【高三】湖南邵东县2018届高三《数学》上学期第五次月考试题文(含答案)

湖南省邵东县2018届高三数学上学期第五次月考试题文一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1．设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}2．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b3．设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p44．设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当时有最大值2，当x=0时有最小值﹣2，那么函数的解析式为（）A． B．C．y=2sin(3x-D．6．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．87．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B．C． D．8．已知向量，的夹角为60°，||=||=2，若=2+，则△ABC为（）A．等腰三角形B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形9．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题.《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价.其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=，现有周长为10+2的△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．1210．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（b﹣c）sinB+csinC=asinA，则sinA=（）A． B． C． D．11．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），则满足的实数x取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（，2） D．（﹣2，1）12．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知f（x）=x4﹣mx3﹣x2，若对任意的实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1二．填空题（共4小题，每题5分）13．已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2， 0），O为原点，则•的最大值为．14．设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为．15．若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2其中正确的序号是：．16．若对任意的x∈D，均有g（x）≤f（x）≤h（x）成立，则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“任性函数”．已知函数f（x）=kx，g（x）=x2﹣2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是．三．解答题（共6小题，合计70分）17．设向量，满足||=||=1及|3﹣2|=（Ⅰ）求，夹角的大小；（Ⅱ）求|3+|的值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），过点（﹣，0）和（，1），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．19．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=．（I）求b的值；（II）若cosB+sinB=2，求a+c的取值范围．20．已知数列{a n}中，a2=2，前n项和为．（I）证明数列{a n+1﹣a n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（II）设，数列{b n}的前n项和为T n，求使不等式对一切n ∈N*都成立的最大正整数k的值．21．如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=3BC=6，BF=CF=AE=DE=2，EF=4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM=2．（Ⅰ）证明：AF∥面BDG；（Ⅱ）证明：面BGM⊥面BFC；（Ⅲ）求三棱锥F﹣BMC的体积V．22．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题5分）1．设集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则B=（）A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．故选：C．2．若a=log20.5，b=20.5，c=0.52，则a，b，c三个数的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：a=log20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，则a＜c＜b，则选：C．3．设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．4．设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，则（0，）⊂[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．故选：A．5．已知函数y=Asin（ωx+φ）在同一周期内，当时有最大值2，当x=0时有最小值﹣2，那么函数的解析式为（）A．B． C． D．【解答】解：依题意可知T=2（﹣0）=∴ω==3，根据最大和最小值可知A==2把x=0代入解析式得2sinφ=﹣2，φ=﹣故函数的解析式为y=2sin（3x﹣）故选C6．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．7．某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A．B． C．D．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A8．已知向量，的夹角为60°，||=||=2，若=2+，则△ABC为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【解答】解：根据题意，由=2+，可得﹣==2，则||=2||=4，由=﹣，可得||2=|﹣|2=2﹣2•+2=4，故||=2，由=﹣=（2+）﹣=+，则||2=|+|2=2+2•+2=12，可得||=2；在△ABC中，由||=4，||=2，||=2，可得||2=||2+||2，则△ABC为直角三角形；故选C．9．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=，现有周长为10+2的△ABC满足sinA：sinB：sinC=2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．12【解答】解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：，则a：b：c=2：3：，∵△ABC周长为10+2，即a+b+c=10+2，∴a=4，b=6，c=2，所以S==6，故选：A10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若（b﹣c）sinB+csinC=asinA，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式（b﹣c）sinB+csinC=asinA，利用正弦定理化简得：（b﹣c）b+c2=a2，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA=，∴sinA=，故选B．11．