过调查得知，并非所有个体商贩都有偷税、逃税行为。
如果上述调杏的结论是真实的，那么以下哪项一定为真?A. 所有的个体商贩都没有偷税、逃税行为。
B. 多数个体商贩都有偷税、逃税行为。
C. 并非有的个体商贩没有偷税、逃税行为。
谓词逻辑习题及答案
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀ ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃ ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀ （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
谓词逻辑习题及答案
1. 将下列命题用谓词符号化。
4) 2 或 3 是质数。
5)除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令 P( x) ：x 学过英语， Q(x) ：x 学过法语， c ：小王，命题符号化为 P(c) Q(c) (2) 令P(x,y)：x 大于 y, 命题符号化为 P(2,4) P(2,3) (3) 令 P(x)：x 是偶数，命题符号化为 P(3)(4) 令 P(x)：x 是质数，命题符号化为 P(2) P(3)(5) 令 P(x)：x 是北方人； Q(x)：x 怕冷； c ：李键；命题符号化为 Q(c) P(x) 2. 设个体域 D {a ，b ，c} ，消去下列各式的量词。
(1)x y(P(x) Q(y)) (2) x y(P(x) Q(y))(3) xP(x)yQ(y)(4)x(P(x ，y) yQ(y))解：(1) 中 A(x) y(P(x) Q( y)) ，显然 A(x)对y 是自由的，故可使用 UE 规则，得到 A(y) y(P(y) Q(y)) ，因此 x y(P(x) Q(y)) y(P(y) Q( y)) ，再用 ES 规则， y( P( y) Q(y)) P(z) Q(z)，z D ，所以 x y(P(x)Q(y)) P(z) Q(z) (2)中 A(x) y(P(x) Q( y)) ，它对 y 不是自由的，故不能用 UI 规则，然而，对 A( x)中约束变元 y 改名z ，得到 z(P(x) Q( z)) ，这时用 UI 规则，可得：x y(P(x) Q(y))x z(P(x) Q(z)) z(P(x) Q(z))3) 略 4) 略3. 设谓词 P(x ，y)表示“x 等于 y ”，个体变元 x 和y 的个体域都是 D {1，2，3} 。
求下列各式的真值。
(1) xP( x ，3) (2) yP(1，y) (3) x yP(x ，y) (4)x yP( x ，y)(5)x yP(x ，y)(6) y xP(x ，y)解：(2) 当 x 3时可使式子成立，所以为 Ture 。
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案上课讲义
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考答案说明：红色标注题目可以暂且不做命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目一、填空1、若P，Q，为二命题，QP→真值为0 当且仅当。
2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，:),(则命题的逻辑谓词公式yL>xxy为。
3、谓词合式公式)(xP∃∀的前束范式x→)(xxQ为。
4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为换名规则。
5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。
6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则→∨QP⌝∨⌝的真值→∧⌝(S)))(R()PR(= 。
7．公式P∧)()(的主合取范式为∨RSRP⌝∨∧。
8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)(xP∀→∃在I下真值为xP)(xx。
9. P：你努力，Q：你失败。
“除非你努力，否则你将失败”的翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为。
10. 论域D={1，2}，指定谓词P则公式),(x y∀真值x∃yP为。
11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。
则∧wff∧R∨→))∧的真值∨SP))P)((((QR(S为。
