基于超球形模糊支配的高维多目标粒子群优化算法
基于模糊的多目标粒子群优化算法及应用
２ 吉林大学计算 机科学 与 ． 技术学院 ， 吉林 长春 １０ １ ） ３ ０ ２
摘要 ： 粒子群优 化算法 的思想来源于人工生命和进化计算理论 ， 由于其容易理解 、 易于实现。 在很多领域得到丁应用。 由于传
统的粒子群优化算 法无法对多 日标优化问题进行求解 ， 冈此文中利用模糊理论中的隶属度函数 和给定的最优解评估选取原
ｗｉ ｏ ｓｒ ｉ ｔｍｏ ｅ ． Ｆ Ｓ ａ ｆ ｃｉ ｅｙ ｃ ｐ ｔ ｏ ｕ ｔ ｏ ｔｍｉａ ｉｎ ｄ ｓｇ ｏ ｅ ｉｂ ｌ ｙ ｏ ｕ ｏ ｂ ｌ ｔ ｃ ｎ ｔａｎ ｄ １ Ｐ Ｏ ｃ ｎ ｅｆ ｔ ｌ ｏ ｅ ｗｉ ｒ ｂ ｓ ｐ ｉ ｚ ｔ ｅ ｉ ｎ ｆ ｒ ｒ ｌａ ｉ ｔ ｆａ ｔ ｍｏ ｉｅ ｈ ｅ ｖ ｈ ｏ ｉ ｃ ｍｐ ｎ ｎ ．Ａｎ ｔ ｓｐ ｏ ｅ ｏｂ ｆ ｃ ｉｅ ａ ｄ ａ ａｌ ｂ ｅ ｂ ｘ ｅ ｉ ｎ ｓ ｔ ｌｏ ｅ ｐ ｎ ｓｔ ｅ ａ ｐ ｉ ａｉ ｎ ｆ ｌ ｆ ｏ ｏｅｔ ｄ ｉ ｉ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ｅｆ ｔ ｎ ｖ ｉ ｌ ｙ ｅ ｐ ｒｍｅ ｔ ．Ｉ ａ ｓ ｘ ａ ｄ ｈ ｐ ｌ ｔｏ ｅ ｄ ｏ ｅ ｖ ａ ｃ ｉ ＭＯＰ ａ ｉ ｍｅ ｉ． ｒｈ ｔ ｔ ｃ
ｎｗ ｍ ｔｏ ａ ｅ ｚｙｐｒ ｃ ｗ ｒ ｐｉ ｉ ｔ ｎ （ Ｐ Ｏ）ｉ ｐｅｅ ｔ ｒｓｌｉｇＭＯ ｒｂｅ ｅａ ｓ ｅ ｅ ｅｈ ｄｎ ｍ ｄｆ ｚ ａｔ ｌ ｓ ａｍ ｏｔ ｚ ｉ Ｆ Ｓ ｕ ｉｅ ｍ ａｏ ｓ ｒｓｎｅ ｆ ｏｖ Ｐｐｏ ｌｍ ｂ ｃｕ ｅ ｈ ｄｏ ｎ ｔ
则， 提出 ｒ 一种 适合求解约束型多 目标优化 问题 的模糊粒子群算 法（ ＰＯ 。 Ｆ Ｓ ）模糊粒子群算法很好地解决了汽车零部件可靠
多目标粒子群优化算法
多目标粒子群优化算法多目标粒子群优化算法（Multi-objective Particle Swarm Optimization, MPSO）是一种基于粒子群优化算法的多目标优化算法。
粒子群优化算法是一种基于群体智能的全局优化方法，通过模拟鸟群觅食行为来搜索最优解。
多目标优化问题是指在存在多个优化目标的情况下，寻找一组解使得所有的目标都能得到最优或接近最优。
相比于传统的单目标优化问题，多目标优化问题具有更大的挑战性和复杂性。
MPSO通过维护一个粒子群体，并将粒子的位置和速度看作是潜在解的搜索空间。
每个粒子通过根据自身的历史经验和群体经验来更新自己的位置和速度。
每个粒子的位置代表一个潜在解，粒子在搜索空间中根据目标函数进行迭代，并努力找到全局最优解。
在多目标情况下，MPSO需要同时考虑多个目标值。
MPSO通过引入帕累托前沿来表示多个目标的最优解。
帕累托前沿是指在一个多维优化问题中，由不可被改进的非支配解组成的集合。
MPSO通过迭代搜索来逼近帕累托前沿。
MPSO的核心思想是利用粒子之间的协作和竞争来进行搜索。
每个粒子通过更新自己的速度和位置来搜索解，同时借鉴历史经验以及其他粒子的状态。
粒子的速度更新依赖于自身的最优解以及全局最优解。
通过迭代搜索，粒子能够在搜索空间中不断调整自己的位置和速度，以逼近帕累托前沿。
MPSO算法的优点在于能够同时处理多个目标，并且能够在搜索空间中找到最优的帕累托前沿解。
通过引入协作和竞争的机制，MPSO能够在搜索空间中进行全局的搜索，并且能够通过迭代逼近最优解。
然而，MPSO也存在一些不足之处。
例如，在高维问题中，粒子群体的搜索空间会非常庞大，导致搜索效率较低。
另外，MPSO的参数设置对算法的性能有着较大的影响，需要经过一定的调试和优化才能达到最优效果。
总之，多目标粒子群优化算法是一种有效的多目标优化方法，能够在搜索空间中找到最优的帕累托前沿解。
