谓词逻辑-习题与答案

1、设)()()(),,(323221321x x x x x x x x x E ∧∨∧∨∧=是布尔代数],,},1,0[{-∧∨上的一个布尔表达式，试写出),,(321x x x E 的析取范式和合取范式。

答： 析取范式：)()()

()()(),,(321321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x x x E ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧= 合取范式：)()()(),,(321321321321x x x x x x x x x x x x E ∨∨∧∨∨∧∨∨∨=

2．设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为

答： ∀x ∀y ( (P(x) ∧ Q(x)) → R(x,y))

3．设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老

师”符号化为（ B ）。

A 、)),()((y x A x L x →∀；

B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀ ；

C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀；

D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀ 。

4．下列各式中哪个不成立（ A ）。

A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∨∀⇔∨∀ ；

B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∃⇔∨∃；

C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀∧∀⇔∧∀；

D 、Q x xP Q x P x ∧∀⇔∧∀)())((。

5．用推理规则证明)()(a G a P ∧⌝是

))()((,)(,))()((,

)))()(()((x G x S x a S a R a Q x R x Q x P x ↔∀∧⌝∧→∀的有效

结论。

证明：（1） ))()(()(x P x Q x xP ∧→∀ P

（2） ))()(()(a P a Q a P ∧→ US(1)

(3) ))()((a R a Q ∧⌝ P

(4) )(a P ⌝ T(2)(3)I

(5) ))()((x G x S x ↔∀ P

(6) )()(a G a S ↔ US(5)

(7) )()(a G a S → T(6)E,I

6、符号化命题“有些病人相信医生，但是没有病人相信法轮功，因此医生都不信法轮功”。用演绎法证明其结论。（P(x)：x 是病人，D(x)：x 是医生，Q(x)：x 是法轮功练习者，L(x , y)：x 相信y ）

解：前提：)))(),(()((,

)),()(()((y Q y x L y x P x y x L y D y x P x ⌝→∀→∀→∀∧∃ 结论：))()((y Q y D y ⌝→∀

演绎推理：

（1）))

,()(()((y x L y D y x P x →∀∧∃ P （2）)),()(()(y e L y D y e P →∀∧ ES(1)

（3）)))(),(()((y Q y x L y x P x ⌝→∀→∀ P

（4）))(),(()(y Q y e L y e P ⌝→∀→ US(3)

（5）)(e P T(2)I

（6）))(),((y Q y e L y ⌝→∀ T(4)(5)I

（7）)(),(c Q c e L ⌝→ US(6)

（8）))

,()((y e L y D y →∀ T(2)I （9）),()(c e L c D → US(8)

（10）)()(c Q c D ⌝→ T(9)(7)I

（11）))()((y Q y D y ⌝→∀ UG(10)

7、给定推理

①))()((x G x F x →∀ P

②)()(y G y F →

US ① ③)(x xF ∃

P ④)(y F

ES ③ ⑤)(y G

T ②④I ⑥)(x xG ∀ UG ⑤

)())()((x xG x G x F x ∀⇒→∀∴

推理过程中错在（ ）。

A 、①->②;

B 、②->③;

C 、③->④;

D 、④->⑤;

E 、⑤->⑥

8、用逻辑推理证明：

所有的舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风度。 证明：设P(x)：x 是个舞蹈者； Q(x) ：x 很有风度； S(x)：x 是个学生； a ：王华 上述句子符号化为：

前提：))()((x Q x P x →∀、)()(a P a S ∧ 结论：))()((x Q x S x ∧∃ ……3分

①)()(a P a S ∧

P ②))()((x Q x P x →∀

P ③)()(a Q a P →

US ② ④)(a P

T ①I ⑤).(a Q

T ③④I ⑥)(a S

T ①I ⑦)()(a Q a S ∧

T ⑤⑥I ⑧)()((x Q x S x ∧∃ EG ⑦

9、证明：)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∀⇒∨∀

)

()(())()(()

()()()()(x xQ x xP x Q x P x x xQ x P x x xQ x xP ∃→∀⌝⇒∨∀∃→∀⌝⇔∃∨∀本题可证 ① ))((x xP ∀⌝ P （附加前提）

②))((x P x ⌝∃ T ①E

③)(a P ⌝ ES ②

④))()((x Q x P x ∨∀ P

⑤)()(a Q a P ∨ US ④

⑥)(a Q T ③⑤I

⑦)(x xQ ∃ EG ⑥

⑧)()((x xQ x xP ∃→∀⌝

CP

10、符号化命题“每个学术会的成员都是工人并且是专家，有些成员是青年人，所以有的

成员是青年专家”；并用演绎方法证明上面推理。（F(x)：x 是学术会成员；H(x)：x 是工人；G(x)：x 是专家；R(x)：x 是青年人）

符号化：前提 ))()((,))()()((x R x F x x H x G x F x ∧∃∧→∀

结论 ))()()((x G x R x F x ∧∧∃

推理演绎：（1） ))()((x R x F x ∧∃ P

（2） )()(c R c F ∧ ES(1)

(3) ))()()((x H x G x F x ∧→∀ P

(4) ))()()((c H c G c F ∧→ US(3)

(5) F(c) T(2)I

(6) )()(c H c G ∧ T(5)(4)I

(7) R(c) T(2)I

(8) G(c) T(6)I