12. R⌝))((的主合取范式∧RQ∨Pwff→为。
13.设 P（x）：x是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数 N (x,y)：x可以整数y。
则谓词)))xyOPy∀的自然语言是→∃wff∧x()(N(,y((x)。
14.谓词)),,(xyzPxz∀的前束∀P∃∧→wff∃y),(,))y(z(uQx(u范式为。
二、选择1、下列语句是命题的有（）。
A、明年中秋节的晚上是晴天；B、0>x；+yC、0>xy当且仅当x和y都大于0；D、我正在说谎。
2、下列各命题中真值为真的命题有（）。
A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、下列符号串是合式公式的有（）A、QP⌝∨Q⌝；P∨∧P⇔；B、Q(QP⇒；C、)P∨)(D、)⌝。
第2章谓词逻辑习题测验及答案
谓词逻辑习题1. 将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。
（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。
（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：(1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ⌝ (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨(5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ⌝→ 2. 设个体域}{c b a D ，，=，消去下列各式的量词。
（1）))()((y Q x P y x ∧∃∀ （2）))()((y Q x P y x ∨∀∀（3）)()(y yQ x xP ∀→∀（4）))()((y yQ y x P x ∃→∀，解：(1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧∃=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧∃=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧∃∧∃∀α，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧∃α，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧∃∀α（2）中))()(()(y Q x P y x A ∨∀=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对)(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨∀，这时用UI 规则，可得：))()((y Q x P y x ∨∀∀ ))()((z Q x P z x ∨∀∀⇔ ))()((z Q x P z ∨∀α （3）略 （4）略3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321{，，=D 。
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谓词逻辑练习及答案第二章谓词逻辑练习一1、指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并回答它们是否是命题：（1）∀x(P(x)∨Q(x))∧R （R为命题常元）（2）∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)（3）∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))（4）P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))解（1）全称量词∀，辖域 P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元，∀x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。
（2）全称量词∀，辖域 P(x)∨Q(x)，其中 x为约束变元。
存在量词∃，辖域 S(x) ，其中 x为约束变元。
T(x)中x为自由变元。
∀x(P(x)∧Q(x))∧∃xS(x)→T(x)不是命题。
（3）全称量词∀，辖域 P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)，其中 x为约束变元，T(y)中y为自由变元。