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），则满足的实数x的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，）C．（，2） D．（﹣2，1）【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）∴由xf′（x）＜f（﹣x）可得xf′（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]′＜0∵当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），∴当x∈（﹣∞，0]时，恒有[xf（x）]′＜0设F（x）=xf（x）则函数F（x）=xf（x）为（﹣∞，0]上的减函数．∵F（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）=（﹣x）（﹣f（x））=xf（x）=F（x）∴函数F（x）为R上的偶函数．∴函数F（x）=xf（x）为[0，+∞）上的增函数．∵∴（2x﹣1）f（2x﹣1）＜3f（3）∴F（2x﹣1）＜F（3）∴|2x﹣1|＜3解得﹣1＜x＜2故选A12．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”．已知f（x）=x4﹣mx3﹣x2，若对任意的实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在区间（a，b）上为“凸函数”，则b﹣a的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：根据已知，|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0在（a，b）上恒成立；∴mx＞x2﹣3恒成立；（1）当x=0时，f″（x）=﹣3＜0显然成立；（2）当x＞0时，；∵m的最小值为﹣2；；解得0＜x＜1；（3）当x＜0时，m；∵m的最大值为2；∴；解得﹣1＜x＜0；综上可得﹣1＜x＜1；∴b﹣a的最大值为1﹣（﹣1）=2．故选C．二．填空题（共4小题，每题5分）13．已知点P在圆x2+y2=1上，点A的坐标为（﹣2，0），O为原点，则•的最大值为 6 ．【解答】解：设P（cosα，sinα）.=（2，0），=（cosα+2，sinα）．则•=2（cosα+2）≤6，当且仅当cosα=1时取等号．故答案为：6．14．设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n+1＞a n，（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．15．若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2其中正确的序号是：④．【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，∵f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x∈[﹣，]为偶函数．又f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立，∴α2＞β2．故答案为④．16．若对任意的x∈D，均有g（x）≤f（x）≤h（x）成立，则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“任性函数”．已知函数f（x）=kx，g（x）=x2﹣2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是 [e﹣2，2] ．【解答】解：若f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则x∈[1，e]时，恒成立，即恒成立，即恒成立，若k≥x﹣2在区间[1，e]上恒成立，则k≥e﹣2；令，若在区间[1，e]上恒成立，则k≤v（x）min，，令u（x）=x﹣lnx，则u′（x）=1﹣，当x∈[1，e]时，u′（x）≥0恒成立，则u（x）=x﹣lnx在[1，e]上为增函数，u（x）≥u（1）=1恒成立，即≥0恒成立，故在[1，e]上为增函数，v（x）≥v（1）=2恒成立，故k≤2，综上可得：k∈[e﹣2，2]，故答案为：[e﹣2，2]三．解答题（共6小题，合计70分）17．设向量，满足||=||=1及|3﹣2|=（Ⅰ）求，夹角的大小；（Ⅱ）求|3+|的值．【解答】解：（Ⅰ）设与夹角为θ，∵向量，满足||=||=1及|3﹣2|=，∴，∴9×1+4×1﹣12×1×1×cosθ=7，∴．又θ∈[0，π]，∴与夹角为．（Ⅱ）∵===．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【解答】解：（I）由图可知，A=1（1分），所以T=2π（2分）所以ω=1（3分）又，且所以（5分）所以．（6分）（II）由（I），所以==（8分）=cosx•sinx（9分）=（10分）因为，所以2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]故：，当时，g（x）取得最大值．（13分）19．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且+=．（1）求b的值；（2）若cosB+sinB=2，求a+c的取值范围．【解答】解：（1）△ABC中，+=，∴+=，∴=，解得b=；（2）∵cosB+sinB=2，∴cosB=2﹣sinB，∴sin2B+cos2B=sin2B+=4sin2B﹣4sinB+4=1，∴4sin2B﹣4sinB+3=0，解得sinB=；从而求得cosB=，∴B=；由正弦定理得====1，∴a=sinA，c=sinC；由A+B+C=π得A+C=，∴C=﹣A，且0＜A＜；∴a+c=sinA+sinC=sinA+sin（﹣A）=sinA+sin cosA﹣cos sinA=sinA+cosA=sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴＜sin（A+）≤1，∴＜sin（A+）≤，∴a+c的取值范围是（，]．20．已知数列{a n}中，a2=2，前n项和为．（I）证明数列{a n+1﹣a n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（II）设，数列{b n}的前n项和为T n，求使不等式对一切n ∈N*都成立的最大正整数k的值．【解答】解：（I）由题意，当．a2=2，则a2﹣a1=1．当，，则，则（n﹣1）a n+1﹣2（n﹣1）a n+（n﹣1）a n﹣1=0，即a n+1﹣2a n+a n﹣1=0，即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1．则数列{a n+1﹣a n}是首项为1，公差为0的等差数列．…（6分）从而a n﹣a n﹣1=1，则数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．所以，a n=n（n∈N*）…（8分）（II）…（10分）所以，=．…（12分）由于．因此T n单调递增，故T n的最小值为…（14分）令，所以k的最大值为18．…（16分）21．如图几何体中，四边形ABCD为矩形，AB=3BC=6，BF=CF=AE=DE=2，EF=4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM=2．（Ⅰ）证明：AF∥面BDG；（Ⅱ）证明：面BGM⊥面BFC；（Ⅲ）求三棱锥F﹣BMC的体积V．【解答】解：（Ⅰ）连接AC交BD于O点，则O为AC的中点，连接OG∵点G为CF中点，∴OG为△AFC的中位线∴OG∥AF，∵AF⊄面BDG，OG⊂面BDG，∴AF∥面BDG，（Ⅱ）连接FM，∵BF=CF=BC=2，G为CF的中点，∴BG⊥CF∵CM=2，∴DM=4∵EF∥AB，ABCD为矩形，∴EF∥DM，又∵EF=4，∴EFMD为平行四边形∴FM=ED=2，∴△FCM为正三角形，∴MG⊥CF，∵MG∩BG=G，∴CF⊥面BGM，∵CF⊂面BFC，∴面BGM⊥面BFC．（Ⅲ）∵，∴∴，∴三棱锥F﹣BMC的体积V=．22．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【解答】（1）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣．则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0，x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．。