通过合理设置参数和调整算法，能够提高MPSO的性能和搜索效率。
基于多目标粒子群优化算法的模糊控制系统研究
基于多目标粒子群优化算法的模糊控制系统研究随着科技的不断发展，模糊控制技术被广泛应用于各个领域中，如电力系统、机器人控制、车辆自动驾驶等。
然而，模糊控制系统中存在的一个问题是，如何选择合适的控制参数。
这一问题可以通过应用优化算法来解决，其中多目标粒子群优化算法（MOPSO）受到关注。
本文将以基于MOPSO优化算法的模糊控制系统为研究对象，探讨其设计流程、优化策略及其在控制系统中的应用。
1. 模糊控制系统设计及其优化模糊控制系统是一种基于模糊逻辑的控制系统，其主要由模糊控制器、模糊推理机、模糊化模块以及反模糊化模块组成。
它的控制过程是输入原始数据，将原始数据通过模糊化处理后送入模糊推理机进行控制计算，最后将结果反模糊化为具体的控制量。
为了提高模糊控制系统的性能，需要选择合适的控制参数，即模糊控制器的隶属函数和模糊规则库等。
针对这一问题，可以应用优化算法进行参数的寻优。
MOPSO是一种用于寻找多目标优化问题的优化算法，它基于粒子群优化算法（PSO）并通过理解粒子在目标空间中的分布来分析多个目标之间的权衡。
在寻优过程中，它通过使用拥挤距离算法来保证粒子群的均匀分布。
与其他优化算法相比，MOPSO具有更好的性能和更高的收敛速度，被广泛应用于各个领域，并取得了不错的效果。
在基于MOPSO优化算法的模糊控制系统设计中，首先需要选择适当的目标函数，以此来衡量模糊控制系统的性能，例如，可以选择响应时间和误差均方差作为目标函数。
接下来，设定粒子群大小、交叉概率和变异率等参数，然后进行迭代，直到达到预设的终止标准。
在优化过程中，需要对模糊控制器进行调整，包括隶属函数、模糊规则库等控制参数。
通过迭代更新，最终得出最优解，即具有最小化响应时间和误差均方差的控制器参数。
2. 基于MOPSO优化算法的模糊控制系统应用基于MOPSO优化算法的模糊控制系统被广泛应用于各个领域，例如电力系统控制、机器人控制、车辆自动驾驶等。
以电力系统控制为例，电力系统具有非线性、耦合、时变等特点，因此需要应用模糊控制技术进行调节。
多目标优化的粒子群算法及其应用研究
多目标优化的粒子群算法及其应用研究多目标优化问题是指在优化问题中存在多个冲突的目标函数，需要找到一组解，使得所有目标函数能够达到最优或近似最优的解。
粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种基于群体智能的优化算法，通过模拟鸟群觅食行为来寻找最优解。
多目标优化的粒子群算法（Multi-Objective Particle Swarm Optimization, MOPSO）是对传统的PSO算法进行改进和扩展，以解决多目标优化问题。
MOPSO算法通过在空间中形成一组粒子，并根据自身的经验和全局信息进行位置的更新，逐步逼近Pareto最优解集，以找到多个最优解。
其基本步骤如下：1.初始化一组粒子，包括粒子的位置和速度，以及不同的目标函数权重。
2.对于每个粒子，计算其目标函数值和适应度值。
3.更新个体最优位置和全局最优位置，以及粒子的速度和位置。
更新方式可根据不同的算法变体而有所差异。
4.检查是否满足终止条件，如达到最大迭代次数或达到预设的精度要求。
5. 如果不满足终止条件，则返回第3步；否则，输出Pareto最优解集。
MOPSO算法在多目标优化中具有以下优点：-非依赖于目标函数的导数信息，适用于复杂、非线性、高维的优化问题。
-可以同时全局最优解和局部最优解，避免陷入局部最优点。
-通过自适应权重策略，得到一组不同的最优解，提供决策者进行选择。
MOPSO算法在许多领域都有广泛的应用-工程设计：多目标优化问题在工程设计中很常见，例如在汽车设计中优化油耗与性能的平衡。
-经济学：多目标优化可以用于投资组合优化问题，以平衡投资收益与风险。
