塑性变形力学基础

' 2
I1' 0 表明应力偏张量已不含平均应力成分；
' I2
与屈服准则有关 反映了变形的类型： I ﹥0表示广义拉伸变形#39; ＝0表示广义剪切变形，﹤0表示广义压缩变形。 I 3'
讨论：
分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起 变形体形状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条 件无影响。 为引出形状改变的偏应力张量，为引出体积改变的球 张量（静水压力）。
主应力的求解 主应力的图示
§1.2.2 主切应力和最大剪切应力
主切应力(Principal shear stress)：极值切应力（不为零） 平面上作用的切应力。 最大剪应力(Maximun shear stress)：
通常规定： 1 2 3
主应力空间的｛110｝面族
§1.1
应力与点的应力状态
§1.1.1 应力 外力(Load)与内力(Internal force)
外力P：指施加在变形体上的外部载荷。可以分成表面力 和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力 ，它有集 中载荷和分布载荷之分，一般由加工设备和模具提供。体积 力则是作用于工件每一质点上的力， 如重力、磁力、惯性 力等等。 内力Q：内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界 作用和物体内维持自身完整性的力。
x xy xz ij . y yz . . z

应力分量图示

应力的分量表示及正负符号的规定
ij xx、xy、xz、yx、
yy、yz、zx、zy、
zz
i——应力作用面的外法线方向 j——应力分量本身作用的方向 当 i=j 时为正应力 i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力） 当 i≠j 时为剪应力 i、j同号为正，异号为负
x xy xz x' xy xz 1 0 0 . . ' 0 1 0 y yz y yz m . . z . . z' 0 0 1
主应力（Principal stress ）：指作用面上无切应力时 所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或 主方向 设主应力为σ ，当为主方向时， S x lx S y l y S l z z 有 ， ， ，代入整理，有： 该面叫做主平面， 法线方向为主方向
( x )lx yx l y zxlz 0 xy lx ( y )l y zylz 0 xz lx yz l y ( z )lz 0
金属塑性加工原理
Principle of Plastic Deformation in Metal Processing
第一篇 塑性变形力学基础
第1章 应力分析与应变分析
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7 §1.8 §1.9 应力与点的应力状态 点的应力状态分析 应力张量的分解与几何表示 应力平衡微分方程 应变与位移关系方程 点的应变状态 应变增量 应变速度张量 主应变图与变形程度表示
球坐标下的应力平衡微分方程？
§1.5 应变与位移关系方程
§1.5.1 几何方程 物体变形时，内部各质点都在运动，质点在不同时刻 所走的距离称作位移(Displacement) 。而变形则是指两点 间距的变化。这种变化有绝对变形与相对变形之分。应变 (Strain)属相对变形，它是由位移引起的。 研究变形通常从小变形着手。小变形是指数量级不超 过10-3～10-2的弹塑性变形。大变形可以划分成若干小变形， 由小变形叠加而来。
§1.4 应力平衡微分方程
应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻两点间σ ij关 系，可以通过微体沿坐标轴力平衡来得到，一般应力平衡方 程在不同坐标系下有不同的表达式。 直角坐标下的应力平衡微分方程*
xy x xz 0 x y z yx y yz 0 y z x zy z zx 0 y z x
讨论
1. 等效的实质？ 是（弹性）应变能等效（相当于）。 2. 什么与什么等效？ 复杂应力状态（二维和三维）与简单应力状态（一维） 等效。 3. 如何等效？ 等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。 4. 等效的意义？ 屈服的判别、变形能的计算、简化问题的分析等。
§1.3 应力张量的分解与几何表示
应力的坐标变换（例题讲解）* 实际应用：晶体取向、织构分析等 应力莫尔圆** 二维应力莫尔圆与三维应力莫尔圆 掌握如何画、如何分析
§1.2
点的应力状态分析
§1.2.1 主应力及应力张量不变量 §1.2.2 主剪应力和最大剪应力
§1.2.3 八面体应力与等效应力
§1.2.1 主应力及应力张量不变量
简记作
ij i
0
(i, j x, y, z )
推导原理： 静力平衡条件： 静力矩平衡条件： 泰勒级数展开：
X 0, Y 0, Z 0
M
x
0, M y 0, M z 0
1 f ( x) 1 2 f ( x) f ( x dx) f ( x) ...... 2 1! x 2! x
§1.2.3 八面体应力与等效应力 八面体应力
在主应力空间中，每一卦限中均有一组与三个坐标轴成 等倾角的平面，八个卦限共有八组，构成正八面体面。八面 体表面上的应力为八面体应力。 正应力 剪应力 总应力
1 1 8 ( 1 2 3 ) I1 3 3 1 8 ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 3
求解lx、ly、lz的非零解，必有系数行列式值为零，最终 可得 ：
I 1 I 2 I 3 0
3 2
I1、I2、I3称作应力 张量的第一、二、三 不变量。
式中
I1 x y z 1 2 3
x I2 yx
xy y y zy
直角坐标系下几何方程：
xx zz
应力（Stress）：应力是单位面积上的内力 其定义式为：Sn=dQ/dA
Q A
（见右图）。
应力S 是内力的集度 内力和应力均为矢量
S n lim
A0
应力的单位：1Pa=1N/m2=1.0197Kgf/mm2
1MPa=106N/m2
应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点的应力 不同。 应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即同一点 不同方位的截面上的应力是不同的。
截面应力分解
或者
§1.1.1 一点的应力状态及应力张量
一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有截面 上的应力的有无、大小、方向等情况。 一点的应力状态的描述 数值表达：x=50MPa，xz=35MPa 图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图 1-2） 张量表达： (i,j=x,y,z)
1 3 则有最大剪应力： max 2 或者： max max{ 12 , 23 , 31 } 2 2 3 3 1 其中： 12 ± 1 , 23 ± , 31 ± 2 2 2 且有： 0 12 23 31
塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把 σ ij（Stress tensor ）分解成与体积变化有关的量和形状变 化有关的量。前者称为应力球张量(Spherical stress tensor) ，后者称为应力偏张量(Deviatoric stress tensor) 。设σ m为平均应力，则有
应力可以进行分解Sn n 、n （n—法向） 某截面（外法线方向为n）上的应力：
Sn n n n x y z n x y z
l l ij i j n S n ij li 2 2 n Sn n
P8 82 82
八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形 有关。
八面体应力的求解思路：
关键
ij (i, j x, y, z ) 1 , 2 , 3 8 , 8
I1 , I 2
2 2 8 ( I1 3I 2 ) 3
等效应力
yz z z xz
zx x
2 2 2 x y y z z x xy yz zx
1 2 2 3 3 1
x
I3 . .
xy y
.
xz yz 1 2 3 z
讨论：
为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力σe （Effective stress ），也称相当应力。
应变能相同的条件下
公式： e
1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 2
3 / 2 8
1 2 2 2 [( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )] 或 e 2
x m,
' x
y m
' y
z m
' z
上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力张 量相同；第二项为应力球张量，其任何方向都是主方向，且 主应力相同。 值得一提的是，σ mδ ij只影响体积变化，不影响形状 变化，但它关系到材料塑性的充分发挥。三向压应力有利 于材料塑性的发挥。
应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不 ' ' I1' I 2 。 变量，分别为 ， ， I3
' I1 =σ 'x +σ 'y +σ 'z =0