存在量词∃，辖域B(x,y)∧Q(y)，其中y为约束变元。
∀x(P(x)→∃y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))是命题。
（4）全称量词∀，辖域∃x(P(x)∧B(x,y))，其中 y为约束变元。
存在量词∃，辖域P(x)∧B(x,y)，其中 x为约束变元。
不在量词辖域中的P(x)中的x为自由变元。
P(x)→(∀y∃x(P(x)∧B(x,y))→P(x))不是命题。
2、对个体域{0，1}判定下列公式的真值, E(x)表示“x是偶数”：（1）∀x(E(x)→┐x=1)（2）∀x(E(x)∧┐x=1)（3）∃x(E(x)∧x=1)（4）∃x(E(x)→x=1)再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。
解（1）∀x(E(x)→┐x=1) 真∀x(E(x)→┐x=1) 可表示成命题公式（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）其中E(0)→┐0=1真，E(1)→┐1=1也真，故（E(0)→┐0=1）∧（E(1)→┐1=1）真。
（2）∀x(E(x)∧┐x=1) 假∀x(E(x)∧┐x=1) 可表示成命题公式（E(0) ∧┐0=1）∧（E(1) ∧┐1=1）其中E(0) ∧┐0=1真，但E(1) ∧┐1=1假，故（E(0) ∧┐0=1）∧（E(1) ∧┐1=1）假。
（3）∃x(E(x)∧x=1) 假∃x(E(x)∧x=1) 可表示成命题公式 (E(0)∧0=1) ∨ (E(1)∧1=1)其中E(0)∧0=1假，E(1)∧1=1也假，故 (E(0)∧0=1) ∨ (E(1)∧1=1)假。
（4）∃x(E(x)→x=1) 真∃x(E(x)→x=1) 可表示成命题公式 (E(0)→0=1) ∨ (E(1)→1=1)其中E(0)→0=1假，但E(1)→1=1真，故 (E(0)→0=1) ∨ (E(1)→1=1)真。
3、设整数集为个体域，判定下列公式的真值(*表示数乘运算)：（1）∀x ∃y(x*y=x)（2）∀x∃y (x*y=1)（3）∀x ∃y(x+y=1)（4）∃y ∀x (x*y=x)（5）∃y ∀x (x+y=0)（6）∀x ∃y(x+y=0)解（1）∀x ∃y(x*y=x) 真（2）∀x∃y (x*y=1) 假（3）∀x ∃y(x+y=1) 真（4）∃y ∀x (x*y=x) 真（5）∃y ∀x (x+y=0) 假（6）∀x ∃y(x+y=0) 真4、量词∃! 表示“有且仅有”，∃!xP(x)表示有且仅有一个个体满足谓词P(x)。
试用量词，∀, ∃,等号“=”及谓词P(x),表示∃! P(x)，即写出一个通常的谓词公式使之与∃!xP(x)具有相同的意义。
解∃!xP(x)可用以下具有相同的意义的谓词公式表示∃x（P(x) ∧∀y（P(y)→y=x））5、设个体域为整数集，试确定两个谓词P(x,y)，分别使得下列两个蕴涵式假：（1）∀x ∃!yP(x,y) →∃!y∀x P(x,y)（2）∃!y∀x P(x,y) →∀x ∃!yP(x,y)解（1）当P(x,y)表示x+y=0时∀x ∃!yP(x,y) →∃!y∀x P(x,y)为假。
（2）当P(x,y)表示x*y=0时∃!y∀x P(x,y)→∀x ∃!yP(x,y) 为假(*表示数乘运算)。
因为只有数0对一切整数x，有x*0=0，从而前件真；但对数0，可有众多y，使0*y=0，从而后件假。
6、指定整数集的一个尽可能大的子集（如果存在）为个体域，使得下列公式为真：（1）∀x(x>0)（2）∀x(x=5∨x=6)（3）∀x ∃y(x+y=3)（4）∃y ∀x (x+y<0)解（1）对正整数集个体域，∀x(x>0)为真（2）对{5，6}，∀x(x=5∨x=6) 为真（3）对整数集，∀x ∃y(x+y=3) 为真（4）使得∃y ∀x (x+y<0) 为真的整数集的尽可能大的子集不存在。
7、以实数集为个体域, 用谓词公式将下列语句形式化：（1）如果两实数的平方和为零，那么这两个实数均为零。
（2）f(x)为一实函数当且仅当对每一实数x都有且只有一个实数y满足y = f(x)（不得使用量词∃!。
“f(x)为实函数”可译为RF(f)）。
解（1）∀x∀y(x2+y2=0→x=0y=0) 。
（2）RF(f )↔∀x ∃y(y = f(x)∧┐∃z(z≠y∧z= f(x)))8、用谓词公式将下列语句形式化：（1）高斯是数学家，但不是文学家。
（2）没有一个奇数是偶数。
（3）一个数既是偶数又是质数，当且仅当该数为2。
（4）有的猫不捉耗子，会捉耗子的猫便是好猫。
（5）发亮的东西不都是金子。
（6）不是所有的男人都至少比一个女人高，但至少有一个男人比所有的女人高。
（7）一个人如果不相信所有其他人，那么他也就不可能得到其他人的信任。