-物流与运输：多目标优化问题可应用于货物分配与路线规划中，以实现最低成本与最短时间的平衡。
综上所述，多目标优化的粒子群算法（MOPSO）通过模拟鸟群觅食行为，以找到一组解，使得所有目标函数能够达到最优或近似最优的解。
MOPSO算法在工程设计、经济学、物流与运输等领域都有广泛的应用。
基于粒子群算法求解多目标优化问题
基于粒子群算法求解多目标优化问题一、本文概述随着科技的快速发展和问题的日益复杂化，多目标优化问题在多个领域，如工程设计、经济管理、环境保护等，都显得愈发重要。
传统的优化方法在处理这类问题时，往往难以兼顾多个目标之间的冲突和矛盾，难以求得全局最优解。
因此，寻找一种能够高效处理多目标优化问题的方法，已成为当前研究的热点和难点。
粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）作为一种群体智能优化算法，具有收敛速度快、全局搜索能力强等优点，已经在多个领域得到了广泛应用。
近年来，粒子群算法在多目标优化问题上的应用也取得了显著的成果。
本文旨在探讨基于粒子群算法求解多目标优化问题的原理、方法及其应用，为相关领域的研究提供参考和借鉴。
本文首先介绍多目标优化问题的基本概念和特性，分析传统优化方法在处理这类问题时的局限性。
然后，详细阐述粒子群算法的基本原理和流程，以及如何将粒子群算法应用于多目标优化问题。
接着，通过实例分析和实验验证，展示基于粒子群算法的多目标优化方法在实际问题中的应用效果，并分析其优缺点。
对基于粒子群算法的多目标优化方法的发展趋势和前景进行展望，为未来的研究提供方向和建议。
二、多目标优化问题概述多目标优化问题（Multi-Objective Optimization Problem, MOP）是一类广泛存在于工程实践、科学研究以及社会经济等各个领域中的复杂问题。
与单目标优化问题只寻求一个最优解不同，多目标优化问题涉及多个相互冲突的目标，这些目标通常难以同时达到最优。
因此，多目标优化问题的解不再是单一的最优解，而是一组在各个目标之间达到某种平衡的最优解的集合，称为Pareto最优解集。
多目标优化问题的数学模型通常可以描述为：在给定的决策空间内，寻找一组决策变量，使得多个目标函数同时达到最优。
这些目标函数可能是相互矛盾的，例如，在产品设计中，可能同时追求成本最低、性能最优和可靠性最高等多个目标，而这些目标往往难以同时达到最优。
复杂多目标问题的优化方法及应用
复杂多目标问题的优化方法及应用一、前言复杂多目标问题是指在优化过程中存在多个目标函数，这些目标函数之间可能存在冲突或矛盾，因此需要寻找一种合适的方法来解决这类问题。
本文将介绍复杂多目标问题的优化方法及应用。
二、复杂多目标问题的优化方法1. 多目标遗传算法（MOGA）多目标遗传算法是一种常用的优化方法，它基于遗传算法，并通过引入多个适应度函数来解决多目标问题。
MOGA 通过保留 Pareto 前沿（Pareto front）上的解来实现优化。
Pareto 前沿是指无法再找到更好的解决方案，同时保证了所有目标函数都得到了最佳优化。
2. 多目标粒子群算法（MOPSO）多目标粒子群算法也是一种常用的优化方法，它基于粒子群算法，并通过引入多个适应度函数来解决多目标问题。
MOPSO 通过维护一个Pareto 最优集合来实现优化。
Pareto 最优集合是指所有非支配解构成的集合。
3. 多目标差分进化算法（MODE）差分进化算法是一种全局搜索算法，它通过不断地更新种群的参数来寻找最优解。
MODE 是一种基于差分进化算法的多目标优化方法，它通过引入多个适应度函数来解决多目标问题。
MODE 通过维护一个Pareto 最优集合来实现优化。
4. 多目标蚁群算法（MOTA）蚁群算法是一种模拟自然界中蚂蚁寻找食物的行为的算法，它通过不断地更新信息素来寻找最优解。
MOTA 是一种基于蚁群算法的多目标优化方法，它通过引入多个适应度函数来解决多目标问题。
MOTA 通过维护一个 Pareto 最优集合来实现优化。
三、复杂多目标问题的应用1. 工程设计在工程设计中，往往需要考虑多个因素，如成本、效率、可靠性等。
使用复杂多目标问题的优化方法可以帮助工程师在保证各项指标达到要求的情况下，尽可能地减少成本或提高效率。
2. 市场营销在市场营销中，往往需要同时考虑销售额、市场份额和品牌知名度等指标。
使用复杂多目标问题的优化方法可以帮助企业在提高销售额的同时，尽可能地提高市场份额和品牌知名度。
多目标优化的粒子群算法及其应用研究共3篇
多目标优化的粒子群算法及其应用研究共3篇多目标优化的粒子群算法及其应用研究1多目标优化的粒子群算法及其应用研究随着科技的发展，人们对于优化问题的求解需求越来越高。
在工程实践中，很多问题都涉及到多个优化目标，比如说在物流方面，安全、效率、成本等指标都需要被考虑到。
传统的单目标优化算法已不能满足这些需求，因为单目标算法中只考虑单一的优化目标，在解决多目标问题时会失效。
因此，多目标优化算法应运而生。
其中，粒子群算法是一种被广泛应用的多目标优化算法，本文将对这种算法进行介绍，并展示其在实际应用中的成功案例。
1. 算法原理粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种仿生智能算法，源自对鸟群的群体行为的研究。
在算法中，将待优化的问题抽象成一个高维的空间，然后在空间中随机生成一定数量的粒子，每个粒子都代表了一个潜在解。
每个粒子在空间中移动，并根据适应度函数对自身位置进行优化，以期找到最好的解。
粒子的移动和优化过程可以通过以下公式表示：$$v_{i,j} = \omega v_{i,j} + c_1r_1(p_{i,j} - x_{i,j}) + c_2r_2(g_j - x_{i,j})$$$$x_{i,j} = x_{i,j} + v_{i,j}$$其中，$i$ 表示粒子的编号，$j$ 表示该粒子在搜索空间中的第 $j$ 个维度，$v_{i,j}$ 表示粒子在该维度上的速度，$x_{i,j}$ 表示粒子在该维度上的位置，$p_{i,j}$ 表示粒子当前的最佳位置，$g_j$ 表示整个种群中最好的位置，$\omega$ 表示惯性权重，$c_1$ 和 $c_2$ 分别为粒子向自己最优点和全局最优点移动的加速度系数，$r_1$ 和 $r_2$ 为两个 $[0,1]$ 之间的随机值。
通过粒子群的迭代过程，粒子逐渐找到最优解。
2. 多目标优化问题多目标优化问题的具体表述为：给出一个目标函数集 $f(x) = \{f_1(x), f_2(x),...,f_m(x)\}$，其中 $x$ 为决策向量，包含 $n$ 个变量，优化过程中需求出 $f(x)$ 的所有最佳解。
多目标粒子群算法
多目标粒子群算法多目标粒子群算法（Multi-Objective Particle Swarm Optimization，MOPSO）是一种基于群智能的优化算法，用于解决多目标优化问题。
它是对传统粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）的扩展和改进。
传统的粒子群算法是一种基于模拟鸟群行为的优化算法，其中每个粒子代表一个解向量，它通过不断地自我更新和与其他粒子之间的信息交换，来搜索解空间中的最优解。
然而，传统PSO算法仅能求解单目标优化问题，无法直接应用于多目标优化问题。
多目标优化问题是指在多个冲突的目标函数下，求取一组最优解，也称为“帕累托最优解集合”。
而MOPSO算法通过改变传统PSO算法的设计，使其能够有效地求解多目标优化问题。
下面就来详细介绍MOPSO算法的原理和步骤。
MOPSO算法包括两个重要部分：粒子的移动更新和全局最优解集合的维护。
首先，每个粒子都有自己的位置和速度，并为每个目标函数设定一个权重。