（8）如果别的星球上有人，天文学家是不会感到惊讶的。
（9）党指向哪里，我们就奔向那里。
（10）谁要是游戏人生，他就一事无成；谁不能主宰自己，他就是一个奴隶。
（歌德）解（1）M(x) 表示“x是数学家”，A(x) 表示“x是天文学家”，g表示“高斯”,原句可表示为M(g) ∧┐A(g)（2）O(x) 表示“x是奇数”，E(x) 表示“x是偶数” ,原句可表示为┐∃x(O(x)∧E(x))（3）O(x) 表示“x是奇数”，E(x) 表示“x是偶数” ,原句可表示为∀x(O(x)∧E(x) ↔x=2)（4）C(x) 表示“x是猫”，M(x) 表示“x是老鼠”，G(x) 表示“x是好的”，K(x,y)表示“x会捉y” ,原句可表示为∃x(C (x)∧∀y(M (y)→┐K(x,y))∧∀x(C (x)∧∀y(M (y)→K(x,y))→G(x))（5）G(x) 表示“x是金子”，L(x) 表示“x是发亮的” ,原句可表示为┐∀x(L (x)→G(x))（6）M(x) 表示“x是男人”， F(x) 表示“x是女人”，H(x,y) 表示“x比y高”,原句可表示为┐∀x(M (x)→∃y(F(y)∧H(x,y)))∧∃x(M (x)∧∀y(F(y)→H(x,y))) （7）M(x) 表示“x是人”，B(x,y)表示“x相信y”, 原句可表示为∀x(M (x)∧┐∃y(M(y)∧x≠y∧B(x,y))→┐∃y(M(y)∧x≠y∧B(y,x)))（8）C(x) 表示“x是星球”，M(x) 表示“x是人”，A(x) 表示“x是天文学家”，e表示“地球”，H(x,y) 表示“x有y”，S(x) 表示“x惊讶”，原句可表示为∃x(C (x)∧x≠e∧∃y(M(y)∧H(x,y)))→∀x(A (x)→┐S(x))（9）Q(x,y) 表示“x指向y”，J(x,y) 表示“x奔向y”，party表示“党”，we表示“我们”,原句可表示为∀x(Q(party，x)→J(we, x))（10）M(x) 表示“x是人”，K(x) 表示“x游戏人生”，L(x) 表示“x一事无成”，H(x,y) 表示“x主宰y”，N(x) 表示“x是奴隶”，原句可表示为∀x(M(x)∧K(x)→L(x))∧∀x(┐H(x,x)→N(x))练习二1、利用量词意义或利用已经证明了的永真式及几个基本原理，证明永真式。
解： (1) A(x)⇒∃x A(x)设U,I,s分别是使A(x)真的个体域、解释和指派，s(x)=d∈U，那么A(d)真,因此对个体域U、解释I, ∃x A(x) 也真。
(2) ∀xA(x) ⇒∃x A(x)由∀xA(x) ⇒ A(x) 和∀xA(x) ⇒∃x A(x) 立即可得。
(3) ┐∀x┐A(x)⇔∃x A(x)设U,I是使┐∀x┐A(x)真的个体域和解释，那么并非U中的所有个体都使得解释I下的谓词A(x)假，，因此U中有个体使得解释I下的谓词A(x)真，故个体域U和解释I下∃x A(x)真。
上述证明是可逆的，所以┐∀x┐A(x) ⇔∃x A(x)得证。
(4) ∃xA(x)∧B⇔∃x(A(x)∧B)∃xA(x)∧B⇔┐(┐(∃xA(x)∧B))⇔┐(┐∃xA(x)∨┐B)⇔┐(∀x┐A(x)∨┐B)⇔┐∀x(┐A(x)∨┐B)⇔∃x┐(┐A(x)∨┐B))⇔∃x(A(x)∧B)(5) ∀x(A(x)∧B(x)) ⇔∀xA(x)∧∀x B(x)设U,I是使∀x(A(x)∧B(x))真的个体域和解释，那么对任意d∈U，A(d)∧B(d)真。
因此，对任意d∈U，A(d)真，对任意d∈U，B(d)真。
故U,I是使∀xA(x)∧∀x B(x))真。
∀x(A(x)∧B(x)) ⇒∀xA(x)∧∀x B(x)得证。
上述证明是可逆的，所以∀x(A(x)∧B(x)) ⇔∀xA(x)∧∀x B(x)得证。
(6) ∃x(A(x)∨B(x)) ⇔∃xA(x)∨∃x B(x)∃x(A(x)∨B(x)) ⇔┐(┐∃x(A(x)∨B(x)))⇔┐(∀x(┐A(x)∧┐B(x)))⇔┐(∀x┐A(x)∧∀x┐B(x))⇔┐(┐∃xA(x)∧┐∃xB(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x))(7) ∀x∀yA(x,y) ⇔∀y∀xA(x,y)个体域和解释U,I使∀x∀yA(x,y)真的意义，与个体域和解释U,I使∀y∀xA(x,y)真的意义相同，因此∀x∀yA(x,y) ⇔∀y∀xA(x,y) 。
(8) ∀x∀yA(x,y) ⇒∃y∀xA(x,y)由∀x∀yA(x,y) ⇔∀y∀xA(x,y) 和∀y∀xA(x,y) ⇒∃y∀xA(x,y) 立即可得。
(9) ∃y∀xA(x,y) ⇒∀x∃yA(x,y)设U,I是使∃y∀xA(x,y)真的个体域和解释，那么有c∈U，使得对任意d∈U，A(c,d) 真。
因此，对任以d∈U，总可取c∈U，使得A(c,d) 真。