粒子的移动更新通过以下步骤实现：1. 根据当前位置和速度计算新的位置。
2. 通过适应度函数评估新位置的适应度。
3. 比较新位置与之前的最优位置，更新个体最优解。
4. 比较新位置与全局最优解集合，更新全局最优解。
其次，全局最优解集合是一个在多个目标函数下找到的最优解的集合。
维护全局最优解集合的步骤如下：1. 初始化全局最优解集合为空。
2. 对于每个粒子，找到其邻域中的最优解。
3. 如果该最优解不在全局最优解集合中，将其加入。
4. 如果全局最优解集合中的解超过一定数量，根据解的多样性进行剪枝，确保解的多样性。
MOPSO算法的关键之一是如何定义粒子的适应度函数。
适应度函数是一个评估粒子解的函数，它在多目标优化中被定义为各个目标函数的加权和。
权重用于平衡不同目标之间的重要性，可以事先确定或在算法中动态地调整。
MOPSO算法的优点是：1. 更好地处理多目标优化问题，能够生成一组近似帕累托最优解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基于超球形模糊支配的高维多目标粒子群优化算法谭阳; 唐德权; 曹守富【期刊名称】《《计算机应用》》【年(卷),期】2019(039)011【总页数】9页(P3233-3241)【关键词】高维多目标优化问题; Pareto支配; 粒子群; 多样性【作者】谭阳; 唐德权; 曹守富【作者单位】湖南师范大学数学与统计学院长沙410081; 湖南广播电视大学网络技术系长沙410004; 湖南警察学院信息技术系长沙410138【正文语种】中文【中图分类】TP301.60 引言最优化问题一直是工程实践和科学研究中主要的问题形式之一[1]。
其中，函数优化目标在2～3个并且需要同时处理的最优化问题被称为多目标优化问题(Multi-objective Optimization Problems, MOP)。
而函数优化目标等于或大于4个的优化问题则被称为高维多目标优化问题(Many-objective Optimization Problem, MAOP)。
多目标问题会随着目标维度的增加导致解空间急剧增大，寻优算法在解空间中几乎全部互为非支配个体；传统的Pareto支配关系无法使算法产生足够的选择压力，致使算法搜索困难[2]。
针对这一问题，国内外的学者们分别提出不同的解决思路。
Farina等[3]基于人工决策系统的模糊型最优性定义，提出以非偏好为基础来改进支配关系，从而在优化高维多目标问题时扩大了支配域，但该方法存在容易产生循环支配的缺陷。
Li等[4]提出基于移位的密度估计多样性策略，通过调整Pareto支配关系和偏好维护机制的方法来平衡算法的性能，由于该方法需要考虑对目标函数的缩放，因此在优化凹面函数时其分布性能受限。
Wang等[5]采用自适应的分解方法，以分治法对高维多目标问题进行降维分解，该方法可以提高算法的性能，但其困难之处在于需要对分解所得的子问题施加人工约束。
陈振兴等[6]在张角概念的基础上提出了一种新的拥挤控制策略，能够较好地维护种群的分布的均匀性，但该方法效能严重依赖于角度阈值参数的设定。
Deb等[7]通过筛选部分非支配个体的方式来为整个种群选取一组参考点，并以该组参考点来评价个体的质量，从而辅助控制种群在目标空间中的分布，并提出了带精英策略的快速非支配排序遗传算法(Nondominated Sorting Genetic Algorithms Ⅲ, NSGA-Ⅲ)算法。
但值得注意的是，文献中并没有讨论该方法在有约束优化问题上的性能。
粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization, PSO)是由Kennedy等[8]于1995年提出的一种智能优化算法。
PSO算法是一种源于对鸟群等群体运动行为的优化工具，与其他的优化算法相比较，PSO具有算法简单、收敛速度快、对目标函数要求少等特点，因而成为重要的优化工具。
近年来，国内外学者在研究PSO 优化多目标问题的领域取得了很大的进展，提出了不少基于PSO的多目标优化算法，但将PSO用于高维多目标优化问题求解的理论和方法较少。
其原因在高维多目标优化问题上最优解分布于Pareto最优前沿面之上，巨大的解空间将导致PSO 的选择压力迅速降低，算法早熟收敛而无法有效获取问题的最优前沿面。
针对PSO的缺陷，本文提出一种基于超球形模糊支配的高维多目标粒子群优化(Hyper-spherical Fuzzy dominance Particle Swarm Optimization, HFPSO)算法。
在可行解全部目标维度上增加一个半径以形成超球体，以超球体所张成的空间来扩展可行解的支配域。
同时，为增加算法的选择压力，以模糊支配策略来进一步降低非支配解在种群中的比例。
在分布性维护操作上，将个体全局最优值的选择策略调整为动态概率选择, 更好地平衡了算法的收敛性和多样性。
1 基本理论与概念1.1 高维多目标优化问题不失一般性，一个具有n个决策变量、m个目标变量的多目标优化问题通常被描述[9]为:min y=F(x)=(f1(x), f2(x),…, fm(x))T(1)s.t. x=(x1,x2,…,xn)∈X⊂Rn,y=(y1,y2,…,ym)∈Y⊂Rm其中，X为n维的决策空间，Y为m维的目标空间。
只有当优化目标为1时，最优解才是在给定约束条件下使目标函数最大的解，而当多个目标要求同时最优时，最优解就是Pareto最优集。
下面给出MAOP常用到几个相关定义[9]：定义1 可行解。
对于某个x∈X，如果x满足gi(x)≤0(i=1,2,…,q)和hj(x)≤0(j=1,2,…,p)，则称x为可行解。
定义2 Pareto最优。
若一个解x*∈Xf是Pareto最优(非支配解)，当且仅当∃x∈Xf:x≻x*。
定义3 Pareto最优解集。
所有Pareto最优解的集合：P*{x*|∃x∈Xf:x≻x*}定义4 Pareto最优前沿面。
所有Pareto最优解对应目标矢量所组成的曲面称为Pareto最优前沿面或均衡面PF*:PF*{F(x)*=(f1(x*), f2(x*),…, fm(x*))|x*∈P*}1.2 标准PSO算法在标准粒子群优化(PSO)算法中，初始粒子在搜索空间中以一定的速度飞行，并通过追踪两个极值来更新自己完成寻优。
两个极值分别为：粒子自身所找到的最优解，称为个体极值pbest；另一个是整个粒子种群目前找到的最优解，称为全局极值gbest。
在两个极值的作用下，粒子会依据式(2)来更新自己的速度和位置[8]:(2)其中:vk是粒子的速度向量； xk是粒子当前的位置； c0、c1、c2表示群体认知系数，标准PSO中c0一般取(0,1)的随机数，c1、c2取(0,2)的随机数。
在每一维上粒子的速度都会被限制在一个最大速度vmax(vmax>0)内，即vk>vmax或vk<-vmax时，vk=vmax或vk=-vmax。
1.3 标准PSO对MAOP优化的分析基于Pareto支配关系，标准PSO的种群能够逐渐收敛到一个不被任何其他解支配的Pareto最优解集上。
但基于Pareto支配方法的优化效果与种群中非支配解个体所占比例密切相关，Adra等[10]曾指出非支配个体在种群中所占比例会随着算法迭代次数增加而迅速上升，甚至大部分个体都成为非支配解。
这将导致算法各种择优策略无法实施，削弱基于Pareto支配比较与选择的效果，导致优化算法搜索能力的下降。
为了更具体地分析标准PSO对MAOP优化的性能，以可扩展目标维度的DTLZ1函数[11]为例，分别设置不同的目标维度数。
设置PSO的种群规模为N=200，并限定PSO的最大迭代次数Tmax=20，记录PSO在完成不同目标维度优化问题后非支配解的数量。
为了消除其他因素的影响，对每种不同目标维度的MAOP独立优化30次，取平均值，结果如图1所示。
图1 标准PSO在不同目标维度下非支配解所占比例Fig. 1 Proportion of non-dominated solutions for standard PSO in different target dimensions实验结果显示随着目标维度的增加，标准PSO中非支配解所占比例迅速提高，削弱了PSO种群在进化过程中基于Pareto支配的选择压力，导致算法性能下降。
2 基于超球形模糊支配的粒子群算法2.1 超球形支配关系随着优化问题目标维度的进一步增加，种群中非支配个体的数量将呈指数上升，将大大削弱PSO基于Pareto比较进行选择与搜索的能力。
因此，适当放宽Pareto 支配关系，则能对其他非支配个体进行比较与选择。
Sato等[12]提出了一种扩展支配域的方法，并应用于NSGA-Ⅱ上[13]，提高了NSGA-Ⅱ的性能；但这一方法的主要缺陷在于需要为每一待优化的目标函数设置修正参数。
考虑到MAOP中最优前沿面为一超平面，算法种群中的个体为了逼近这一超平面，在优化的过程会形成支配关系，而决定个体支配关系的主要因素在于解空间中个体支配域的范围。
个体支配域较小，容易提升种群出现非支配解的几率, 大量的非支配解的出现会导致Pareto支配关系在高维空间中面临失效的境地。
因此，要维护算法对MAOP的性能，需要扩展个体的支配域，降低非支配个体的数量，维持算法的选择压力以促进算法的收敛。
基于此，若以种群中任意可行解为基础，并在其所有维度上都增加一个值为r的半径，那么可得到一半径为r的超球形。
该超球形在解空间中所张成的支配域则由可行解现有的支配域扩展而来，以此扩展了个体支配域的范围。
由图2可以看出，按照Pareto支配关系A、B、C互为非支配个体；但在扩展支配域中个体A、C被B所支配。
宽松支配关系的核心是提升较优个体的支配概率，通过扩展支配域来放宽支配关系，则降低了对较优目标个数所占比重的要求。
此举使得种群中的个体更易形成支配关系，从而提高支配的概率和种群的选择压力，促进算法的收敛。
调整半径值r的大小，可控制超球体所张成的扩展支配域。
在优化高维多目标问题时可将r值设定为后期小一些，随着迭代次数的增加r值逐渐减小至0，种群中非支配解更容易产生，以加速收敛。
式(3)给出了半径值r的动态计算方法，随着迭代次数的增加而动态减小，实现算法在初始时利于全局搜索，后期则加速收敛。
r=rmax-(t×rmax/Tmax)；rmax=(vmax×m)/N(3)其中:rmax为最大半径值，Tmax为算法的最大迭代次数，t为当前迭代次数，vmax为粒子在目标空间中的最大速度，m为MAOP的维数，N为种群规模。
图2 Pareto支配域与扩展支配域的比较Fig. 2 Comparison of Pareto dominance and extended dominance2.2 模糊支配策略超球形支配关系会使得个体目标函数产生不可预测性，为避免种群个体发生循环支配，Farina等[3]将模糊理论应用于MAOP的优化，提出以个体间目标优劣的数量来衡量个体的支配关系。
受此启发，提出一种模糊支配的策略。
令F(xi)为个体xi的目标向量。
对种群中任意两个不相同个体xi和xj(i≠j)的目标向量F(xi)和F(xj)比较后，可得到xi优于xj、xi等于xj和xi劣于xj三种不同的目标维度比较值，且分别用Better(xi,xj)、Equal(xi,xj)和Worse(xi,xj)表示；则个体xi和xj的模糊支配度C(xi,xj)由式(4)计算；其模糊支配集CS由式(5)表示:C(xi,xj)=(4)CS={C(xi,xj)|xi,xj∈[1∶N]∧i≠j}(5)本文将xi等于xj目标维度数视作xi优于xj的维度数，目的是通过宽松模糊支配关系进一步降低种群中非支配解的比例，维持算法在高维空间中的选择压力。